1 Thèse Recherche Opérationnelle 2003 Gestion dynamique dun portefeuille de commandes Par Claude...

1Thèse Recherche Opérationnelle 2003

Gestion dynamique d’un portefeuille de commandes

Par Claude YUGMA


Problématique

Entreprise travaillant à la commande

Caractéristiques techniques de la commande

Date de livraison souhaitée

Contraintes de l'Entreprise

Faisabilité de la commande

Capacité de production: disponibilité des ressources, charge de travail en cours

Exigences du Client


ProblématiqueNégociation des dates de livraison

2) Client Entreprise

Le client fixe la date de livraison voulue

L’entreprise peut accepter ou refuser la commande proposée.

Remarque : la négociation ne s’arrête pas uniquement à une réponse binaire « oui » ou « non » d’une des deux parties. Les dates, les prix sont négociables.

1) Entreprise Client

L'entreprise propose une date de livraison (due date assignment)

Le client peut l'accepter ou la refuser


Problématique

Nous nous plaçons dans le cas où: le client impose une date de livraisonl'entreprise accepte ou refuse.

Une commande acceptée et livrée à l’heure dégage une marge (le gain).

L’entreprise se voit retenir des pénalités en cas de retard de livraison.

Ceci pour conserver de bonnes relations avec le client On a prévu des pénalités au moment de la commande


Problématique

Comment sélectionner et ordonnancer les commandes de sorte à maximiser le gain ?

On a donc un problème de sélection et un problème d’ordonnancement

Sélectionner les commandes qui seront acceptées par l’entreprise.

Ordonnancer ces commandes de sorte à maximiser le profit.


Problématique Exemple

2

1

3

1 2 3

Gain total=15+50+(30-20)=753

2

Gain total=50+30=80

2 3

3 commandes C1(10,15,20) C3(25,30,40)C2(15,50,30)

Pénalité fixe et égale à 20Pi Gi di


Plan

Modélisation du problème dans un contexte statique

Etat de l’art des problèmes présentant des similitudes

Résolution par des méthodes exactes

Résolution par des heuristiques

Contexte dynamique

Conclusion & perspectives


Plan





Contexte dynamique



L'entreprise comporte un poste (atelier) goulot

problème à une machine

On se place dans un contexte statique• on a un portefeuille de commandes sur lesquelles l'entreprise

doit statuer• pour chaque commande , on connaît

le temps de process , la date de livraison voulue par le client , le gain

la pénalité

Modélisation

n

idig

ip

i

)( ii Tfi fixe

iiTw linéaire


Formulation du problème

1) le meilleur sous ensemble de commandes à accepter et

2) un ordonnancement

S

S

Le Problem of Selection and Scheduling (PSS) consiste à:

retard de la commande dans l’ordonnancement

iiT

))(( ii

Sii Tfg

gain pénalités

De sorte à maximiser

où


Reformulation du problème

i

iiii UTfg ))(,min(

Le Problem of Scheduling (PS) consiste à déterminer un ordonnancement pour les commandes de sorte à minimiser

Où iU

1 si la tâche i est en retard dans

0 sinon


Reformulation du problème

Lemme: Le problème (PSS) et (PS) sont équivalents : une solution optimale de (PSS) peut être transformée en temps polynomial en une solution de (PS) et vice versa.

Le (PS) généralise 2 problèmes connus de la littérature

iiii UTfg ))(,min(1 iiTw1

iiUg1


Plan




Contexte dynamique



le problème de minimisation du retard

le problème de minimisation de tâches

iiTw1

iiUw1


Problème 1||wiTi

Lawler (1977) Algorithme pseudo polynomial par la programmation dynamique O( ) ( pour le cas )Pn4 1iw

Emmons relations de dominance (position relative des tâches)

Du et Leung (1990) NP-Difficile au sens ordinaire pour le cas wi=1.

Lawler (1977), Lenstra, Rinnooy Kan & Brucker:

est NP-Difficile au sens fort. ni

iiTw,1

1


Problème 1||giUi

Karp (1972) : NP-Difficile au sens ordinaire.

Lawler & Moore (1969) : Algorithme pseudo -polynomial par la programmation dynamique . )( 3 ignO

Moore & Hodgson (1968): Algorithme polynomial où 1ig

)log( nnO

Baptiste (1999) : montre que le problème en et pour le problème une complexité de où et k est le nombre distincts de

iiii Ugrpp ,1

)log( 3 nnO iii Ugpmtnr ,1

)( 22GnkO igG ir

Karger (1997) proposa une FPTAS





Contexte dynamique


Plan

Résolution par des méthodes exactes Complexité du problème

Programmation linéaire

Branch and Bound

Programmation dynamique


Cas des pénalités fixes

Théorème: le problème de sélection et d ’ordonnancement avec des pénalités fixes est NP-difficile au sens ordinaire.

Idée de la preuve: le problème avec des pénalités fixes se ramène au problème qui est NP-difficile au sens ordinaire.

iiUw1

Quelques cas particuliers

Si où est le minimum des gains min)( gTf ii ming iU1

Si où est le maximum des gains et les dates de livraison identiques Knapsack.

max)( gTf iii maxg

Le problème s’écrit oùproblème qui est résolu en .

iiUw1

) , min(i i ig w

)( iwnO

Ce problème admet une FPTAS


Cas des pénalités linéaires

Théorème: le problème de sélection et d’ordonnancement avec des pénalités linéaires i.e. est NP-difficile au sens fort.

iii TTf )(

Idée de la preuve: la réduction se fait à partir du problème qui est un problème NP-difficile au sens fort.

iiTw1

On part d’une instance de NP-difficile au sens fort

iiTw1),,,( KwdpI iii

On construit l’instance I’iiii TwTf )(

ii pp '

''ii pd

)(' iii pwg

KgK i '

Il s’agit de montrer l’existence d’une sélection S et d’un ordonnancement qui garantissent un profit ssi il existe un ordonnancement pour l’instance I avec un retard inférieur à K

S


Cas des pénalités linéairesFormulation linéaire

Les contraintes

jix

iy

iz

yMdpxz

ix

jixx

ij

i

i

jiijjiii

ii

jiij

,1,0

,1,0

,0

))1((

,1

,1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Résolu avec Cplex 5 sur un ordinateur Pentium II

i j

,0

,1ijx

précède

sinon

Variables de décision :

rejeté

acceptéyi ,0

,1

)( iii

i zyg maxFonction objectif

iz Coûts de pénalité


Tests expérimentaux

iii TTf )(ii pg

Les suivent une loi Gaussienne deip )100,200(N

...

Comparaison des temps d exécution 200t

Nbre commandes

15

20

23

10

PL1 PL2

25.47 s

>15 mns 0.79 s

>30 mns 30.33 s

0.78 s

0.53 s 0.05 s

Optimale

2087

4739

4161

3568

100tRésultats des tests pour

OptimaleNbre commandes Tps d’exécution

14

12

10

>30 mns

5.13 s

1.27 s

1.20 s

13

1161

1689

1541

ii ptid *t


•Les tâches en retard:Si 2 tâches consécutives i et j sont en retard et même en les interchangeant alors il est dominant de les placer par croissants

i

i

w

p

Branch and Bound

•Si une tâche i est telle que , alors elle est rejetéeiii gTw

• Les tâches à l’heure :• Si 2 tâches consécutives i et j sont à l’heure avec j placée avant i et

alors il est dominant de les placer par EDD (Emmons)ji dd


Branch and Bound

Pour la tâche i, la date à laquelle le gain devient nul est :

i

iii w

gdD

Considérons le problème en prenant Di comme due date (rappel : pseudo-polynomial). Soit V l’optimum.

iiUg1

Théorème: La valeur de l’objectif du problème de sélection et d’ordonnancement est bornée par Vgi

t

Profit

di Di

gi


Calcul: borne supérieure

Calcul de la borne:

NP-Difficile [Lawler & Moore (1969), algorithme pseudo polynomial ]

iiUg1

)( 3 ignO

Calculer la borne peut prendre un temps relativement élevé

Nous faisons le choix d’un calcul rapide de la borne au détriment de sa précision heuristique, relaxer la borne

T1

1

T2

4

T3

8 10

T4 T1

1

T2

4

T3

8

T4

6

Max pi

Rejeter

Min wi


Tests expérimentauxContribution de la borne

3483 0.01 s20873479

5077862 2.08 s41614991039

30 mn84621447436881

1447436918

n Sans borne

Nnavec borne

Nn

opt temps

10

20

30

200tCas

La borne supérieure n’est pas efficace !

Néanmoins le traitement va jusqu’à 30 tâches !

n Sans borne

Nnavec borne

Nn

opt temps

10

20

30

3209

818375

24245330

3164

816008

24245317

1161

2200

5751

0.01 s

0.85 s

25.3 mn

100tCas



Le problème traité est constitué d’un problème de sélection et d’un problème d’ordonnancement :

On s’intéresse à une situation un peu différente

Si on se fixe une séquence, comment trouver le meilleur sous-ensemble ?

Lemme: le problème ainsi défini est NP-difficile au sens ordinaire.

i

iiTw1 Si on se fixe l’ensemble S à sélectionner on cherche le meilleur ordonnancement



avec

),1()(

),1(max),(

)()()()( )( iiii ptiGdptfg

tiGtiG

i

Le programme est en )( PnO i

ipP

Soit une séquence fixée , la ième tâche )(i

)()...2(),( ni Notons : gain maximal que l’on peut obtenir sur

t: représente la date de début de l’ordonnancement

),( tiG

)1( i)(i )(n)2( i

)1( i )3( i)2( i )2( n


Cas particulier , , on se fixe séquence EDD


ii pg iii TTf )(200t

Propriété: La séquence EDD est dominante lorsque les gains sont égaux au temps des tâches, et les pénalités linéaires.

n DP B&B Tps DP Tps B&B

10

20

30

2087

4161

4529

2087

4161

4529

0.01 s

0.03 s

0.09 s

0.01 s

0.79 s

30 min

100 10093 ?? 1 s ??

Corollaire: Sous ces hypothèses, la PD sur EDD permet d’obtenir la meilleure sous-séquence.





Contexte dynamique


Plan

Résolution par des heuristiquesiiTw1Heuristiques proches de

Un recuit simulé


Approche par des heuristiques

Il existe dans la littérature des algorithmes de liste basés sur des règles de priorité pour iiTw1

iiTw1Le problème traité est proche du problème

COVERT

ATC

WPD

GPD

Rôle Définition fonction

Apparent Tardiness Cost

Gain Processing Due date

Weighted Processing Due date

Weighted Cost Over Time

)max(ii

i

dp

w

))),0max(

1,0max(max(i

ii

i

i

kp

ptd

p

w

))),0max(

exp(max(pk

ptd

p

w ii

i

i

)max(ii

ii

dp

gw

Algorithmes fournissant de bons résultats Adaptation au problème.


Adaptation des algorithmes

On rappelle que pour une tâche i est la date qui annule le profit i

iii w

gdD

iii Ddd )1( On fixe des deadlines

Pendant la construction dynamique de la solution dès qu’une tâche i est sélectionnée pour être ordonnancée on la compare à :

id

ii dC La tâche est rejetée

Sinon elle est acceptée



200t



100tgi indépendants de pi


Un recuit simulé

Pour cette technique, nous avons besoin de définir les voisinages de recherche.

On dira que 2 séquences sont voisines si l’une peut être obtenue par transposition de 2 tâches

L’espace de recherche est l’ensemble des séquences sur [1…n]. Pour une séquence donnée, il y a O( ) voisins2n

Les tests expérimentaux ont montré que les heuristiques sont intéressantes. Compromis entre optimisation et heuristique: recuit simulé


Le recuit simulé

G( ): est le meilleur gain obtenu par PD sur la séquence

Le principe de l’algorithme est le suivant:

Choisir y au voisinage de et calculer G = G(y) - G() Si G > 0 remplacer : y

Si G(y) > G(meilleur) alors meilleur y fin Si

Sinon accepter y avec une certaine probabilité (Boltzmann)



Comparaison Recuit & PD 100t


Plan Modélisation du problème dans un contexte statique





Contexte dynamiqueRésolution par la méthode du statique itératif


Contexte dynamique

Les commandes arrivent au fil de l’eau dans l’entreprise

On connaît

le portefeuille de commandes déjà accepté i.e.

différentes commandes qu’il faut réaliser

le mix prévisionnel

Les proportions pour chaque famille de produits

Entreprise

Comment décider d’accepter ou refuser une commande?


Le statique itératif

Principe: A chaque instant de décision le décideur fixe un certain nombre de paramètres et prend une décision sur des données déterministes en respectant les contraintes tout en cherchant à optimiser son objectif.

2 événements correspondant aux décisions à prendre

Une commande arrive

Disponibilité de la machine

Accepter ou refuser

Quoi ordonnancer ?


Statique itératif

Evénement 1

Commande arrive ??

Horizon

Portefeuille + commande en cours + k tâches fictives

Machine

Tâche en exécution

Tâches dans le portefeuille

Tâches fictives

Tâche en cours d’exécution


Statique itératif (suite)

Horizon

Fin d’exécution d’une tâche

Portefeuille + k tâches fictives

Evénement 2

L’algorithme calcule au fur et à mesure le gain généré G1.

On mémorise l’ensemble des tâches reçues. A posteriori, on fait tourner l’heuristique ATC sur cet ensemble, G2

Performance=2

1

G

G

Fin d’exécutionMachine disponible

Performance de l’algorithme


Protocole des tests

Nous avons considéré qu’il y a 3 Familles de produits

f1 a une durée moyenne de 30, un mix de 20%



Moyenne des durées des tâches 136

Le temps de travail effectif est fixé à 150000

travail global

Le nombre moyen de commandes

L’inter arrivée est 1251213

150000

1213136

165000

165000150000*)1.01(


Résultats des tests


Plan





Contexte dynamique




Nous avons étudié un nouveau problème d’ordonnancement qui est un mix entre le retard et le nombre de tâches en retard pour 2 types de pénalités

Pour les 2 types de pénalité le problème est NP-difficile, et au sens fort pour des pénalités linéaires.

Pour le résoudre nous avons proposé une résolution par des méthodes exactes et approchées.

Programmation linéaire en nombres entiers 20 tâches

Procédure par séparation et évaluation progressive 30 tâches


Conclusion

Pour tenter d’améliorer le nombre de tâches à traiter nous avons proposé des méthodes heuristiques

En dynamique où les commandes arrivent au fil de l’eau nous avons proposé une méthode de statique itératif. Les tests ont montré que les résultats sont intéressants par rapport au ratio indiqué.

Ces heuristiques sont issues de .

Nous avons adapté ces heuristiques au problème. L’adaptation donne de bons résultats

Un recuit simulé basé sur des séquences a été proposé et fournit des résultats intéressants

iiTw1

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