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Partie A : Raisonnement et de Calcul Littéral

1 Reconnaître une somme et un produitDéfinition 1

On dit qu'une expression est :

une somme lorsque la dernière opération réalisée pour l'évaluer est un + ou un -

un produit lorsque la dernière opération réalisée pour l'évaluer est un ×

un quotient lorsque la dernière opération réalisée pour l'évaluer est un ÷

Attention : il faut bien respecter les règles de priorités de calcul.

Explication : puisque soustraire c'est ajouter l'opposé et que tous les nombres ont un opposé, les mathématiciens parlent de somme même pour une soustraction.

Vocabulaire :

Dans une somme, les nombres (en chiffre ou littéral) séparés par des+ ou des – sont

appelés les termes de la somme.

Dans un produit, les nombres (en chiffre ou en littéral) séparés par des × sont

appelés les facteurs du produit.

Remarque : on parle parfois de somme algébrique pour parler d'une somme.

Exemples:

7,5+8×4 est une somme avec deux termes : 7,5 et 8×4

(7÷2+1) (x+1,3) est un produit avec deux facteurs : 7÷2+1 et x+1,3

3 x+2−7 a+b est une somme contenant quatre termes : 3x, 2, -7a et b.

3 (x+1) (3−y) est un produit contenant trois facteurs : 3, x+1 et 3-y

(x+3)÷(y+1) est un quotient.

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2 Développer, factoriser et réduire une expression

2.1 Rappel : la distributivité simplePropriété A 1

Quels que soient les nombres k, a et b, on a l'identité :

k (a+b)=ka+kb

Démonstration : faite en cinquième.

Remarques :

• On a aussi (a+b)×k=a×k+b×k , ce qui est équivalent.

• Dans (a+b )×k , on dit que le facteur k est commun.

Important : k, a, b peuvent être négatifs

Exemple avec un b négatif (b=−4 ) : 3(a−4 )=3(a+(−4 ))=3a+3×(−4 )=3a−12

2.2 Développer

Méthode MA4: Développer, c'est transformer un produit en somme.

http://videos.math-dujardin.fr/4MA40 ou scanner le QR code

Exemples vidéos à recopier

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http://videos.math-dujardin.fr/4MA40

2.3 Factoriser

Méthode MA5 : Factoriser, c'est transformer une somme en produit.



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Page pour exemples

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2.4 Réduire une expression en factorisantLorsqu'une même partie littérale apparaît plusieurs fois dans une expression, on peut étendre la propriété de distributivité :

Définition 2: réduire une expression.

Réduire une expression c'est la rendre plus simple en utilisant la distributivité autant

de fois que nécessaire pour regrouper chaque partie littérale différente enun seul terme.

Exemple : 3a+4a−2a+10 b+20 b−5b=(3+4−2)a+(10+20−5)b=5a+25b

Expression de départ Factorisation de a et b Expression réduite

Méthode MA6: pour réduire efficacement une expression, on peut

1. repérer les parties littérales différentes (a et b dans l'exemple)

2. effectuer pour chacune la somme de leurs coefficients directement(attention aux signes + et -).



Complément : exemple 3 sur le site.

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2.5 Développer et réduire avec la double distributivitéPropriété A 2

Quels que soient les nombres a, b, c et d, on a l'égalité :

(a+b )(c+d )=ac+ad +bc+bd

Démonstration : on utilise deux fois la distributivité simple.

Soient a, b, c et d quatre nombres : (a+b )(c+d )=a (c+d )+b (c+d )=a c+ad +b c+b d

Remarque : la double distributivité s'applique aussi avec des nombres négatifs et

des soustractions.

Méthode MA8: pour développer efficacement avec la double distributivité,on peut pour chacun des quatre termes :

• Etudier le signe d'abord,

• Ecrire le produit des distances à zéro ensuite.



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3 Gérer les parenthèses dans une expression littéraleRègle

Pour ajouter une expression qui est une somme : on peut ajouter chacun de ses termes.

Pour soustraire une expression qui est une somme : on peut soustraire chacun de ses termes.

Pour ajouter ou soustraire une expression qui est un produit, on peut

d'abord développer pour appliquer les règles précédentes.

Méthode MA7: pour transformer une expression en supprimant lesparenthèses, il faut bien repérer :

1. si la parenthèse est le facteur d'un produit (développer si c'est le cas).

2. si l'opération devant la parenthèse et une addition ou unesoustraction.



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4 Données, conjectures, propriétés et théorèmes

4.1 Le débat d'idéeRègle 1 : Une proposition est soit vraie, soit fausse.

Explication : une proposition qui est parfois vraie, parfois fausse sera considérée comme fausse.

Exemple de proposition : « Les triangles sont isocèles »

Selon le triangle, c'est parfois vrai, parfois faux. Il est donc faux de penser que tout les triangles sont isocèles.

Règle 2 : Un contre-exemple suffit à prouver qu'une proposition est fausse.

Explication : c'est une conséquence logique de la règle 1.

Exemple de proposition : « Aujourd'hui, tous les élèves de la classe ont 13 ans ».

(A compléter en classe)

Règle 3 : Des exemples ne suffisent pas à prouver qu'une proposition est vraie.

Explication : c'est aussi une conséquence logique de la règle 1.

Exemple de proposition : « Aujourd'hui, tous les élèves de la classe ont 13 ans ».

(A compléter en classe)

Règle 4 : Des mesures se sont jamais assez précises pour prouver qu'une proposition est vraie ou fausse.

Explication : la précision des outils de mesure, même informatiques, n'est pas suffisante pour affirmer des vérités.

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4.2 Justifier ce que l'on ditA propos d'une question, on peut :

Comprendre

soi tout seul

Il s'agit de trouver et comprendre une réponse correcte à la question posée. Ce n'est pas toujours facile ! On connaît parfoisla réponse, mais on ne sait pas s'expliquer pourquoi.

Expliquerà son groupe de travail

Il s'agit d'expliquer pourquoi sa réponse est bonne, souvent paroral. Le but est que les autres comprennent aussi à leur manière pourquoi la réponse est la bonne.

Prouver à tous

Il s'agit d'expliquer sa réponse, souvent par écrit.

Même si le lecteur n'a pas encore compris pourquoi la réponse est bonne, il doit, étape par étape, devenir sûr du raisonnementcar il utilise les propriétés et définitions connues.

Démontrer aux mathématiciens

En plus d'être clair, il faut prouver sa réponse avec les outils, conventions et notations précises des mathématiciens.

En quatrième, l'objectif principal est de savoir prouver ce que l'on affirme, en s'approchant le plus possible de la rigueur mathématique.

4.3 Données et conjectures

Les questions mathématiques comportent des informations considérées comme vraies : ce

sont les données de départ. Elles sont dans le texte ou codées sur les figures.

Définition 3

Ce qui vous semble vrai mais n'est pas donné clairement dans l'énoncé est appelé

conjecture.

Exemple :

On sait que ABC est rectangle en A.On ne connaît pas les mesures des côtés.Mesurer n'apporterait rien de précis ni de sûr.

On connaît les mesures de DEF.On ne sait pas s'il est rectangle en E. On peut le penser : c'est une conjecture.

Important : bien distinguer donnée (vraie) et conjecture (semble vraie) dans les

situations est essentiel.

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Exemple à coller

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5 Notion de propriété et de théorèmeVotre « boîte à outil de mathématicien » comporte des propriétés/théorèmes dans le cours,qu'il faut connaître, et qui sont souvent exprimés comme suit :

Propriété/théorème

Si <condition> alors <conclusion>

Lorsque les conditions d'application sont vraies (données), la conclusion le devient aussi.

Les propriétés/théorèmes utilisent des données pour transforment des conjecturesen nouvelles données.

5.1 Appliquer une propriété

Méthode MA11. pour rédiger une étape de démonstration, on peut procéder comme suit :

1. Lister les données qui correspondent aux <conditions> du théorème.« Données » ou « On sait que ... »

2. Citer le théorème (son nom ou l'écrire en entier)En rédaction efficace, on peut ne pas écrire les propriétés.

3. Enoncer la <conclusion> qui devient une nouvelle donnée.« Conclusions » ou « Donc ... »



Remarque : Il y a d'autres manières de rédiger possibles sur la vidéo.

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5.2 ContraposéeDéfinition 4

La contraposée d'une propriété se construit en permutant les <conditions>

et la <conclusion> tout en prenant la négation de chacune.

Propriété A 3

La contraposée d'une propriété est toujours vraie

Démonstration: Admise et intuitive.

A retenir : on utilise souvent les contraposées pour montrer qu'une proposition est fausse. Elle sont très pratiques !

Exemple :

Si <je suis en 4ème>, alors <je suis collégien>.

Cette proposition est vraie (évident et admis).

La contraposée est :

Si <je ne suis pas collégien>, alors <je ne suis pas en 4ème>Elle est vraie aussi, car toutes les contraposées de propositions vraies sont vraies.

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5.3 Réciproque d'une propriétéDéfinition 5

La réciproque d'une propriété se construit en permutant les <conditions> et la <conclusion>.

Exemple 1 :

Propriété :

Si <un point est sur la médiatrice d'un segment>, alors <il est équidistant des deux extrémités>.

La réciproque est :

Si <un point est équidistant des deux extrémités d'un segment>, alors <il est sur la médiatrice de ce segment>

Remarque : cette réciproque est vraie

Attention : les réciproques des propriétés ne sont pas toujours vraies. Cela dépend de la propriété. On ne peut donc utiliser que les réciproques qui sont dans le cours.

Exemple 2 :

Si <je suis en 4ème>, alors <je suis un collégien>.

La réciproque est :

Si <je suis un collégien>, alors <je suis un 4ème>.

Cette réciproque est fausse. Vous connaissez forcément un contre exemple : un collégien qui n'est pas en quatrième (en cinquième par exemple).

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6 Notion d'équation

6.1 Egalités équivalentesDéfinition 6

Deux égalités sont équivalentes si lorsque l'une est vraie, l'autre aussi (et donc lorsque l'une est fausse, l'autre aussi).

Propriété A 4

En ajoutant ou en soustrayant le même nombre aux deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente.

Démonstration: admise

Propriété A 5

En multipliant ou en divisant par le même nombre non nul les deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente.

Démonstration: admise

Propriété A 6

En réduisant, en développant, en factorisant, ou en mettant au même dénominateur

un seul ou les deux côtés d'une égalité, on obtient une égalité équivalente.

Démonstration: on ne change pas un nombre en le factorisant, le développant, en mettant au même dénominateur. On change sa forme d'écriture, mais pas le nombre.

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6.2 C'est quoi une équation ?Définition 7

Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu (parfois plusieurs)

Autrement dit : c'est une sorte d'énigme avec des nombres.

Important :

• Il n'y a qu'un seul signe = dans une équation

• On appelle membre de gauche et membre de droite les expressions autour du =

6.3 Résoudre une équation.Vocabulaire : résoudre une équation d'inconnue x c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vraie, que l'on appelle les solutions.

Autrement dit : il s'agit de résoudre l'énigme complètement.

Méthode MA10. Pour résoudre une équation dont l'inconnue est x, on écritune liste d'égalités équivalentes en utilisant les propriétés du cours jusqu'à

ce que la dernière donne x=… .http://videos.math-dujardin.fr/4MA100 ou scanner le QR code


Exemple 1 : à consulter sur le site (tester une équation : explications)

Le même avec une rédaction complète :

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