Automatique linaire chantillonne

Chapitre 1 Introduction 1. DfinitionL'automatique est la science qui traite de l'analyse et de la commande des systmes dynamiques voluant avec le temps. En d'autres mots de l'automatisation de tches par des machines fonctionnant sans intervention humaine.

Remarque : Retenez encore qu'aujourd'hui sur 100 systmes mritant d'^tre asservis : . 10 le sont effectivement, mais . 9 sont mal asservis

2. Mise en uvre des asservissements numriques

Le schma gnral d'un asservissement analogique est reprsent en figure 1 suivante, sa transposition en commande numrique est reprsente en figure 2.

Figure.1 Systme asservi linaire continu

Avantages

Les avantages de l'asservissement numrique sont nombreux, en voici quelques uns. Ralisation aise de rgulateurs complexes, lois de commande raffines Facilit de mise en uvre de commandes anticipatrices (compensation par rapport

la consigne ou certaines perturbations) Mise en uvre d'algorithmes de rgulation sans quivalent analogique. Insensibilit de la caractristique entre-sortie du rgulateur aux parasites, aux

variations de temprature au vieillissement, etc. Pas de dispersion des paramtres du rgulateur en cas de fabrication en srie Prise en compte de dfauts, des limites et comportements particuliers du systme

rgler (non linarits, saturations) par simple programmation. Linarisation autour d'un point de fonctionnement ajustable. Changement de correcteur souple et rapide. Interface utilisateur conviviale. Plusieurs systmes corrigs par un seul microprocesseur.

Inconvnients

Il y a aussi quelques inconvnients qu'il convient de connatre pour mieux les contourner. Notamment :

Lobservation discontinue de la grandeur rgle, le systme est en boucle ouverte entre deux instants d'chantillonnage. Sans prcautions particulires, le bouclage numrique insre des non linarits

dans la boucle de rgulation dues :- la quantification des convertisseurs,

- la prcision de calcul finie du microprocesseur,- procd d'chantillonnage (recouvrement spectral).

.

Remarques

Et pour finir, sachez que les PID industriels soit disant analogiques cachent un microcontrleur, cette technologie permettant de raliser des constantes de temps impossibles raliser en analogique. Mais aussi, de grer des alarmes, des saturations, des modes de dfaut, etc.

3. Echantillonnage et quantificationLa figure 1.3 montre la diffrence fondamentale entre le signal analogique et le signal chantillonn et quantifi que le microcontrleur "peroit". Ce signal est en fait une suite de nombres cods sur n bits (typiquement 8 16 bits)

1.5 Priode d'chantillonnage

1.5.1 Le problme de la priode d'chantillonnage

La figure 1.23 montre un mme signal chantillonn plusieurs frquences, lorsque la priode d'chantillonnage Te est gale _a la moiti de la frquence du signal, on voit qu'il devient impossible de reconstituer le signal original.En augmentant encore la priode d'chantillonnage on tombe sur des aberrations comme illustr en figure 1.24

Fig. 1.23 { Signaux _echantillonn_es _a di__erentes fr_equences

Fig. 1.24 { Signal ostensiblement sous-_echantillonn_e.

1.5.4 Choix de la priode d'chantillonnage

Les considrations prcdentes montrent :. une limite fondamentale : le thorme de Shannon,. que l'ide de sur chantillonner provoque normment de bruit sur le calcul des drives et demande un microcontrleur puissant donc cher

Bulher [4]Hansruedi choisit Te, la priode d'chantillonnage telle qu'elle soit

. 5 fois plus petite que la constante de temps la plus rapide que l'on veut contrler en boucle ferme

. 8 fois plus petite que la pseudo-priode, s'il s'agit de ples complexes conjugus

Chapitre 2 Transforme en z

2.1 Dfinition de la transforme en z

Pour un signal discret f(nT) on dfinit sa transforme en Z par :

Notation : Z[F(p)] ou Z[f(t)]

Exemple : f(t) = U(t) chelon d'Heaviside. On a

2.2 Proprits de la transforme en z

Comme la transforme en z est la transforme de Laplace suivie d'un changement de variable, ses proprits se dduisent de celles de la transforme de Laplace.

Illustration de la proprit du retard.

Illustration de la proprit de lavance

2.3 Calcul de la transforme en z

2.3.1 Par la formule de dfinition

Exemples :

2.3.2 Par l'utilisation des tables

Ce sera la mthode utilise dans le cadre de ce cours. Le plus souvent on possde la transforme de Laplace du systme. On procde _a une dcomposition en lments simples puis, _a l'aide du tableau , on obtient la transforme en z. Notez que la connaissance des proprits de la transforme en z est souvent ncessaire.

2.4 Transforme inverse

Il s'agit, le plus souvent de revenir _a l'original temporel, soit pour tracer la sortie d'un systme chantillonn, soit pour retrouver l'quation rcurrente, d'un correcteur pour l'implanter dans le calculateur.

2.4.1 Par division polynomiale

On ne cherche alors que les premiers chantillons de la rponse d'un systme _a une entre spcifie.

2.4.1 Par l'utilisation des tables

Chapitre 3. Transmittances chantillonnes.

3.1 Notions de schma bloc

Rappels sur la rduction des schmas-blocs

3.2 Transforme en z d'un schma bloc

La figure ci-dessous dcrit une partie de schma bloc en p, il s'agit alors de transformer ce schma en un schma bloc en z. La tentation est grande de transformer terme terme, mais c'est faux !

NB. Pour que cela soit vrai il faut que le signal entre G1 et G2 soit un signal chantillonn.

3.3 Transforme d'un systme prcd par un bloqueur d'ordre 0

On cherche la transforme en z du schma bloc donn en figure 2.7 suivante.

Fig. .. Transmittance continue prcde d'un bloqueur d'ordre 0.

Fonction de transfert d'un bloqueur d'ordre 0

Rappel : La transforme de Laplace d'un systme est la transforme de Laplace de sa rponse impulsionnelle.Si l'on soumet un bloqueur d'ordre 0 une impulsion, on obtient la sortie illustre en figure 2.8.

Rponse impulsionnelle d'un bloqueur d'ordre 0.

2.4 Transmittances chantillonnes de systmes boucls

2.5 Avec Matlab

Matlab ne sait transformer qu'en utilisant une "mthode", ici : faire prcder le systme d'un bloqueur d'ordre 0.

Chapitre 4Analyse des systmes

Avant de faire une correction quelconque il faut analyser le systme. Dans ce chapitre nous aborderons le lien entre les ples en p et les ples en z afin de comprendre comment le systme ragit _a une entre de consigne et dans quelle mesure il est possible de transformer cette raction.

Deux points sont fondamentaux, la stabilit du systme et sa prcision. En effet on cherche toujours _a amliorer ces deux points lorsque l'on asservit un systme

4.1 Stabilit

Dfinition 1 Un systme est dit stable si, cart de sa position de repos, celui-ci revient _a cette position lorsque la cause qui l'en a cart cesse.

Dfinition 2 Un systme est dit stable si sa rponse _a toute entre borne est borne.

Note : en appliquant ces dfinitions l'intgrateur pur n'est pas stable !

4.1.1 Conditions de stabilit

Nous avons vu qu'un signal F(z) de la forme :

avait pour original f(kTe) de la forme :

Les Ci et les zi tant complexes.

Pour que le systme soit stable, il faut alors que :

donc que :

En d'autres termes, pour qu'un systme soit stable, il faut et il suffit que les ples de la fonction de transfert soient de module inferieur 1.

Pour connaitre la stabilit d'un systme il suffit alors de calculer le module des ples du systme. Ce calcul est le plus souvent fastidieux voire impossible. C'est pourquoi, il existe des critres de stabilit ne faisant pas directement le calcul des ples mais qui permettent de savoir s'ils sont, ou pas, de module inferieur 1.

3.1.3 Critre de Routh-Hurwitz appliqu sur la transforme en w

La transforme en w est une transformation homographique qui fait correspondre exactementl'intrieur du cercle unit au demi plan gauche du plan complexe.

En appliquant la transforme en w au systme, les racines en z de module inferieur 1 sont transformes en des racines _a partie relle ngative, il suffit alors d'appliquer le critre de Routh-Hurwitz sur la transforme en w pour connaitre le signe des racines du polynme considr et donc la stabilit du systme

ApplicationDterminer les conditions de stabilit du systme par l'application du critre de Routh sur la transforme en w :

3.1.4 Avec Matlab

Il suffit de regarder si les modules de toutes les racines sont infrieurs 1.

3.2 Correspondance des plans z et pL'objectif est de dterminer le type de comportement du systme la vue des ples du systme tracs dans le plan complexe.Etudions le lien entre un ple simple en p et son transform par la transformation en z.

3.2.1 Rponse impulsionnelle en fonction de la position des ples

Rponses impulsionnelles des ples en fonction de leur position.

3.3 Le lieu d'Evans

3.3.1 Dfinition

Le lieu d'Evans : calcul des ples du systme en boucle ferme par un gain k .Le lieu d'Evans est le lieu des ples de la fonction de transfert en boucle ferme lorsque le gain K varie de 0 l'infini.Ce lieu est donc un moyen de choisir un gain K pour obtenir, en boucle ferme, des performances pr-spcifies.

Exemple de code Matlab

3.3.2 Exemple

4.2 Prcision des systmes chantillonns

Schma gnral pour l'tude de la prcision des systmes.

On considre le schma prsent en figure ci-dessus. Calculons l'erreur statique du systme pour une entre w(z) en chelon et une perturbation p(z) nulle.

4.2.1 Erreur vis--vis de la consigne

L'erreur est :

Conclusion : Pour qu'un systme prsente une erreur statique nulle pour une entre en chelon, il faut que la transmittance en boucle ouverte prsente au moins un intgrateur pur.

4.2.2 Erreur vis--vis de la perturbation

Supposons cette fois que l'entre W(z) est nulle et que la perturbation P(z) est un chelon unit.

L'erreur est :

Conclusion : Pour qu'un systme prsente une erreur statique nulle pour une perturbation en chelon, il faut au moins un intgrateur pur en amont de la perturbation.

3.4.3 Extension du raisonnement tous types d'entres

Calcul de l'erreur vis--vis de la consigne, le systme tant soumis une entre canonique quelconque de la forme w(t) = tm donc

o A(z) est un polynme en z n'ayant pas (z - 1) en facteur.

La transmittance en boucle ouverte peut s'crire :

avec k le gain statique du systme et N(z) et D(z) moniques3.

L'expression de l'erreur est alors :

Les valeurs limites de lerreur en rgime permanent sont rsumes dans le tableau suivant :.

Erreur permanente en fonction de l'entre et de la classe du systme : perturbation nulle

Application : Quelle est l'erreur permanente du systme de la figure suivante :

Chapitre 5 : Correction des systmes asservis numriques

I- Transposition des correcteurs Analogiques

1. IntroductionIl est, a priori, dommage de synthtiser un correcteur analogique puis de le convertir en correcteur numrique. Les mthodes de synthses numriques directes donnent de meilleurs rsultats en termes de performances (robustesse, prcision, rejet de perturbation). Nanmoins dans le cas o le correcteur analogique est dj synthtis et qu'il ne s'agit que de le transposer en numrique, la transforme bilinaire donne ci-aprs se rvle fort utile

Par ailleurs, cette mthode de synthse de correcteurs numriques couple une mthode de synthse type Ziegler-Nichols permet de synthtiser en quelques minutes un correcteur pour un systme dont on ignore tout ou presque et qui plus est, pratiquement sans comprendre l'automatique !

2. Les diffrentes approximations de la drive

2.1 Diffrences vers l'arrire

2.2 Diffrences vers l'avant

2.3 Transformation bilin_eaire

2.4 Avec Matlab

Seule la transforme bilinaire est directement implante, les diffrences avant et arrire ne le sont pas !

3. PID analogiqueTous les correcteurs analogiques sont transformables en correcteurs numriques, le plus connu d'entre eux tant le PID.

Rappel : Rglages de Ziegler-Nichols

Le correcteur PID est de type mixte. Il s'crit : .

Coefficients d'un PID par les mthodes de Ziegler-Nichols: mthode du pompage

Il faut ensuite transformer le correcteur analogique C(p) en un correcteur numrique par l'une des mthodes de transformation vues prcdemment

La transform_ee bilinaire est la plus utilise et donne de bons rsultats condition de choisir une priode d'chantillonnage convenable.

4. Le PID numrique

Ce PID correspond une approximation arrire de la drive. Cependant il reste pdagogique, dans une application industrielle on prfrera les formes suivantes :

Application industrielles des correcteurs PID

1. L'action drive idale provoque une forte augmentation du bruit hautes frquences, on utilise en pratique une drive filtre. Ceci conduit en discret au rgulateur PID filtr :

Le choix de est classiquement de 0.1

2. Lors d'un changement de consigne de type chelon, la drive du signal d'erreur entre la consigne et la sortie est trs grande (pratiquement une drive d'chelon soit un Dirac). La commande PID sur l'cart va engendrer une commande proportionnelle _a la variation de l'erreur via le module drivateur. L'amplitude de cette commande risque d'tre inadmissible en pratique. Une solution pour limiter ce phnomne est d'appliquer l'action drive seulement sur la sortie du procd d'o le PID avec la drive sur la mesure seule :

3. Mme remarque que prcdemment mais cette fois sur la partie proportionnelle d'o le PID avec l'action proportionnelle et drive sur la mesure seule :

Cette dernire solution est bien entendu la meilleure.

5. Rglages de Takahashi pour un rgulateur PID numrique filtr

La forme du PID utilis est :

dont les quations rcurrentes sont :

Comme pour la mthode de Ziegler-Nichols en analogique, il faut alors soumettre le systme l'un des deux essais :. Un essai indiciel qui donne les valeurs de _ et a,. Un essai en boucle ferme avec un gain K : on augmente K jusqu' Kosc valeur du gain pour laquelleon obtient une oscillation entretenue de priode Tosc.

II- Prdicteur de Smith

Dans le cas de systmes trs retards, ce qui arrive souvent dans les applications industrielles, les mthodes prcdentes ne fonctionnent pas bien. En fait un rglage classique de PID conduit un systme plus lent en boucle ferme qu'en boucle ouverte si le retard pur dpasse la moiti de la constante de temps dominante.

Soit G(z) un systme trs retard de la forme.

Le principe de synthse est le suivant : on synthtise un correcteur C1(z) pour le systme non retard G1(z) puis on adapte ce correcteur pour le systme rel G(z).

Schma idal de correction de systmes trs retards. Utopique car le retard pur n'est pas dissociable du reste de la transmittance du systme.

Bien que totalement irralisable en l'tat car le retard pur n'est pas dissociable du reste de la transmittance du systme, calculons tout de mme la fonction de transfert du systme prsent en figure prcdente

En introduisant la transmittance G(z), on obtient :

qui est de la forme :

En posant :

C(z) est un correcteur est parfaitement ralisable numriquement :

Note : la mise en uvre d'un prdicteur de Smith implique de possder un trs bon modle du systme. Les systmes prsentant des variations de paramtres ne peuvent pas ^tre corrigs par ce type de correcteur.

Schma d'un prdicteur de Smith.

Performances d'un prdicteur de Smith.