1206w Rapport Theorie de La Fiabilite

Introduction .......................................................5

PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE..............................7

Chapitre I L’évaluation structurale des ouvrages d’art ...................................................9

Chapitre II Introduction à la théorie de la fiabilité .............................................................15

Chapitre III Méthodologie de l’étude..............21

Chapitre IV Outils et références.....................31

PARTIE 2 EXEMPLES D’APPLICATION.........37

Chapitre I Pont à poutres des Bouillères ......43

Chapitre II PICF de Challuy ............................63

Chapitre III VIPP de Merlebach.......................79

Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la rivière Saint Étienne....................................99

Conclusions et perspectives........................115

Annexes .........................................................125

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Rapport d’études

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La gestion du patrimoine d’ouvrages d’art représente un enjeu majeur pour les maîtres d’ouvrage. Elle pose la question du développement de l’ingénierie de l’existant.

La théorie de la fiabilité propose une évaluation des structures basée sur la théorie des probabilités. Elle est utilisée dans l’aéronautique, l’industrie offshore, l’industrie nucléaire et, plus récemment, dans le domaine du bâtiment et des ouvrages d’art.

L’objectif de cette étude est de mettre en application la théorie de la fiabilité pour : • préciser la démarche pour évaluer les ouvrages d’art

neufs ou existants par approche probabiliste ; • établir des grilles de coefficients partiels de sécurité

pour l’évaluation des ouvrages existants.

Ce rapport se décompose en deux parties : • une 1e partie présentant la démarche ; • une 2e partie illustrant cette démarche sur quatre cas

d’étude d’ouvrages d’art.

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Collection les rapports

Document édité par le Sétra dans la collection « les rapports ».Cette collection regroupe les rapports d'études, de recherche,

d'expérimentation, les synthèses de connaissances.

Théorie de la fiabilitéApplication à l'évaluation structurale des ouvrages d'art

Théorie de la fiabilité – Rapport d’études

Collection « Les rapports » – Sétra – 4 – février 2012

Ce rapport présente les résultats de l’étude sur les « Méthodesavancées d’évaluation structurale », réalisée au sein du RéseauScientifique et Technique du Ministère de l’Écologie, duDéveloppement durable, du Transport et du Logement.

Cette étude a été menée par un groupe de travail composé de : • Arnold Ballière, CETE de Lyon ; • Yacine Ben Milad , DRIEA (ex- Sétra) ; • Anne-Sophie Colas, Sétra ; • Christian Cremona, Sétra ; • Denis Davi, CETE Méditerranée ; • Jean-Bernard Humeau, CETE de l’Ouest ; • Claude Le Quéré, EGIS (ex- Sétra) ; • Claire Marcotte, CETE Nord-Picardie ; • Jérôme Michel, Sétra ; • André Orcesi, IFSTTAR ; • Benoît Poulin, CETE de l’Ouest ; • Bruno Vion, CETE Méditerranée.

Le rapport a bénéficié des relectures attentives de : • Jacques Berthellemy, Sétra ; • Jean-Michel Lacombe, Sétra.



Introduction Contexte L’étude sur l’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation des ouvrages d’art a été lancée en 2009. Elle répond au besoin de développer les connaissances en matière d’ingénierie de l’existant. Elle s’inscrit dans le programme d’actions scientifiques et techniques du Sétra (sujet 41-03-02) : • Orientation scientifique et technique : 4 – Agir sur les infrastructures et les systèmes pour améliorer la

sécurité des déplacements • Projet : 1 – Analyser et maîtriser les risques sur ouvrages d’art • Action : 3 – Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante • Sujet : 2 – Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages

Action « Maîtr iser les r isques d’ insuff isance de capacité portante »

L’action « Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante » répond à une forte attente des maîtres d’ouvrage, confrontés à un patrimoine vieillissant et à un corpus technique français encore peu développé sur le sujet. L’optimisation des méthodes d’évaluation des ouvrages existants constitue donc un enjeu important pour : • la sécurité des déplacements, afin d’assurer aux usagers un haut niveau de sécurité ; • le développement durable, afin de limiter les impacts écologiques liés à des interventions non justifiées sur

les ouvrages ; • l’économie, afin de gérer les dépenses par l’optimisation des interventions ; • le plan juridique, afin de proposer un cadre permettant d’assurer la responsabilité des intervenants lors des

évaluations d’ouvrages existants.

Compte tenu du vieillissement du patrimoine, de l’évolution de l’agressivité du trafic, du développement des transports exceptionnels et de l’évolution de la réglementation applicable aux ouvrages neufs – le champ d’application des Eurocodes ne couvrant pas les ouvrages existants, la mise au point d’un corpus technique permettant d’évaluer précisément les ouvrages existants est un enjeu important pour les années à venir.

C’est pourquoi le CTOA renforce son implication dans l’ingénierie des ouvrages existants notamment en pilotant une action majeure pour l’établissement de recommandations, proposant plusieurs niveaux de sophistication, pour l’évaluation des ouvrages. L’objectif de cette action est de mettre au point le corpus technique de l’évaluation des ouvrages existants.

Sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages »

Le sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages » vise à développer la mise en application des méthodes probabilistes pour l’évaluation des ouvrages d’art ainsi que l’adaptation des coefficients partiels de sécurité, pour aider à l’évaluation courante des ouvrages existants par méthode semi-probabiliste. Il est ainsi mené en lien avec le sujet 1 « Méthodes courantes d’évaluation structurale des ouvrages » [11].

Cette étude est menée par un groupe de travail associant les CETE et le CTOA, avec l’appui de l’IFSTTAR. La théorie de la fiabilité a ainsi été mise en pratique par chaque CETE sur un ouvrage réel ou fictif pour : • préciser la méthodologie d’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation des ouvrages neufs ou

existants sur un exemple concret ; • établir des grilles de coefficients partiels permettant de réévaluer la performance des ouvrages existants au

moyen d’une méthode semi-probabiliste.



Présentation du rapport Ce rapport présente la méthodologie développée par le groupe de travail pour mettre en application la théorie de la fiabilité à l’évaluation des ouvrages d’art ainsi que les exemples de calculs sur ouvrage réel ou fictif.

Il ne traite pas : • des phases antérieures (surveillance, entretien, inspection, diagnostic) ou postérieures (réparations,

renforcements) à l’évaluation qui font l’objet d’autres études dans le programme d’action du Sétra ; • des méthodes d’évaluation dites courantes qui font l’objet du sujet 1 « Méthodes courantes d’évaluation

structurale des ouvrages » [11] de cette action.

Ce rapport ne fournit pas de grilles de coefficients partiels actualisés directement utilisables pour l’évaluation d’un ouvrage existant : ici seule la méthodologie de calcul de ces coefficients est présentée, l’établissement de grilles fera l’objet de la prochaine étude sur ce sujet.

Le rapport se décompose en deux parties.

La Partie 1 décrit la démarche adoptée au cours de cette étude : • le Chapitre I présente le contexte et les enjeux de l’étude ; • le Chapitre II expose les principes de la théorie de la fiabilité ; • le Chapitre III développe la méthodologie pour appliquer les principes de la fiabilité à l’évaluation des

ouvrages d’art ; • le Chapitre IV recense la bibliographie et les outils utilisés dans l’étude.

La Partie 2 regroupe les exemples développés par les CETE sur quatre ouvrages d’art réels ou fictifs : • le pont à poutres en béton armé des Bouillères (CETE de l’Ouest) ; • le pont-cadre PICF en béton armé de Challuy (CETE de Lyon) ; • le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ; • la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne (CETE Méditerranée).

Elle permet d’illustrer les principes exposés en Partie 1 sur des exemples concrets.



PARTIE 1

MÉTHODOLOGIE



Chapitre I L’évaluation structurale des ouvrages

d’art L’évaluation de la performance d’une structure est en enjeu important qui se pose dès la construction de cette structure et reste présent tout au long de sa vie.

On se propose dans ce premier chapitre de présenter le contexte et les enjeux de l’étude. On définira ainsi les notions de performance structurale, puis on présentera les méthodes d’évaluation de cette performance ainsi que les objectifs attendus.

1 - Notions de performance structurale On appelle performance structurale la capacité de la structure à remplir les exigences pour lesquelles elle est conçue et exploitée. On répartit ces exigences de performance en trois catégories : • la sécurité structurale, qui assure la résistance de la structure aux actions prévues en situation normale ainsi

que sa robustesse en situation exceptionnelle ; • l’aptitude au service, qui assure le maintien de l’exploitation de la structure ; • la durabilité, qui décrit l’aptitude de la structure à demeurer en état d’accomplir ses performances de sécurité

structurale et d’aptitude au service dans des conditions données d’utilisation et de maintenance sur une durée de service définie.

La mesure de la performance structurale vise à quantifier l’écart entre les modes de fonctionnement acceptables de la structure et les modes de fonctionnement à éviter, en fonction des caractéristiques de résistance de la structure et des actions susceptibles de conduire à sa ruine.

2 - Méthodes d’évaluation de la performance 2.1 - Approche déterministe

Jusqu’au XIXe siècle, les règles de construction reposaient sur l’empirisme et l’expérience. Le principe de sécurité adopté était celui dit des contraintes admissibles.

Le principe des contraintes admissibles consiste à s’assurer que la contrainte maximale σ, calculée en une section donnée sous une combinaison d’actions défavorables, reste inférieure à une contrainte dite admissible σadm. La valeur de la contrainte admissible est déterminée par le rapport de la contrainte de ruine σrupt du matériau sur un coefficient de sécurité K fixé de manière conventionnelle :

ruptadm≤ =

σσ σ

K

Ce principe présente l’avantage d’être facile à mettre en œuvre mais il reste insuffisant. En effet, il ne permet pas de prendre en compte la dispersion de chacun des paramètres intervenant dans le calcul puisqu’un même



coefficient leur est affecté, ce qui peut conduire à des sur-dimensionnements. D’autre part, la vérification en contraintes n’est pas le seul critère intervenant dans l’évaluation de la sécurité d’une construction.

L’approche déterministe a été adoptée dans les règlements français antérieurs à 1970.

2.2 - Approche semi-probabiliste On appelle approche semi-probabiliste la méthode reposant sur les notions d’état limite et de coefficients partiels de sécurité. C’est cette méthode que l’on retrouve dans de nombreux règlements, notamment les Eurocodes.

Le mode de fonctionnement de la structure est décrit par un état limite liant résistance des matériaux et sollicitations imposées à la structure, sous la forme :

>R S

On distingue deux types d’état limite : • état limite ultime, pour un mode de fonctionnement extrême de la structure ; • état limite de service, si la structure est inapte au service mais réparable.

On évalue la dispersion de certains paramètres à partir d’études statistiques que l’on intègre sous forme de valeur caractéristique. On retient généralement comme valeur caractéristique un fractile de la distribution de l’échantillon mesuré, c’est-à-dire une valeur telle qu’une part donnée de l’échantillon soit supérieure à cette valeur (Figure 1). Lorsque la dispersion peut être négligée, les valeurs caractéristiques peuvent être évaluées de manière déterministe.

Figure 1 : Valeur caractéristique Rk définie comme le fractile à 95% de la distribution (Rk a 95% de chance d’être dépassée).

Les incertitudes qui ne sont pas prises en compte sont intégrées dans des coefficients partiels de sécurité qui minorent les valeurs caractéristiques des résistances Rk et majorent celles des sollicitations Sk en introduisant des valeurs de calcul Rd et Sd :

kd d S k

R

etRR S γ Sγ

= =



L’approche semi-probabiliste consiste alors à s’assurer que ces valeurs de calcul Rd et Sd respectent la marge de sécurité définie par l’état limite :

kd d S k

R

R R S γ Sγ

= ≥ =

La méthode des coefficients partiels est qualifiée de semi-probabiliste car elle combine, au sein d’un même état limite, des valeurs estimées statistiquement et des valeurs déterministes, tout en adoptant un formalisme déterministe. Cette approche offre un bon compromis entre facilité de mise en œuvre et informations sur la dispersion des données. Néanmoins, les coefficients partiels, établis pour couvrir une large gamme d’incertitudes, peuvent s’avérer peu représentatifs pour certaines structures particulières ou endommagées.

La démarche semi-probabiliste a été introduite dans les règlements français par les Directives Communes au Calcul des Constructions (Circulaire n°71-145 du 13 décembre 1971 puis Circulaire n°79-25 du 13 mars 1979); elle a été reprise dans les règles de calcul BAEL et BPEL puis dans les Eurocodes.

2.3 - Approche probabiliste On appelle approche probabiliste la méthode qui s’appuie sur la théorie de la fiabilité pour évaluer la probabilité de défaillance ou l’indice de fiabilité de la structure.

Le mode de fonctionnement de la structure est, comme pour l’approche semi-probabiliste, décrit par un état limite mais les incertitudes liées aux paramètres d’entrée sont introduites sous forme de loi de probabilité affectée à chaque variable. Ces lois de probabilité sont établies à partir d’études statistiques sur les paramètres concernés.

L’approche probabiliste consiste alors à calculer la probabilité de dépassement du critère d’état limite, appelée probabilité de défaillance Pf, que l’on compare à une probabilité de défaillance acceptable Pf 0 :

0( )= < ≤f fP P R S P

L’approche probabiliste est séduisante puisqu’elle permet de prendre en compte un très large spectre d’incertitudes. Cependant, elle est limitée par le manque d’études statistiques concernant les différentes variables d’entrée et la complexité des calculs de probabilité. De plus, les différentes variables d’entrée présentent souvent des corrélations difficiles à détecter et pouvant varier dans de fortes proportions d’un ouvrage à un autre ; le traitement de ces corrélations nécessiterait des calculs complexes et surtout la collecte d’une volumineuse quantité de données pour chaque ouvrage traité. Par ailleurs, l’approche probabiliste nécessite la définition d’une probabilité de défaillance acceptable qui est une notion difficile à apprécier et donc à quantifier.

On présente dans le Tableau 1 un comparatif des trois approches introduites précédemment détaillant la nature des paramètres, des incertitudes et du calcul dans chacun des cas.

Déterministe Semi-probabiliste Probabiliste

Paramètres Déterministe Fractile Variable aléatoire

Incertitudes Coefficient global Coefficients partiels Lois de probabilité

Calcul Déterministe Déterministe Probabiliste

Tableau 1 : Comparatif des différentes approches d'évaluation de la performance des structures.



3 - Principes de l’évaluation de la performance des ouvrages d’art

3.1 - Performance des ouvrages neufs L’évaluation de la performance des ouvrages neufs est motivée par leur dimensionnement en vue de leur construction. La démarche consiste à évaluer les charges que doit supporter l’ouvrage pour remplir sa fonction et à choisir les matériaux et la géométrie de la structure permettant de supporter ces charges selon des critères de fonctionnement de l’ouvrage prédéfinis.

La performance de l’ouvrage à sa conception est régie par un règlement, qui fixe les matériaux et les charges à envisager ainsi que les critères de fonctionnement acceptables. Le formalisme semi-probabiliste est bien adapté à la conception des ouvrages d’art car il permet d’établir des règlements faciles à mettre en œuvre. De plus, il couvre une large gamme d’incertitudes et permet donc d’intégrer les écarts entre les grandeurs prévues et celles réellement mises en œuvre ainsi que l’évolution des différents paramètres au cours de la vie de l’ouvrage. Par ailleurs, les coûts induits par les marges introduites par le règlement restent assez faibles devant le coût total de l’ouvrage neuf.

3.2 - Performance des ouvrages existants L’évaluation de la performance des ouvrages existants peut intervenir au cours de la vie de l’ouvrage pour diverses raisons : • modifier les conditions d’exploitation de l’ouvrage ; • prévenir les risques liés à l’évolution de l’environnement ou de la réglementation ; • diagnostiquer des pathologies observées sur l’ouvrage.

L’approche de l’évaluation des ouvrages existants est différente de celle adoptée pour les ouvrages neufs. Les règlements, conçus pour dimensionner les ouvrages neufs, ne s’avèrent pas toujours adaptés pour l’évaluation des ouvrages existants et les marges de sécurité peuvent dépasser celles qu’il est raisonnable d’attendre d’un ouvrage existant. En effet, le règlement en vigueur peut fixer des marges plus sévères ou imposer des caractéristiques de matériaux et de charges plus strictes que celles prises à la conception de l’ouvrage. De plus, le règlement ne permet pas de tenir compte du fait que l’ouvrage soit construit, et notamment de la possibilité de mesurer certains paramètres par une auscultation ou une instrumentation de l’ouvrage. Par ailleurs, si on peut intégrer une nouvelle valeur de paramètre dans l’évaluation, il est difficile de tenir compte de la précision de cette mesure.

Il est donc nécessaire de développer une méthodologie d’évaluation spécifique aux ouvrages existants. L’évaluation de l’ouvrage passe, dans un premier temps, par une collecte d’informations sur l’ouvrage (documentations existantes, investigations sur site…). Ensuite, différents niveaux de calculs de complexité croissante peuvent être envisagés selon les besoins. Le règlement britannique BA 79 [2] classe les méthodes de calcul en 5 niveaux selon leur degré de sophistication et les nécessités liées au fonctionnement de l’ouvrage (Figure 2) ; ce modèle à 5 niveaux a été repris dans le projet européen BRIME [4] : • Niveau 1 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle simple. • Niveau 2 : application directe du règlement en vigueur pour les ouvrages neufs sur un modèle complexe. • Niveau 3 : application du règlement en vigueur pour les ouvrage sneufs avec prise en compte d’une

meilleure connaissance des résistances et des charges (résultats de l’inspection, réserve de capacité portante…).

• Niveau 4 : modulation des coefficients partiels de sécurité du règlement en fonction du type d’ouvrage, du régime d’entretien et de maintenance, des résultats de l’inspection.

• Niveau 5 : évaluation probabiliste de l’ouvrage.



Les niveaux 1 à 3 ne sont pas traités dans cette étude ; ils font l’objet de l’étude portant sur les « Méthodes courantes d’évaluation structurale » [11]. Une première approche du niveau 4 y est également présentée. La présente étude vise à développer les outils méthodologiques nécessaires pour compléter le niveau 4 et mettre en application le niveau 5 de l’évaluation structurale.

Lors d’une évaluation, on commence par le niveau le moins complexe et on passe au niveau supérieur si la performance de l’ouvrage n’est pas assurée et si la vérification n’est pas trop coûteuse vis-à-vis de l’objectif visé pour l’ouvrage.

La procédure d’évaluation de l’ouvrage existant conduit à une prise de décision : • pas d’intervention ; • surveillance plus ou moins avancée ; • restriction de trafic ; • renforcement/réparation ; • remplacement.

Figure 2 : Mode opératoire de l’évaluation des ouvrages existants selon le règlement britannique BA 79 tiré de Cremona, 2005 [7].



Chapitre II Introduction à la théorie de la

fiabilité La théorie de la fiabilité repose sur une approche probabiliste de la sécurité structurale. Elle vise à évaluer la probabilité de défaillance de la structure : connaissant un critère d’état limite de la structure ainsi que la variabilité des paramètres qui interviennent dans ce critère, la probabilité de défaillance est définie comme la probabilité que ce critère soit dépassé. La structure est finalement considérée comme sûre si cette probabilité de défaillance est inférieure à une valeur référence appelée probabilité de défaillance acceptable.

Ce chapitre présente les principes qui sous-tendent cette théorie ainsi que ses possibilités d’application à l’évaluation de la sécurité des structures. Les notions introduites dans ce chapitre sont détaillées dans l’Annexe 1, plus d’informations pouvant être trouvées dans Cremona, 2005 [7].

1 - Principes de la théorie de la fiabilité 1.1 - Mode de défaillance et fonction d’état limite

L’évaluation de la sécurité structurale commence par la définition du mode de défaillance que l’on veut étudier, c’est-à-dire la localisation de l’élément de structure concerné, les propriétés mécaniques des matériaux, les sollicitations soumises ainsi que le modèle liant résistance et sollicitations. Notons que le niveau de fiabilité obtenu dépendra donc du mode de défaillance choisi.

Le mode de défaillance permet ainsi de définir la marge de sécurité ou fonction d’état limite à respecter. Cette fonction d’état limite, notée g, fait intervenir différents paramètres géométriques ou physiques du système étudié.

Notons : • R la résistance du matériau constitutif de la structure ; • S les sollicitations imposées à la structure.

On peut écrire la marge de sécurité M et la fonction d’état limite g sous la forme générale :

( ),=M g R S

En se plaçant dans l’espace physique, espace formé par R et S, on remarque que la fonction d’état limite permet de diviser l’espace physique en 3 domaines (Figure 3) : • g (R, S) < 0 : domaine de défaillance ; • g (R, S) = 0 : état limite ; • g (R, S) > 0 : domaine de sécurité.



Figure 3:Domaine de défaillance, état limite et domaine de sécurité.

1.2 - Variables aléatoires et lois de probabilité Dans le cadre de la théorie de la fiabilité, les paramètres intervenant dans la fonction d’état limite peuvent être définis comme aléatoires pour tenir compte des incertitudes qui planent sur leur valeur. On les appelle alors variables aléatoires et on leur affecte une loi de probabilité qui décrit leur variabilité (Figure 4) . On caractérise généralement les lois de probabilité par leur valeur moyenne μ et leur écart-type σ ou leur coefficient de variation CdV, défini comme le rapport de l’écart-type sur la moyenne.

Dans l’évaluation des structures par la théorie de la fiabilité, on utilise couramment : • la loi normale : elle apparaît naturellement dans les phénomènes aléatoires dont la base physique est de

nature microscopique mais observée à l’échelle macroscopique. En d’autres termes, la distribution gaussienne est la loi de toute variable dont les valeurs résultent de la contribution d’une multitude de facteurs indépendants. Elle traduit généralement bien les erreurs de précision d’implantation et les grandeurs géométriques. La loi normale est enfin souvent adoptée comme approximation d’autres lois ;

• la loi lognormale : elle apparaît dans les phénomènes issus du produit d’une multitude de facteurs. Elle est très utilisée dans la modélisation de données hydrologiques, mais également dans la construction de modèle liant l’amplitude des séismes avec leurs intervalles d’occurrence. Elle est parfois utilisée par défaut, pour représenter les caractéristiques physiques des matériaux et certaines sollicitations permanentes ne changeant pas de signe ;

• les lois de valeurs extrêmes : la modélisation des variables dans une analyse de la fiabilité nécessite souvent de considérer des valeurs extrêmes (par exemple, la plus grande charge qu’une structure aura à subir pendant une période donnée ou la résistance la plus petite dans un matériau fibré). Il est possible d’établir que seules six lois d’extrêmes existent, trois pour les maxima et trois pour les minima, appelées lois de Gumbel, lois de Fréchet et lois de Weibull.



Figure 4 : Distribution d’une variable aléatoire Z suivant une loi normale (à gauche) et lognormale (à droite).

Notons que toutes les variables intervenant dans la fonction limite ne sont pas nécessairement aléatoires, certaines pouvant être définies comme déterministes.

1.3 - Probabilité de défaillance et indice de fiabilité La théorie de la fiabilité permet donc, à partir d’une fonction d’état limite et des lois de probabilité associées à ces variables aléatoires, de connaître la probabilité Pf de se trouver dans le domaine de défaillance :

( )( ), 0 ( 0)= < = − <fP P g R S P R S

L’ordre de grandeur de la probabilité de défaillance étant très faible, on traduit généralement cette valeur en terme d’indice de fiabilité β, que l’on calcule à partir de la probabilité de défaillance selon :

( )1Φ−= − fβ P

où Φ représente la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

On représente en Figure 5 la relation entre la probabilité de défaillance Pf et l’indice de fiabilité β.

Figure 5 : Courbe de la probabilité de défaillance Pf en fonction de l’indice de fiabilité β.



On peut donner une interprétation géométrique de l’indice de fiabilité β en se plaçant dans un espace normalisé correspondant à l’espace physique, c’est-à-dire en considérant que les variables aléatoires suivent une loi normale de moyenne nulle et d’écart-type unitaire1. On peut alors représenter géométriquement l’indice de fiabilité β comme la distance entre l’origine O de l’espace normalisé et la courbe d’état limite. Le point de l’état limite ainsi identifié est appelé point de fonctionnement Z (Figure 6). On note α

r le vecteur unitaire portant

(ZO) :

R

S

βαZO β α

βα⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

uuur r

Les composantes αR et αS de αr

sont appelées cosinus directeurs : elles donnent le poids relatif de chacune des variables sur l’indice de fiabilité β. On peut également mesurer la sensibilité de cet indice aux variations de la moyenne μ (respectivement de l’écart-type σ) de R ou de S en étudiant leur coefficient de sensibilité Sm (respectivement Ss) :

m setμ β σ βS Sβ μ β σ

∂ ∂= =

∂ ∂

Figure 6 : Représentation géométrique de l’indice de fiabilité β, du point de fonctionnement Z0 et des cosinus directeurs α.

1.4 - Méthodes de calcul En pratique, on recourt à des méthodes d’estimation pour calculer l’indice de fiabilité β. On distingue deux types de méthode (Figure 7) : • Méthodes de niveau II : on représente la fonction d’état limite g par une surface approchante :

– un hyperplan dans le cas de la méthode FORM (First Order Reliability Method) ; – une hyperparaboloïde dans le cas de la méthode SORM (Second Order Reliability Method).

1 Notons que si les variables aléatoires suivent une loi quelconque, il existe des transformations dites iso-probabilistes permettant de les ramener à des variables normales, centrées et réduites.



L’indice de fiabilité β est alors donné par la distance entre l’origine O de l’espace normalisé et cette surface ; on en déduit la probabilité de défaillance Pf = Φ (– β ).

• Méthodes de niveau III : on procède à un tirage aléatoire des couples de valeurs des variables aléatoires R et S et on vérifie pour chaque couple s’il y a défaillance ou non ; la probabilité de défaillance Pf est définie comme le rapport entre le nombre de tirages ayant conduit à la défaillance et le nombre total de tirages. Ce type de méthode requiert un grand nombre de tirages pour obtenir des résultats fiables et peut donc se révéler très coûteuse en terme de temps de calcul.

Figure 7 : Méthodes d'estimation de la probabilité de défaillance Pf :

méthodes de niveau II (à gauche) et méthodes de niveau III (à droite).

2 - Applications de la théorie de la fiabilité 2.1 - Application directe à l’évaluation de la structure

La théorie de la fiabilité permet donc de connaître l’indice de fiabilité (ou la probabilité de défaillance) d’une structure. Dans le cadre d’une application directe de cette théorie à l’évaluation de la sécurité de la structure, il convient de se fixer une valeur référence de cet indice de fiabilité, traduisant un niveau de sécurité que l’on juge acceptable : on appelle cette valeur l’indice de fiabilité cible β0. La structure sera alors jugée sure, vis-à-vis d’un mode de défaillance donné, si elle vérifie :

0β β≥

La valeur de l’indice de fiabilité cible est difficile à appréhender puisqu’elle traduit le niveau de sécurité que l’on veut se fixer et qu’elle dépend ainsi, entre autres, de la durée de vie de l’ouvrage, des conséquences engendrées par sa ruine ou des critères économiques liés à son entretien et son remplacement.

2.2 - Application au développement d’une approche semi-probabiliste

La théorie de la fiabilité permet également de développer une approche semi-probabiliste de la sécurité des constructions. En effet, nous avons vu que l’indice de fiabilité β de la structure était fonction des variables aléatoires et plus particulièrement de leur moyenne μ et de leur écart-type σ. La vérification de la relation ci-dessus peut donc se transformer de sorte que :

( ) ( ) ( )R R S S 0 d R R 0 d S S 0, , , , , , ,β f μ σ μ σ β R μ σ β S μ σ β= ≥ ⇔ ≥

où Rd et Sd sont les valeurs de calcul respectives de la résistance R et de la sollicitation S.

On peut alors définir les coefficients partiels comme le rapport entre les valeurs représentatives Rk et Sk fournies au projeteur et les valeurs de calcul Rd et Sd :



dkR S

d k

et SRγ γR S

= =

La théorie de la fiabilité est ainsi à la base des normes Eurocodes traduits sous forme semi-probabiliste.

La théorie de la fiabilité permet de développer une approche probabiliste de la sécurité des constructions, permettant ainsi la prise en compte d’un large spectre d’incertitudes sur les différents paramètres du système étudié.

Cette approche présente néanmoins des difficultés d’application. En effet, elle repose sur la connaissance des lois de probabilité associées aux variables d’entrée : or, il s’avère souvent difficile d’obtenir des données statistiques suffisantes. D’autre part, lorsque l’état limite considéré est complexe, les calculs de fiabilité peuvent rapidement devenir insurmontables. Enfin, son application à l’évaluation de la sécurité d’une structure passe par la définition d’un indice de fiabilité cible auquel comparer l’indice de fiabilité obtenu pour la structure.



Chapitre III Méthodologie de l’étude

L’objectif de cette étude est de mettre en application la théorie de la fiabilité pour évaluer la performance des ouvrages neufs ou existants.

On s’attachera dans un premier temps à définir l’indice de fiabilité cible β0 représentant le niveau de sécurité requis. À partir de cet indice de fiabilité cible, la théorie de la fiabilité va permettre : • d’évaluer les ouvrages neufs ou existants par approche probabiliste ; • d’actualiser les coefficients partiels de l’approche semi-probabiliste pour l’évaluation des ouvrages existants.

1 - Détermination de l’indice de fiabilité cible β0 1.1 - Définition de l’indice de fiabilité cible

Nous avons vu que la définition de l’indice de fiabilité cible était une question complexe. Une approche classique consiste à calibrer cet indice de fiabilité cible sur les règlements en vigueur. Cette approche est pertinente si on considère le règlement comme optimal, c’est-à-dire offrant un bon compromis entre économie et sécurité. Il faut toutefois garder à l’esprit que cet indice dépend du type d’état limite considéré, des conséquences de la défaillance et de la période de référence considérée.

L’EN 1990 définit trois classes de conséquences de défaillance, CC1 (faibles) à CC3 (élevées), afin de différencier les niveaux de fiabilité requis. À ces classes de conséquences sont associées des classes de fiabilité RC1 à RC3. C’est la classe CC2 (conséquences moyennes) qui est recommandée pour les ouvrages d’art : la classe de fiabilité associée RC2 prescrit l’application des coefficients partiels prévus dans les Eurocodes sans modification. Des valeurs d’indice de fiabilité cible sont ainsi prescrites dans l’annexe C.6 de l’EN 1990 selon le type d’état limite considéré, pour une période de référence de 1 an et 50 ans (Tableau 2). On peut en déduire les indices à 100 ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d’art, à partir de la formule :

( ) ( ) nn 1Φ Φβ β= ⎡ ⎤⎣ ⎦

Ces indices cibles devant être valides pour une large gamme d’ouvrages, ils peuvent s’avérer très sécuritaires pour certains d’entre eux.

Période de référence

État limite 1 an 50 ans 100 ans

Ultime 4,7 3,8 3,7

Service 2,9 1,5 1,0

Tableau 2 : Indices de fiabilité cibles β0 en fonction de l’état limite et de la période de référence pour une classe de fiabilité RC2 (valeurs données dans le tableau C.2 de l’annexe C de l’EN 1990 à 1 an et 50 ans et calculées à partir de la formule C.3 à 100 ans).

Dans les calculs menés dans ce rapport, l’indice de fiabilité cible considéré n’est pas pris égal à l’indice cible de l’EN 1990 (Tableau 2). Ce choix résulte d’une part du fait que les sollicitations dues aux charges de trafic sont



conservées déterministes et égales aux sollicitations de l’EN 1991-2. Aussi, cette variabilité n’étant pas prise en compte, l’indice cible calculé diffèrera de l’indice cible de l’EN 1990. D’autre part, l’EN 1990 fixe les indices cibles associés à des probabilités de défaillance sociétales acceptables. Ils sont souvent peu représentatifs des pratiques de conception qui ont tendance à conduire à des indices de fiabilité plus élevés. Il faut donc les voir comme des valeurs « plancher ».

Dans un souci de cohérence avec les pratiques de dimensionnement, un indice de fiabilité cible a été recalculé pour chaque ouvrage sur la base d’un dimensionnement strict aux états limites. La performance de l’ouvrage est évaluée en comparant son indice de fiabilité réel à cet indice cible.

Un indice cible sera calculé pour chaque état limite (service et ultime) et pour une période de référence de 100 ans, durée de projet prescrite pour les ouvrages d’art neufs dans les Eurocodes.

1.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible L’indice de fiabilité cible d’un ouvrage est donc défini comme l’indice de fiabilité de cet ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes. L’indice dépendant du type d’état limite considéré, deux indices de fiabilité cibles seront calculés pour chaque ouvrage, l’un pour l’État Limite de Service (ELS) et l’autre pour l’État Limite Ultime (ELU), suivant la méthode détaillée ci-dessous.

1.2.1 - Dimensionnement str ict aux Eurocodes

La première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible est de dimensionner strictement l’ouvrage considéré aux Eurocodes, c’est-à-dire en dimensionnant à l’état limite. On commence par identifier la section et la vérification sur laquelle on va travailler, ainsi que le paramètre qui sera dimensionné, les autres paramètres (géométriques ou physiques) restant identiques à ceux de l’ouvrage étudié.

Le règlement impose une vérification liant la résistance et les sollicitations :

kd S k d

R

RR γ S Sγ

= ≥ =

Si on choisit de dimensionner la résistance R, sa valeur stricte aux Eurocodes R0 s’exprime en fonction des coefficients partiels de sécurité, de sorte que :

0 R S kR γ γ S=

1.2.2 - Calcul de l ’ indice de f iabil i té cible

Le calcul de l’indice de fiabilité de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes se fait donc selon les principes exposés au chapitre II section 1. • Mode de défaillance et fonction d’état limite

Le mode de défaillance est imposé par la section et par la vérification retenues pour le dimensionnement. La fonction d’état limite se déduit de la prescription du règlement en remplaçant les valeurs de calcul (valeurs caractéristiques et coefficients partiels) par leur variable aléatoire associée :

g R S= −

• Variables aléatoires et lois de probabilité

Les paramètres intervenant dans la fonction d’état limite sont donc considérés comme aléatoires : on leur associe une loi de probabilité, caractérisée par sa valeur moyenne μ et son écart-type σ (ou son coefficient de variation CdV).

Si les valeurs de mesure données par le règlement sont des valeurs caractéristiques, on calcule la moyenne de leur variable aléatoire associée selon la relation :



R R k S S ketμ ν R μ ν S= =

où νR et νS sont appelés biais.

Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 3.

Variable Valeur nominale

Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient

de variation Résistance R R0 = γRγSSk Loi R νR σR CdVR

Sollicitation S Sk Loi S νS σS CdVS

Tableau 3 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β0 (paramètre dimensionné en jaune).

Si le nombre de paramètres intervenant dans la fonction d’état limite est très important, on pourra conserver comme variables aléatoires les paramètres sur lesquels les incertitudes sont les plus grandes et fixer les autres paramètres comme déterministes, afin de limiter la complexité et les temps de calcul. • Calcul de l’indice de fiabilité cible

L’indice de fiabilité cible est alors calculé comme l’indice de fiabilité de cet ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes :

( ) ( )( )10 R 0 R S k SΦ , , 0β P R ν R CdV S ν S CdV− ⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦

où R et S suivent les lois décrites dans le Tableau 3.

On peut remarquer que β0 dépend des coefficients partiels de sécurité γR et γS qui interviennent dans l’expression de la valeur du paramètre de dimensionnement R0 = γR γS Sk.

Le poids de chacune des variables dans le calcul de β0 est donné par les coefficients directeurs αR et αS (Tableau 4). La sensibilité de β0 aux variations de la moyenne et de l’écart-type de R ou de S est donnée par les coefficients de sensibilité Sm et Ss. On peut ainsi, si les calculs s’avèrent longs, réduire le nombre de variables aléatoires en considérant comme déterministes les variables dont le cosinus directeur est faible par rapport aux autres.

Indice de fiabilité β0 β0

Dimensionnement R R0

Point de fonctionnement Z0 Z0,R Z0,S

Cosinus directeurs α0 α0,R α0,S

Sensibilité à la moyenne Sm0 Sm0,R Sm0,S

Sensibilité à l’écart-type Ss0 Ss0,R Ss0,S

Résistance R Sollicitation S

Tableau 4 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible β0.

2 - Évaluation des ouvrages par approche probabiliste La théorie de la fiabilité peut être utilisée pour évaluer la performance d’un ouvrage par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à l’indice de fiabilité cible.



2.1 - Performance des ouvrages à la conception La performance d’un ouvrage neuf est évaluée en comparant l’indice de fiabilité β de l’ouvrage à l’indice de fiabilité cible β0.

L’indice de fiabilité cible ayant été défini à la section précédente, il ne reste donc plus qu’à calculer l’indice de fiabilité de l’ouvrage étudié. Celui-ci est déterminé suivant la même méthodologie que celle adoptée pour le calcul de l’indice β0. • Mode de défaillance et fonction d’état limite

On conserve le mode de défaillance et la fonction d’état limite précédemment établis :

g R S= −


On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité ; seule la valeur nominale du paramètre dimensionné change pour retrouver sa valeur de mesure. Notons que cette valeur de mesure doit vérifier les conditions imposées par le règlement à l’ELS et à l’ELU.

Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 5.



de variation Résistance R Rk Loi R νR σR CdVR

Sollicitation S Sk Loi S νS σS CdVS

Tableau 5 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β (en bleu, le changement par rapport au Tableau 3).

• Calcul de l’indice de fiabilité

L’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf est alors donné par :

( ) ( )( )1R k R S k SΦ , , 0β P R ν R CdV S ν S CdV− ⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦


Les informations complémentaires sur le calcul de β sont regroupées dans le Tableau 6.

Indice de fiabilité β β

Point de fonctionnement Z ZR ZS

Cosinus directeurs α αR αS

Sensibilité à la moyenne Sm SmR SmS

Sensibilité à l’écart-type Ss SsR SsS


Tableau 6 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf.

L’ouvrage est considéré comme sûr vis-à-vis du mode de défaillance étudié s’il vérifie :

0β β≥



2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages existants

L’indice de fiabilité β traduit le niveau de performance de l’ouvrage à sa conception. Toutefois, nous avons vu qu’il pouvait s’avérer nécessaire de réévaluer ce niveau de performance au cours de la vie de l’ouvrage. Pour ce faire, on se base sur des relevés et des mesures sur site des paramètres de résistance (caractéristiques physiques et géométriques des matériaux) et/ou de sollicitations (charges supportées par l’ouvrage).

Dans le cadre de l’approche probabiliste (calculs de niveau 5), on actualise le niveau de performance de l’ouvrage en intégrant dans le calcul de l’indice de fiabilité les nouvelles informations obtenues par l’inspection de l’ouvrage et on compare le nouvel indice de fiabilité β1 obtenu à l’indice de fiabilité cible β0. Le calcul de l’indice de fiabilité actualisé β1 suit le même principe celui de l’indice de fiabilité β de l’ouvrage neuf. • Mode de défaillance et fonction d’état limite

On conserve le mode de défaillance et la fonction d’état limite précédemment établis :

g R S= −


On conserve les variables aléatoires et leur loi de probabilité mais on intègre la nouvelle information en modifiant la valeur moyenne et le coefficient de variation du ou des paramètre(s) mesuré(s) à l’inspection.

Supposons que l’inspection porte sur la sollicitation S, fournissant ainsi une nouvelle valeur de sollicitation μS1 avec une précision de mesure CdVS1. Il faut donc procéder au changement de la valeur moyenne de S, ou encore au changement du biais νS1 :

S1S1

k

μνS

=

ainsi qu’au changement de son coefficient de variation. Les propriétés des variables aléatoires sont résumées dans le Tableau 7.

Variable Valeur

nominale Loi de

probabilité Biais Écart-type Coefficient de variation

Résistance R Rk Loi R νR σR CdVR

Sollicitation S Sk Loi S νS1 σS1 CdVS1

Tableau 7 :Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de β1 (en bleu, les changements par rapport au Tableau 5).

• Calcul de l’indice de fiabilité

L’indice de fiabilité β1 de l’ouvrage existant est alors donné par :

( ) ( )( )11 1 1Φ , , 0− ⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦R k R S k Sβ P R ν R CdV S ν S CdV


Les informations complémentaires sur le calcul de β1 sont regroupées dans le Tableau 8.

Indice de fiabilité β1 β1

Point de fonctionnement Z1 Z1,R Z1,S



Cosinus directeurs α1 α1,R α1,S

Sensibilité à la moyenne Sm1 Sm1,R Sm1,S

Sensibilité à l’écart-type Ss1 Ss1,R Ss1,S


Tableau 8 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité β1 de l’ouvrage existant.

L’ouvrage existant est considéré comme sûr s’il vérifie :

1 0β β≥

On peut également tenir compte dans l’actualisation de la représentativité de la mesure obtenue lors de l’inspection : on peut, par exemple, n’intégrer que les mesures d’inspection dont le coefficient de variation est faible. On parle alors d’actualisation conditionnelle ou bayésienne ; nous n’aborderons par ce volet dans cette étude.

3 - Actualisation de coefficients partiels Nous avons vu que, si l’approche probabiliste permettait d’actualiser avec précision la performance d’un ouvrage au cours de sa vie, les calculs pouvaient s’avérer complexes. Dans le cadre de l’évaluation d’un ouvrage existant, on préfèrera, dans un premier temps, adopter une approche semi-probabiliste, plus facile à mettre en œuvre. Néanmoins, l’application directe de l’approche semi-probabiliste ne permet de prendre en compte que les valeurs des mesures de l’inspection et pas leur précision (calculs de niveau 3).

Dans cette partie, on se propose d’actualiser (ou recalibrer) les coefficients partiels des Eurocodes afin qu’ils puissent intégrer les informations fournies par les inspections et qu’ils puissent ainsi être utilisés pour l’évaluation des ouvrages existants avec un formalisme semi-probabiliste, tout en assurant un niveau de sécurité identique à celui des méthodes probabilistes (calculs de niveau 4). Il a ainsi été retenu le principe selon lequel il est souhaitable que le niveau de performance de l’ouvrage existant à l’ELU soit comparable à celui requis pour un ouvrage neuf (cf. norme ISO 13822:2001 [9]).

L’État Limite Ultime, relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, a été privilégié dans cette étude.

3.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser Dans un premier temps, il faut choisir les paramètres qui feront l’objet d’une recalibration, ainsi que les nouvelles valeurs de mesure et de dispersion de ces paramètres. Ce choix peut se baser sur deux facteurs : • les paramètres couramment mesurés lors des inspections d’ouvrages existants (et les plages de valeurs et

précisions couramment obtenues) ; • les résultats des calculs de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) qui donnent les paramètres ayant une

influence sur l’indice de fiabilité de l’ouvrage.

Il a été décidé que chaque recalibration porterait exclusivement sur le coefficient partiel correspondant au paramètre dont la valeur et/ou la dispersion est modifiée, en cohérence avec les pratiques des méthodes courantes d’évaluation. Si aucun coefficient partiel n’apparaît de manière explicite dans le règlement, il est possible d’en introduire un en lui fixant une valeur initiale égale à 1.

3.2 - Actualisation d’un coefficient partiel Considérons par exemple les résultats d’inspection de la sollicitation S précédemment retenus avec une nouvelle moyenne μS1 et un nouveau coefficient de variation CdVS1 ; l’actualisation portera donc sur le coefficient partiel γS.



La nouvelle valeur moyenne et la nouvelle dispersion permettent de calculer un indice de fiabilité acceptable 0β qui dépend de γS :

( ) ( )( )10 S R R S k R S1 k S1

ˆ ( ) Φ , , 0β γ P R ν γ γ S CdV S ν S CdV− ⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦

où R et S suivent les lois du Tableau 9.

Variable Valeur

nominale Loi de


Résistance R R0 = γRγSSk Loi R νR σR CdVR


Tableau 9 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de 0β .

Or, nous avons vu que la valeur référence de fiabilité pour cet ouvrage était l’indice de fiabilité cible β0. La recalibration consiste alors à chercher le coefficient partiel 11

Sγ (correspondant au biais νS1 et au nouveau coefficient de variation CdVS1) qui vérifie :

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

110 S 0

1 11 1R R S k R S1 k S1 R R S k R S k S

ˆ ˆ

ˆΦ , , 0 Φ , , 0

β γ β

P R ν γ γ S CdV S ν S CdV P R ν γ γ S CdV S ν S CdV− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − < = − − <⎣ ⎦⎣ ⎦

En répétant cette opération pour les différents paramètres, et leur valeur de biais et de coefficient de variation établis à la section 3.1, on détermine ainsi les coefficients partiels permettant d’assurer le niveau de performance requis par l’approche probabiliste, tout en adoptant le formalisme pratique de l’approche semi-probabiliste.

On peut présenter les différents résultats sous forme de grilles de coefficients partiels où on donne en ligne le biais et en colonne le coefficient de variation (Tableau 10 et Tableau 11).

Coefficient de variation

Coefficient γR Coefficient CdVR1 Coefficient CdVR Coefficient CdVR2

Biais νR1 11Rγ 10

Rγ 12Rγ

Biais νR 01Rγ γR 02

Rγ Biais

Biais νR2 21Rγ 20

Rγ 22Rγ

Tableau 10 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R (valeur de γR pour l’ouvrage neuf en jaune).

Coefficient de variation

Coefficient γS Coefficient CdVS1 Coefficient CdVS Coefficient CdVS2

Biais νS1 11Sγ 10

Sγ 12Sγ

Biais νS 01Sγ γS 02

Sγ Biais

Biais νS2 21Sγ 20

Sγ 22Sγ

Tableau 11 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la sollicitation S (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).

3.3 - Combinaison de coefficients partiels actualisés



On dispose désormais de grilles de coefficients partiels permettant d’actualiser le niveau de performance de l’ouvrage en fonction de la mesure d’un de ses paramètres. Se pose désormais la question de l’actualisation simultanée ou successive de plusieurs paramètres : en effet, on doit s’assurer que les coefficients partiels recalibrés, calculés indépendamment, sont utilisables conjointement, tout en assurant le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule pour chaque combinaison de coefficients partiels, l’indice de fiabilité acceptable correspondant.

Si on veut vérifier la pertinence de la combinaison d’une mesure sur la résistance R de μR1 et CdVR1 et d’une mesure sur la sollicitation S de μS1 et CdVS1 , on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant à ces paramètres :

( ) ( ) ( )( )11 11 1 11 110 R S R1 R S k R1 S1 k S1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, Φ , , 0β γ γ P R ν γ γ S CdV S ν S CdV− ⎡ ⎤= − − <⎣ ⎦

où R et S suivent les lois du Tableau 12.


Loi de probabilité Biais Écart-type Coefficient de

variation Résistance R = 11 11

0 R S kˆ ˆR γ γ S Loi R νR1 σR1 CdVR1


Tableau 12 : Variables aléatoires et lois de probabilité associées pour le calcul de ( )11 110 R Sˆ ˆ,β γ γ .

L’utilisation de grilles de coefficients partiels indépendantes est alors validée si les indices de fiabilité obtenus sont égaux, ou à défaut très proches, de l’indice de fiabilité cible β0.

S

Coefficient β0 Biais νS1 νS νS2

Biais CdV CdVS1 CdVS CdVS2 CdVS1 CdVS CdVS2 CdVS1 CdVS CdVS2

CdVR1

CdVR νR1

CdVR2

CdVR1

CdVR β0 νR

CdVR2

CdVR1

CdVR

R

νR2

CdVR2

Tableau 13 : Grille de l’indice de fiabilité cible après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les paramètres R et S (valeur initiale de β0 en jaune).

3.4 - Application à l’évaluation des ouvrages existants Les grilles de coefficients partiels sont destinées à être utilisées lors de l’évaluation des ouvrages d’art par une méthode semi-probabiliste (calculs de niveau 4).



Considérant une inspection qui fournit une nouvelle valeur moyenne μS1 et un nouveau coefficient de variation CdVS1 de la sollicitation S, on calcule la valeur du biais correspondant νS1 :

S1S1

k

μνS

=

et on relève dans le tableau le coefficient partiel recalibré 11Sγ correspondant à νS1 et CdVS1.

On évalue finalement la performance de l’ouvrage par application du règlement semi-probabiliste dans lequel on remplace γS par 11

Sγ . L’ouvrage est sûr s’il vérifie :

11kS k

R

ˆR γ Sγ

≥

Notons que la vérification est conduite ici avec les valeurs nominales Rk et Sk de l’ouvrage neuf puisque le coefficient partiel recalibré 11

Sγ prend à la fois en compte la nouvelle mesure et sa précision.

L’utilisation des grilles de coefficients ne nécessite pas de calcul de fiabilité.

Notons finalement que les grilles de coefficients partiels définies dans cette étude ne sont valables que pour l’ouvrage étudié. Pour pouvoir les utiliser pour l’évaluation d’ouvrages existants, il est nécessaire de les valider sur un grand nombre d’ouvrages représentatifs et d’établir ainsi des grilles pour chaque famille d’ouvrages courants ; ce point est repris et développé dans les perspectives de l’étude.



Chapitre IV Outils et références

1 - Définition des modes de défaillance et des fonctions d’état limite Nous avons choisi de baser notre étude sur les Eurocodes. Les indices de fiabilité cibles seront ainsi calculés en respectant les prescriptions de l’EN 1991 pour les sollicitations et de l’EN 1992 pour le comportement des ouvrages en béton armé et précontraint. Pour chaque ouvrage, les vérifications sont conduites à l’ELS et à l’ELU.

Le dimensionnement strict aux Eurocodes, nécessaire au calcul de l’indice de fiabilité cible, adopte une démarche similaire à celle adoptée couramment pour le dimensionnement des ouvrages neufs ; il peut s’appuyer sur les guides du projeteur.

Les fonctions d’état limite découlent de la vérification retenue lors du dimensionnement strict aux Eurocodes.

2 - Définition des variables aléatoires et des lois de probabilité Nous avons vu que l’une des étapes les plus complexes de la théorie de la fiabilité résidait dans le choix des lois de probabilité associées aux paramètres : en effet, les statistiques sur les matériaux et les structures sont souvent difficiles à obtenir.

Dans le cadre de cette étude, nous avons identifié les paramètres qui interviennent généralement dans le calcul des ouvrages d’art en béton armé et précontraint et nous avons entrepris, sur ces différents paramètres, une recherche bibliographique s’appuyant sur des normes (règlement britannique BD79 [3], normes produits européennes), des documents issus de groupe de travail européens (JCSS Probabilistic model code [10]) et des articles scientifiques.

Les lois de probabilité retenues dans cette étude sont issue de Cremona, 2010 [7] et sont présentées dans le Tableau 14 ; notons que cette liste est non exhaustive et que les lois de probabilité proposées le sont à titre indicatif.

Variable aléatoire Type de loi Moyenne Biais Écart-type CdV

Dimensions des sections : nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici) normale 0 1,00 10 mm

Superstructures normale nom. 1,00 20% Poids propre du béton normale 25 kN/m3 1,00 5% Résistance en compression du béton - préfabriqué lognormale 1,1 nom. 1,10 5% - coulé en place lognormale 1,2 nom. 1,20 10% Résistance à la traction du béton lognormale 0,3 fck2/3 1,00 20%



Module d’Young du béton normale 22000 fck0,3 1,00 8% Limite d’élasticité des aciers passifs lognormale 1,15 nom. 1,15 5% Résistance ultime aciers passifs lognormale 1,15 fe 1,00 5% Allongement ultime aciers passifs lognormale 0,08 1,00 15% Enrobage : nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici) - dalle normale 0 1,00 5 mm - poutre normale 0 1,00 5 mm Section d’armatures normale nom. 1,00 2% Résistance ultime des câbles de précontrainte lognormale nom. 1,00 4% Position de précontrainte : nom + Δ (où Δ suit la loi donnée ici)

- dalle normale 0 1,00 10 mm - poutre normale 5 mm 1,00 20 mm Force précontrainte initiale normale nom. 1,00 4 ou 6 % Pertes normale nom. 1,00 30% Précontrainte finale normale nom. 1,00 6 ou 9 %

Tableau 14 : Paramètres intervenant dans l’évaluation des ouvrages d’art en béton armé et précontraint et lois de probabilité utilisées dans cette étude.

3 - Utilisation de l’outil ReliabTbx ReliabTbx est un programme permettant de mener des calculs de fiabilité. Il a été développé dans l’unité Sécurité et Durabilité des Ouvrages de l’IFSTTAR (anciennement Section Durabilité des Ouvrages d’Art du LCPC) à partir des années 90. Il se présente sous la forme d’une boîte à outils utilisable sous Matlab®. Dans cette étude, nous avons essentiellement utilisé la version ReliabTbx R1.5.

Nous ne présentons ici que les fonctionnalités qui ont été utilisées dans l’étude ; pour plus d’informations se reporter à la notice d’utilisation « ReliabTbx Release 1.5 – Getting started » [8].

3.1 - Principes généraux d’utilisation

3.1.1 - Fichiers sources

Les calculs de fiabilité sous ReliabTbx sont basés sur 3 fichiers Matlab : • le fichier ‘dimensionnement’, donnant la vérification imposée par le règlement ; • le fichier ‘état limite’, donnant la fonction d’état limite ; • le fichier ‘variables’, présentant les variables aléatoires et leurs caractéristiques.

Fichier ‘dimensionnement’

Le fichier ‘dimensionnement’, noté nomdelouvrage_el0.m, se présente sous la forme : function Rd0=nomdelouvrage_el0(z) Rd=z(1); Sd=z(2); %dimensionnement Rd0=Sd ;

Il donne l’équation liant la variable dimensionnée Rd0 aux autres paramètres z(i).



Fichier ‘état l imite’

Le fichier ‘état limite’, noté nomdelouvrage_el.m, se présente sous la forme : function g=nomdelouvrage_el(z) R=z(1); S=z(2); {R,S} ; %fonction d'état limite g=R-S ;

Il exprime l’état limite g en fonction des paramètres z(i) qui interviennent dans son calcul.

Fichier ‘variables’

Le fichier ‘variables’, noté nomdelouvrage_var.m, se présente sous la forme : function var=nomdelouvrage_var % Variable résistance R var(1).nom='Résistance' ; var(1).type= ; var(1).par1= ; var(1).par2= ; var(1).biais= ; var(1).gamma=[ ; ] ; % Variable sollicitations S var(2).nom='Sollicitations' ; var(2).type= ; var(2).par1= ; var(2).par2= ; var(2).biais= ; var(2).gamma=[ ; ] ;

Il donne pour chaque variable aléatoire ses caractéristiques : • le nom var(i).nom ;

• la loi de probabilité var(i).type (1, loi normale, 2, loi lognormale, 4, loi de Gumbel) ;

• la moyenne var(i).par1 ;

• l’écart-type var(i).par2 ;

• le biais var(i).biais ;

• le coefficient partiel var(i).gamma, sous la forme d’un vecteur dont le premier argument donne la valeur du coefficient et le deuxième indique s’il fait l’objet d’une recalibration (0 pour non, 1 pour oui).

3.1.2 - Commandes ReliabTbx

Dans le cadre de cette étude, trois commandes de ReliabTbx ont été utilisées : • fiabdesign : pour le calcul des indices de fiabilité acceptables ;

• fiabcom : pour le calcul des indices de fiabilité des ouvrages réels (neufs ou existants) ;

• calib_coeff : pour la recalibration des coefficients partiels.

Les options du calcul ont été finalement fixées avec la commande fiabset.



Fiabdesign

La commande fiabdesign se présente sous la forme :

fiabB0=fiabdesign(fun,fun0,varfile,[],[],nvd,options)

Elle calcule l’indice de fiabilité cible associé à : • la vérification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ;

• l’état limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ;

• les variables aléatoires varfile (fichier Matlab nomdelouvrage_var.m).

La variable dimensionnée est précisée dans nvd.

Cette commande fournit : • l’indice de fiabilité cible beta ;

• la valeur de dimensionnement du paramètre choisi vardesign ;

• le point de fonctionnement z0 ;

• les cosinus directeurs alpha ;

• la sensibilité des paramètres aux variations de moyenne sens_m ;

• la sensibilité des paramètres aux variations d’écart-type sens_s.

Fiabcom

La commande fiabcom se présente sous la forme :

fiabcomp=fiabcom(fun,varfile,[],[],options)

Elle calcule l’indice de fiabilité associé à : • l’état limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ;


Les résultats sont comparables à ceux obtenus dans fiabdesign (à l’exception de la variable de dimensionnement qui n’intervient pas ici).

Calib_coeff

La commande calib_coeff se présente sous la forme :

calib=calib_coeff(fun,fun0,varfile,[],Beta_0c,[],nvd,options)

Elle recalibre le(s) coefficient(s) partiel(s) associé(s) à : • la vérification semi-probabiliste fun0 (fichier Matlab nomdelouvrage_el0.m) ;

• l’état limite correspondant fun (fichier Matlab nomdelouvrage_el.m) ;


L’indice de fiabilité cible à atteindre est précisé dans Beta_0c et la variable dimensionnée dans nvd.

Cette commande fournit : • l’indice de fiabilité cible (ou l’indice le plus proche obtenu) beta ;

• une matrice des coefficients partiels de sécurité recalibrés gamma (si un seul coefficient fait l’objet d’une recalibration, les autres coefficients affichés sont identiques à leur valeur initiale).



Fiabset

Les options des calculs de fiabilité sont précisées à partir de la commande fiabset.

options=fiabset('type_res',1,'type_prob',6)

Les paramètres utilisés dans l’étude sont : • le type de résultat 'type_res' : 1 donne les résultats complets ;

• la méthode de calcul 'type_prob' : 6 indique la méthode des surfaces de réponse.

3.2 - Couplages avec des logiciels de calcul de structures ReliabTbx peut être couplé avec un logiciel de calcul de structures pour définir le dimensionnement et l’état limite. Ce type de couplage est bien adapté pour le calcul des ouvrages neufs ou existants exceptionnels pour lesquels la modélisation est complexe et a nécessité l’emploi de ces logiciels de calcul de structure. Notons néanmoins que le couplage allonge le temps des calculs de fiabilité et qu’il n’est donc pas recommandé pour la recalibration de coefficients partiels.

3.2.1 - Couplage avec Excel

On peut coupler les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ avec une feuille de calcul Excel 'fichierExcel.xls' sur laquelle est programmée le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut modifier les valeurs des cellules Excel contenant les variables affectées par les calculs ReliabTbx grâce à la commande :

xlswrite('fichierExcel.xls',variable,'feuilleExcel','celluleExcel')

On récupère le résultat obtenu dans Excel grâce à la commande :

variable=xlsread('fichierExcel.xls','feuilleExcel','celluleExcel')

3.2.2 - Couplage avec ST1

On peut coupler les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ avec un fichier ST1 fichierST1.st1 sur lequel est programmé le calcul de la structure. Pour ce faire, il faut remplir un fichier de données donnees.dat contenant les variables affectées par les calculs ReliabTbx grâce à la commande : fid1=fopen('donnees.dat','w'); fprintf(fid1,'variable=%g\n',variable); status=fclose(fid1);

Ce fichier de données sera lu par ST1 en ajoutant dans le fichier ST1 : LIRE 'donnees.dat'. On lance ensuite ST1 depuis les fichiers ‘dimensionnement’ et ‘état limite’ :

system('…\ST1\ST1.exe fichierST1.st1')

On récupère le résultat dans le fichier résultat resultat.txt créé par ST1 grâce à la commande : fid2='resultat.txt' variable=textread(fid2,'%f')



PARTIE 2

EXEMPLES D’APPLICATION



Présentation des cas d’étude Nous présentons dans cette partie les études d’ouvrages développées par chaque CETE appliquant la méthodologie détaillée en partie I sur : • deux ouvrages courants en béton armé : le pont à poutres des Bouillères (CETE de l’Ouest) et le PICF de

Challuy (CETE de Lyon) ; • un ouvrage en béton précontraint : le VIPP de Merlebach (CETE Nord-Picardie) ; • un grand ouvrage en béton précontraint : la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne (CETE

Méditerranée).

Chaque cas d’étude suit le même plan de présentation (identique à celui repris dans l’exemple simple exposé en Annexe 2) : • Présentation de l’ouvrage. • Calcul de l’indice de fiabilité cible β0. • Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste. • Actualisation de coefficients partiels. • Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant.

Analyse des résultats Le Tableau 15 récapitule les principales caractéristiques et résultats de chaque étude.

Les trois ouvrages existants (pont à poutres des Bouillères, PICF de Challuy et VIPP de Merlebach) ont été initialement dimensionnés suivant des règlements français antérieurs et recalculés, dans le cadre de cette étude, aux Eurocodes. Pour ces ouvrages, c’est la vérification la plus courante qui a été retenue à l’ELS comme à l’ELU dans les calculs de fiabilité, c’est-à-dire la justification vis-à-vis de la flexion. Le projet du pont caisson sur la rivière Saint-Étienne a été calculé initialement aux Eurocodes. C’est la vérification dimensionnante au stade du POA qui a été retenue dans les calculs de fiabilité, c’est-à-dire la justification vis-à-vis du tranchant. L’étude a permis de formaliser les fonctions d’état limite correspondant aux vérifications retenues et d’identifier, parmi les paramètres intervenant dans ces fonctions, les variables considérées comme aléatoires. Précisons que les charges d’exploitation n’ont pas été probabilisées à ce stade de l’étude en raison de leur complexité ; un travail complémentaire est envisagé pour étudier ce sujet.

L’indice de fiabilité cible β0 de chaque ouvrage est calculé à l’ELS et à l’ELU. Les indices obtenus à l’ELS pour le pont à poutres des Bouillères, le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivière Saint-Étienne sont du même ordre de grandeur (légèrement supérieurs à 2), alors que celui du VIPP de Merlebach est plus faible (inférieur à 1). Les indices obtenus à l’ELU sont beaucoup plus importants que ceux de l’ELS (supérieurs à 8).

La performance de l’ouvrage à la conception est évaluée en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β à son indice de fiabilité cible β0. On peut estimer la performance de chaque ouvrage étudié par son indicateur de performance probabiliste Ip, défini comme le rapport entre son indice de fiabilité β et son indice cible β0. Tous les ouvrages à la conception ont un indicateur supérieur à 1 à l’ELS comme à l’ELU, ce qui montre qu’ils sont surs vis-à-vis de leur vérification respective. On remarque par ailleurs que, bien que leurs indices de fiabilité cibles à l’ELS soient proches, le pont à poutres des Bouillères a une réserve de sécurité plus importante vis-à-vis de l’ELS que le PICF de Challuy et le pont caisson sur la rivière Saint-Étienne. À l’ELU en revanche, c’est le pont à poutres des Bouillères qui a l’indicateur de performance le plus faible (très proche de 1).



Pont à poutres des Bouillères PICF de Challuy VIPP de Merlebach Caisson BP sur la

rivière Saint Étienne

Règle de calcul initiale Circ. Du 19 juillet 1934/ Circ. Du 10 mai 1927 et

du 29 août 1940 BAEL/Fasc. 61 titre II IP1/Fasc. 61 titre I à V Eurocodes

Calcul en fiabilité ReliabTbx ReliabTbx ReliabTbx ReliabTbx + ST1

Type d’ELS Caractéristique Caractéristique Caractéristique Caractéristique Paramètre de

dimensionnement Section d’armature As Section d’armature As Section de câble de précontrainte Ap

Épaisseur d’âme du caisson bw

Mode de défaillance Flexion de la poutre de rive à mi-travée

Flexion de la traverse supérieure à mi-portée

Flexion de la poutre de rive à mi-travée

Tranchant des âmes des voussoirs

Fonction d’état limite g g = As – Ascalc g = Mrésistant – Msollicitant g = σinf + fct g = τlim – τâme

Variables aléatoires

1. Hauteur de section h 2. Résistance en compression du béton fc 3. Limite d’élasticité des aciers fy 4. Enrobage des armatures c 5. Section d’armatures As 6. Superstructures S 7. Poids volumique du béton ρb

1. Section d’armatures As 2. Limite d’élasticité des aciers fy 3. Hauteur de section h 4. Enrobage des armatures c 5. Superstructures S 6. Poids volumique du béton ρb

1. Contrainte initiale dans les câbles σini 2. Pertes de précontraintes ΔP 3. Section d’un câble Ap 4. Poids volumique du béton ρb 5. Superstructures S 6. Contrainte de traction limite du béton fct

1. Résistance en compression du béton fc 2. Épaisseur de l’âme du caisson bw 3. Précontrainte de fléau Kp,fléau 4. Précontrainte extérieure Kp,ext 5. Position des câbles e

Indice de fiabilité cible β0 2,5045 2,1310 0,9280 2,1359

ELS

Indice de fiabilité β 5,8266 2,8843 2,0692 2,4283

Indicateur de performance Ip = β/β0 2,3265 1,3535 2,2297 1,1369

Paramètre de dimensionnement Section d’armature As Section d’armature As Section de câble de

précontrainte Ap Section d’aciers

transversaux Asw/s

Mode de défaillance Flexion de la poutre de rive à mi-travée

Flexion de la traverse supérieure à mi-portée

Flexion de la poutre de rive à mi-travée

Tranchant des âmes des voussoirs

Fonction d’état limite g g = As – Ascalc g = Mrésistant – Msollicitant g = Mrésistant – Msollicitant g = VR,s – VE

Variables aléatoires

1. Hauteur de section h 2. Résistance en compression du béton fc 3. Limite d’élasticité des aciers fy 4. Enrobage des armatures c 5. Section d’armatures As 6. Superstructures S 7. Poids volumique du béton ρc

1. Section d’armatures As 2. Limite d’élasticité des aciers fy 3. Hauteur de section h 4. Enrobage des armatures c 5. Superstructures S 6. Poids volumique du béton ρc 7. Résistance à la compression du béton fc

1. Limite d’élasticité des aciers fp0,1k 2. Section d’un câble Ap 3. Poids volumique du béton ρc 4. Superstructures S

1. Limite d’élasticité des aciers transversaux fyw 2. Hauteur utile zw 3. Précontrainte de fléau Kp,fléau 4. Section d’aciers transversaux Asw/s 5. Position des câbles e

Indice de fiabilité cible β0 10,2760 8,1863 8,1100 11,2661

Indice de fiabilité β 10,7725 10,2645 9,0497 13,1658 Indicateur de

performance Ip = β/β0 1,0483 1,2539 1,1159 1,1686

ELU

Coefficients recalibrés γ 5. Section d’armatures γA 6. Superstructures γS 7. Poids propre γG

1. Section d’armatures γA 5. Superstructures γS

2. Section d’un câble γA 4. Superstructures γS

1. Limite d’élasticité des aciers transversaux γs 4. Section d’aciers transversaux γA

Tableau 15 : Principaux résultats de l’application de la théorie de la fiabilité aux ouvrages étudiés.



Une actualisation de coefficients partiels est proposée pour chaque ouvrage. Seuls les coefficients de l’ELU ont fait l’objet de cette actualisation ; en effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui a été privilégiée. L’étude a permis d’identifier les critères de sélection des coefficients à actualiser ainsi que les plages de variations des valeurs et des précisions pour lesquelles ces coefficients sont valables. Nous avons retenu prioritairement les coefficients portant sur les sections d’acier (passifs ou de précontrainte) et les charges permanentes (poids propre et surtout superstructures) : on présente en Tableau 16 les variations des coefficients partiels actualisés par rapport au coefficient partiel de l’ouvrage neuf sur les sections d’acier et les superstructures. Avec la même loi de probabilité et les mêmes gammes de variation du biais (de 0,80 à 1,20) et du coefficient de variation (1% à 3%), on obtient des valeurs de coefficients partiels actualisés sur les sections d’acier qui sont très proches. Sur les charges de superstructures en revanche, on constate de plus grande disparités entre les différents ouvrages. Rappelons finalement que les coefficients obtenus ne sont valables que pour l’ouvrage et la vérification pour lesquels ils ont été calculés.

Section d’acier A Superstructures S

Variation du coefficient partiel νA = 0,80 CdVA = 1%

νA = 1,20 CdVA = 3%

νS = 0,80 CdVS = 10%

νS = 1,20 CdVS = 30%

Pont à poutres des Bouillères +22% -12% -43% +72%

PICF de Challuy +23% -14% -25% +39%

VIPP de Merlebach +22% -13% -53% +76% Solution caisson du pont sur la

rivière Saint-Étienne +21% -11%

Tableau 16 : Variation du coefficient partiel après actualisation sur la section d'acier et sur les superstructures.



Chapitre I Pont à poutres des Bouillères

1 - Présentation de l’ouvrage

1.1 - Contexte de l’étude L’ouvrage de référence est le pont à poutres en béton armé des Bouillères. Il s’agit d’un ouvrage construit à la fin des années 50.

L’ouvrage se présente sous la forme d’une travée isostatique droite en béton armé de 8 m d’ouverture et de 8,88 m de portée (Figure 8). Le tablier est composé de trois poutres sous chaussée de 3,08 m d’entraxe reliées entre elles par quatre entretoises et un hourdis de 0,16 m. Les trottoirs de 1 m sont en encorbellement et la chaussée fait 6 m de large, soit une largeur utile de 8 m. Les poutres de rive ont une hauteur de 0,90 m et une épaisseur de 0,50 m contre 0,95 m et 0,34 m pour la poutre centrale.

L’ouvrage est constitué d’un ciment 250/315 dosé à 350 kg/cm3 et d’aciers doux travaillant à 1300 kg/cm² en traction-compression et à 1040 kg/cm² sur cisaillement. Les armatures principales des poutres et entretoises présentent un diamètre important (28 et 25 mm) au regard de leur épaisseur d’âme. La compression admissible est ainsi estimée à 70 kg/cm² (soit 250 kg/cm² à 90j sur prisme mesurés aux essais) et la traction de référence prise à 7 kg/cm² (soit 35kg/cm² mesurés par flexion d’éprouvettes carrées de coté b et de longueur 4 b).

Figure 8 : Coupe transversale du pont à poutre des Bouillères.

La note de calcul date de 1952 et les plans de coffrage et ferraillage de 1956. Cette note a été établie avec les charges d’exploitation de la circulaire série A n°3 du 10 mai 1927 et la cirulaire A-1 du 29 août 1940. Le calcul de béton armé est réalisé selon la circulaire série A n°8 du 19 juillet 1934. L’analyse de cette note de calcul en 1982 a mis en évidence un certain nombre d’incohérences entre les plans et des erreurs sur l’application des hypothèses de calculs. Le recalcul de 1982 a montré les insuffisances de portance vis-à-vis des charges d’exploitation du fascicule 61 du 29 décembre 1971, avec des contraintes dépassées dans les armatures du hourdis et dans les armatures de la poutre centrale. Au regard des conclusions, une limitation de tonnage des charges accessibles à cet ouvrage avait été proposée à 20 tonnes.

Le pont des Bouillères présenté ci-avant, sert de base de référence, mais par la suite, c’est un ouvrage fictif qui est étudié, utilisant notamment des matériaux aux caractéristiques plus courantes. Par ailleurs, dans cette étude, les calculs sont conduits aux Eurocodes.



1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage Les caractéristiques géométriques de l’ouvrage étudié (portée, nombre de poutres, largeur roulable, nombre de travées) sont celles décrites à la section 1.1.

Les matériaux constitutifs de l’ouvrage sont définis comme suit : • un béton de résistance caractéristique en compression fck = 20 MPa ; • des armatures de limite caractéristique d’élasticité fyk = 400 MPa.

L’ouvrage fictif ainsi défini est prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA 77 pour optimiser le coffrage des poutres avec les charges routières des Eurocodes. Les sollicitations déterminées avec les règles du dossier pilote conduisent à un tablier à trois poutres sous chaussée de 3,20 m d’entraxe et reliées entre elles par un hourdis de 0,16 m, avec des poutres de 0,90 m de hauteur et 0,30 m de largeur.

C’est l’ELU qui est dimensionnant pour cet ouvrage : il impose une section minimale d’armature de 56,43 cm² (cf. section 2.2.1). La section retenue pour l’ouvrage est de 58,08 cm², avec la répartition suivante : • 1er lit : 3 HA32 ; • 2ème lit : 2 HA32 et 1 HA25 (les deux premiers lits constituant des paquets) ; • 3ème lit : 2 HA25 et 1 HA20 ; • cadres en HA12 ; • enrobage de 5 cm (classe d’exposition XC4).

2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du pont à poutres des Bouillères passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au pont des Bouillères mais dimensionné à l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour l’État Limite Ultime.

2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS


Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELS est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELS strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la poutre la plus sollicitée, c’est-à-dire la poutre de rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le coffrage pris en compte est celui prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA77, mais avec l’application des charges des Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.

Largeur participante de la table de compression

La largeur participante de la table de compression beff associée à la poutre de rive (Figure 9) est déterminée suivant l’ EN 1992-1-1, § 5.3.2.1 (3) :

eff eff ,i wb b b= ∑ +

avec eff,i i 0 0 0,2 0,1 0,2 b b l l= + ≤ , où l0 = 8,88 m, soit :

• eff,i 0,2 2,9 / 2 0,1 8,88 1,178 mb = × + × = entre poutres ;



• eff,i 0,95 m 1,178 mb = ≤ en encorbellement ;

• eff,i 0,95 1,178 0,3 2,428 m ou 2,43 mb∑ = + + = .

Figure 9 : Section de la poutre de rive du pont des Bouillères.

Comportement des matériaux

Les calculs à l’ELS sont conduits avec les valeurs de calcul des matériaux : • béton : valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :

ckcd ck c ck

c

20 MPa avec 1et 20 MPaff f γ fγ

= = = = =

• armatures : limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé fyd :

ykyd yk yk 400 MPa avec 1et 400 MPas

s

ff f γ f

γ= = = = =

Même si aucun coefficient partiel n’apparaît explicitement dans les Eurocodes, il est possible d’en introduire en leur fixant une valeur de 1,00.

Moments sol l ic i tants

Les moments sollicitants dus aux charges permanentes et aux charges d’exploitation ont été calculés avec le logiciel ST1 2.20.

Dans la section médiane de la poutre de rive, on peut décomposer le moment de flexion dû aux charges permanentes en MG dû au poids propre de l’ouvrage et MS dû aux charges de superstructures :

G

S

M 0,1675 MN.mM 0,1163 MN.m

==

Pour l’application des charges d’exploitation, le tablier de l’ouvrage a été défini aux Eurocodes avec cinq zones transversales (0,30 m en extérieur des garde-corps, 1,0 m de trottoir de chaque coté et 6,00 m de largeur de chaussée). La répartition transversale des charges a été prise en compte en introduisant deux coefficients au droit des fibres extrêmes du profil en travers, à partir de la méthode de Courbon. Le modèle de charge appliqué est le modèle LM1 ; la classe de trafic considérée est la classe 2. La valeur maximale du moment de flexion longitudinal dans la section médiane de la poutre de rive sous les charges de trafic à l’ELS caractéristique est :

QM 0,7899 MN.m=

On définit ainsi le moment de flexion à l’ELS caractéristique comme :



ELS G G S S Q Q

ELS

M M M M1,00 0,1675 1,12 0,1163 1,00 0,7899

M 1,0872 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × + ×=

Les coefficients γG et γQ n’apparaissent pas dans les Eurocodes mais sont introduits ici avec une valeur neutre de 1,00. Le coefficient γS = 1,12 représente quant à lui l’écart entre la valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale.

Justif icat ions à l ’ELS

La justification à l’ELS consiste à dimensionner la section d’aciers As en respectant les contraintes limites dans le béton et les aciers imposées par l’EN 1992-1-1, §7.2 :

c ck

st yk

0,60,8

σ fσ f

<

<

Le calcul de la section minimale As0 est conduit de manière itérative : • Initialisation As = As0

ELU ; • Position de l’axe neutre x (dans l’âme dans notre cas) par la résolution de l’équation suivante :

( ) ( )22eff eff w0 s – – 0

2 2b b bx x h n A d x−

− − =

• Calcul de l’inertie fissurée If :

( ) ( )33 2eff eff wf 0 s

– – 3 3

b b bI x x h n A d x= − + −

• Calcul des contraintes dans le béton σc et dans les aciers σst :

( )

ELSc

f

ELSst

f

M

M –

σ xI

nσ d xI

=

=

• Tant que σc > 0,6 fck ou σst > 0,8 fyk nouvelle itération avec :

s sts

yk

0,8 A σA

f=

• Arrêt lorsque les deux critères en contraintes sont atteints.

On obtient ainsi une section d’armatures As0ELS nécessaire de :

ELS 2s0 47,35 cmA =

qui dépend des coefficients partiels γc = 1,00 et γs = 1,00 sur les matériaux et des coefficients γG = 1,00, γS = 1,12 et γQ = 1,00 sur les sollicitations.

L’itération montre que le critère σc < 0,6 fck n’est pas dimensionnant. Les vérifications suivantes ne sont pas non plus dimensionnantes : • la limitation de l’ouverture des fissures à w = 0,3 mm (EN 1992-1-1, §7.3) ; • la vérification à la fatigue.



2.1.2 - Mode de défai l lance et fonction d’état l imite

Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELS adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire le non-dépassement de la limite autorisée de 0,8 fyk des armatures en fibre inférieure de la poutre à mi-portée à l’ELS caractéristique.

La fonction d’état limite retenue est :

calcs sg A A= −

où As est la section calculée lors du dimensionnement strict à l’ELS (section 2.1.1) et Ascalc

est calculé selon le même principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matériaux (γs, γc) et sur les sollicitations (γG, γS, γQ). Notons que les coefficients intervenant dans les critères en contraintes (par exemple 0,8 fyk) sont conservés car considérés comme émanant de la loi de comportement du matériau et non comme des coefficients partiels de sécurité.

La fonction d’état limite dépend : • des caractéristiques physiques et géométriques des matériaux ; • des sollicitations de poids propre, de superstructures et d’exploitation.

2.1.3 - Variables aléatoires et lois de probabil i té

On retient comme variables aléatoires les paramètres de la fonction d’état limite g répertoriés dans le Tableau 17 : chaque variable est décrite par une loi de probabilité dont les caractéristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV).



de variation Écart sur la hauteur de section Δh (m)

(Δh tel que h = 0,90 + Δh) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Résistance en compression du béton fc (MPa) 20 Loi lognormale 1,20 - 10%

Limite d’élasticité des aciers fy (MPa) 400 Loi lognormale 1,15 - 5% Écart sur l’enrobage des armatures Δc (m)

(Δc tel que c = 0,05 + Δc) 0 Loi normale 1,00 0,005 -

Section d’armatures As (cm²) 47,35 (As0ELS) Loi normale 1,00 - 2%

Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,00 - 20%

Poids volumique du béton ρb (kN/m3) 25 Loi normale 1,00 - 5%

Tableau 17 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du pont à poutres des Bouillères à l’ELS (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’armatures As0

ELS = 47,35 cm² (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.

2.1.4 - Calcul et analyse de l ’ indice de f iabil i té cible

Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.1.2 et des caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.1.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5, avec les options de calcul suivantes : • méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ;



• surface de réponse linéaire ('type_sreponse',1) ;

• plan d’expérience en étoile ('type_plandex',1).

Le calcul est effectué directement via Matlab, sans couplage avec ST1 : les valeurs initiales des moments dus au poids-propre, aux superstructures et aux charges de trafic sont données par ST1 et recopiées dans le fichier Matlab correspondant. Les moments sous poids-propre et sous superstructures sont ensuite recalculés sous Matlab en fonction des valeurs des variables aléatoires. Le calcul de la section d’acier minimale à l’ELS est également effectué sous Matlab directement.

Le Tableau 18 donne les résultats du calcul de fiabilité.

Indice de fiabilité β0 2,5045

Dimensionnement As0ELS (cm²) 47,35

Point de fonctionnement Z0 -0,0054 23,879 418,08 0,00142 46,563 4,25 25,398

Cosinus directeurs α0 0,2160 0,00037 0,8303 -0,1136 0,3315 -0,3535 -0,1270

Sensibilité à la moyenne Sm0 21,60 0,000156 0,040 -22,72 0,3501 -0,4891 -0,1016

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -11,681 -1,54e-5 -0,07678 -6,463 -0,2906 -0,433 -0,0323

Δh (m) fc (Mpa) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 18 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELS.

La valeur très faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable aléatoire a peu d’influence sur le calcul de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 6 variables aléatoires (Tableau 19) fournit un indice de fiabilité cible très proche (2,5033 pour 2,5045). Néanmoins, étant donnée la rapidité des calculs, toutes les variables ont été conservées.


Dimensionnement As0ELS (cm²) 47,35

Point de fonctionnement Z0 -0,0054 414,1 0,0014 46,56 4,254 25,397

Cosinus directeurs α0 0,2159 0,8304 -0,1136 0,3314 -0,3535 -0,1270

Sensibilité à la moyenne Sm0 21,59 0,040 -22,72 0,350 -0,4891 -0,1016

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -11,674 -0,0767 -6,459 -0,2904 -0,4328 -0,0323

Δh (m) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 19 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELS.

2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU


Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELU strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la poutre la plus sollicitée, c’est-à-dire la poutre de rive, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le coffrage pris en compte est celui prédimensionné suivant les règles du dossier pilote du Sétra PSIBA77, mais avec l’application des charges des Eurocodes (cf. section 1.2). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.




La loi de comportement retenue pour le béton est le diagramme rectangulaire simplifié (Figure 10), avec : • les coefficients de déformation et de résistance :

( )

cu3

ck

3,5‰ 0,8 et 1 ,0 20 MPa 50 MPaελ η f

=

= = = ≤

• la valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :

cc ckcd cc c ck

c

1 3,33 MPa avec 1, 1,5 et 20 MPaα ff α γ fγ

= = = = =

Figure 10 : Diagramme rectangulaire simplifié pour le béton comprimé selon l’EN 1992-1-1.

La loi de comportement retenue pour les aciers passifs est le diagramme contrainte-déformation de calcul, avec branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 11), avec la limite d’élasticité de calcul de l’acier fyd :

ykyd s yk

s

347,83 MPa où 1,15 et 400 MPaf

f γ fγ

= = = =

Figure 11 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers passifs selon l’EN 1992-1-1.




Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des moments calculés à l’ELS (section 2.1.1) en appliquant les coefficients partiels de sécurité de la combinaison à l’ELU sur les charges :

ELU G G S S Q Q

ELU

M M M M1,35 0,1675 1,35 1,12 0,1163 1,35 0,7899

M 1,4677 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × × + ×=

Le coefficient γS résulte du produit du coefficient partiel de la combinaison ELU (1,35) et du quotient entre la valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,12).

Justif ications à l ’ELU

Le dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section d’aciers As0ELU nécessaire pour que le

moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU.

Les différentes étapes du calcul sont les suivantes : • Calcul du moment dans la table Mt avec Fc = beff h0 fcd et zc = d – h/2 :

t eff 0 cdM 2hb h f d⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Ici Mt > MELU donc l’axe neutre est dans la table : on étudie une section rectangulaire de hauteur h et largeur beff.

• Équilibre des moments :

( )

ELU

eff cd ELU

eff cd ELU

M M M2

0,8 1 0,4 ² M

=

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

− =

r

λ xb λη x f d

α α b d f

où α est la position relative de l’axe neutre : x = α d. • Calcul du moment réduit :

( )ELU

eff cd

M 0,8 1 0,4 ²

μ α αb d f

= = −

• Calcul de la position de l’axe neutre :

( )1 ,25 1 1 2 α μ= − −

• Calcul de la section d’acier :

ELU ELUs0

c st

M Az σ

=

où zc = d – 0,4 α et σst = fyd.

On obtient ainsi une section d’armatures As0ELU nécessaire :

ELU 2s0 56,43 cmA =

qui dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15 (intervenant dans fyd) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,51 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).




Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELU adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant et du moment ultime dans la section médiane de la poutre de rive.


calcs sg A A= −

où As est la section calculée lors du dimensionnement strict à l’ELU (section 2.2.1) et Ascalc

est calculé selon le même principe que As en supprimant les coefficients partiels sur les matériaux (γs, γc) et sur les sollicitations (γG, γS, γQ).

La fonction d’état limite dépend donc : • des caractéristiques physiques et géométriques des matériaux ; • des sollicitations de poids propre, de superstructures et d’exploitation.





de variation Écart sur la hauteur de section Δh (m)

(Δh tel que h = 0,90 + Δh) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Résistance en compression du béton fc (MPa) 20 Loi lognormale 1,20 - 10%

Limite d’élasticité des aciers fy (MPa) 400 Loi lognormale 1,15 - 5% Écart sur l’enrobage des armatures Δc (m)

(Δc tel que c = 0,05 + Δc) 0 Loi normale 1,00 0,005 -

Section d’armatures As (cm²) 56,43 (As0ELU) Loi normale 1,00 - 2%

Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,00 - 20%

Poids volumique du béton ρc (kN/m3) 25 Loi normale 1,00 - 5%

Tableau 20 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du pont à poutres des Bouillères à l’ELU (paramètre dimensionné en jaune).


ELU = 56,43 cm² (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.


Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.2.2 et des caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.2.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5 avec les options de calcul suivantes : • méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ;







Dimensionnement As0ELU (cm²) 56,43

Point de fonctionnement Z0 -0,02357 23,034 305,32 0,006191 51,766 6,1972 26,592

Cosinus directeurs α0 0,22936 0,035224 0,79577 -0,1205 0,40257 -0,34778 -0,12393

Sensibilité à la moyenne Sm0 22,936 0,015387 0,048836 -24,099 0,35667 -0,48116 -0,09914

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -54,06 -0,006743 -0,2843 -29,84 -1,4755 -1,7196 -0,12626

Δh (m) fc (MPa) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 21 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELU.

Comme à l’ELS, la valeur très faible du cosinus directeur de fc montre que cette variable aléatoire a peu d’influence sur le calcul de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 6 variables aléatoires (Tableau 22) fournit un indice de fiabilité cible très proche (10,2170 pour 10,2760). Néanmoins, étant donnée la rapidité des calculs, toutes les variables ont été conservées.


Dimensionnement As0ELU (cm²) 56,43

Point de fonctionnement Z0 -0,02357 306 0,0062 51,803 6,1893 26,587

Cosinus directeurs α0 0,23067 0,79603 -0,12116 0,40173 -0,34874 -0,12427

Sensibilité à la moyenne Sm0 23,067 0,0488 -24,232 0,35592 -0,4825 -0,0994


Δh (m) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 22 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du pont à poutres des Bouillères à l’ELU.

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à chaque état limite permet de procéder à une évaluation structurale du pont à poutres des Bouillères par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.

3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf Pour passer à l’ouvrage neuf (qui, dans notre cas, correspond à une solution fictive), la section d’acier dimensionnante de 56,43 cm² a été arrondie à la valeur correspondant à la mise en place d’un nombre entiers d’armatures, comme précisé à la section 1.2, soit une section d’acier As

= 58,08 cm², le coffrage demeurant inchangé. Cette valeur est conservée pour les calculs ELS et ELU. La section vérifie les recommandations ELS et ELU puisque :

( )2 ELS 2 ELU 2s s0 s058,08 cm max 47,35 cm ; 56,43 cmA A A= ≥ = =

3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS



Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELS portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 17) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As = 58,08 cm² au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0

ELS = 47,35 cm², le biais et le coefficient de variation restant inchangés.


Indice de fiabilité β 5,8266

Point de fonctionnement Z -0,013045 23,874 361,59 0,003425 55,702 5,0765 25,905

Cosinus directeurs α 0,22389 0,000461 0,82254 -0,11757 0,35135 -0,34726 -0,12431

Sensibilité à la moyenne Sm 22,389 0,000194 0,044433 -23,515 0,30247 -0,48043 -0,099451

Sensibilité à l’écart-type Ss -29,206 -1,96e-05 -0,17297 -16,109 -0,6192 -0,97207 -0,072035

Δh (m) fc (Mpa) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 23 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du pont à poutres des Bouillères neuf à l’ELS.

On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELS puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :

05,8266 2,5045β β= ≥ =

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS. On peut constater que l’écart entre l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf et sa valeur cible est très important, ce qui s’explique par l’écart important (23%) entre la section d’acier de l’ouvrage neuf et la section minimale nécessaire à l’ELS.

3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELU portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 20) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As = 58,08 cm² au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0

ELU = 56,43 cm², le biais et le coefficient de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z -0,024842 22,984 299,91 0,006524 52,966 6,3197 26,667

Cosinus directeurs α 0,2306 0,035637 0,79231 -0,12113 0,40872 -0,34749 -0,12377

Sensibilité à la moyenne Sm 23,06 0,015601 0,049239 -24,225 0,35186 -0,48076 -0,099013

Sensibilité à l’écart-type Ss -57,285 -0,007146 -0,29538 -31,61 -1,5492 -1,7996 -0,13201

Δh (m) fc (MPa) fy (Mpa) Δc (m) As (cm²) S (t/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 24 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du pont à poutres des Bouillères neuf à l’ELU.

On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELU puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :



010,7725 10,2760β β= ≥ =

Ce résultat n’est de nouveau pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU. On peut constater que l’écart entre l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf et sa valeur cible est moins important qu’à l’ELS, ce qui est cohérent avec le faible écart (3%) entre la section d’acier de l’ouvrage neuf et la section minimale nécessaire à l’ELU.

3.4 - Bilan Le tableau ci-dessous (Tableau 25) compare les valeurs des indices de fiabilité du pont à poutres des Bouillères à la conception aux indices cibles correspondants à l’ELS et à l’ELU.

Indices de fiabilité ELS ELU

Indice de fiabilité cible β0 2,5045 10,2760

Indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β 5,8266 10,7725

Indicateur de performance Ip = β/β0 2,3265 1,0483

Tableau 25 : Évaluation probabiliste de la performance du pont à poutres des Bouillères à l’ELS et à l’ELU.

La mise en place d’un nombre entier de barres dans l’ouvrage neuf lui procure une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est toutefois plus importante à l’ELS qu’à l’ELU, ce qui est cohérent avec le fait que l’ELU soit dimensionnant pour cet ouvrage.

4 - Actualisation de coefficients partiels L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du pont à poutres des Bouillères, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage neuf.

4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser L’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.

Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU (Tableau 21) mettent en évidence les variables les plus significatives sur l’indice β0, que l’on classe dans l’ordre décroissant d’importance : • la limite d’élasticité des aciers passifs fy ; • les charges de superstructures S ; • la section d’armatures As ; • la variation du coffrage (ou la hauteur de la poutre h) ; • le poids volumique du béton ρc ; • l’enrobage c.

La limite élastique des aciers passifs en place ne pouvant être mesurée sans prélèvement lors de l’inspection de l’ouvrage, ce sont les variables suivantes qui sont finalement retenues pour la recalibration : • les charges de superstructures S et le poids volumique du béton ρc, qui peuvent être évalués par exemple par

pesée de l’ouvrage ;



• la section d’armatures As, qui peut être vérifiée par méthode RADAR ou par visuel direct des aciers mis à nu dans le cas d’une réparation entraînant la reprise du béton d’enrobage.

L’actualisation est menée sur : • le biais, qui permet de prendre en compte la valeur mesurée lors de l’auscultation (le biais représentant alors

le rapport entre la valeur mesurée et la valeur nominale) ; • le coefficient de variation, qui permet de prendre en compte la précision de la mesure.

Les grilles de recalibration porteront donc sur : • le coefficient γS sur les charges de superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x1,12 = 1,51) : plage de biais

0,80 à 1,40 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%) ; • le coefficient γA sur la section d’armatures (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on introduit γA =

1,00 qui divise la section d’acier) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à 3% (CdV ouvrage neuf 2%) ;

• le coefficient γG sur le poids volumique du béton (pour l’ouvrage neuf γG = 1,35) : plage de biais 0,90 à 1,10 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 3% à 7% (CdV ouvrage neuf 5%).

Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification en flexion de la poutre de rive du pont à poutre des Bouillères en section médiane.

4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 10,2760), selon la méthode décrite en Partie 1 (Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels identifiés en section 4.1 est conduite grâce à la fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 26, Tableau 27 et Tableau 28). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans ces tableaux sont obtenus par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des problèmes de convergence.

Coefficient de variation CdVS

Coefficient γS 10% 20% 30%

0,80 0,86 1,10 1,45

1,00 1,16 1,51 2,01

1,20 1,47 1,94 2,60 Biais νS

1,40 1,78 2,38 3,21

Tableau 26 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur les charges de superstructures S du pont à poutres des Bouillères (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).

Coefficient de variation CdVA

Coefficient γA 1% 2% 3%

0,80 1,22 1,25 1,31

1,00 0,98 1,00 1,05 Biais νA

1,20 0,81 0,83 0,88



Tableau 27 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section d’acier As du pont à poutres des Bouillères (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).

Coefficient de variation CdVG

Coefficient γG 3% 5% 7%

0,90 1,20 1,22 1,25

1,00 1,32 1,35 1,39 Biais νG

1,10 1,45 1,48 1,52

Tableau 28 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur le poids volumique du béton ρc du pont à poutres des Bouillères (valeur de γG pour l’ouvrage neuf en jaune).

4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés Les grilles de coefficients partiels (Tableau 26, Tableau 27 et Tableau 28) ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 10,2760.

Le Tableau 29 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les charges de superstructures S et la section d’acier As.

As

Coefficient β0 Biais νA 0,80 1,00 1,20

Biais νS CdV 1% 2% 3% 1% 2% 3% 1% 2% 3%

10% 10,2977 10,276 10,2234 10,2972 10,276 10,2221 10,2984 10,276 10,2227

20% 10,2838 10,2761 10,2585 10,2834 10,2761 10,2572 10,2845 10,2761 10,2578 0,80

30% 10,2679 10,2760 10,3001 10,2675 10,2760 10,2988 10,2686 10,2760 10,2994

10% 10,2954 10,2760 10,2296 10,2949 10,2760 10,2284 10,2961 10,2760 10,2289

20% 10,2759 10,2760 10,2768 10,2754 10,2760 10,2756 10,2766 10,2760 10,2761 1,00

30% 10,2522 10,2760 10,3269 10,2518 10,2760 10,3257 10,2529 10,2760 10,3262

10% 10,2928 10,2761 10,2367 10,2924 10,2761 10,2354 10,2936 10,2761 10,2360

20% 10,3300 10,2760 10,2947 10,3269 10,2760 10,2935 10,3356 10,2760 10,2941

S

1,20

30% 10,2404 10,2759 10,3503 10,2400 10,2759 10,3492 10,2411 10,2759 10,3497

Tableau 29: Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du pont à poutres des Bouillères après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructures S et la section d’acier As combinés (valeur initiale de β0 en jaune).

Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructure et la section d’acier en place varient entre 10,2221 et 10,3503, soit un écart de l’ordre de 1% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 10,2760 : les coefficients partiels actualisés γA et γS peuvent être combinés, tout en garantissant le même niveau de fiabilité.

Les tableaux suivants (Tableau 30 et Tableau 31) testent la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les charges des superstructure S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc. Pour ces



combinaisons, un seul biais est pris en compte pour la section d’acier, car c’est la variable dimensionnante, pour laquelle, dans le calcul de l’indice de fiabilité cible, la valeur est déterminée à partir de l’état limite de dimensionnement, sans prise en compte du biais indiqué pour la variable.

As : biais νA = 1,00 et coefficient de variation CdVA = 1%

ρc Coefficient β0

Biais νG 0,90 1,00 1,10

Biais νS CdV 3% 5% 7% 3% 5% 7% 3% 5% 7%

10% 10,3196 10,3087 10,2935 10,3098 10,2972 10,2796 10,3004 10,2859 10,2661

20% 10,2928 10,2873 10,2797 10,2898 10,2834 10,2743 10,2868 10,2792 10,2691 0,80

30% 10,2650 10,2625 10,2620 10,2762 10,2675 10,2662 10,3287 10,2723 10,2701

10% 10,3125 10,3041 10,2923 10,3047 10,2949 10,2812 10,2971 10,2858 10,2705

20% 10,2766 10,2750 10,2732 10,2773 10,2754 10,2732 10,2780 10,2756 10,2732 1,00

30% 10,2380 10,2425 10,2490 10,2466 10,2518 10,2592 10,2549 10,2607 10,2692

10% 10,3054 10,2994 10,2908 10,2995 10,2924 10,2825 10,2938 10,2855 10,2744

20% 10,2367(*) 10,2819 10,2683 10,2890 10,3269 10,2729 10,2760 10,2465(*) 10,2771

S

1,20

30% 10,2193 10,2268 10,2377 10,2312 10,2400 10,2526 10,2428 10,2528 10,2672

Tableau 30: Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du pont à poutres des Bouillères après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructures S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc combinés (valeur initiale

β0=10,2760).

(*) Ces deux valeurs sont obtenues en modifiant les options de calcul (méthode FORM), le calcul initial (méthode par surfaces de réponse) convergeant vers des valeurs qui n’ont pas de sens physique.

Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les trois paramètres étudiés varient alors entre 10,2193 et 10,3287, soit un écart de l’ordre de 1% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 10,2760.

As : biais νA = 1,00 et coefficient de variation CdVA = 3%

ρc Coefficient β0

Biais νG 0,90 1,00 1,10

Biais νS CdV 3% 5% 7% 3% 5% 7% 3% 5% 7%

10% 10,2324 10,2306 10,2284 10,2239 10,2221 10,2197 10,2157 10,2138 10,2116

20% 10,2597 10,2609 10,2628 10,2557 10,2572 10,2595 10,2518 10,2536 10,2565 0,80

30% 10,2922 10,2967 10,3033 10,2934 10,2988 10,3036 10,2946 10,3008 10,3099

10% 10,2355 10,2353 10,2352 10,2284 10,2284 10,2284 10,2216 10,2216 10,2221

20% 10,2727 10,2762 10,2813 10,2714 10,2756 10,2816 10,2702 10,2749 10,2820 1,00

30% 10,3125 10,3196 10,3299 10,3173 10,3257 10,3377 10,3219 10,3316 10,3456

10% 10,2396 10,2408 10,2426 10,2338 10,2354 10,2377 10,2283 10,2302 10,2333

S

1,20

20% 10,2859 10,2913 10,2991 10,2871 10,2935 10,3027 10,2882 10,2956 10,3064



30% 10,3308 10,3398 10,3529 10,3385 10,3492 10,3645 10,3459 10,3582 10,3760

Tableau 31: Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du pont à poutres des Bouillères après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructures S, la section d’acier As et le poids volumique du béton ρc combinés (valeur initiale

β0=10,2760).

Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les trois paramètres étudiés varient entre 10,2116 et 10,3760, soit un écart de l’ordre 1% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 10,2760.

Dans l’exemple du pont à poutres des Bouillères et pour les trois paramètres retenus pour la recalibration (charges des superstructure S, section d’acier As et poids volumique du béton ρc), l’utilisation combinée des grilles de recalibration, où chaque recalibration ne concerne qu’un coefficient partiel, est possible et n’altère pas le niveau de fiabilité de l’ouvrage.

5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant

5.1 - Cadre de l’exemple L’ouvrage étudié est l’ouvrage « neuf » du pont des Bouillères, avec la section d’acier en place de 58,08 cm² détaillée en section 1.2.

On évalue la performance de l’ouvrage à sa conception puis on actualise ce niveau de performance sur l’ouvrage existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une charge supplémentaire de superstructures par rechargement de chaussée (de 1 cm, soit 0,144 t/ml) et l’ajout d’une GBA sur chaque rive de l’ouvrage, séparant chaque trottoir de la chaussée (0,65 t/ml par GBA). Cela correspond au total à 1,444 t/ml supplémentaire, par rapport à une valeur initiale des superstructures de 3,614 t/ml (hors coefficient de majoration). On mesure ainsi 1,40 fois la valeur nominale initiale, avec une précision de 10%.

On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de la poutre de rive en section médiane.

5.2 - Application du règlement seul

5.2.1 - Évaluation de l ’ouvrage neuf

La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la section d’acier As mise en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As0

ELU (section 2.2.1).

L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa section d’acier As est supérieure à la section minimale nécessaire à l’ELU de As0

ELU :

2 2 ELUs s058,08 cm 56,43 cmA A= ≥ =

5.2.2 - Évaluation de l ’ouvrage existant

La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la section d’acier As mise en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As01

ELU, calculée avec la nouvelle valeur du paramètre, ici les charges de superstructures. L’application stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne du moment des superstructures et pas sa précision de mesure.



La nouvelle valeur des superstructures (S = 1,4x3,614 = 5,06 t/ml) permet de calculer un nouveau moment sollicitant MELU :

ELU G G S S1 Q Q

ELU

M M M M1,35 0,1675 1,35 1,4 0,1163 1,35 0,7899

M 1,5124 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × × + ×=

Dans cette combinaison, les coefficients majorateurs appliqués aux superstructures ne sont pas considérés puisque l’ouvrage a fait l’objet d’un rechargement et d’une pesée précise pour déterminer le poids réel des superstructures.

On déduit du moment sollicitant MELU actualisé la section d’armatures nécessaire à l’ELU As01ELU :

ELUs01 58,23 cm²A =

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque sa section d’acier As mise en place est inférieure à la section minimale nécessaire à l’ELU de As01

ELU :

2 2 ELUs s0158,08 cm 58,23 cmA A= ≥ =/

5.3 - Application de la théorie de la fiabilité


La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche probabiliste en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β à son indice de fiabilité cible β0 (section 3.4).

Le Tableau 32 rappelle la loi de probabilité adoptée pour les charges de superstructures dans le calcul de β et β0.



de variation Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,00 - 20%

Tableau 32 : Rappel de la loi de probabilité des charges de superstructures S pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du pont à poutres des Bouillères.

L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :

010,7725 10,2760β β= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche probabiliste en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 à son indice de fiabilité cible β0.

On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur les charges de superstructures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (S = 5,06 t/ml), intégrée sous la forme d’un nouveau biais (1,40 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (10% au lieu de 20%) sur les superstructures. Le Tableau 33 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :

1 10,3925β =





de variation Charges de superstructures S (t/ml) 3,614 Loi normale 1,40 - 10%

Tableau 33 : Actualisation de la loi de probabilité des charges de superstructure S pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du pont à poutres des Bouillères (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 32).

L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β1 est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :

1 010,3925 10,2760β β= ≥ =

Deux raisons peuvent expliquer que la structure reste sûre vis-à-vis du règlement, malgré l’augmentation des charges de superstructures : • la section d'aciers de l’ouvrage réel est, par arrondi à un nombre entier de barres, supérieure à celle

strictement nécessaire à l’ELU ; • le coefficient de variation de la variable superstructures est inférieur à celui retenu pour le calcul de l’indice

de fiabilité cible.

5.4 - Application du règlement avec grilles de recalibration


L’évaluation de l’ouvrage neuf est identique à celle réalisée à la section 5.2.1 : l’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa section d’acier As est supérieure à la section minimale nécessaire à l’ELU de As0

ELU :

2 2 ELUs s058,08 cm 56,43 cmA A= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant sa section d’acier As mise en place à la section minimale nécessaire à l’ELU As01

ELU.

La nouvelle information sur les charges de superstructures permet de calculer un nouveau moment sollicitant MELU en remplaçant le coefficient partiel γS = 1,51 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur des superstructures (S = 1,40x3,614) et à son nouveau coefficient de variation (10%). On lit ainsi dans le Tableau 26 à la dernière ligne (biais 1,40) et la première colonne (CdV 10%) le coefficient actualisé:

S 1,78γ =

Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment sollicitant de l’ouvrage existant :

ELU G G S S Q Q

ELU

ˆM M M M1,35 0,1675 1,78 0,1163 1,35 0,7899

M 1,4993 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × + ×=

Soulignons que le calcul est conduit avec la valeur nominale du moment des superstructures MS = 0,1163 MN.m puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la nouvelle valeur de mesure et le nouveau coefficient de variation.

On déduit du moment sollicitant MELU actualisé la section d’armatures nécessaire à l’ELU As01ELU :

ELU 2s01 =57,70cmA



L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque sa section d’acier As mise en place est supérieure à la section minimale nécessaire à l’ELU de As0

ELU :

2 2 ELUs s0158,08 cm 57,70cm= ≥ =A A

L’utilisation des grilles de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité.



Chapitre II PICF de Challuy


1.1 - Contexte de l’étude L’ouvrage de référence (Figure 12 et Figure 13) est un passage à faunes construit en 2008 à Challuy (Nièvre) pour le doublement de la RN7 (passage en 2x2 voies). L’ouvrage complet se compose de deux demi-ouvrages droits identiques de type PICF, séparés par un vide central au niveau des traverses et reliés par des murs masques ; l’étude se résume à un demi-ouvrage.

Le PICF porte 2 voies de circulation, pour une largeur totale de 12,65 m. Son ouverture est de 4,80 m pour 2,91 m de hauteur. L’ouvrage est équipé d’un remblai intérieur de 0,30 m ainsi que de dalles de transition.

CET

E de

Lyo

n

Figure 12 : Vue générale du PICF de Challuy. Figure 13 : Vue intérieure du PICF de Challuy.

En phase d’exécution, cet ouvrage a été justifié selon les règlements français tant pour les actions variables (fasciscule 61 titre II) que pour les sections d’armatures (BAEL). Ses éléments constitutifs présentent une épaisseur de 0,35 m en raison notamment des sollicitations importantes générées par les engins de terrassement devant circuler sur la structure en cours de chantier.

Bien que l’ouvrage ait été dimensionné au règlement français, dans cette étude, les calculs sont conduits aux Eurocodes.

1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage Les principales données fonctionnelles de l’ouvrage figurent sur les plans présentés en Figure 14 et Figure 15.



Figure 14 : Coupe longitudinale du PICF de Challuy.

Figure 15 : Coupe transversale du PICF de Challuy.

Les matériaux constituant la structure sont : • un béton de classe C30/37 de résistance caractéristique en compression fck = 30 MPa ; • des armatures à haute adhérence de classe S500B de limite caractéristique d’élasticité fyk = 500 MPa.

2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS

L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du PICF de Challuy passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au PICF de Challuy mais dimensionné à l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour l’État Limite Ultime.


Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELS est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELS strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la traverse supérieure et portent sur la flexion de cette traverse en section médiane (mi-portée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.

Remarques :



• Les ouvrages de type PICF sont des structures rustiques dont le dimensionnement principal est celui des sections sollicitées en flexion, les efforts de cisaillement restant faibles et ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant la plupart du temps.

• Les dimensionnements de sections sont régis par l’État Limite de Service Caractéristique et « couvrent » l’État Limite Ultime. Toutefois, les deux combinaisons sont étudiées par la suite. Le choix d’une limite d’ouverture w = 0,30 mm sous combinaisons fréquentes de charges ne rendra pas cet État Limite dimensionnant (limitation de contrainte des armatures à 300 MPa).

• Les sections principales sont les angles supérieurs et inférieurs des traverses (moments négatifs) et les sections à mi-portée de piédroit et traverse (moments positifs). Dans le cadre de cette étude, on s’intéresse à la section à mi-traverse supérieure mais le raisonnement serait analogue pour les autres sections.

Épaisseur du cadre

L’épaisseur du cadre est déterminée en appliquant la formule concernant les PICF du « Guide du projeteur » :

max 0,125 ;0,3032

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Le

où e est l’épaisseur de la traverse et L est l’ouverture de la structure. On retient ainsi :

0,30 me =

Cette valeur est appliquée à l’ensemble des éléments (traverse, piédroits et radier).

Matériaux et disposit ions constructives

Les calculs à l’ELS sont conduits avec les valeurs de calcul des matériaux : • béton : valeur de calcul de la résistance en compression du béton fcd :

ckcd ck c ck

c

30 MPa avec 1et 30 MPaff f γ fγ

= = = = =

• armatures : limite d’élasticité de calcul de l’acier de béton armé fyd :

ykyd yk yk 500 MPa avec 1et 500 MPas

s

ff f γ f

γ= = = = =

Même si aucun coefficient partiel n’apparaît explicitement dans les Eurocodes, il est possible d’en introduire en leur fixant une valeur de 1,00.

On retient finalement : • une ouverture de fissures w = 0,30 mm, sous combinaisons fréquentes de charges (conformément au tableau

7.101 NF de l'annexe nationale de la NF EN 1992-2) ; • un enrobage c = 35 mm, eu égard aux conditions d’environnement.

Soll ic i tat ions

Charges de supers t ructures

Conformément à la NF EN 1990, les charges de superstructures sont calculées en enveloppe avec des coefficients de pondération 0,8-1,2 sur l’étanchéité et 0,8-1,4 pour l’enrobé, toutes les autres charges étant prises à leurs valeurs caractéristiques. On en déduit : • la valeur nominale des charges de superstructures :



40,28 kN/mlS =

• les valeurs minimale et maximale des charges de superstructures :

inf

sup

33,77 kN/ml 0,8449,21 kN/ml 1,22

S SS S

= == =

Charges d’explo i ta t ion

L’ouvrage est un pont-route de classe 2 au sens de la NF EN 1991-2. On retient une largeur de chaussée w = 10,375 m et on applique les modèles de charges LM1 (UDL + TS) et LM2 (essieu unique). Aucune autre charge routière n’est retenue (convoi exceptionnel, char ou engin de chantier).


Les moments fléchissants sont calculés dans la section retenue dans le cadre de cette étude, c’est-à-dire la section à mi-portée de la traverse supérieure, pour une tranche d’1 m de largeur d’ouvrage :

G

S

Q

M 15,42 kN.mM 5,92 kN.mM 72,93 kN.m

=

==

On en déduit ainsi le moment de flexion à l’ELS caractéristique comme :

ELS G G S S Q Q

ELS

M M M M1,00 15,42 1,22 5,92 1,00 72,93

M 95,59 kN.m

γ γ γ= + +

= × + × + ×=

Les coefficients γG et γQ n’apparaissent pas dans les Eurocodes mais sont introduits ici avec une valeur neutre de 1,00. Le coefficient γS = 1,22 représente quant à lui l’écart entre la valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale.

Modélisat ion

L’ouvrage est modélisé en modèle filaire à l’aide du logiciel à barres ST1. Les caractéristiques mécaniques des différentes barres sont intégrées ; en particulier, le radier est modélisé comme une poutre sur sol élastique. La version 2.20 de ST1 permettant d’intégrer les coefficients de répartition transversale des surcharges, le calcul est mené en deux temps : détermination des coefficients de répartition de Guyon-Massonet à l’aide d’un tableur, puis modélisation de la structure en pleine largeur avec ST1. Il est à noter que l’excentrement des charges de l’Eurocode (en particulier les tandems TS) a un impact significatif pour la faible portée de l’ouvrage et conduit à une majoration importante des moments fléchissants en travée.

Les calculs sont conduits conformément au guide « Ponts-cadres en béton armé – guide d’emploi » édité par le Sétra en décembre 1991 (superstructures, dalles de transition, calcul en fourchette de la poussée des terres selon la méthode de Rankine 0,25/0,50...).

Justif ications à l ’ELS caractérist ique

Le dimensionnement des armatures est effectué conformément aux normes NF EN 1992-1-1 et NF EN 1992-2 et leurs annexes nationales. Le calcul est analogue au calcul BAEL (élastique linéaire) en introduisant : • la limite de déformation du béton à εcu3 = 3,5 ‰ ; • la limite de compression du béton à 0,6 fck ; • la limite de contrainte des armatures à 300 MPa.



Les deux derniers paramètres permettent ainsi de s’affranchir de toute justification à la fatigue (clause 6.8.102). Ceci est conforme au choix fait par le Sétra pour la justification des PICF neufs calculés aux Eurocodes (paramètres retenus dans les calculs CHAMOA).

Le dimensionnement strict à l’ELS consiste à déterminer la section d’aciers As0ELS nécessaire pour que le

moment résistant Mr égale le moment sollicitant MELS. Pour MELS = 95,59 kN.m, on obtient ainsi une section d’armatures As0

ELS nécessaire de :

ELS 2s0 14,80 cm /mlA =

qui dépend des coefficients partiels γc = 1,00 et γs = 1,00 sur les matériaux et des coefficients γG = 1,00, γS = 1,22 et γQ = 1,00 sur les sollicitations.


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELS adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant Mr et du moment sollicitant MELS à mi-portée de la traverse supérieure à l’ELS caractéristique.


r ELSM Mg = −

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels sur les matériaux et les charges ne sont pas considérés, c’est-à-dire que le coefficient γS = 1,22 sur les superstructures est supprimé du calcul de MELS.

La fonction d’état limite est exprimée en fonction du moment résistant Mr, qui dépend : • de la géométrie de la section : dimensions nominales des coffrages ; • du béton : résistance caractéristique à la compression ; • des armatures tendues : section, position (hauteur utile), limite d'élasticité ;

et du moment sollicitant MELS, qui dépend : • des charges de poids propre : dimensions des coffrages, densité volumique du béton ; • des charges de superstructures : enveloppes sur l’étanchéité et l’enrobé ; • des charges d’exploitation.



La résistance à la compression fc du béton n’est pas retenue comme variable aléatoire à l’ELS puisque ce paramètre a une très faible incidence dans le calcul du moment résistant. La valeur nominale de la limite élastique des aciers fy est fixée à 500 MPa mais les calculs sont menés avec une valeur de 3/5 fy, afin de rester cohérent avec la limite de 300 MPa imposée dans l’annexe nationale de l’EN 1992-2 pour s’affranchir de la justification à la fatigue des armatures.



de variation

Section d’armatures As (cm²/ml) 14,80 (As0ELS) Loi normale 1,00 - 2 %

Limite d’élasticité des aciers fy (MPa) 500 Loi lognormale 1,15 - 5 %



Écart sur la hauteur de section Δh (mm) (Δh tel que h = 300 + Δh) 0 Loi normale 1,00 10 -

Ecart sur l’enrobage des armatures Δc (mm) (Δc tel que h = 35 + Δc) 0 Loi normale 1,00 5 -

Charges de superstructures S (kN/ml) 40,28 Loi normale 1,00 - 20 %

Poids volumique du béton ρc (kN/m3) 25 Loi normale 1,00 - 5 %

Tableau 34 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du PICF de Challuy à l’ELS (paramètre dimensionné en jaune).


ELS = 14,80 cm²/ml (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.





L’ensemble des calculs est effectué sous Matlab ; aucun couplage n’est réalisé avec ST1 ou Excel. Les moments sollicitants de poids propre et de superstructures étant linéaires aux charges correspondantes, ils sont redéfinis sous Matlab après chaque tirage en pondérant le moment initial issu de ST1 par le rapport entre : • la charge de superstructures obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la charge nominale (40,28 kN/ml) ; • la densité de béton obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la densité nominale (25 kN/m3).



Dimensionnement As0ELS (cm²/ml) 14,821

Point de fonctionnement Z0 14,656 533,70 -11,946 3,3916 43,252 25,288

Cosinus directeurs α0 0,26274 0,68826 0,56058 -0,31831 -0,17313 -0,10827

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,88635 0,025768 56,0576 -63,66141 -0,02149 -0,086617


As (cm²/ml) fy (MPa) Δh (mm) Δc (mm) S (kN/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 35 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du PICF de Challuy à l'ELS.



Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELU strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la traverse supérieure et portent sur la flexion de



cette traverse en section médiane (mi-portée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des armatures sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.



( )

cu3

ck

3,5‰ 0,8 et 1 ,0 20 MPa 50 MPaελ η f

=

= = = ≤


cc ckcd cc c ck

c

20 MPa avec 1, 1,5 et 30 MPaα ff α γ fγ

= = = = =


La loi de comportement retenue pour les aciers passifs est le diagramme contrainte-déformation de calcul, avec branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 17), avec la limite d’élasticité de calcul de l’acier fyd :

ykyd s yk

s

435 MPa où 1,15 et 400 MPaf

f γ fγ

= = = =

Figure 17 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers passifs selon l’EN 1992-1-1.



Soll ic i tat ions

On rappelle les moments fléchissants obtenus dans la section à mi-portée de la traverse supérieure, pour une tranche d’1 m de largeur d’ouvrage :

G

S

Q

M 15,42 kN.mM 5,92 kN.mM 72,93 kN.m

=

==

Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des moments calculés à l’ELS (section 2.1.1) en appliquant les coefficients partiels de la combinaison à l’ELU sur les charges :

ELU G G S S Q Q

ELU

M M M M1,35 15,42 1,35 1,22 5,92 1,35 72,93

M 129,06 kN.m

γ γ γ= + +

= × + × × + ×=

Le coefficient γS résulte du produit du coefficient partiel de la combinaison ELU (1,35) et du quotient entre la valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,22).


Le calcul est mené conformément au Chapitre 6.1 de la NF EN 1992-2 (flexion simple).

Le dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section d’aciers As0ELU nécessaire pour que le

moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU. Pour MELU = 129,06 kN.m, on obtient ainsi une section d’armatures As0

ELU nécessaire :

ELU 2s0 12,96 cm /mlA =

qui dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15 (intervenant dans fyd) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,65 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELU adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant Mr et du moment ultime MELU à mi-portée de la traverse supérieure.


r ELUM Mg = −

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que les coefficients γc et γs sur les matériaux sont supprimés du calcul de Mr et que les coefficients γG, γS et γQ sur les sollicitations sont supprimés du calcul de MELU.

La fonction d’état limite est exprimée en fonction du moment résistant Mr, qui dépend : • de la géométrie de la section : dimensions nominales des coffrages ; • du béton : résistance caractéristique à la compression ; • des armatures tendues : section, position (hauteur utile), limite d'élasticité ;

et du moment sollicitant MELS, qui dépend : • des charges de poids propre : dimensions des coffrages, densité volumique du béton ; • des charges de superstructures : enveloppes sur l’étanchéité et l’enrobé ;



des charges d’exploitation.

Soulignons notamment que la limite de résistance à la compression du béton fc joue un rôle plus important dans le dimensionnement à l’ELU qu’à l’ELS.





de variation Section d’armatures As (cm²/ml) 12,96

(As0ELU) Loi normale 1,00 - 2 %

Limite d’élasticité des aciers fy (MPa) 500 Loi lognormale 1,15 - 5 % Écart sur la hauteur de section Δh (mm)

(Δh tel que h = 300 + Δh) 0 Loi normale 1,00 10 -

Ecart sur l’enrobage des armatures Δc (mm) (Δc tel que h = 35 + Δc) 0 Loi normale 1,00 5 -

Charges de superstructures S (kN/ml) 40,28 Loi normale 1,00 - 20 %


Limite en compression du béton fc (MPa) 30 Loi lognormale 1,20 - 10%

Tableau 36 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du PICF de Challuy à l’ELU (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’armature As0

ELU = 12,96 cm²/ml (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.





L’ensemble des calculs est effectué sous Matlab ; aucun couplage n’est réalisé avec ST1 ou Excel. Les moments sollicitants de poids propre et de superstructures étant linéaires aux charges correspondantes, ils sont redéfinis sous Matlab après chaque tirage en pondérant le moment initial issu de ST1 par le rapport entre : • la charge de superstructures obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la charge nominale (40,28 kN/ml) ; • la densité de béton obtenue par « tirage » de ReliabTbx et la densité nominale (25 kN/m3).



Dimensionnement As0ELU (cm²/ml) 12,966



Point de fonctionnement Z0 12,458 453,91 - 54,5 15,0 50,42 25,84 34,05

Cosinus directeurs α0 0,240 0,575 0,665 -0,3673 -0,1538 -0,082 0,062

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,9231 0,0248 66,5519 -73,45 -0,0191 -0,0656 0,0184

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -1,8091 -0,095 -362,585 -220,835 -0,0241 -0,0441 -0,0105

As (cm²/ml) fy (MPa) Δh (mm) Δc (mm) S (kN/ml) ρc (kN/m3) fc (MPa)

Tableau 37 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du PICF de Challuy à l'ELU.

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à chaque état limite permet de procéder à une évaluation structurale du PICF de Challuy par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.

3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf Pour passer à un ouvrage réel, on choisit de mettre en œuvre 5HA20/m ce qui correspond à une section d’armatures As=15,70 cm²/ml, couvrant bien l’ELS et ELU puisque :

( )2 ELS 2 ELU 2s s0 s01 5,70cm /ml max 14,80 cm /ml; 12,96 cm /mlA A A= ≥ = =

Cette valeur est conservée pour l’évaluation de l’ouvrage à l’ELS et à l’ELU. Néanmoins, cette solution reste fictive puisque le dimensionnement aux Eurocodes diffère de l’ouvrage réellement construit (épaisseur des éléments constituant le cadre).

3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELS portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 34) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As = 15,70 cm²/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0

ELS = 14,80 cm²/ml, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z 15,472 520,67 -16,460 4,459 44,260 25,380

Cosinus directeurs α 0,25907 0,6800 0,57066 -0,32308 -0,17126 -0,10543

Sensibilité à la moyenne Sm 0,824707 0,026043 57,06622 -64,615328 -0,021259 -0,084340

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,616267 -0,047513 -93,9302 -60,21289 -0,010502 -0,025646

As (cm²/ml) fy (MPa) Δh (mm) Δc (mm) S (kN/ml) ρc (kN/m3)

Tableau 38 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du PICF de Challuy neuf à l'ELS.




02,8843 2,1310β β= ≥ =

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS : l’augmentation de la section d’armatures (+ 6,1%) accroît le moment résistant tandis que la sollicitation reste la même.

3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELU portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 36) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’armatures prise à la valeur As = 15,70 cm²/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict As0

ELU = 12,96 cm²/ml, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z 15,0304 443,767 - 74,0 20,1 51,78 25,88 33,97

Cosinus directeurs α 0,2098 0,5027 0,7207 -0,3916 -0,1391 -0,0683 0,081

Sensibilité à la moyenne Sm 0,6679 0,022 72,06 -78,32 -0,0173 -0,055 0,0247

Sensibilité à l’écart-type Ss -1,439 -0,091 -533,08 -314,85 -0,0247 -0,0383 -0,0209

As (cm²/ml) fy (MPa) Δh (mm) Δc (mm) S (kN/ml) ρc (kN/m3) fc (MPa)

Tableau 39 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du PICF de Challuy neuf à l'ELU.


010,2645 8,1863β β= ≥ =

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section d’acier en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU : l’augmentation de la section d’armatures (+ 21,1%) accroît le moment résistant tandis que la sollicitation reste la même.

3.4 - Bilan Le tableau ci-dessous (Tableau 40) compare les valeurs des indices de fiabilité du PICF de Challuy à la conception aux indices cibles correspondants à l’ELS et à l’ELU.



Indice de fiabilité de l’ouvrage réel β 2,8843 10,2645


Tableau 40 : Évaluation probabiliste de la performance du PICF de Challuy à l’ELS et à l’ELU.

La mise en place d’un nombre entier de barres dans l’ouvrage neuf lui procure une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est sensiblement plus importante à l’ELS qu’à l’ELU, bien que l’ELS soit dimensionnant.



4 - Actualisation de coefficients partiels L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du PICF de Challuy, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage neuf.

4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser Bien que le PICF de Challuy soit dimensionné à l’ELS (As0

ELS = 14,80 cm²/ml > As0ELU = 12,96 cm²/ml),

l’actualisation des coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude pour le recalcul d’ouvrage.

Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU (Tableau 37) mettent en évidence les variables les plus significatives sur l’indice β0, que l’on classe dans l’ordre décroissant d’importance : • la variation du coffrage (ou la hauteur de la poutre h) ; • la limite élastique des aciers passifs fy ; • l’enrobage c ; • la section d’acier As ; • les charges de superstructures S ; • le poids volumique du béton ρc ;

Sont finalement retenues parmi ces variables celles pouvant faire l’objet de mesure lors des auscultations d’ouvrage : • les charges de superstructures S, qui peuvent être évaluées par exemple par mesure des épaisseurs par

RADAR ; • la section des armatures As, qui peut être évaluée par visuel direct des aciers mis à nu si une dégradation est

constatée.



Les grilles de recalibration porteront donc sur : • le coefficient γA sur la section d’armatures (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on introduit γA =

1,00 qui divise la section d’acier) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à 3% (CdV ouvrage neuf 2%) ;

• le coefficient γS sur les charges de superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x1,223 = 1,6511) : plage de biais 0,80 à 1,40 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%).

Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification en flexion de la traverse supérieure du PICF de Challuy en section médiane.

4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 8,1863), selon la méthode décrite en Partie 1 (Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels identifiés en section 4.1 est conduite grâce à la



fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 41 et Tableau 42).



0,80 1,23 1,25 1,28

1,00 0,98 1,00 1,03 Biais νA

1,20 0,82 0,83 0,86

Tableau 41 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section d’acier As du PICF de Challuy (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).



0,80 1,23 1,32 1,45

1,00 1,52 1,65 1,86 Biais νS

1,20 1,81 2,00 2,29

Tableau 42 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur les charges de superstructures S du PICF de Challuy (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).

4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés Les grilles de coefficients partiels (Tableau 41 et Tableau 42) ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 8,1863.

Le Tableau 43 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur les charges de superstructures S et la section d’acier As.

S

Coefficient β0 Biais νS 0,80 1,00 1,20

Biais νA CdV 10% 20% 30% 10% 20% 30% 10% 20% 30%

1% 8,1883 8,1874 8,1860 8,1878 8,1864 8,1843 8,1871 8,1853 8,1826

2% 8,1864 8,1864 8,1864 8,1864 8,1863 8,1862 8,1862 8,1862 8,1862 0,80

3% 8,1825 8,1842 8,1868 8,1835 8,1858 8,1895 8,1842 8,1876 8,1925

1% 8,1876 8,1867 8,1852 8,1871 8,1857 8,1836 8,1864 8,1846 8,1819

2% 8,1864 8,1864 8,1864 8,1864 8,1863 8,1862 8,1862 8,1862 8,1862 1,00

3% 8,1830 8,1846 8,1873 8,1839 8,1863 8,1899 8,1847 8,1880 8,1929

As

1,20 1% 8,1883 8,1874 8,1860 8,1878 8,1864 8,1843 8,1871 8,1853 8,1826



2% 8,1859 8,1859 8,1859 8,1859 8,1858 8,1858 8,1857 8,1858 8,1857

3% 8,1839 8,1855 8,1881 8,1848 8,1872 8,1908 8,1856 8,1889 8,1938

Tableau 43 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du PICF de Challuy après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructures S et la section d’acier As combinés (valeur initiale de β0 en jaune).

Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les charges de superstructure et la section d’acier en place varient entre 8,1819 et 8,1938, soit un écart très faible (inférieur à 0,15%) par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 8,1863 : les coefficients partiels actualisés γA et γS peuvent être combinés, tout en garantissant le même niveau de fiabilité.


5.1 - Cadre de l’exemple L’ouvrage étudié est l’ouvrage « neuf » du PICF de Challuy, avec une section d’armatures passives de 15,70 cm²/ml dans la section médiane de la traverse supérieure.

On évalue la performance de l’ouvrage à sa conception puis on actualise ce niveau de performance sur l’ouvrage existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une corrosion des aciers révélée par une mise à nu des armatures, se traduisant par une perte de 2 mm du diamètre de chaque armature, soit une section totale d’armatures As1 = 12,72 cm²/ml. On mesure ainsi 0,80 fois la valeur nominale, avec une précision de 1%.

On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de traverse supérieure en section médiane.



La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr à son moment ultime MELU. On calcule ainsi : • le moment résistant Mr, avec la section d’armatures As = 15,70 cm²/ml mise en place :

rM 189 kN.m=

• le moment ultime MELU (calcul détaillé en section 2.2.1) :

ELUM 129 kN.m=

L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur au moment ultime MELU :

ELUrM 189 kN.m 129 kN.m M= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr, calculé avec la section d’acier As1 observée après dégradation, à son moment ultime MELU. L’application stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne de la section d’acier et pas sa précision de mesure. On calcule ainsi :



• le moment résistant Mr, avec la section d’armatures As = 12,72 cm²/ml observée lors de l’inspection:

rM 127 kN.m=

• le moment ultime MELU, qui est inchangé :

ELUM 129 kN.m=

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur au moment ultime MELU :

ELUrM 127 kN.m 129 kN.m M= ≥ =/




Le Tableau 44 rappelle la loi de probabilité adoptée pour la section d’armatures dans le calcul de β et β0.



de variation Section d’armatures As (cm²/ml) 15,70 Loi normale 1,00 - 2 %

Tableau 44 : Rappel de la loi de probabilité de la section d’armatures As pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du PICF de Challuy.


010,2650 8,1863β β= ≥ =



On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur la section des armatures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (As = 12,72 cm2/ml), intégrée sous la forme d’un nouveau biais (0,80 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (1% au lieu de 2%) sur la section d’armatures. Le Tableau 45 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :

1 7,9959β =



de variation Section d’armatures As (cm²/ml) 15,70 Loi normale 0,80 - 1 %

Tableau 45 : Actualisation de la loi de probabilité de la section d’armatures As pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du PICF de Challuy (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 44).

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son indice de fiabilité β1 est inférieur à son indice de fiabilité cible β0 :



1 07,9959 8,1863β β= ≥ =/

La très faible amplitude du coefficient de variation est insuffisante pour « corriger » une baisse de la valeur moyenne de 20 %.



L’évaluation de l’ouvrage neuf est identique à celle réalisée à la section 5.2.1 : l’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur au moment ultime MELU :

ELUrM 189 kN.m 129 kN.m M= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr, calculé avec la section d’acier As1 observée après dégradation, à son moment ultime MELU.

La nouvelle information sur la section des armatures permet de calculer un nouveau moment résistant Mr en remplaçant le coefficient partiel γA = 1,00 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur de la section d’armatures (As = 0,80x15,70 = 12,72 cm2/ml) et à son nouveau coefficient de variation (1%). On lit ainsi dans le Tableau 41 à la première ligne (biais 0,80) et la première colonne (CdV 1%) le coefficient actualisé:

Aˆ 1,23γ =

Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment résistant de l’ouvrage existant, mené sur une section d’armatures :

2ssd

A

15,70 12,75 cm /mlˆ 1,23AAγ

= = =

soit un moment résistant Mr = 127 kN.m. Soulignons que le calcul est conduit avec la valeur nominale de la section d’armatures As = 15,70 cm2/ml puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la nouvelle valeur de mesure et le nouveau coefficient de variation.

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur au moment ultime MELU :

ELUrM 127 kN.m 129 kN.m M= ≥ =/

Ainsi, les résultats par l’approche semi-probabiliste sont les mêmes que ceux de l’approche en fiabilité : la dégradation des armatures constatée sur l’ouvrage remettent en cause son fonctionnement à l’ELU. La conclusion est identique à celle obtenue par application du règlement seul : on montre ainsi que la très faible amplitude du coefficient de variation est insuffisante pour « corriger » une baisse de la valeur moyenne de 20 %.



Chapitre III VIPP de Merlebach


1.1 - Contexte de l’étude L’ouvrage de référence est le VIPP de Merlebach, construit en 1968 (Figure 18). Il est constitué de deux tabliers indépendants, portant chacun un sens de circulation de l’autoroute A320. Chaque tablier se compose de six travées isostatiques de 32,50 m de portée sans entretoises intermédiaires.

Figure 18 : Vue de dessous du VIPP de Merlebach.

Transversalement, chaque tablier, de 14,10 m de largeur totale, comporte cinq poutres espacées de 3,15 m, d’une hauteur de 2,074 m, reliées entre elles par un hourdis de 1,65 m de largeur et de 0,18 m d’épaisseur (Figure 19). Chaque poutre a une table de compression de 1,50 m de largeur. L’ouvrage comporte de la précontrainte transversale au niveau du hourdis et des entretoises d’about.

Figure 19 : Coupe transversale du VIPP de Merlebach.



Initialement, l’ouvrage a fait l’objet d’un dimensionnement au règlement français de l’époque (1968), c’est-à-dire en appliquant les charges d’exploitation de la circulaire n°65 du 19 août 1960 (fascicule 61, Titre I à V) et les justifications des sections précontraintes de la circulaire n°44 du 12 août 1965 (IP1). Dans l’ensemble, le coffrage des tabliers est conforme aux règles de prédimensionnement des structures de type VIPP fournies dans le guide de conception du Sétra (1996).

Suite à des problèmes de pertes de tension dans les câbles de précontrainte, les deux tabliers VIPP ont été démolis en 2004 et 2005 et remplacés par deux tabliers de type bipoutre mixte acier-béton. Une poutre de rive du tablier Nord a néanmoins été conservée près du chantier et a fait l’objet d’investigations complémentaires et d’un chargement jusqu’à la rupture.

Notons que la corrosion excessive des câbles constatées sur de nombreuses poutres peut s’expliquer par un défaut de mise en œuvre des injections de coulis réalisées en 1968. Pour le modèle probabiliste, il faudrait donc pour la variable associée à la section résiduelle des câbles introduire une forte corrélation spécifique allant dans le sens défavorable afin de traduire le défaut de fabrication.

Bien que l’ouvrage ait été dimensionné au règlement français, dans cette étude, les calculs sont conduits aux Eurocodes.

1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage La poutre retenue pour l’étude est la poutre la plus sollicitée, soit la poutre de rive externe (Figure 20).

Figure 20 : Section médiane de la poutre de rive externe du VIPP de Merlebach.

Le béton présente une résistance caractéristique en compression fck = 36 MPa.

La précontrainte longitudinale est constituée de 10 câbles 12 PHI 8 (603,2 mm² par câble) de type STUP, répartis en deux familles de câbles (Figure 21) associées aux deux phases de bétonnage : • la première famille de câbles est mise en tension en usine sur les poutres seules (mise en tension réalisée en

une fois), 6 jours après le bétonnage ; elle est constituée de 6 câbles dont l’axe est situé à 7 cm de la fibre inférieure de la poutre ;

• la deuxième famille de câbles est mise en tension 6 jours après le coulage du hourdis (le béton de la poutre a alors déjà 28 jours) ; elle est constituée de 4 câbles dont l’axe est situé à 11,5 cm de la fibre inférieure de la poutre.

Les armatures de précontrainte présentent les caractéristiques suivantes :



• résistance caractéristique en traction : fpk = 1559 MPa (notée fprg dans le BPEL) ; • valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % : fp0,1k = 1393 MPa (notée fpeg dans le

BPEL).

Figure 21 : Câblage de la poutre de rive externe du VIPP de Merlebach.

2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation du VIPP de Merlebach passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent au VIPP de Merlebach mais dimensionné à l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour l’État Limite Ultime.

2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS


Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELS est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELS strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la poutre la plus sollicitée, c’est-à-dire la poutre de rive externe, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale d’un câble de précontrainte sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.


La valeur moyenne de la résistance en traction du béton fctm est calculée à partir de sa résistance caractéristique en compression fck :

( )2/3ctm ck0,3 3,27 MPaf f= =

La contrainte σini appliquée à la mise en tension (précontrainte par post-tension) est calculée à partir de la résistance caractéristique en traction fpk et de la valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1% fp0,1k des armatures de précontrainte :

( )ini pk p0,1kmin 0,8 ;0,9 1247,3 MPaσ f f= =

Pour simplifier les calculs à l’ELS, l’ensemble des pertes de précontrainte est appliqué après la mise en tension des câbles de deuxième famille. Les pertes sont traitées comme un cas de charge sollicitant la section totale. D’après le passage VIPP-EL, les pertes de précontrainte sont considérées comme représentant 30 % de la précontrainte initiale. Cette valeur est ramenée à 20 %.



Les calculs à l’ELS devant tenir compte des variations possibles de la précontrainte, deux valeurs caractéristiques Pk,inf et Pk,sup sont définies à partir de la valeur moyenne de la précontrainte Pm,t, soit dans le cas d’une précontrainte adhérente par post-tension :

k,sup sup m,t sup

k,inf inf m,t inf

avec 1,10

avec 0,90

P r P r

P r P r

= =

= =

Dans cette étude, les calculs sont menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique de la précontrainte Pk = 0,90 Pm,t.


Moment dû au poids propre

D’après les Eurocodes (NF EN 1990-A1-NA Clause A2.2), pour les poutres précontraintes préfabriquées in situ et à l’ELS, les sollicitations sont sensibles à la géométrie du coffrage et à la position du câble ; il est alors nécessaire de représenter le poids propre par deux valeurs Gk,inf et Gk,sup obtenues à partir de la valeur nominale de G :

k,sup

k,inf

1,03

0,97

G G

G G

=

=

Dans cette étude, les calculs sont menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique des charges permanentes de Gk,sup = 1,03 G. Pour mémoire, dans le cas d’un calcul scientifique des pertes de précontrainte, les pertes différées (retrait, fluage, relaxation) sont évaluées sur la base de la valeur moyenne de G.

On déduit de la géométrie de la poutre et du poids propre du béton : • la valeur nominale du moment de flexion MG dû au poids propre :

GM 3,2967 MN.m=

• la valeur maximale du moment de flexion MG,sup dû au poids propre :

G,sup G GM M 1,03.3,2967 3,3956 MN.mγ= = =

Moment dû aux supers t ruc tures

Le Tableau 46 donne les valeurs des charges de superstructures sollicitant la poutre de rive externe.

Largeur (m) Valeur nominale S (t/ml)

Fraction forfaitaire (%)

Valeur maximale Ssup (t/ml)

ÉLÉMENTS SURFACIQUES Enrobé (7cm) 1,825 0,281 40 % 0,393

Étanchéité (2cm) 1,825 0,08 20 % 0,096

ÉLÉMENTS LINÉAIRES Longrine béton 0,932 5 % 0,979

Garde corps extérieur 0,04 5 % 0,042

Glissière de sécurité 0,04 5 % 0,042

TOTAL 1,373 1,552

Tableau 46 : Définition des charges de superstructures du VIPP de Merlebach.



On en déduit : • la valeur nominale du moment de flexion MS dû aux superstructures en section médiane :

2

S1,373.32,5M 1,8 MN.m

8= =

• la valeur maximale du moment de flexion MS,sup dû aux superstructures en section médiane :

2

S,sup S S S1,552.32,5 2,0 2,0M 2,0 MN.m 1,8 M avec 1,11

8 1,8 1,8γ γ= = = = = =

Moment dû aux charges d’explo i ta t ion

La largeur de la chaussée entre les dispositifs de sécurité est de 13 m, centrée sur l’axe du tablier. On considère 3 voies conventionnelles de 3 m et une aire résiduelle de 4 m de largeur. Le modèle de charge appliqué est le modèle LM1 ; la classe de trafic considérée est la classe 2.

La charge de trafic Q est donnée par :

3 3

1 1Qi ik qi ik qr rk

i iQ α Q α q α q

= =

= + +∑ ∑

où : • Qik est la valeur caractéristique de la charge d’essieu du TS sur la voie conventionnelle i ; • qik est la valeur caractéristique de la charge UDL sur la voie conventionnelle i ; • αQi et αqi sont les coefficients d’ajustement correspondant à la classe de trafic retenue (ici classe 2) donnés

dans l’annexe nationale de l’EN 1991-2.

Pour la poutre de rive considérée, le chargement le plus défavorable est obtenu en positionnant transversalement la voie 1 la plus à gauche de la chaussée, puis les voies 2, 3 et l’aire résiduelle. Les tandems TS sont positionnés au centre des voies 1, 2 et 3 (Figure 22) et l’aire résiduelle n’est pas chargée avec UDL (Figure 23). La répartition transversale des charges entre les poutres est établie selon la théorie de Guyon-Massonnet (5 poutres sans entretoise intermédiaire).

Figure 22 : Position transversale des voies et des tandems TS sur le VIPP de Merlebach.



Figure 23 : Position transversale du chargement UDL sur le VIPP de Merlebach.

Longitudinalement, la travée est chargée en totalité par les charges UDL et deux positions proches de la mi-travée sont étudiées pour les tandems TS (tandem centré sur le tablier ou tandem décalé avec un essieu positionné à mi-travée) : le moment de flexion longitudinal de la poutre de rive est maximal pour les tandems centrés longitudinalement.

On calcule ainsi la valeur maximale du moment de flexion longitudinal MQ à l’ELS caractéristique dans la section médiane de la poutre de rive sous les charges de trafic des Eurocodes :

( ) ( )Q Q QM M TS M UDL 3,0 1,6 4,6 MN.m= + = + =

Le calcul des charges d’exploitation est réalisé suivant la méthode de Guyon-Massonet.


Le dimensionnement porte sur la section des armatures de précontrainte. L’Eurocode 2 donne deux critères à vérifier : • NF EN 1992-2/NA Clause 7.3.1 (105) Notes : les recommandations liées à la maîtrise de la fissuration pour

les classes d’environnement XC4 (armatures soumises aux risques de corrosion par carbonatation) demandent la vérification de la non-décompression sous la combinaison quasi-permanente des charges (avec la valeur probable de la précontrainte Pm) ainsi que la vérification de l’ouverture de fissure avec une limite d’ouverture de fissure de wmax = 0,2 mm sous la combinaison fréquente de charges ;

• NF EN 1992-2/NA Clause 6.8.1 (102) Note : une vérification à la fatigue n’est pas nécessaire pour les armatures de précontrainte et armatures de béton armé, dans les zones où, sous combinaison fréquente d’actions avec la valeur probable de la précontrainte Pm, les fibres extrêmes du béton restent comprimées.

Dans la pratique, ces justifications sont utilisées en vérification de structure mais ne suffisent pas toujours à elles seules à dimensionner la précontrainte de façon satisfaisante. En effet pour les ouvrages coulés en place, en classe d’environnement XC3 ou XC4, les tractions dans le béton sous charges fréquentes et caractéristiques ne sont pas limitées. Un dimensionnement de la précontrainte sur la base du seul critère de non-décompression en quasi-permanent conduira à de faibles quantités de précontrainte et à des quantités importantes d’aciers passifs.

Le guide d’application de l’Eurocode 2 du Sétra propose, en particulier pour les structures de type « poutre », les règles suivantes pour limiter la contrainte dans le béton : • σinf > 0 sous combinaison fréquente (dispense de la vérification à la fatigue selon l’EN 1992-2) ; • σinf > – fctm sous combinaison caractéristique ; ce critère « Sétra » permet un calcul en section non fissurée et

suppose la présence d’aciers passifs.

Dans le cas de la poutre de rive du VIPP de Merlebach, c’est la deuxième condition qui est dimensionnante :



inf ctm sous combinaison caractéristiqueσ f> −

Elle permet de déterminer la section minimale Ap0ELS d’un câble de précontrainte (pour 10 câbles mis en

œuvre) :

ELS 2p0 579,98 mmA =

qui dépend des coefficients partiels γG = 1,03, γS = 1,11 et γQ = 1,00 sur les sollicitations.

Ce calcul est réalisé au moyen d’une feuille de calcul « Excel » qui prend en compte le phasage de réalisation du tablier pour la section médiane de la poutre de rive externe. Le calcul des charges permanentes est automatisé en fonction de la phase de construction considérée et tient compte du coefficient de majoration de 1,03. Le calcul est mené en section brute de béton.


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELS adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire le non-dépassement de la contrainte de traction limite en fibre inférieure de la poutre à mi-portée à l’ELS caractéristique.


inf ct g σ f= +

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que les coefficients γG = 1,03 sur les charges permanentes et γS = 1,11 sur les superstructures sont supprimés dans le calcul de σinf.

La fonction d’état limite dépend : • des caractéristiques physiques et géométriques des matériaux ; • des sollicitations de poids propre, de superstructures et d’exploitation.


On retient comme variables aléatoires les paramètres de la fonction d’état limite g répertoriés dans le Tableau 47 : chaque variable est décrite par une loi de probabilité dont les caractéristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV), excepté pour : • les pertes de précontrainte ΔP, dont le coefficient de variation est pris à 10% au lieu de 30% ; • la résistance en traction du béton fct, dont le biais est pris à 1,30 au lieu de 1,00 et le coefficient de variation à

15% au lieu de 20%.



de variation Écart sur la hauteur de la poutre Δh (m)

(h = 2,074 + Δh) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Contrainte initiale dans les câbles σini (MPa) (*) 1 247,3 Loi normale 1,00 - 6 %

Pertes de précontrainte ΔP (%) 20 Loi normale 1,00 - 10 % Écart sur l’excentrement de la famille de

câbles 1 Δe1 (m) (**) 0,005 Loi normale 1,00 0,020 -

Écart sur l’excentrement de la famille de câbles 2 Δe2 (m) (**) 0,005 Loi normale 1,00 0,020 -

Section d’un câble Ap (mm2) 579,98 (Ap0ELS) Loi normale 1,00 - 2 %




Moment des superstructures MS (MN.m) 1,8 Loi normale 1,00 - 20 %

Résistance en traction du béton fct (MPa) 3,27 Loi lognormale 1,30 - 15 %

Tableau 47 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du VIPP de Merlebach à l’ELS (paramètre dimensionné en jaune).

(*) On considère un coefficient de variation de 6% dans le cas d’une précontrainte adhérente par post-tension.

(**) On considère un écart de 5 mm (vers le bas) sur les excentrements des câbles de précontrainte dans le cas d’une poutre.

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’un câble de précontrainte Ap0

ELS = 579,98 mm² (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.


Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.1.2 et des caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.1.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5, avec les options de calcul suivantes : • méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ; • surface de réponse quadratique avec termes croisés ('type_sreponse',3) ; • plan d’expérience composite centré ('type_plandex',3).



Dimensionnement Ap0ELS (mm²) 579,98

Point de fonctionnement Z0 -0,00059 1 200 0,2050 0,0034 0,00403 577,63 25,264 1,9572 4,0128

Cosinus directeurs α0 0,0647 0,6859 -0,2737 0,0840 0,0522 0,2208 -0,2296 -0,4737 0,3385

Sensibilité à la moyenne Sm0 6,4739 0,0092 -13,6885 4,2027 2,6093 0,019 -0,1837 -1,3159 0,5703

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,3862 -0,0058 -3,4532 -0,3255 -0,1255 -0,0039 -0,0389 -0,5745 -0,2422

Δh

(m) σini

(MPa) ΔP (%)

Δe1 (m)

Δe2 (m)

Ap (mm²)

ρc (kN/m3)

MS (MN.m)

fct (MPa)

Tableau 48 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELS.

Les valeurs très faibles des cosinus directeurs de Δh, écart sur la hauteur de la poutre, et de Δe1 et Δe2, écarts sur les excentrements respectifs des familles de câbles 1 et 2, montrent que ces 3 variables aléatoires ont peu d’influence sur le calcul de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 6 variables aléatoires (Tableau 49) fournit un indice de fiabilité cible très proche (0,9280 pour 0,9215). Ainsi, pour la suite des calculs à l’ELS, le modèle simplifié à 6 variables aléatoires sera utilisé.


Dimensionnement Ap0ELS (mm²) 579,98

Point de fonctionnement Z0 1 199,3 0,2051 577,5947 25,2681 1,9593 4,0103

Cosinus directeurs α0 0,6911 -0,2757 0,2224 -0,2311 -0,4768 0,3407

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,0092 -13,7867 0,0192 -0,1849 -1,3245 0,5742




σini (MPa)

ΔP (%)

Ap (mm²)

ρc (kN/m3)

MS (MN.m)

fct (MPa)

Tableau 49 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELS.

Les deux variables qui ont le plus de poids pour l’état limite considéré sont la contrainte initiale dans les câbles de précontrainte σini et le moment des superstructures MS.



Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELU strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur la poutre la plus sollicitée, c’est-à-dire la poutre de rive externe, et portent sur la flexion de cette poutre en section médiane (mi-travée). Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale d’un câble de précontrainte sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.



( )

cu3

ck

3,5‰ 0,8 et 1 ,0 36 MPa 50 MPaελ η f

=

= = = ≤


cc ckcd cc c ck

c

24 MPa avec 1, 1,5 et 36 MPaα ff α γ fγ

= = = = =


La loi de comportement retenue pour les aciers de précontrainte est le diagramme contrainte-déformation de calcul, avec branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation (diagramme B de la Figure 25) , avec la valeur de calcul de la contrainte de l’acier fpd :

p0,1kpd s p0,1k

s

1211,30 MPa où 1,15 et 1393 MPaf

f γ fγ

= = = =

Les aciers passifs ne sont pas considérés dans les calculs.



Figure 25 : Diagramme contrainte déformation simplifié et de calcul pour les aciers de précontrainte selon l’EN 1992-1-1.


Le moment de flexion à l’ELU est déterminé à partir des valeurs des moments dus au poids propre MG, aux superstructures MS et aux charges d’exploitation MQ (calculés en section 2.1.1), en appliquant les coefficients partiels de sécurité de la combinaison à l’ELU sur les charges :

ELU G G S S Q Q

ELU

M M M M1,35 3,2967 1,35 1,11 1,8 1,35 4,6

M 13,3605 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × × + ×=

Le coefficient γS résulte du produit du coefficient partiel de la combinaison ELU (1,35) et du quotient entre la valeur maximale de l’enveloppe des superstructures et sa valeur nominale (1,11). Le calcul des charges permanentes est automatisé en fonction de la géométrie de la section.


La dimensionnement strict à l’ELU consiste à déterminer la section de câble Ap0ELU nécessaire pour que le

moment résistant Mr égale le moment agissant ultime MELU. Pour calculer le moment résistant Mr de la section médiane de la poutre, on commence par déterminer la position de l’axe neutre x, correspondant au lieu de déformation nulle, par équilibre des efforts limites.

Étape 1 : on suppose que la table seule (hourdis de largeur b et de hauteur h0) suffit à reprendre les efforts de compression. • Calcul de l’effort de compression dans le béton Fc :

c cd cdF 0,8λ xbη f xb f= =

• Calcul de l’effort de traction dans les câbles de précontrainte Fp dans le cas de la plastification des aciers :

p p pdF A f=

• Calcul de la position de l’axe neutre x par équilibre des efforts :

pd p pd p

cd cd0,8f A f A

xλbη f b f

= =



Étape 2 : on teste la validité de l’hypothèse. • Si λx ≤ h0, la table peut effectivement reprendre à elle seule les efforts de compression et le moment résistant

Mr s’écrit :

r cd cd0,8M 0,8

2 2λx xλ xb d η f xb d f⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Si λx > h0, la nervure (largeur b0) participe à la reprise des efforts. L’effort de traction dans les câbles est alors équilibré par un effort de compression dans la nervure et dans la table extérieure.

Étape 3 : on calcule le moment résistant dans le cas où la nervure participe à la reprise des efforts. • Calcul de l’effort de compression dans le béton Fc :

c 0 cd 0 0 cd 0 cd 0 0 cdF ( ) 0,8 ( )λ xb η f b b h η f xb f b b h f= + − = + −

• Calcul de la position de l’axe neutre x par équilibre des efforts :

pd p 0 0 cd pd p 0 0 cd

0 cd 0 cd

( ) ( )0,8

f A b b h η f f A b b h fx

λb η f b f− − − −

= =

• Calcul du moment résistant Mr :

( ) ( )0 0r 0 cd 0 0 cd 0 cd 0 0 cd

0,8M 0,82 2 2 2

h hλx xλ xb d η f b b h d η f xb d f b b h d f⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − = − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Notons que le pivot ne peut pas dépasser la position x = d sans quoi les aciers ne peuvent remplir leur fonction. Ainsi, la valeur de x est bornée supérieurement par la valeur de d.

Les calculs sont réalisés au moyen d’un fichier Matlab pour la section médiane de la poutre de rive externe. La variable de dimensionnement retenue est la section d’un câble de précontrainte dont l’expression n’est pas calculée de manière explicite mais déterminée par dichotomie. La section minimale d’un câble de précontrainte Ap0

ELU (pour 10 câbles mis en œuvre) est celle qui vérifie Mr = MELU, soit :

ELU 2p0 571,80 mmA =

Notons que Ap0ELU dépend des coefficients partiels sur les matériaux γc =1,50 (intervenant dans fcd) et γs = 1,15

(intervenant dans fp0,1k) et sur les sollicitations γG = 1,35, γS = 1,50 et γQ = 1,35 (intervenant dans MELU).




Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELU adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre du moment résistant Mr et du moment ultime MELU dans la section médiane de la poutre de rive externe.


r ELUM Mg = −

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que les coefficients γc et γs sur les matériaux sont supprimés du calcul de Mr et que les coefficients γG, γS et γQ sur les sollicitations sont supprimés du calcul de MELU.




Variable Valeur

nominale Loi de


Limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % de l’acier de précontrainte fp0,1 (MPa) 1 393 Loi lognormale 1,00 - 4 %

Section d’un câble Ap (mm2) 571,80 (Ap0ELU) Loi normale 1,00 - 2 %


Moment des superstructures MS (MN.m) 1,8 Loi normale 1,00 - 20 %

Tableau 50 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude du VIPP de Merlebach à l’ELU (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section d’un câble de précontrainte Ap0

ELU = 571,80 mm² (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.


Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.2.2 et des caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.2.3 grâce à la fonction fiabdesign de ReliabTbx R1.5 avec les options de calcul suivantes : • méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ; • surface de réponse quadratique avec termes croisés ('type_sreponse',3) ; • plan d’expérience composite centré ('type_plandex',3).





Dimensionnement Ap0ELU (mm²) 571,8079

Point de fonctionnement Z0 1 108,8 537,1784 27,5629 3,4121

Cosinus directeurs α0 0,7013 0,3734 -0,2528 -0,5522

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,0155 0,0326 -0,2023 -1,5338

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,0720 -0,0989 -0,4147 -6,8683

fp0,1 (MPa)

Ap (mm²)

ρc (kN/m3)

MS (MN.m)

Tableau 51 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible du VIPP de Merlebach à l'ELU.

La variable qui a le plus de poids pour l’état limite considéré est la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % des aciers de précontrainte fp0,1.

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à chaque état limite permet de procéder à une évaluation structurale du VIPP de Merlebach par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.

3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf Pour passer à l’ouvrage neuf, la section d’acier d’un câble de précontrainte est prise à la valeur mise en œuvre sur l’ouvrage à sa construction, soit Ap = 603,20 mm². Cette valeur est conservée pour les calculs ELS et ELU. La section vérifie les recommandations ELS et ELU puisque :

( )2 ELS 2 ELU 2p p0 p0 603,20 mm max 579,98 mm ; 571,80 mmA A A= ≥ = =

De plus, on considère la tension réellement appliquée lors de la mise en tension. Le règlement IP1 proposait une tension maximale égale à σini = 0,95 fpeg = 1323,35 MPa mais la tension mise en œuvre a été de σini = 1330 MPa.

3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELS portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 47) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELS (calcul simplifié selon les options retenues en conclusion du 2.1.4), à l’exception des valeurs nominales des variables suivantes qui ont été modifiées comme suit : • la contrainte initiale dans les câbles σini prise à 1330 MPa au lieu de 1247,3 MPa ; • la section d’un câble prise à la valeur mise en place Ap = 603,20 mm2 au lieu de sa valeur de

dimensionnement strict Ap0ELS = 579,98 mm2 ;

• les biais et coefficients de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z 1 210,6 0,2114 597,6734 25,5712 2,1394 3,8202

Cosinus directeurs α 0,7230 -0,2752 0,2214 -0,2208 -0,4556 0,3101

Sensibilité à la moyenne Sm 0,0091 -13,7607 0,0184 -0,1767 -1,2656 0,5461



Sensibilité à l’écart-type Ss -0,0136 -7,8362 -0,0084 -0,0807 -1,1932 -0,3804

σini (MPa)

ΔP (%)

Ap (mm²)

ρc (kN/m3)

MS (MN.m)

fct (MPa)

Tableau 52 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du VIPP de Merlebach neuf à l'ELS.


02,0692 0,9280β β= ≥ =

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la section de câble de précontrainte en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELS.

3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELU portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 51) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section d’un câble prise à la valeur mise en place Ap = 603,20 mm2 au lieu de sa valeur de dimensionnement strict Ap0

ELU = 571,80 mm², le biais et le coefficient de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z 1 078,6 561,8877 27,8262 3,5777

Cosinus directeurs α 0,7047 0,3784 -0,2498 -0,5457

Sensibilité à la moyenne Sm 0,0159 0,0314 -0,1999 -1,5157

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,0811 -0,1074 -0,4519 -7,4846

fp0,1 (MPa)

Ap (mm²)

ρc (kN/m3)

MS (MN.m)

Tableau 53 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité du VIPP de Merlebach neuf à l'ELU.


09,0497 8,1100β β= ≥ =

Ce résultat n’est de nouveau pas surprenant puisque la section de câble de précontrainte en place est supérieure à la section minimale nécessaire pour satisfaire la combinaison à l’ELU.

3.4 - Bilan Le tableau ci-dessous (Tableau 54) récapitule les valeurs des indices de fiabilité cible β0 calculés pour l’ouvrage considéré et les indices de fiabilité β de l’ouvrage neuf.







Tableau 54 : Évaluation probabiliste de la performance du VIPP de Merlebach à l’ELS et à l’ELU.

Le passage à la section de câble réellement mise en œuvre dans l’ouvrage neuf et à la tension réellement appliquée dans les câbles procure au VIPP de Merlebach une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Cette réserve est toutefois plus importante à l’ELS qu’à l’ELU, bien que l’ELS soit dimensionnant.

4 - Actualisation de coefficients partiels L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste du VIPP de Merlebach, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage neuf.

4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser Bien que le VIPP de Merlebach soit dimensionné à l’ELS (Ap0

ELS = 579,98 mm² > Ap0ELU = 571,80 mm²),

l’actualisation des coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.

Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU (Tableau 51) mettent en évidence les variables les plus significatives sur l’indice β0, que l’on classe dans l’ordre décroissant d’importance : • la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1 % des câbles fp0,1 ; • la section d’un câble Ap ; • le poids volumique du béton ρc ; • le moment des superstructures MS.

Sont finalement retenues parmi ces variables celles pouvant faire l’objet de mesure lors des auscultations d’ouvrage : • la section d’un câble Ap, qui peut être estimée par une ouverture de fenêtres ; • le moment des superstructures MS, qui peut être estimé par pesée de l’ouvrage.



Les grilles de recalibration porteront donc sur : • le coefficient γS sur le moment dû aux superstructures (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35x2,0/1,8 = 1,50), plage

de biais : 0,90 à 1,30 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV : 10% à 30 % (CdV ouvrage neuf 20 %) ; • le coefficient γA sur la section d’un câble de précontrainte (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf,

on introduit γA = 1,00 qui divise la section d’acier), plage de biais : 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à 3 % (CdV ouvrage neuf 2 %).

Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification en flexion de la poutre de rive externe du VIPP de Merlebach en section médiane.

4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés



Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 8,1100), selon la méthode décrite dans la Partie 1 (Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels identifiés en section 4.1 est conduite grâce à la fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 55 et Tableau 56). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans ces tableaux sont obtenus par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des problèmes de convergence.


Coefficient γS 5 % 10 % 15 % 20 % 25 % 30 %

0,80 0,70 (+) 0,78 (+, #) 0,91 1,08 1,27 1,49

0,90 0,82 (+) 0,93 1,09 1,2876 1,52 1,77

1,00 0,95 1,08 1,26 1,50 1,77 2,06

1,20 1,21 1,38 1,63 1,93 2,28 2,64

1,40 1,46 1,69 2,00 2,38 2,80 3,24

Biais νS

1,50 1,59 1,84 2,19 2,61 3,06 3,54

Tableau 55 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur le moment des superstructures MS du VIPP de Merlebach (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).


Coefficient γA 1 % 2 % 3 %

0,80 1,22 (+, #) 1,25 (#) 1,32 (#)

0,90 1,08 (+, #) 1,11 (+, #) 1,16 (#)

1,00 0,98 1,00 1,04 (+, #)

1,10 0,89 (+) 0,91 (+) 0,95

Biais νA

1,20 0,81 (+) 0,83 0,87

Tableau 56 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section des câbles de précontrainte Ap du VIPP de Merlebach (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).

(+) : La mention « division par zéro » apparaît au cours du calcul.

(#) : La détermination du coefficient partiel de sécurité a été réalisée « pas à pas » et non de façon automatique, du fait de problèmes de convergence ou de valeurs de γ négatives.

4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés Les grilles de coefficients partiels ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 8,1100.

Le Tableau 57 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la section d’un câble de précontrainte Ap et le moment des superstructures MS.



Ap Coefficient β0

Biais νA 0,80 Biais 1,00 Biais 1,20

Biais νS CdV 1 % 2 % 3 % 1 % 2 % 3 % 1 % 2 % 3 %

10 % 8,1867 8,1100 8,2315 8,1873 8,1100 8,0044 8,1876 8,1100 8,0044

20 % 8,1289 8,1101 8,2940 8,1293 8,1101 8,0814 8,1296 8,1101 8,0814 0,80

30 % 8,0832 8,1101 8,3449 8,3449 8,1101 8,1476 8,0839 8,1101 8,1476

10 % 8,1775 8,1102 8,2416 8,1781 8,1102 8,0165 8,1784 8,1102 8,0165

20 % 8,1089 8,1100 8,1095 8,1093 8,1100 8,1095 8,1096 8,1100 8,1095 1,00

30 % 8,0637 8,1100 8,3666 8,0641 8,1100 8,1776 8,0644 8,1100 8,1776

10 % 8,1581 8,1100 8,2620 8,1586 8,1100 8,0415 8,1589 8,1100 8,0415

20 % 8,0794 8,1101 8,3492 8,0798 8,1101 8,1534 8,0801 8,1101 8,1534

MS

1,40

30 % 8,0394 8,1100 8,3929 8,0398 8,1100 8,1268 8,0400 8,1100 8,2168

Tableau 57 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU du VIPP de Merlebach après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur les moments de superstructures MS et la section de câble Ap combinés (valeur initale de β0 en jaune).

Les indices de fiabilité cible résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés varient entre 8,0165 et 8,3929, soit un écart maximal de l’ordre de 3% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 8,1100. Ainsi, pour les plages de biais et de coefficients de variation du Tableau 57, les coefficients partiels actualisés γA et γS peuvent être combinés tout en garantissant le même niveau de fiabilité.


5.1 - Cadre de l’exemple L’ouvrage étudié dans cet exemple est le VIPP de Merlebach neuf, avec la section d’acier réellement mise en œuvre pour chaque câble de précontrainte Ap = 603,20 mm².

On évalue la performance de l’ouvrage à sa conception puis on actualise ce niveau de performance sur l’ouvrage existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une charge supplémentaire de superstructure, par rechargement de chaussée (5 cm d’enrobé) et rehausse de la longrine en béton, soit un moment de superstructures MS1 = 2,7 MN.m au lieu d’une valeur initiale de MS = 1,8 MN.m (hors coefficient de majoration). On mesure alors en auscultant l’ouvrage existant une augmentation de 50% du moment de superstructures, avec une précision de 5%.

On rappelle que, dans cette étude, l’évaluation de l’ouvrage à l’ELU porte sur la flexion de la poutre de rive externe en section médiane.



La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr à son moment ultime MELU.



Le moment résistant Mr est calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2 :

rM 14,069 MN.m=

Le moment ultime MELU est quant à lui identique à celui calculé en section 2.2.1 :

ELU G G S S Q Q

ELU

M M M M2,01,35 3,2967 1,35 1,8 1,35 4,61,8

M 13,3605 MN.m

= + +

= × + × × + ×

=

γ γ γ

L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur à son moment ultime MELU :

r ELUM 14,069 MN.m 13,3605 MN.m M= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr à son moment ultime MELU. L’application stricte des Eurocodes pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne du moment des superstructures et pas sa précision de mesure.

Le moment résistant Mr, calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2, reste identique à celui figurant en section 5.2.1 :

rM 14,069 MN.m=

La nouvelle valeur du moment des superstructures (MS1 = 2,7 MN.m) permet de calculer un nouveau moment ultime MELU :

ELU G G S S1 Q Q

ELU

M M M M1,35 3,2967 1,35 2,7 1,35 4,6

M 14,305 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × + ×=

Dans cette combinaison, les coefficients majorateurs appliqués aux superstructures ne sont pas considérés puisque l’ouvrage a fait l’objet d’un rechargement et d’une pesée précise pour déterminer le poids réel des superstructures.

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est inférieur à son moment ultime MELU :

r ELUM 14,069 MN.m 14,305 MN.m M= ≥ =/



La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche probabiliste en comparant son indice de fiabilité de β à son indice de fiabilité cible β0 (section 3.4).

Le Tableau 58 rappelle la loi de probabilité adoptée pour le moment des charges de superstructures dans le calcul de β et β0.





de variation Moment des superstructures MS (MN.m) 1,8 Loi normale 1,0 - 20 %

Tableau 58 : Rappel de la loi de probabilité du moment sur les superstructures MS pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 du VIPP de Merlebach.


09,0497 8,1100β β= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche probabiliste en comparant son indice de fiabilité de β1 à son indice de fiabilité cible β0.

On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur le moment des superstructures. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (MS = 2,7 MN.m), intégrée sous la forme d’un nouveau biais (1,50 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (5% au lieu de 20%) sur les superstructures. Le Tableau 59 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :

1 8,9290β =



de variation Moment des superstructures MS (MN.m) 1,8 Loi normale 1,5 - 5 %

Tableau 59 : Actualisation de la loi de probabilité du moment sur les superstructure MS pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 du VIPP de Merlebach (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 58).


1 08,9290 8,1100β β= ≥ =

L’influence de la hausse du poids des superstructures est atténuée par la diminution du coefficient de variation de la loi de la variable aléatoire correspondante (passage de 20% à 5%).



L’évaluation de la sécurité de l’ouvrage neuf est identique à celle menée à la section 5.2.1 : l’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque son moment résistant Mr est supérieur à son moment ultime MELU :

r ELUM 14,069 MN.m 13,3605 MN.m M= ≥ =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant son moment résistant Mr à son moment ultime MELU.

Le moment résistant Mr, calculé avec la section de câble mise en œuvre sur l’ouvrage neuf Ap = 603,20 mm2, reste identique à celui figurant en section 5.2.1 :



rM 14,069 MN.m=

La nouvelle information sur le moment des superstructures permet de calculer un nouveau moment sollicitant MELU en remplaçant le coefficient partiel γS = 1,50 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur du moment des superstructures (MS1 = 2,7 MN.m) et à son nouveau coefficient de variation (5%). On lit ainsi dans le Tableau 55 à la dernière ligne (biais 1,50) et la première colonne (CdV 5%) le coefficient actualisé:

S 1,59γ =

Ce coefficient partiel actualisé est injecté dans le calcul du moment ultime de l’ouvrage existant :

ELU G G S S Q Q

ELU

ˆM M M M1,35 3,2967 1,59 1,8 1,35 4,6

M 13,52 MN.m

γ γ γ= + +

= × + × + ×=

Soulignons que la vérification est conduite avec la valeur nominale du moment des superstructures MS = 1,8 MN.m puisque le coefficient partiel actualisé prend à la fois en compte la nouvelle valeur de mesure et le nouveau coefficient de variation.

L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque son moment résistant est supérieur à son moment ultime :

r ELUM 14,069 MN.m 13,52 MN.m M= ≥ =

L’utilisation de la grille de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité en utilisant une approche semi-probabiliste.



Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la

rivière Saint Étienne 1 - Présentation de l’ouvrage

1.1 - Contexte de l’étude Suite à l’effondrement du pont aval sur la rivière Saint-Étienne entre Saint-Pierre et Saint-Louis lors du passage du cyclone Gamède le 26 février 2007 sur l’Ile de la Réunion, la DDE de la Réunion a lancé les études de réalisation d’un nouvel ouvrage de franchissement.

L’étude préliminaire a conduit à proposer un ouvrage de 694,50 m à 9 travées, portant quatre voies de circulation, et à présenter pour les phases d’études ultérieures deux solutions : une solution caisson en béton précontraint et une solution bi-poutre mixte. Bien que la solution mixte ait finalement été retenue lors du choix des offres, la présente étude porte sur la solution béton de la DOA du CETE Méditerranée. Cette solution a été dimensionnée aux Eurocodes.

L’ouvrage étant relativement complexe, la description qui suit porte principalement sur la section courante de cet ouvrage (travées situées entre la pile P3 et la culée C9).

1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage

1.2.1 - Description générale de l ’ouvrage

L’ouvrage est constitué de 10 appuis (Figure 26 et Figure 27). Les longueurs de travées sont de 53,25 m pour la première et la dernière travée et de 84,00 m pour les 7 travées intermédiaires.

Figure 26 : Vue en plan de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.



Figure 27 : Profil en long de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.

L’ouvrage supporte une chaussée bidirectionnelle dont les deux sens sont séparés par un séparateur central en béton de type DBA (Figure 28).

Figure 28 : Profil fonctionnel de l'ouvrage projeté sur la rivière Saint-Étienne.

La structure du tablier est composée d’un mono-caisson de 21,70 m de largeur totale en zone courante et de hauteur constante égale à 4,10 m. Il comporte deux hourdis et deux âmes inclinées à 15°. Le hourdis supérieur, précontraint transversalement, présente une épaisseur minimale de 30 cm. Le hourdis inférieur présente une largeur totale de 9,28 m et une épaisseur de 0,24 m en partie courante. Les âmes ont une hauteur brute de l’ordre de 4 m. Leur épaisseur est de 85 cm en section courante. Cette épaisseur est augmentée localement au niveau des VSP et dans un ou deux voussoirs courants de part et d’autre des VSP (Figure 29).



Figure 29 : Coupe transversale du VSP 6 de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne.

La précontrainte longitudinale (Figure 30) est une précontrainte mixte. Elle associe : • des câbles de fléaux et des câbles éclisses intérieurs au béton ; • des câbles de continuité extérieurs.

Le Tableau 60 détaille le nombre et la puissance des câbles prévus dans les principales travées.

Famille de câbles Secteur du pont Nombre et unité

Câbles de fléaux Fléaux F3 à F8 2 x 18 x 27T15S

Câbles éclisses Travées 4 à 8 2 x 3 x 19T15S

Câbles extérieurs Travées 3 à 8 2 x 4 x 27T15S

Tableau 60 : Détail de la précontrainte longitudinale en section courante de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne.



Figure 30 : Principe de câblage longitudinal de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne : coupe longitudinale et

transversale des câbles intérieurs.

1.2.2 - Caractérist iques des matériaux

Béton

Le béton est de type C45 / 55 de caractéristiques : • résistance caractéristique en compression : fck = 45 MPa (sur éprouvette cylindrique) • valeur moyenne de la résistance en traction : fctm = 0,3 (fck)2/3 = 3,8 MPa • résistance caractéristique en traction directe : fctk,0,05 = 0,7 fctm = 2,7 MPa • module d’élasticité sécant : Ecm= 22000 (fcm/10)0,3 = 36283 MPa

Armatures passives

Les armatures passives sont des armatures à haute adhérence de caractéristiques : • limite caractéristique d’élasticité : fyk = 500MPa • valeur de calcul du module d’élasticité : Es= 200000 MPa

On utilisera des armatures de classe B pour la flexion et de classe A ou B pour l’effort tranchant.

Armatures de précontrainte

Précontrainte de fléau et d'éclisse :

Les unités sont constituées de câbles 19T15S ou 27T15S classe 1860 de caractéristiques : • section nominale : 2850 mm² (19T15S) ou 4050 mm² (27T15S) • diamètre intérieur des gaines : 100 mm (19T15S) ou 130 mm (27T15S) • diamètre extérieur : 110 mm (19T15S) ou 140 mm (27T15S) • classe :

– résistance caractéristique en traction : fpk = 1860 MPa – valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1% : fp0,1k = 1650 MPa

• rentrée d’ancrage : g = 6 mm • valeur moyenne de la perte par relaxation 1000 heures après la mise en tension : ρ1000 = 2,5% • coefficient de frottement en zone courbe : μ = 0,19 rad-1



• coefficient de frottement en partie rectiligne : k = 0,01 rad.m-1 (valeur maximale prise en compte car on considère que l’on franchit de nombreux joints de voussoirs)

La mise en tension des câbles s’effectue à min (0,8 fpk ; 0,9 fp0,1k). Les allongements sont calculés avec un module Ep = 195000 MPa.

Précontrainte extérieure :

Les unités sont constituées de câbles 19T15 S ou 27T15S classe 1860, voire plus si nécessaire : • section nominale : 2850 mm² (19T15S) ou 4050 mm² (27T15S) • diamètre intérieur des gaines : 100 mm (19T15S) ou 130 mm (27T15S) • diamètre extérieur: 110 mm (19T15S) ou 140 mm (27T15S) • classe :

– résistance caractéristique en traction : fpk = 1860 MPa – valeur caractéristique de la limite d’élasticité conventionnelle à 0,1% : fp0,1k = 1650 MPa

• rentrée d’ancrage : g = 6 mm • valeur moyenne de la perte par relaxation 1000 heures après la mise en tension : ρ1000 = 2,5% • coefficient de frottement en zone courbe d’une gaine en PEHD dans un tube en acier, propre et lubrifié : μ =

0,10 rad-1

La mise en tension des câbles s’effectue à min (0,8 fpk ; 0,9 fp0,1k). Les allongements sont calculés avec un module Ep = 195000 MPa.

1.2.3 - Modélisation uti l isée

Au stade du Projet d’Ouvrage d’Art (POA), l’ouvrage a été complètement modélisé à l’aide du logiciel ST1. C’est ce modèle qui est repris dans le cadre de la présente étude pour la définition des indices de fiabilité de cet ouvrage.

Le calcul des contraintes de cisaillement dans les âmes des voussoirs est réalisé à l’aide de contraintes généralisées dans ST1 et d’un paramétrage basé sur les caractéristiques mécaniques des sections considérées (ces caractéristiques mécaniques ont été préalablement définies, pour les différentes sections, à l'aide du logiciel CDS selon la méthode de calcul de sections à parois minces).

À noter qu’une des variables modifiées dans les calculs de fiabilité qui suivent est notamment l’épaisseur de l’âme des voussoirs. Cette variation de l’épaisseur des âmes du demi-VSP n°6 modifie les caractéristiques mécaniques de cette section. Or, paramétrer rigoureusement l’ensemble des caractéristiques mécaniques en fonction de l’épaisseur d’âme est quasi-impossible compte tenu de la géométrie complexe de la section transversale du caisson. Aussi, afin de tenir compte de cette variabilité, un paramétrage des caractéristiques mécaniques est intégré dans ST1 sur la base d’une interpolation linéaire entre les caractéristiques suivantes : • caractéristiques d’une section pour l’épaisseur moyenne de (85 – 1,7) cm ; • caractéristiques des sections pour des épaisseurs allant de [(85 – 1,7) – 1] cm à [(85 – 1,7) + 1] cm ;

où : • 85 cm correspond à l’épaisseur d’âme définie au stade du POA ; • (85 – 1,7) cm = 83,3 cm correspond à l’épaisseur d’âme permettant de vérifier au plus juste la justification au

cisaillement (arrondi au millimètre près).

On obtient ainsi le paramétrage donné dans le Tableau 61, avec :

[ ] ( )( )a valeur tirage 0,85 1,7 cm 100= − − ×



Famille de câbles [(85 – 1,7) – 1] cm (85 – 1,7) cm [(85 – 1,7) + 1] cm Paramétrage (a=variation en cm)

Sx (section) 19,260 19,316 19,376 + 0,05950 x a

Sy (section réduite) 11,34 11,34 11,34 0,0000

Sz (section réduite) 3,548 3,573 3,579 + 0,02450 x a

vz (dist. à fibre sup) 2,45968 2,45863 2,45758 - 0,00105 x a

Ix (inertie torsion) 89,51 89,57 89,62 + 0,05500 x a

Iy (inertie flexion) 42,234 42,285 42,336 + 0,05100 x a

Iz (inertie flexion) 514,12 515,18 516,23 + 1,05500 x a

Mstat (moment statique) 13,050 13,076 13,101 + 0,02550 x a

Tableau 61 : Paramétrage des caractéristiques mécaniques de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne en fonction de l’épaisseur des âmes des voussoirs.

1.2.4 - Spécif icités de l ’étude

Le pont projeté sur la rivière Saint-Étienne est un grand ouvrage dont la modélisation est complexe. Cette spécificité a conduit à le considérer différemment des trois autres cas d’études. Le nombre de variables aléatoires a ainsi été réduit pour permettre d’entreprendre les calculs dans un temps raisonnable : en particulier, aucune charge n’a été probabilisée. Par ailleurs, l’actualisation des coefficients partiels a été limitée à un cas simple et l’ouvrage n’a pas fait l’objet d’un exemple d’application, compte tenu de son caractère non courant.

Cet exemple permet d’illustrer les possibilités d’application directe de la théorie de la fiabilité à l’étude d’un ouvrage complexe, pour lequel l’engagement de moyens importants d’évaluation structurale peuvent être nécessaires.

2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation de la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent à la solution caisson BP du pont sur la rivière Saint-Étienne mais dimensionné à l’état limite des Eurocodes. Deux indices cibles seront ainsi calculés, un pour l’État Limite de Service et un pour l’État Limite Ultime.

2.1 - Indice de fiabilité à l’ELS


Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELS est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELS strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur le VSP n°6 et portent sur l’effort tranchant des âmes de ce voussoir à H/2, H étant la hauteur du tablier. Le dimensionnement vise à déterminer l’épaisseur minimale de l’âme du caisson sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.

Précontrainte

Les calculs à l’ELS devant tenir compte des variations possibles de la précontrainte, deux valeurs caractéristiques Pk,inf et Pk,sup sont définies à partir de la valeur moyenne de la précontrainte Pm,t :



k,sup sup m,t

k,inf inf m,t

P r P

P r P

=

=

où les coefficients rsup et rinf dépendent du type de précontrainte appliquée : • rsup = 1,10 et rinf = 0,90 pour la précontrainte de fléau ; • rsup = 1,05 et rinf = 0,95 pour la précontrainte extérieure.

Au stade projet, les calculs ont été menés dans le cas le plus défavorable, soit pour une valeur caractéristique de la précontrainte Pk = rinf Pm,t et sous les charges de l’ELS caractéristique.


La justification au cisaillement à l’ELS dans les âmes de voussoir est conduite conformément à l’annexe QQ de l’EN 1992-2 : on s’assure ainsi que, dans toutes les sections situées au-delà de H/2 de l’axe des appuis, la contrainte de cisaillement vérifie la condition :

( )( )ck ctk,0,05 ctk,0,05 ck

âme limck ctk,0,05

5 5 5 4

5 4x xf f σ f f σ

τ τf f

+ −≤ =

+

Au stade du POA, c’est au niveau du VSP n°6 que les plus faibles marges ont été observées entre les contraintes de cisaillement calculées (τâme = 4,99 MPa) et la contrainte de cisaillement admissible (τlim = 5,02 MPa). La section retenue dans le cadre de la présente étude est par conséquent la section située à H/2 du VSP6 côté travée P6-P7.

La justification au cisaillement à l’ELS consiste donc à s’assurer que, dans toutes les sections situées au-delà de H/2 de l’axe des appuis, la contrainte de cisaillement dans l’âme τâme est inférieure à la contrainte admissible τlim où : • τâme est directement issu de la modélisation ST1, via la définition d’une contrainte généralisée, combinant une

part de cisaillement issue du tranchant et une part de cisaillement issue de la torsion ; • τlim est définie à partir des variables de résistance du béton, ainsi que de la contrainte normale fournie par la

modélisation ST1.

L’épaisseur d’âme minimale bw0ELS est celle qui vérifie τâme = τlim, obtenue par dichotomie :

ELSw0 83,5 cmb =

Notons que pour cette vérification ELS, les seuls coefficients partiels portent sur la précontrainte de fléau rinf,fleau = 0,90 et la précontrainte extérieure rinf,ext = 0,95.


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELS adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.1.1), c’est-à-dire l’équilibre de la contrainte de cisaillement τâme et de la contrainte admissible τlim dans les âmes du voussoir.


âme limg τ τ= −

Pour les calculs en fiabilité, les coefficients partiels ne sont pas considérés : les coefficients rinf,fleau et rinf,ext sont donc fixés à 1,00 dans le modèle numérique.

La fonction d’état limite dépend : • des caractéristiques physiques et géométriques des matériaux ;



• des sollicitations de poids propre, de superstructures et d’exploitation.



Concernant l’inclinaison des câbles de précontrainte, en l’absence de loi spécifique à cette variable, il a été décidé de considérer cette inclinaison comme directement dépendante de la position des câbles en partie haute et en partie basse. Nous retenons donc la loi relative à la position de la précontrainte du Tableau 14 de la Partie I, mais en doublant l’écart type (un écart type pour la position haute, un pour la position basse).



de variation Résistance en compression du béton fc (MPa) 45 Loi lognormale 1,20 - 10%

Écart sur l’épaisseur de l’âme du caisson Δbw (cm) (bw = 83,5 + Δbw) 0 Loi normale 1,00 1,0 -

Pondération sur précontrainte de fléau Kp,fleau (s.u.) 1 Loi normale 1,00 - 9%

Pondération sur précontrainte extérieure Kp,ext (s.u.) 1 Loi normale 1,00 - 6%

Écart sur la position des câbles de précontrainte extérieure Δe (m) (e = 0,800 + Δe) 0 Loi normale 1,00 2x0,020 =

0,040 -

Tableau 62 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELS (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici l’épaisseur de l’âme du caisson bw0

ELS = 83,5 cm (cf. section 2.1.1). On rappelle par ailleurs que les charges permanentes et les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.


Le calcul de l’indice de fiabilité est effectué à partir de la fonction d’état limite établie en section 2.1.2 et des caractéristiques de variables aléatoires définies en 2.1.3 grâce à la fonction fiabcom de ReliabTbx R1.5, avec les options de calcul suivantes : • méthode par surface de réponse ('type_prob',6) ;

• surface de réponse quadratique avec termes croisés ('type_sreponse',3) ;

• plan d’expérience composite centré ('type_plandex',3).

Les calculs sont effectués à l’aide d’un couplage ReliabTbx R1.5 – ST1 : à chaque tirage, Matlab lance ST1 sur la base des valeurs de certaines variables aléatoires et récupère, après calcul ST1, les contraintes normales moyennes dans le caisson et de cisaillement maximales dans les âmes, pour la section située à la distance H/2 de l’appui P6. Ces contraintes sont ensuite prises en compte, avec les autres variables aléatoires, dans les fonctions d’état limite et de dimensionnement (section 2.1.1 et 2.1.2) et calculées directement par Matlab.

La commande fiabdesign n’a pas été utilisée dans ce cas car la programmation du dimensionnement strict de bw0 par dichotomie sous Matlab aurait rallongé les temps de calculs qui sont déjà très longs.





Dimensionnement bw0ELS (cm) 83,5

Point de fonctionnement Z0 44,6139 -0,4450 0,9169 0,9935 -0,0064

Cosinus directeurs α0 0,8728 0,2084 0,4321 0,0505 0,0744

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,1936 0,2084 4,8010 0,8411 1,8612

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,3159 -0,0927 -4,4310 -0,0907 -0,2959

fc (MPa) Δbw (cm) Kp,fleau (s.u.) Kp,ext (s.u.) Δe (m)

Tableau 63 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELS.

Pour information, le temps de calcul total approximatif est de 17h30. L’ELS ne faisant pas l’objet d’une actualisation de coefficients partiels, aucun essai de simplification du problème (diminution du nombre de variables par exemple) n’a été entrepris.



Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible à l’ELU est le dimensionnement de l’ouvrage à l’ELU strict selon les Eurocodes. Les vérifications sont menées sur le VSP n°6 et portent sur l’effort tranchant des âmes de ce voussoir à H/2, H étant la hauteur du tablier. Le dimensionnement vise à déterminer la section minimale des aciers transversaux sous les charges et les combinaisons des Eurocodes.

Considérant la section d’acier Asw/s d’effort tranchant dans l’âme du caisson à H/2 de l’appui, l’EN 1992-1-1, § 6.2.3 donne l’expression de l’effort tranchant résistant VRd,s :

( )swRd,s w ywdV cot cot sinA z f θ α α

s= +

où fywd est la limite d’élasticité de calcul des armatures d’effort tranchant, définie comme :

ywkywd ywk434,78 MPa avec 500 MPa et 1,15s

s

ff f γ

γ= = = =

Avec cot α = 1 et sin α = 1 pour des armatures placées perpendiculairement et cot θ = 2,5 pour une inclinaison de bielle maximale de 45°, on obtient :

swRd,s w ywdV 2,5 A z f

s=

Dans le cas présent, et compte tenu de la modélisation réalisée, l’effort tranchant agissant VEd dans les âmes du caisson (intégrant l’effet de la torsion) peut être récupéré directement à partir de la contrainte de cisaillement τ = 6,9533 MPa donnée dans ST1, par une fonction de contrainte généralisée :

w yEd

stat

V Mτ b I

=

La vérification des aciers transversaux dans les âmes de caisson consiste à s’assurer que l’effort tranchant résistant VRd,s est supérieur à l’effort tranchant agissant VEd :

Rd,s EdV V≥

La section d’aciers transversaux minimale (Asw/s)0 est celle qui vérifie VRd,s = VEd, soit :



( )

( )

ELU w ysw 0

w ywd stat

ELUsw 0

/2,5 M

6,9533.0,795.42,3722,5 .3,900.434,78.13,119

/ 42,12 cm²/ml

=

=

=

τ b IA s

z f

A s

Notons que (Asw/s)0ELU dépend du coefficient partiel sur les armatures γs (intervenant dans fywd) et des

coefficients sur les sollicitations γG, γS et γQ intervenant dans τ.


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification ELU adoptée pour le dimensionnement strict aux Eurocodes (section 2.2.1), c’est-à-dire l’équilibre de l’effort tranchant résistant VR,s et de l’effort tranchant total dans les âmes du voussoir VE.


( )

R,s E

swstat

V V

2,5 / M

w yw yw

gτ b I

g A s z f

= −

= −

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels ne sont pas considérés, c’est-à-dire que le coefficient γs est supprimé du calcul de VR,s et que les coefficients γG, γS et γQ sont supprimés du calcul de VE.



Notons, dans l’expression de la fonction d’état limite g, que le terme (bw Iy / Mstat) n’est qu’un « artifice » introduit pour récupérer l’effort tranchant VE à partir de la contrainte de cisaillement τ calculée par le modèle ST1. L’épaisseur de l’âme du caisson bw n’est donc pas ici à proprement parler une variable aléatoire.

Les variables aléatoires sont donc choisies parmi les paramètres qui apparaissent dans la fonction d’état limite g de manière explicite : • la section des aciers transversaux Asw/s ; • la hauteur utile de l’âme zw ; • la limite d’élasticité des aciers transversaux fyw ;

et de manière implicite, à travers le calcul de la contrainte de cisaillement τ par ST1 : • les pondérations sur les efforts de précontrainte de fléau Kp,fleau et de précontrainte extérieure Kp,ext ; • l’inclinaison des câbles extérieurs sur appui (ramenée ici à la position e des câbles vis-à-vis de la fibre

supérieure du caisson).

Les variables aléatoires retenues sont répertoriées dans le Tableau 64 : chaque variable est décrite par une loi de probabilité dont les caractéristiques sont issues du Tableau 14 (Partie 1, Chapitre IV).

Comme dans le calcul ELS, l’inclinaison des câbles de précontrainte est considérée comme directement dépendante de la position des câbles en partie haute et en partie basse et la loi de probabilité associée est celle de la position de la précontrainte où l’écart type est doublé (un écart type pour la position haute, un pour la position basse).



Un premier calcul préalable a permis de montrer que la variable relative à l’effort de précontrainte extérieure avait peu de poids dans les calculs de fiabilité. Elle a donc été négligée dans la suite afin de conserver un nombre de variables et des temps de calcul raisonnables.



de variation Limite d’élasticité des aciers transversaux fyw

(MPa) 500 Loi lognormale 1,15 - 5%

Écart sur la hauteur utile de l’âme Δzw (m) (zw = 3,900 + Δzw) 0 Loi normale 1,00 0,010 -

Pondération sur précontrainte de fléau Kp,fleau (s.u.) 1,0 Loi normale 1,00 - 9%

Section des aciers transversaux Asw/s (cm²/ml)

42,12 ((Asw/s)0ELU) Loi normale 1,00 - 2%

Écart sur la position des câbles de précontrainte extérieure Δe (m) (e = 0,800 + Δe) 0 Loi normale 1,00 2x0,020 =

0,040 -

Tableau 64 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’étude de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l’ELU (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la section des aciers transversaux (Asw/s)0

ELU = 42,12 cm²/ml (cf. section 2.2.1). On rappelle par ailleurs que les charges permanentes et les charges d’exploitation ne sont pas probabilisées dans cette étude.



• surface de réponse quadratique avec termes croisés ('type_sreponse',3) ;

• plan d’expérience composite centré ('type_plandex',3).

Les calculs sont effectués à l’aide d’un couplage ReliabTbx R1.5 – ST1 : à chaque tirage, Matlab lance ST1 sur la base des valeurs de certaines variables aléatoires et récupère, après calcul ST1, les contraintes de cisaillement maximales dans les âmes, pour la section située à la distance H/2 de l’appui P6. Ces contraintes sont ensuite prises en compte, avec les autres variables aléatoires, dans les fonctions d’état limite et de dimensionnement (cf. section 2.2.1 et 2.2.2) et calculées directement par Matlab.

Le Tableau 65 donne les résultats du calcul de fiabilité. Pour information, compte tenu de la complexité du modèle ST1, le temps de calcul total approximatif de l’indice cible est de 18 heures.


Dimensionnement (Asw/s)0ELU

(cm2/ml) 42,1172

Point de fonctionnement Z0 344,4471 -0,0052 0,8995 38,3066 -0,0215

Cosinus directeurs α0 0,9080 0,0464 0,0991 0,4015 0,0476

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,0478 4,6391 1,1008 0,4767 1,1909

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,3243 -2,4246 -1,2287 -2,1565 -0,6391

fyw (MPa) Yzw (m) Kp,fleau (s.u.) Asw/s (cm²/ml) Ye (m)

Tableau 65 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.



L’étude des cosinus directeurs montre que les variables prépondérantes sont fyw et Asw/s. Les valeurs relativement faibles des cosinus directeurs de zw, Kp,fleau et e montrent que ces 3 variables aléatoires ont peu d’influence sur le calcul de l’indice de fiabilité cible. Un calcul simplifié avec 2 variables aléatoires (Tableau 66) fournit un indice de fiabilité cible très proche (11,3887 pour 11,2661) dont le calcul est très rapide puisque les variables aléatoires n’interviennent pas dans la modélisation ST1 et que le couplage ReliabTbx R1.5 – ST1 n’est donc plus nécessaire. Ainsi, pour la suite des calculs à l’ELU, le modèle simplifié à 2 variables aléatoires sera utilisé.


Dimensionnement (Asw/s)0ELU (cm2/ml) 42,1172

Point de fonctionnement Z0 341,1678 38,2483

Cosinus directeurs α0 0,9151 0,4033

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,0485 0,4788

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,3329 -2,1990

fyw (MPa) Asw/s (cm²/ml)

Tableau 66 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité cible de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à chaque état limite permet de procéder à une évaluation structurale de la solution caisson en béton précontraint du pont sur la rivière Saint-Étienne par approche probabiliste, en comparant l’indice de fiabilité de l’ouvrage à sa valeur cible.

3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf L’ouvrage neuf considéré ici correspond à l’ouvrage défini au stade du POA.

L’ouvrage neuf présente une épaisseur d’âme de caisson bw = 85 cm, qui vérifie bien les recommandations imposées par les Eurocodes à l’ELS :

ELSw085 cm 83,5 cmwb b= ≥ =

Au stade du POA, les aciers transversaux dans les âmes n’ont pas été définis avec précision. On retient, pour les besoins de cette étude, une section d’aciers Asw/s = 46,80 cm²/ml, correspondant à 1 cadre HA25 et 1 étrier HA14, espacés tous les 0,20 m. Cette section vérifie les recommandations imposées par les Eurocodes à l’ELU :

2 2 ELUsw sw 0/ 46,80 cm /ml 42,12 cm /ml ( / )A s A s= ≥ =

L’épaisseur d’âme bw et la section des aciers transversaux Asw/s sont conservés dans les calculs ELS comme ELU.

3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELS portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 62) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELS, à l’exception de la valeur nominale de l’épaisseur d’âme du caisson prise à sa valeur réelle bw = 85 cm au lieu de sa valeur de dimensionnement strict bw0

ELS = 83,5 cm, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.





Point de fonctionnement Z 43,4954 -0,4910 0,9040 0,9920 -0,0043

Cosinus directeurs α 0,8725 0,2022 0,4391 0,0547 0,0447

Sensibilité à la moyenne Sm 0,1977 0,2022 4,8789 0,9113 1,1172

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,3567 -0,0993 -5,2022 -0,1210 -0,1212

fc (MPa) Ybw (cm) Kp,fleau (s.u.) Kp,ext (s.u.) Ye (m)

Tableau 67 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELS.


02,4283 2,1359β β= ≥ =

3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs à l’ELU portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 64) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible à l’ELU, à l’exception de la valeur nominale de la section des aciers transversaux prise à Asw/s = 46,80 cm2/ml au lieu de sa valeur de dimensionnement strict à (Asw/s)0

ELU = 42,12 cm2/ml, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.

Le Tableau 68 donne les résultats du calcul de fiabilité. Pour information, le temps de calcul total approximatif est de 18h00.


Point de fonctionnement Z 316,6404 -0,0061 0,8830 41,7677 -0,0257

Cosinus directeurs α 0,9050 0,0465 0,0988 0,4084 0,0487

Sensibilité à la moyenne Sm 0,0503 4,6486 1,0974 0,4363 1,2181

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,3761 -2,8451 -1,4269 -2,3456 -0,7814

fyw (MPa) Yzw (m) Kp,fleau (s.u.) Asw/s (cm²/ml) Ye (m)

Tableau 68 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.

Le Tableau 69 donne les résultats du calcul de fiabilité simplifié, mené sur la base des deux variables fyw et Asw/s. C’est ce dernier calcul simplifié qui est retenu dans la suite de l’étude.


Point de fonctionnement Z 312,9859 41,6922

Cosinus directeurs α 0,9122 0,4098

Sensibilité à la moyenne Sm 0,0511 0,4378

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,3865 -2,3892



fyw (MPa) Asw/s (cm²/ml)

Tableau 69 : Résultats du calcul simplifié de l’indice de fiabilité de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l'ELU.

On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme aux Eurocodes à l’ELU, quel que soit le nombre de variables retenues, puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :

013,3163 11,3887β β= ≥ =

3.4 - Bilan Le tableau ci-dessous (Tableau 70) récapitule les valeurs des indices de fiabilité cible β0 calculés pour l’ouvrage considéré et les indices de fiabilité β de l’ouvrage neuf.


Indice de fiabilité cible β0 (calcul) 2,1359 11,3887



Tableau 70 : Évaluation probabiliste de la performance de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à l’ELS et à l’ELU.

Le passage à l’épaisseur d’âme projetée et à une section réaliste d’aciers transversaux procure à l’ouvrage proposé au stade du POA une réserve de sécurité vis-à-vis de la vérification en flexion à l’ELS comme à l’ELU. Les indicateurs de performance à l’ELS et à l’ELU sont assez proches.

4 - Actualisation de coefficients partiels L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des coefficients partiels des Eurocodes destinés à l’évaluation semi-probabiliste de la solution caisson BP du pont sur la rivière Saint-Étienne, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant, tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage neuf.

4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser Bien que la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne soit dimensionné à l’ELS, l’actualisation des coefficients partiels de sécurité est effectuée à l’ELU. En effet, l’ELU étant relatif à l’intégrité structurale de l’ouvrage, c’est cette approche qui est privilégiée dans cette étude.

Seuls deux paramètres sont finalement retenus dans les calculs de fiabilité à l’ELU, compte tenu de la longueur des temps de calculs. L’actualisation portera donc sur ces deux paramètres : la limite élastique des aciers transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s.



Les grilles de recalibration porteront donc sur : • le coefficient γs sur la limite élastique des aciers transversaux (pour l’ouvrage neuf γs = 1,15), plage de biais :

1,10 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,150), plage de CdV : 4% à 6 % (CdV ouvrage neuf 5 %) ;



• le coefficient γA sur la la section des aciers transversaux (en l’absence de coefficient pour l’ouvrage neuf, on introduit γA = 1,00 qui divise la section d’acier), plage de biais : 0,80 à 1,20 (biais ouvrage neuf 1,00), plage de CdV 1% à 3 % (CdV ouvrage neuf 2 %).

Il est important de préciser que ces grilles de recalibration sont circonscrites à une vérification vis-à-vis de l’effort tranchant des âmes du voussoir n°6 de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne à mi-hauteur du tablier.

4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui de l’ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes (β0 = 11,3887), selon la méthode décrite dans la Partie 1 (Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels identifiés en section 4.1 est conduite grâce à la fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 71 et Tableau 72). Notons toutefois que certains des résultats présentés dans le tableau sont obtenus par dichotomie grâce à la fonction fiabcom lorsque la fonction calib_coeff présente des problèmes de convergence.

Coefficient de variation CdVs


1.100 1,09 1,20 1,34

1.125 1,06 1,18 1,31

1.150 1,04 1,15 1,28

1.175 1,02 1,13 1,25

Biais νS

1.200 1,00 1,10 1,22

Tableau 71 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la limite élastique des aciers transversaux fyw de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne (valeur de γs pour l’ouvrage neuf en jaune).



0.80 1,21 1,25 1,34

0.90 1,07 1,11 1,19

1.00 0,96 1,00 1,07

1.10 0,88 0,91 0,97

Biais νA

1.20 0,80 0,83 0,89

Tableau 72 : Grille des coefficients partiels recalibrés à l’ELU portant sur la section des aciers transversaux Asw/s de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne (valeur de γA pour l’ouvrage neuf en jaune).

4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés Les grilles de coefficients partiels ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux



combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible de l’ouvrage à l’ELU β0 = 11,3887.

Le Tableau 73 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la limite élastique des aciers transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s.

Asw/s

Coefficient β0 Biais νA 0,80 1,00 1,20

Biais νS CdV 3% 2% 1% 3% 2% 1% 3% 2% 1%

6% 11,5529 11,3895 11,2879 11,5526 11,3895 11,2686 11,5529 11,3889 11,2866

5% 11,3892 11,3891 11,3888 11,3889 11,3891 11,3896 11,3892 11,3884 11,3872 1,10

4% 11,1093 11,3885 11,6066 11,1089 11,3885 11,6076 11,1093 11,3876 11,6054

6% 11,5522 11,3886 11,2870 11,5518 11,3886 11,2877 11,5521 11,3880 11,2856

5% 11,3889 11,3887 11,3884 11,3886 11,3887 11,3892 11,3889 11,3879 11,3867 1,15

4% 11,1091 11,3883 11,6064 11,1088 11,3883 11,6074 11,1091 11,3874 11,6044

6% 11,5518 11,3883 11,2867 11,5515 11,3883 11,2874 11,5518 11,3877 11,2853

5% 11,3891 11,3890 11,3887 11,3888 11,3890 11,3895 11,3891 11,3882 11,3870

fyw

1,20

4% 11,1102 11,3896 11,6078 11,1098 11,3896 11,6089 11,1102 11,3887 11,6058

Tableau 73 : Grille de l'indice de fiabilité cible à l’ELU de la solution caisson du pont sur la rivière Saint-Étienne après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur la limite élastique des aciers transversaux fyw et la section des aciers transversaux Asw/s combinés

(valeur initale de β0 en jaune).

Les indices de fiabilité cible résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés varient entre 11,1088 et 11,6089, soit un écart maximal de l’ordre de 3% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 11,3887. Ainsi, pour les plages de biais et de coefficients de variation du Tableau 73, les coefficients partiels de sécurité actualisés γs et γA peuvent être combinés tout en garantissant le même niveau de fiabilité.



Conclusions et perspectives Conclusions L’étude sur les « Méthodes avancées d’évaluation des ouvrages » a été lancée en 2009. Elle est le fruit d’une coopération entre le Sétra et les CETE, avec l’appui de l’IFSTTAR. L’objectif de cette étude est de mettre en pratique la théorie de la fiabilité pour évaluer la performance des ouvrages neufs ou existants. Pour ce faire, chaque CETE a choisi un ouvrage type différent pour mener ses calculs, à partir desquels la méthodologie a été développée. Cette étude s’est décomposée en deux volets.

Objectif 1 : Le premier volet de l’étude visait à développer une méthodologie permettant d’évaluer la performance d’un ouvrage d’art par approche probabiliste et notamment de définir l’indice de fiabilité cible β0. L’option retenue a été de définir β0 comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage strictement dimensionné aux Eurocodes. Sur chaque ouvrage, l’étude a permis de : • proposer un dimensionnement strict aux Eurocodes des ouvrages ; • définir les fonctions d’état limite et identifier les variables aléatoires intervenant dans chaque état limite et

leur loi de probabilité ; • calculer l’indice de fiabilité cible des ouvrages ; • calculer l’indice de fiabilité des ouvrages à la conception pour évaluer leur performance et actualiser cette

performance au cours de leur vie ; • étudier les possibilités pour limiter la complexité des calculs de fiabilité ; • prendre en main le logiciel de calcul de fiabilité ReliabTbx et son couplage avec des logiciels couramment

utilisés en calcul des structures.

Objectif 2 : Le deuxième volet consistait à étudier la possibilité d’intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage à travers la réactualisation des coefficients partiels. L’objectif était de proposer des coefficients partiels pour ouvrages existants permettant d’utiliser le formalisme semi-probabiliste tout en assurant le même niveau de performance que le calcul probabiliste. Sur chaque ouvrage, l’étude a permis de : • identifier les paramètres à modifier et les plages de valeurs de biais et/ou coefficients de variation à tester à

partir des résultats du calcul de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) et de la connaissance des ouvrages étudiés ;

• calculer les coefficients partiels recalibrés ; • vérifier la pertinence de la combinaison de ces coefficients partiels.

Perspectives Si cette étude a permis de mettre au point la méthodologie, l’utilisation pratique des résultats obtenus passe par son élargissement à une famille d’ouvrages afin de vérifier la pertinence et la robustesse des résultats obtenus.

Les perspectives de cette étude sont donc d’étudier une famille d’ouvrages courants (différentes configurations pour un même type d’ouvrage) afin de proposer des indices de fiabilité cible et des coefficients partiels recalibrés pertinents et utilisables d’un point de vue pratique.

On s’attachera tout particulièrement au choix des coefficients à réévaluer et de leurs plages de variation en s’informant auprès de l’IFSTTAR et des CETE sur les paramètres mesurables lors d’auscultations d’ouvrages existants ainsi que sur les plages de valeurs et la précision de ces mesures. On croisera ensuite ces informations avec celles obtenues lors des calculs de fiabilité (cosinus directeurs, sensibilités) pour dégager les grilles les plus pertinentes.

Les coefficients partiels calculés seront finalement comparés avec les valeurs recensées dans l’étude sur les « Méthodes courantes d’évaluation structurale » du Sétra concernant l’état des pratiques du RST.



L’objectif est de proposer des coefficients partiels permettant d’évaluer des ouvrages existants courants par approche semi-probabiliste.



Bibliographie

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[2] BA 79. The management of sub-standard highway structures. Highway Agency, Draft, 1998.

[3] BD 79. Level 4 and level 5 methods of assessment for bridges. Highway Agency, Draft, 2001.

[4] BRIME. Rapport final du projet Européen BRIME. 2001.

[5] Byrne, G. Évaluation d’ouvrage existant par approche probabiliste et semi-probabiliste – Le cas d’une poutre de VIPP. Rapport de stage, École Polytechnique, 2007.

[6] Calgaro, J.-A. Introduction aux Eurocodes – Sécurité des constructions et bases de la théorie de la fiabilité. Presses des Ponts et Chaussées, Paris, 1998.

[7] Cremona, C. Approche probabiliste de la performance des structures. Hermès-Lavoisier, Paris, 2010.

[8] Cremona, C. ReliabTbx Release 1.5 – Structural Reliability Toolbox. 2010.

[9] Norme ISO 13822:2001. Bases for design of structures – Assessment of existing structures. 2001.

[10] JCSS. Probabilistic Model Code. 2001.

[11] Sétra. Méthodes courantes d’évaluation structurale – Rapport sur l’état des pratiques du RST. Rapport d’étude, Sétra, 2010.



Table des matières

Introduction......................................................................................................................................................... 5 Contexte............................................................................................................................................................. 5

Action « Maîtriser les risques d’insuffisance de capacité portante ».................................................................................5 Sujet « Méthodes avancées d’évaluation structurale des ouvrages » ..............................................................................5

Présentation du rapport...................................................................................................................................... 6 PARTIE 1 MÉTHODOLOGIE ................................................................................................................................. 7 Chapitre I L’évaluation structurale des ouvrages d’art..................................................................................... 9

1 - Notions de performance structurale ........................................................................................................... 9 2 - Méthodes d’évaluation de la performance ................................................................................................. 9

2.1 - Approche déterministe............................................................................................................................... 9 2.2 - Approche semi-probabiliste ..................................................................................................................... 10 2.3 - Approche probabiliste .............................................................................................................................. 11

3 - Principes de l’évaluation de la performance des ouvrages d’art........................................................... 12 3.1 - Performance des ouvrages neufs............................................................................................................ 12 3.2 - Performance des ouvrages existants ...................................................................................................... 12

Chapitre II Introduction à la théorie de la fiabilité............................................................................................ 15 1 - Principes de la théorie de la fiabilité ......................................................................................................... 15

1.1 - Mode de défaillance et fonction d’état limite............................................................................................ 15 1.2 - Variables aléatoires et lois de probabilité ................................................................................................ 16 1.3 - Probabilité de défaillance et indice de fiabilité......................................................................................... 17 1.4 - Méthodes de calcul .................................................................................................................................. 18

2 - Applications de la théorie de la fiabilité.................................................................................................... 19 2.1 - Application directe à l’évaluation de la structure ..................................................................................... 19 2.2 - Application au développement d’une approche semi-probabiliste ..........................................................19

Chapitre III Méthodologie de l’étude ................................................................................................................. 21 1 - Détermination de l’indice de fiabilité cible β0 ...........................................................................................21

1.1 - Définition de l’indice de fiabilité cible ....................................................................................................... 21 1.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible ............................................................................................................ 22

1.2.1 - Dimensionnement strict aux Eurocodes...............................................................................................22 1.2.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible.........................................................................................................22

2 - Évaluation des ouvrages par approche probabiliste............................................................................... 23 2.1 - Performance des ouvrages à la conception ............................................................................................ 24 2.2 - Actualisation du niveau de performance des ouvrages existants ...........................................................25

3 - Actualisation de coefficients partiels........................................................................................................ 26 3.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser.............................................................................................. 26 3.2 - Actualisation d’un coefficient partiel......................................................................................................... 26 3.3 - Combinaison de coefficients partiels actualisés ...................................................................................... 27 3.4 - Application à l’évaluation des ouvrages existants ................................................................................... 28



Chapitre IV Outils et références......................................................................................................................... 31 1 - Définition des modes de défaillance et des fonctions d’état limite .......................................................31 2 - Définition des variables aléatoires et des lois de probabilité................................................................. 31 3 - Utilisation de l’outil ReliabTbx................................................................................................................... 32

3.1 - Principes généraux d’utilisation ............................................................................................................... 32 3.1.1 - Fichiers sources...................................................................................................................................32 3.1.2 - Commandes ReliabTbx........................................................................................................................33

3.2 - Couplages avec des logiciels de calcul de structures ............................................................................. 35 3.2.1 - Couplage avec Excel ...........................................................................................................................35 3.2.2 - Couplage avec ST1..............................................................................................................................35

PARTIE 2 EXEMPLES D’APPLICATION ............................................................................................................ 37 Présentation des cas d’étude.......................................................................................................................... 39 Analyse des résultats....................................................................................................................................... 39

Chapitre I Pont à poutres des Bouillères.......................................................................................................... 43 1 - Présentation de l’ouvrage .......................................................................................................................... 43

1.1 - Contexte de l’étude.................................................................................................................................. 43 1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage...................................................................... 44

2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 ........................................................................................................44 2.1 - Indice de fiabilité cible à l’ELS ................................................................................................................. 44

2.1.1 - Dimensionnement strict aux Eurocodes...............................................................................................44 2.1.2 - Mode de défaillance et fonction d’état limite ........................................................................................47 2.1.3 - Variables aléatoires et lois de probabilité.............................................................................................47 2.1.4 - Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible .......................................................................................47

2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU................................................................................................................. 48 2.2.1 - Dimensionnement strict aux Eurocodes...............................................................................................48 2.2.2 - Mode de défaillance et fonction d’état limite ........................................................................................51 2.2.3 - Variables aléatoires et lois de probabilité.............................................................................................51 2.2.4 - Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible .......................................................................................51

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste................................................................................. 52 3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf.......................................................................................... 52 3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS....................................................................................................... 52 3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU....................................................................................................... 53 3.4 - Bilan ......................................................................................................................................................... 54

4 - Actualisation de coefficients partiels........................................................................................................ 54 4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser.............................................................................................. 54 4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés ............................................................................................... 55 4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés .................................................................................... 56

5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant....................................................... 58 5.1 - Cadre de l’exemple.................................................................................................................................. 58 5.2 - Application du règlement seul.................................................................................................................. 58

5.2.1 - Évaluation de l’ouvrage neuf................................................................................................................58 5.2.2 - Évaluation de l’ouvrage existant ..........................................................................................................58



5.3 - Application de la théorie de la fiabilité ..................................................................................................... 59 5.3.1 - Évaluation de l’ouvrage neuf................................................................................................................59 5.3.2 - Évaluation de l’ouvrage existant ..........................................................................................................59

5.4 - Application du règlement avec grilles de recalibration ............................................................................ 60 5.4.1 - Évaluation de l’ouvrage neuf................................................................................................................60 5.4.2 - Évaluation de l’ouvrage existant ..........................................................................................................60

Chapitre II PICF de Challuy ................................................................................................................................ 63 1 - Présentation de l’ouvrage .......................................................................................................................... 63











Chapitre III VIPP de Merlebach .......................................................................................................................... 79



1 - Présentation de l’ouvrage .......................................................................................................................... 79 1.1 - Contexte de l’étude.................................................................................................................................. 79 1.2 - Caractéristiques physiques et géométriques de l’ouvrage...................................................................... 80










Chapitre IV Solution caisson BP du pont sur la rivière Saint Étienne........................................................... 99 1 - Présentation de l’ouvrage .......................................................................................................................... 99


1.2.1 - Description générale de l’ouvrage........................................................................................................99 1.2.2 - Caractéristiques des matériaux..........................................................................................................102 1.2.3 - Modélisation utilisée...........................................................................................................................103 1.2.4 - Spécificités de l’étude ........................................................................................................................104



2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 ......................................................................................................104 2.1 - Indice de fiabilité à l’ELS........................................................................................................................ 104

2.1.1 - Dimensionnement strict aux Eurocodes.............................................................................................104 2.1.2 - Mode de défaillance et fonction d’état limite ......................................................................................105 2.1.3 - Variables aléatoires et lois de probabilité...........................................................................................106 2.1.4 - Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible .....................................................................................106

2.2 - Indice de fiabilité cible à l’ELU...............................................................................................................107 2.2.1 - Dimensionnement strict aux Eurocodes.............................................................................................107 2.2.2 - Mode de défaillance et fonction d’état limite ......................................................................................108 2.2.3 - Variables aléatoires et lois de probabilité...........................................................................................108 2.2.4 - Calcul et analyse de l’indice de fiabilité cible .....................................................................................109

3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste............................................................................... 110 3.1 - Configuration géométrique de l’ouvrage neuf........................................................................................ 110 3.2 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELS..................................................................................................... 110 3.3 - Évaluation de l’ouvrage neuf à l’ELU..................................................................................................... 111 3.4 - Bilan .......................................................................................................................................................112

4 - Actualisation de coefficients partiels...................................................................................................... 112 4.1 - Choix des coefficients partiels à actualiser............................................................................................ 112 4.2 - Calcul des coefficients partiels actualisés ............................................................................................. 113 4.3 - Combinaison des coefficients partiels actualisés .................................................................................. 113

Conclusions et perspectives......................................................................................................................... 115 Conclusions....................................................................................................................................................115 Perspectives...................................................................................................................................................115

Bibliographie...................................................................................................................................................117 Annexes ............................................................................................................................................................. 125



Annexes

Annexe 1 : Bases de la théorie de la fiabilité On se propose dans cette annexe d’exposer les principes de la théorie de la fiabilité en s’appuyant sur le cas particulier d’un état limite linéaire composé de variables aléatoires suivant une loi normale. Cet exemple permet de mener un calcul de fiabilité « à la main ». De plus, il permet de couvrir un large champ d’études puisqu’on peut ramener les variables aléatoires de loi quelconque à des variables normales centrées réduites par transformations iso-probabilistes.

On commencera par présenter les notions de probabilité nécessaires au développement de cet exemple. Ensuite, on reprendra les principes de la théorie de la fiabilité exposés au Chapitre II section 1 dans ce cas particulier, en détaillant les calculs. Enfin, on montrera comment mettre en application ces principes pour établir un règlement et évaluer un ouvrage neuf ou existant par approche probabiliste et semi-probabiliste.

1.1 - Notions de probabilité

1.1.1 - Variable aléatoire

On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir le résultat a priori. En associant à chacun des résultats possibles de l’expérience aléatoire une valeur réelle, on définit une variable aléatoire.

On décrit la répartition des valeurs que peut prendre cette variable aléatoire X par sa loi de probabilité que l’on peut exprimer à travers (Figure 31) : • sa densité de probabilité fX :

( ) ( )X

dd

P x X x xf x

x≤ ≤ +

=

• sa fonction de répartition FX :

( ) ( ) ( )X dx

XF x P X x f x x−∞

= ≤ = ∫



Figure 31 : Densité de probabilité (à gauche) et fonction de répartition (à droite) d'une variable aléatoire.

On caractérise la loi de probabilité d’une variable aléatoire X par : • son espérance E (aussi appelée moyenne arithmétique μX) :

[ ] ( )X XE dX μ x f x x= = ∫

• sa variance Var (ou σX2) :

[ ] [ ]( ) [ ]( ) ( )2 22X XVar E E E dX σ X X x X f x x⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫

Une variable aléatoire est dite : • centrée si son espérance est nulle E[X] = 0 ; • réduite si sa variance est unitaire Var[X] = 1.

1.1.2 - Loi normale

On appelle loi normale (ou loi de Gauss) la loi de probabilité, caractérisée par sa moyenne μX et son écart-type σX, qui s’exprime à travers : • sa densité de probabilité fX :

( )2

XX

XX

1 1exp22

x μf xσσ π

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

• sa fonction de répartition FX :

( )2

XX

XX

1 1exp d22

x x μF x xσσ π−∞

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

On peut transformer une loi normale quelconque en une loi normale centrée réduite par le changement de variable :

X

X

X μUσ−

=

Une loi normale centrée réduite s’exprime à travers (Figure 32) : • sa densité de probabilité φ :



( ) 21 1exp22

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦φ u u

π

• sa fonction de répartition Φ :

( ) 21 1Φ exp d22−∞

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫u

u u uπ

Figure 32 : Densité de probabilité (à gauche) et fonction de répartition (à droite) d'une variable aléatoire normale centrée réduite.

1.2 - Bases de la théorie de la fiabilité

1.2.1 - Définit ion de l ’ indice de f iabil i té

La théorie de la fiabilité propose de calculer la probabilité de défaillance de la structure.

Considérant une structure de résistance R soumise aux sollicitations S, on peut définir un critère d’état limite tel que :

R S≥

On se place dans le cas particulier où R (respectivement S) est une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne μR (respectivement μS) et d’écart-type σR (respectivement σS).

La probabilité de défaillance Pf de la structure est alors définie comme la probabilité de dépassement de ce critère soit :

( )= <fP P R S

Notons M la variable aléatoire définie par :

M R S= −

R et S suivant une loi normale, on peut montrer que M suit une loi normale caractérisée par : • sa moyenne μM :

M R Sμ μ μ= −

• son écart-type σM :

2 2M R Sσ σ σ= +

On peut alors exprimer la probabilité de défaillance Pf de la structure comme :



( ) ( )M0 0fP P M F= < =

où on note FM la fonction de répartition de M.

En imposant le changement de variable :

Mu

M

M μMσ−

=

on se ramène à l’étude d’une variable normale centrée réduite et on peut finalement écrire la probabilité de défaillance Pf en faisant apparaître la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite :

( ) ( ) ( )R SMM 2 2

M R S

00 0 Φ Φ Φfμ μμP P M F β

σ σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞ −− ⎜ ⎟= < = = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

où β est l’indice de fiabilité de la structure et s’exprime comme :

R S2 2

R S

μ μβσ σ

−=

+

Rappelons que si une variable aléatoire suit une loi quelconque, on peut la transformer en variable normale centrée réduite par une transformation iso-probabiliste.

1.2.2 - Interprétation géométrique

Pour donner une interprétation géométrique de β, on doit travailler avec des variables normales centrées réduites ; on impose donc le changement de variables :

SRu u

R S

et S μR μR Sσ σ

−−= =

Dans l’espace normé (espace formé par les variables aléatoires Ru et Su), on peut distinguer les points en fonction de leur densité de probabilité. Les points ayant la même densité de probabilité d sont définis par :

2 2 2 2u u u u u u

1 1 1 1 1 1( ) ( ) exp exp exp ( )2 2 2 22 2

d φ r φ s r s r sππ π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − = − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

où φ est la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.

En posant 2 12ln2

=kπd

, on remarque que les courbes d’égale densité de probabilité sont des cercles

d’équation (Figure 33) :

2 2 2u uR S k+ =

Ces cercles sont centrés sur O (0,0) l’origine du repère de l’espace normé ; plus on s’éloigne de O et plus la probabilité d’occurrence est faible.

D’autre part, la fonction d’état limite devient :

( ) ( )R R u S S u R S R u S ug R S μ σ R μ σ S μ μ σ R σ S= − = + − + = − + −

Elle est représentée dans l’espace normé par une droite d’équation (Figure 33) :



R S R u S u 0g μ μ σ R σ S= − + − =

qui délimite le domaine de sécurité du domaine de défaillance.

La distance de l’origine O (0,0) du repère de l’espace normé à cette droite g s’écrit alors :

R S R S R Su 2 2 2 2

R S R S

.0 .0d( , ) σ σ μ μ μ μO g OZ βσ σ σ σ

− + − −= = = =

+ +

L’indice de fiabilité β est donc représenté géométriquement par la distance de O à la courbe d’état limite g (Figure 33). La projection orthogonale de O sur g est notée Zu et appelée point de fonctionnement de la structure. Il a pour coordonnées :

R SR2 2

R Su

R SS2 2

R S

μ μ σσ σ

Zμ μ σσ σ

−⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠

Le point de fonctionnement représente le point de défaillance – puisque appartenant à la courbe d’état limite, qui a la plus forte probabilité d’occurrence – puisque situé sur le cercle d’iso-probabilité le plus petit.

On note αr

le vecteur unitaire portant (ZuO) de sorte que :

R2 2

R SRu

S S2 2

R S

σσ σα

Z O βα αα σ

σ σ

⎛ ⎞⎜ ⎟

+⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⇔ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟−

⎜ ⎟+⎝ ⎠

uuuur ur ur

Les composantes αR et αS de αr

sont appelées cosinus directeurs. Elles indiquent le poids relatif de chacune des variables R et S sur l’indice de fiabilité β.

En revenant dans l’espace physique (espace formé par les variables aléatoires R et S), l’équation des courbes d’égale densité devient :

22

2SR2 2

R S

( )( ) S μR μ kσ σ

−−+ =

Les courbes d’égale densité de probabilité sont donc des ellipses centrées sur le point C (μR, μS), qui représente l’état le plus probable de la construction (Figure 33).

La fonction d’état limite g est la première bissectrice de l’espace physique (Figure 33) :

0g R S= − =

Le point de fonctionnement Z de l’espace physique est ainsi défini par :

2 2R S S R

2 2R S R R R

2 2S S SR S S R

2 2R S

μ σ μ σσ σ μ α σ β

Zμ α σ βμ σ μ σ

σ σ

⎛ ⎞+⎜ ⎟+ −⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ −+ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠



Figure 33 : Représentation dans l'espace normé (à gauche) et dans l'espace physique (à droite).

1.3 - Applications de la théorie de la fiabilité

1.3.1 - De l ’approche probabil iste à l ’approche semi-probabil iste

L’approche probabiliste consiste à vérifier que l’indice de fiabilité β d’une structure est supérieur à une valeur référence appelée indice de fiabilité cible β0 :

0β β≥

Or nous avons vu que, dans le cas particulier d’un état limite linéaire g dont les variables aléatoires suivent une loi normale :

g R S= −

on peut exprimer l’indice de fiabilité de la structure en fonction de la moyenne et de l’écart-type de R et de S de sorte que :

R S2 2

R S

μ μβσ σ

−=

+

La vérification de l’approche probabiliste peut donc se transformer en :



( ) ( )

0

R S02 2

R S

2 2R S 0 R S

2 2R S

R S 0 2 2R S

22SR

R S 0 02 2 2 2R S R S

R S 0 R R 0 S S

R 0 R R S 0 S S

R 0 R R S 0 S S1 1

β β

μ μ βσ σ

μ μ β σ σ

σ σμ μ βσ σ

σσμ μ β βσ σ σ σ

μ μ β α σ β α σ

μ β α σ μ β α σ

μ β α CdV μ β α CdV

≥

−≥

+

− ≥ +

+− ≥

+

− ≥ ++ +

− ≥ −

− ≥ −

− ≥ −

En posant ( )d R 0 R R1R μ β α CdV= − et ( )d S 0 S S1S μ β α CdV= − , on peut présenter cette inégalité sous la forme :

d dR S≥

Pour établir un règlement semi-probabiliste, on s’appuie sur des valeurs caractéristiques qui seront fournies par le règlement. Ces valeurs caractéristiques sont établies à partir de statistiques et sont généralement traduites sous forme de fractile de l’échantillon mesuré : on lie la valeur caractéristique à la moyenne de l’échantillon par un biais de sorte que :

R R k S S ketμ ν R μ ν S= =

On peut donc déduire de l’approche probabiliste un règlement semi-probabiliste :

d d

kS k

R

R SR γ Sγ

≥

≥

avec :

dkR S S 0 S S

d R 0 R R k

1 et (1 )(1 )

SRγ γ ν β α CdVR ν β α CdV S

= = = = −−

1.3.2 - De l ’approche semi-probabil iste à l ’approche probabil iste

Dans cette étude, nous avons pris comme référence l’approche semi-probabiliste des Eurocodes pour construire notre approche probabiliste. Nous avons ainsi défini l’indice de fiabilité cible β0 comme l’indice de fiabilité d’une structure strictement dimensionnée au règlement.

En reprenant le cas particulier de la vérification linéaire du règlement :

kS k

R

R γ Sγ

≥

on dimensionne strictement la résistance R en posant :

0 R S kR γ γ S=



On définit alors l’indice de fiabilité cible β0 comme :

R0 S R 0 S k R R S S0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

R0 S R 0 R S k S R R S R S S

μ μ ν R ν S ν γ γ νβσ σ ν R CdV ν S CdV ν γ γ CdV ν CdV

− − −= = =

+ + +

L’indice de fiabilité de l’ouvrage β est donné quant à lui par :

R S R k S k2 2 2 2 2 2 2 2

R S R k R S k S

μ μ ν R ν Sβσ σ ν R CdV ν S CdV

− −= =

+ +

L’évaluation de la performance de l’ouvrage neuf consiste à s’assurer que :

0β β≥

Considérons que l’on apporte une nouvelle information sur la sollicitation S (nouvelle moyenne μS1 et nouveau coefficient de variation CdVS1) après inspection de l’ouvrage existant.

L’actualisation de la performance de l’ouvrage existant par approche probabiliste (calculs de niveau 5) consiste à s’assurer que :

1 0β β≥

où R S1 R k S1 k1 2 2 2 2 2 2 2 2

R S1 R k R S1 k S1


− −= =

+ +.

L’actualisation de la performance de l’ouvrage existant par approche semi-probabiliste (calculs de niveau 4) consiste à s’assurer que :

11kS k

R

ˆR γ Sγ

≥

où le coefficient 11Sγ vérifie :

( )

1111 R R S S1

0 S 022 2 11 2 2 2R R S R S1 S1

ˆˆ ˆ( )ˆ

ν γ γ νβ γ βν γ γ CdV ν CdV

−= =

+



Annexe 2 : Exemple simple d’application 2.1 - Présentation de l’exemple

Dans cet exemple, on considère un ouvrage que l’on caractérise par : • la résistance R de son matériau constitutif, de valeur caractéristique Rk = 50 kN ; • la sollicitation S qui lui est appliquée, de valeur caractéristique Sk = 24 kN.

Le règlement impose pour cet ouvrage la vérification semi-probabiliste suivante :

kd S k d

R

RR γ S Sγ

= ≥ =

où γR =1,50 et γS = 1,35 sont respectivement les coefficients partiels sur la résistance et la sollicitation.

2.2 - Calcul de l’indice de fiabilité cible β0 L’application de la théorie de la fiabilité à l’évaluation de l’ouvrage retenu passe par la définition d’un indice de fiabilité cible, qui sert de référence dans les approches probabilistes. Dans cette étude, l’indice de fiabilité cible est défini comme l’indice de fiabilité d’un ouvrage équivalent à celui présenté en section 2.1 mais dimensionné à l’état limite du règlement.

2.2.1 - Dimensionnement str ict au règlement

Le première étape du calcul de l’indice de fiabilité cible est le dimensionnement de l’ouvrage à l’état limite strict selon le règlement. Le dimensionnement vise à déterminer la résistance minimale de la structure sous les charges et les combinaisons du règlement.

Le règlement impose la vérification suivante sur la résistance R et la sollicitation S :

kd S k d

R

RR γ S Sγ

= ≥ =

On en déduit l’expression de la résistance minimale R0 de la structure :

0 R S k 1,50.1,35.24 48,60 kNR γ γ S= = =

Notons que R0 dépend du coefficient γR =1,50 sur la résistance et du coefficient γS = 1,35 sur la sollicitation.


Le mode de défaillance considéré pour le calcul en fiabilité correspond à la justification précédemment adoptée pour le dimensionnement strict au règlement (section 2.2.1).


g R S= −

Dans la fonction d’état limite g, les coefficients partiels γR sur la résistance et γS sur la sollicitation ne sont pas considérés.




On retient comme variables aléatoires les paramètres de la fonction d’état limite g, auxquels on associe une loi de probabilité dont les caractéristiques sont précisées dans le Tableau 74.



de variation

Résistance R (kN) 48,60 (R0) Loi normale 1,20 - 5%

Sollicitation S (kN) 24,00 Loi normale 1,00 - 20%

Tableau 74 : Variables aléatoires et lois de probabilité retenues dans l’exemple (paramètre dimensionné en jaune).

Notons que les coefficients partiels ne servent pas directement au calcul de l’indice de fiabilité mais qu’ils interviennent dans le calcul de la valeur nominale de la variable de dimensionnement, ici la résistance R0 = 48,60 MN (cf. section 2.2.1).







Dimensionnement R0 (kN) 48,60

Point de fonctionnement Z0 49,0684 49,0684

Cosinus directeurs α0 0,5192 -0,8547

Sensibilité à la moyenne Sm0 0,1781 -0,1781

Sensibilité à l’écart-type Ss0 -0,5649 -0,9299

R (kN) S (kN)

Tableau 75 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible de l’exemple.

Les variables aléatoires suivant une loi normale, on peut retrouver ces résultats par les formules développées en Annexe 1 : • indice de fiabilité cible β0 :

R0 S R 0 S k0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

R0 S R 0 R S k S

1,20.48,60 1,00.24 6,11081,20 48,60 0,05 1,00 24 0,20


− − −= = = =

+ + +

• point de fonctionnement Z0 :



( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

2 22 2

R0 S S R02 22 2

R0 S0 2 2 2 2

R0 S S R02 2 2

R0 S

1,20.48,60 1,00.24.0,20 1,00.24 1,20.48,60.0,05

1,20.48,60.0,05 1,00.24.0,20

1,20.48,60 1,00.24.0,20 1,00.24 1,20.48,60.0,05

1,20.48,60.0,05

μ σ μ σσ σ

Zμ σ μ σσ σ

−⎛ ⎞+⎜ ⎟ ++⎜ ⎟ =⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ +( )2

49,068449,0684

1,00.24.0,20

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

• cosinus directeurs α0 :

( ) ( )

( ) ( )

R02 22 2

R0 SR00

S S2 22 2

R0 S

1,20.48,60.0,05

1,20.48,60.0,05 1,00.24.0,20 0,51921,00.24.0,20 0,8547

1,20.48,60.0,05 1,00.24.0,20

σ

σ σαα

α σ

σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

uur

2.3 - Évaluation de l’ouvrage par approche probabiliste La définition d’un indice de fiabilité cible correspondant à l’état limite du règlement permet de procéder à une évaluation structurale de l’ouvrage étudié par approche probabiliste, en comparant son indice de fiabilité à sa valeur cible.

Pour l’évaluation de l’ouvrage neuf, les calculs portent sur la même vérification et sont menés avec la même fonction d’état limite et les mêmes variables aléatoires (Tableau 74) que pour les calculs de l’indice de fiabilité cible, à l’exception de la valeur nominale de la résistance prise à sa valeur caractéristique Rk = 50 kN au lieu de sa valeur de dimensionnement strict R0 = 48,60 kN, le biais et le coefficient de variation restant inchangés.



Point de fonctionnement Z 49,8876 49,8876

Cosinus directeurs α 0,5300 -0,8480

Sensibilité à la moyenne Sm 0,1767 -0,1767

Sensibilité à l’écart-type Ss -0,5955 -0,9528

R (kN) S (kN)

Tableau 76 : Résultats du calcul de l’indice de fiabilité de l’exemple.

Les variables aléatoires suivant une loi normale, on peut retrouver ces résultats par les formules développées en Annexe 1 : • indice de fiabilité cible β :

R S R S k2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

R S R R S k S

1,20.50 1,00.24 6,36001,20 50 0,05 1,00 24 0,20


− − −= = = =

+ + +

• point de fonctionnement Z :



( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 22 2

R S S R2 22 2

R S2 2 2 2

R S S R2 2 2 2

R S

1,20.50 1,00.24.0,20 1,00.24 1,20.50.0,05

1,20.50.0,05 1,00.24.0,20

1,20.50 1,00.24.0,20 1,00.24 1,20.50.0,05

1,20.50.0,05 1,00.24.0,20

μ σ μ σσ σ

Zμ σ μ σσ σ

⎛ ⎞−⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎜ ⎟+⎜ ⎟ =⎜⎜ ⎟+ −⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜+ ⎜⎝ ⎠ +⎝ ⎠

49,887649,8876

⎛ ⎞=⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎟⎟⎟

• cosinus directeurs α :

( ) ( )

( ) ( )

R2 22 2

R SR

S S2 22 2

R S

1,20.50.0,05

1,20.50.0,05 1,00.24.0,20 0,53001,00.24.0,20 0,8480

1,20.50.0,05 1,00.24.0,20

σσ σα

αα σ

σ σ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ++ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ur

On vérifie que l’ouvrage à la conception est conforme au règlement puisque l’indice de fiabilité de l’ouvrage neuf β est supérieur à son indice de fiabilité cible β0 :

06,3600 6,1108β β= ≥ =

Ce résultat n’est pas surprenant puisque la résistance de la structure est supérieure à la résistance minimale nécessaire pour satisfaire le règlement.

2.4 - Actualisation de coefficients partiels L’application de la théorie de la fiabilité permet également de proposer une actualisation (ou recalibration) des coefficients partiels du règlement destinés à l’évaluation semi-probabiliste de l’ouvrage, pour intégrer de nouvelles informations sur l’ouvrage existant tout en assurant le même niveau de fiabilité que celui requis pour un ouvrage neuf.

2.4.1 - Choix des coeff icients part iels à actualiser

Les résultats du calcul de l’indice de fiabilité cible (Tableau 75) montrent que les 2 variables aléatoires ont un poids significatif dans le calcul de β0, avec une part plus importante pour la variable S.



Les grilles de recalibration porteront donc sur : • le coefficient γR sur la résistance (pour l’ouvrage neuf γR = 1,50) : plage de biais 1,00 à 1,40 (biais ouvrage

neuf 1,20), plage de CdV 1% à 10% (CdV ouvrage neuf 5%) ; • le coefficient γS sur la sollicitation (pour l’ouvrage neuf γS = 1,35) : plage de biais 0,80 à 1,20 (biais ouvrage

neuf 1,00), plage de CdV 10% à 30% (CdV ouvrage neuf 20%).

2.4.2 - Calcul des coeff icients partiels actualisés

Les coefficients partiels sont recalibrés pour assurer à l’ouvrage existant un niveau de fiabilité identique à celui de l’ouvrage strictement dimensionné au règlement (β0 = 6,1108), selon la méthode décrite en Partie 1 (Chapitre 3, section 3.2). L’actualisation des coefficients partiels est conduite grâce à la fonction calib_coeff de ReliabTbx R1.5 et permet d’établir des grilles de coefficients partiels actualisés (Tableau 77 et Tableau 78).



Coefficient de variation CdVR Coefficient γR

1% 5% 10%

1,00 1,65 1,80 2,53

1,20 1,38 1,50 2,11 Biais νR

1,40 1,18 1,29 1,81

Tableau 77 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R de de l’exemple (valeur initiale de γR pour l’ouvrage neuf en jaune).



0,80 0,81 1,08 1,36

1,00 1,02 1,35 1,70 Biais νS

1,20 1,22 1,62 2,04

Tableau 78 : Grille des coefficients partiels recalibrés portant sur la sollicitation S de l’exemple (valeur de γS pour l’ouvrage neuf en jaune).

2.4.3 - Combinaison des coeff icients part iels actualisés

Les grilles de coefficients (Tableau 77 et Tableau 78) ayant été établies indépendamment les unes des autres, leur utilisation simultanée ou successive doit être validée en s’assurant que la combinaison de différents coefficients permet de garder le même niveau de fiabilité. Pour ce faire, on calcule l’indice de fiabilité cible correspondant aux combinaisons des différents coefficients partiels, que l’on compare à l’indice de fiabilité cible β0 = 6,1108.

Le Tableau 79 teste la combinaison des coefficients partiels recalibrés portant sur la résistance R et la sollicitation S.

S

Coefficient β0 Biais νS 0,80 1,00 1,20

Biais νR CdV 10% 20% 30% 10% 20% 30% 10% 20% 30%

1% 6,6780 6,1100 5,9916 6,6780 6,1100 5,9915 6,6780 6,1100 5,9918

5% 6,1103 6,1101 6,1101 6,1103 6,1101 6,1100 6,1103 6,1101 6,1103 1,00

10% 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2994

1% 6,6802 6,1115 5,9929 6,6802 6,1115 5,9928 6,6802 6,1115 5,9931

5% 6,1112 6,1108 6,1107 6,1112 6,1108 6,1106 6,1112 6,1108 6,1109 1,20

10% 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2994

1% 6,6799 6,1113 5,9927 6,6799 6,1113 5,9926 6,6799 6,1113 5,9929

5% 6,1109 6,1105 6,1105 6,1109 6,1105 6,1104 6,1109 6,1105 6,1107

R

1,40

10% 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2993 5,7002 6,1107 6,2994

Tableau 79: Grille de l'indice de fiabilité cible de l’exemple après combinaison des coefficients partiels recalibrés sur la résistance R et la sollicitation S combinés (valeur initiale de β0 en jaune).



Les indices de fiabilité résultant de la combinaison des coefficients partiels recalibrés sur la résistance R et la sollicitation S varient entre 5,7002 et 6,6802, soit un écart maximal de 9% par rapport à l’indice de fiabilité cible initial β0 = 6,1108 : cet écart montre que les couples de coefficients retenus ne se trouvent pas exactement sur le front de solution. On peut néanmoins admettre cette erreur et envisager la possibilité de combiner les coefficients partiels actualisés γR et γS, tout en garantissant le même niveau de fiabilité que celui requis pour l’ouvrage à la conception.

2.5 - Exemple d’application à l’évaluation de l’ouvrage neuf et existant

2.5.1 - Cadre de l ’exemple

L’ouvrage étudié est l’ouvrage neuf détaillé en section 2.1.

On évalue la performance de l’ouvrage à sa conception puis on actualise ce niveau de performance sur l’ouvrage existant. On considère, pour l’ouvrage existant, une mesure de la sollicitation de S1 = 28,80 kN, soit une augmentation de 20% par rapport à la valeur prise lors de la conception, mesure connue à une précision de 10%.

2.5.2 - Applicat ion du règlement seul

Évaluation de l ’ouvrage neuf

La sécurité de l’ouvrage neuf est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la structure à la sollicitation S qu’elle subit.

L’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd :

kd S k d

R

50 33,33 kN 32,40 kN 1,35.241,50

RR γ S Sγ

= = = ≥ = = =

Évaluation de l ’ouvrage existant

La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la structure à la sollicitation S1 mesurée lors de l’inspection. L’application stricte du règlement pour l’évaluation d’un ouvrage existant ne permet de prendre en compte que le changement de valeur moyenne de la sollicitation et pas sa précision de mesure.

L’ouvrage existant n’est pas conforme au règlement puisque sa résistance Rd est inférieure à la sollicitation Sd1 mesurée :

kd S k1 d1

R

50 33,33 kN 38,88 kN 1,35.1,20.241,50

RR γ S Sγ

= = = ≥ = = =/

2.5.3 - Applicat ion de la théorie de la f iabil i té



Le Tableau 80 rappelle la loi de probabilité adoptée pour la sollicitation S dans le calcul de β et β0.



de variation



Sollicitation S (kN) 24,00 Loi normale 1,00 - 20%

Tableau 80 : Rappel de la loi de probabilité de la sollicitation S pour le calcul des indices de fiabilité β et β0 de l’exemple.


06,3600 6,1108β β= ≥ =



On commence donc par actualiser l’indice de fiabilité de l’ouvrage pour intégrer la nouvelle information sur la sollicitation. Ce calcul est mené avec la nouvelle valeur moyenne (S = 1,20.24 = 28,80 kN), intégrée sous la forme d’un nouveau biais (1,20 au lieu de 1,00) et le nouveau coefficient de variation (10% au lieu de 20%) sur la sollicitation. Le Tableau 33 donne la nouvelle loi de probabilité adoptée pour le calcul de β1. On obtient ainsi un indice de fiabilité de l’ouvrage existant β1 :

1 7,5024β =



de variation Sollicitation S (kN) 24,00 Loi normale 1,20 - 10%

Tableau 81 : Actualisation de la loi de probabilité des sollicitations S pour le calcul de l’indice de fiabilité β1 de l’exemple (en bleu les caractéristiques modifiées par rapport au Tableau 80).


1 07,5024 6,1108β β= ≥ =

2.5.4 - Applicat ion du règlement avec gri l les de recalibration


L’évaluation de l’ouvrage neuf est identique à celle réalisée à la section 2.5.1 : l’ouvrage neuf est conforme au règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd : :

kd S k d

R

50 33,33 kN 32,40 kN 1,35.241,50

RR γ S Sγ

= = = ≥ = = =


La sécurité de l’ouvrage existant est évaluée par approche semi-probabiliste en comparant la résistance R de la structure à la sollicitation S1 mesurée lors de l’inspection.

La nouvelle information sur la sollicitation permet de calculer une nouvelle valeur de mesure Sd1 en remplaçant le coefficient partiel γS = 1,35 par le coefficient partiel actualisé correspondant à la nouvelle valeur des superstructures (S1 = 1,20.24 = 28,80 kN) et à son nouveau coefficient de variation (10%). On lit ainsi dans le Tableau 78 à la dernière ligne (biais 1,20) et la première colonne (CdV 10%) le coefficient actualisé:

S 1,22γ =



L’ouvrage existant est conforme au règlement puisque sa résistance Rd est supérieure à la sollicitation Sd1 :

kd S k d1

R

50 ˆ33,33 kN 29,28 kN 1,22.241,50

RR γ S Sγ

= = = ≥ = = =

L’utilisation des grilles de recalibration permet de retrouver le même résultat qu’un calcul direct en fiabilité.

2.6 - Fichiers de calcul ReliabTbx

2.6.1 - Calcul de l ’ indice de f iabil i té cible β0

Le calcul de l’indice de fiabilité cible β0 sous ReliabTbx suppose de définir trois fichiers Matlab : • le fichier ‘variables’, présentant les variables aléatoires et leurs caractéristiques ; • le fichier ‘état limite’, donnant la fonction d’état limite ; • le fichier ‘dimensionnement’, donnant la vérification imposée par le règlement.

Le fichier 'exemple_var.m' décrit les variables aléatoires, ici la résistance R et la sollicitation S, ainsi que leurs caractéristiques (Tableau 74) :

function var = exemple_var % Variable R var(1).nom='Résistance'; var(1).type=1; % 1 pour une loi normale var(1).par1=50*1.2; % moyenne de R (valeur caractéristique*biais) var(1).par2=50*1.2*0.05; % écart-type de R (moyenne*CdV) var(1).biais=1.2; % biais var(1).gamma=[1/1.5;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé] % Variable S var(2).nom='Sollicitation'; var(2).type=1; % 1 pour une loi normale var(2).par1=24; % moyenne de S (valeur caractéristique*biais) var(2).par2=24*0.2; % écart-type de S (moyenne*CdV) var(2).biais=1; % biais var(2).gamma=[1.35;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé]

Notons que dans ce fichier, c’est la valeur caractéristique Rk = 50 kN qui est donnée et non la valeur de dimensionnement R0 = 48,60 kN : ceci s’explique par le fait que, pour le calcul de l’indice de fiabilité cible, ReliabTbx calcule lui-même cette valeur de dimensionnement R0 grâce à l’expression du fichier de dimensionnement et que la valeur donnée ici n’est donc pas prise en compte.

Le fichier 'exemple_el.m' donne la fonction d’état limite g :

function g=exemple_el(z) % Affectation des variables aléatoires R=z(1); S=z(2); % Tirage des variables aléatoires {R,S} % Fonction g d'état limite g=R-S



Le fichier 'exemple_el0.m' donne l’expression du paramètre dimensionné strictement au règlement, ici la résistance R :

function Rd0=exemple_el0(z) % Affectation des variables aléatoires Rd=z(1); Sd=z(2); % Expression de la variable dimensionnée (en valeur de mesure) Rd0=Sd;

Le calcul de l’indice de fiabilité cible β0 est finalement réalisé grâce à la commande fiabdesign :

fiabB0=fiabdesign('exemple_el','exemple_el0','exemple_var',[],[],[1],options)

où : • [1] désigne le numéro de la variable dimensionnée (ici la résistance R porte le numéro 1 dans le fichier de

variables exemple_var.m) ;

• options est réglé via la commande fiabset, soit pour une méthode par surface de réponse linéaire avec plan d’expérience en étoile options=fiabset('type_res',1,'type_prob',6).

2.6.2 - Calcul de l ’ indice de f iabil i té β

Le calcul de l’indice de fiabilité β est finalement réalisé grâce à la commande fiabcom :

fiabcom=fiabcomp('exemple_el','exemple_var',[],[],options)

avec les fichiers exemple_el.m et exemple_var.m présentés en 2.6.1.

Notons qu’ici c’est bien la valeur donnée dans le fichier exemple_var.m qui est prise en compte (soit la valeur caractéristique Rk = 50 kN).

2.6.3 - Actualisat ion des coefficients partiels

Pour l’actualisation d’un coefficient partiel, il faut modifier le fichier de variables pour introduire le nouveau biais et le nouveau coefficient de variation du paramètre faisant l’objet de l’actualisation.

Le fichier 'exemple_var.m' peut ainsi être modifié pour introduire un nouveau biais νS = 1,2 et un nouveau coefficient de variation CdVS = 10% sur les sollicitation S :

function var = exemple_var % Variable R var(1).nom='Résistance'; var(1).type=1; % 1 pour une loi normale var(1).par1=50*1.2; % moyenne de R (valeur caractéristique*biais) var(1).par2=50*1.2*0.05; % écart-type de R (moyenne*CdV) var(1).biais=1.2; % biais var(1).gamma=[1/1.5;0]; % coefficient partiel [valeur;non actualisé] % Variable S var(2).nom='Sollicitation'; var(2).type=1; % 1 pour une loi normale var(2).par1=24*1.2; % moyenne de S (valeur caractéristique*nouveau biais) var(2).par2=24*1.2*0.2; % écart-type de S (nouvelle moyenne*CdV) var(2).biais=1.2; % nouveau biais var(2).gamma=[1.35;1]; % coefficient partiel [valeur;actualisé]



L’actualisation porte donc sur le coefficient partiel γS relatif à la sollicitation : elle est activée en passant à 1 le deuxième argument du paramètre gamma.

Le coefficient partiel actualisé est finalement calculé grâce à la commande calibcoeff :

calib=calibcoeff('exemple_el','exemple_el0','exemple_var',[],6.1108,[],[1],options)

où : • les fichiers exemple_el.m et exemple_var.m sont ceux présentés en 2.6.1 ;

• 6.1108 désigne la valeur de l’indice cible β0 à atteindre.

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