N:2006 ENAM 52 Ecole doctorale n 432 : Sciences des Mtiers de lIngnieur T H S E pour obtenir le grade de Docteur de lcole Nationale Suprieure d'Arts et Mtiers Jury : M. Jean-Paul LOUIS, Professeur, SATIE, ENS, Cachan ................................................................ Prsident M. Farid MEIBODY-TABAR, Professeur, GREEN, ENSEM, Nancy................................ Rapporteur M. El Hadi ZAIM, Professeur, IREENA, EPUN, Saint-Nazaire ................................ Rapporteur M. Mohamed BENBOUZID, Professeur, LIME, IUT, Brest ................................................................ Examinateur M. Philippe VIAROUGE, Professeur, LEEPCI, Universit Laval, Qubec................................ Examinateur M. J-Frdric CHARPENTIER, Matre de Confrences, IRENAV, EN, Brest................................ Examinateur M. Eric SEMAIL, Matre de Confrences, L2EP, ENSAM, Lille ................................ Examinateur M. Stphane CLNET, Professeur, L2EP, ENSAM, Lille ................................................................ Examinateur M. Paul LETELLIER, Jeumont SA, AREVA................................................................ Invit Institut de Recherche de lEcole Navale, EA 3634 Ecole Navale, Brest LENSAM est un Grand Etablissement dpendant du Ministre de lEducation Nationale, compos de huit centres :AIX-EN-PROVENCEANGERSBORDEAUXCHLONS-EN-CHAMPAGNECLUNYLILLEMETZPARIS Spcialit Gnie Electrique prsente et soutenue publiquement par Franck SCUILLER le 13 dcembre 2006 DVELOPPEMENT DOUTILS DE CONCEPTION DEMACHINES POLYPHASES AIMANTS UTILISANT LAPPROCHE MULTIMACHINE Directeur de thse : Stphane CLNET Coencadrants : Jean-Frdric CHARPENTIER et Eric SEMAIL tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008RemerciementsFinancesparlaMarineNationale, cestravauxdeth`eseonteterealises`alInstitutdeRecherchedelEcoleNavale(IRENAV)situe`aBrest. IlssinscriventdanslecadredunecollaborationavecleLaboratoiredElectrotechniqueetdedElectroniquedePuissancedeLille (L2EP) portant sur la problematique de la propulsion electrique navale.Je remercie tout dabord mon encadrant principal, Jean-Frederic Charpentier, Matre deConferences `a lEcole Navale. Initiateur de la collaboration avec le L2EP, Jean-Frederic a suproposer un sujet reellement passionnant, me suggerer des pistes, controler avec pertinencemes initiatives puis me laisser lautonomie necessaire au bon appropriement du sujet. Il mafait conance et je lui en suis sinc`erement reconnaissant.Je remercie egalement mon second encadrant Eric Semail, Matre de Conferences `a lEcoleNationaleSuperieureDArtsetMetiersdeLille. Malgreladistance, il atoujoursrepondutr`es rapidement `a mes sollicitations. Ses conseils ont ete precieux et decisifs. Je consid`ere quecest une chance exceptionnelle davoir pu travailler avec lui.Je remercie chaleureusement mon directeur de th`ese, Stephane Clenet, Professeur `a lEcoleNationale Superieure DArts et Metiers de Lille. En charge du suivi administratif, Stephanema soutenu et a tout fait pour que les conditions necessaires `a la realisation des objectifs xessoient reunies. Jai particuli`erement apprecie son implication scientique. Sa bienveillance `amon egard restera attachee aux souvenirs de cette periode de doctorat.Je remercie Monsieur Jean-Paul Louis, professeur `a lEcole Normale Superieure de Cachan,de mavoir fait lhonneur de presider le jury de th`ese. Je remercie egalement Messieurs El HadiZam, Professeur `a lEcole Polytechnique de lUniversite de Nantes, et Farid Meibody-Tabar,Professeur`alEcoleNationaleSuperieuredElectriciteetdeMecaniquedeNancy, davoiraccepte de rapporter ce memoire.Mesremerciementssadressentaussi `aMonsieurMohammedBenbouzhid, Professeur`alInstitut Universitaire Technologique de Brest pour avoir accepte la charge dexaminateur et`a Monsieur Paul Letellier, Ingenieur chez Jeumont SA, pour avoir repondu favorablement `alinvitation qui lui a ete adressee.Jadresse des remerciements tout particuliers `a Monsieur Philippe Viarouge, Professeur `alUniversite Laval de Quebec, pour avoir examine ces travaux mais aussi pour mavoir accueilliauseinduLaboratoiredElectrotechnique, dElectroniquedePuissanceetdeCommandeIndustrielle(LEEPCI) deQuebecpendant lemois demars 2006. Cetteexperienceaetescientiquement fructueuse et culturellement enrichissante.JeremercieegalementLouisMarie, chercheurpost-doctoral `alIRENAVdeseptembre2003 `a ao ut 2004 et, `a ce jour, chercheur `a lInstitut Francais de Recherche pour lExploitationde la Mer, pour les conversations que nous avons eues et ses suggestions o combien pertinentes.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008iv REMERCIEMENTSQuil trouve en ce memoire toute lestime que jai pour lui.Enparall`eledemonactivitededoctorant, jai dispensedesenseignementsauxel`evesde lEcole Navale et du Groupe des Ecoles du Poulmic. Cette activite a ete tr`es agreable `amener en raison notamment de la disponibilite et de la sympathie des membres de lequipepedagogique de lIRENAV. Je les en remercie. Et je remercie plus particuli`erement les inter-venants en Genie Electrique comme Joel Le Gall, Javier Rios-Quesada et Laurent Drouen.AlIRENAV, jai pubenecierdetr`esbonnesconditionsdetravail. Touslesrequetesdordrematerielleetlogistiqueont etesatisfaites.Particuli`erementreactifetdisponible,leservice informatique ma fourni tous les moyens necessaires. Jai pu apprecie limplication duService dEtude et de Fabrication dans la construction du banc dessai polyphase. Je les enremercie. Je remercie aussi les dierents services administratifs (secratariats, service achats,...) pour lattention quils mont portee et leur sympathie.Jeremerciemescoll`eguesdoctorantspourlesnecessairesmomentsderelacheintellec-tuelle: Eric, Roderic, Sebastien, Jean-Christophe, Myriem, Christophe, Rachel, Mathieu...Je noublie pas les polyvalents qui savaient en plus donner des conseils sur LaTeX : Salem,David, Valerie...Je remercie mes parents pour leur soutien et leur neutralite.Cette th`ese restera une periode exceptionnelle durant laquelle nombre de mes choix aurontgagne en coherence.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008Tabledesmati`eresTabledesmati`eres iListedesgures viiListedestableaux xiGlossaire xiiiIntroduction 3I DecompositionMultimachineduneMachinepolyphasee`aPoleslisses 9I.1 Mise en equation de la Machine polyphasee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.1 Hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.1.1 Types de machines considerees . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.1.2 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.1.3 Environnement mathematiques et notations . . . . . . . . . . 12I.1.2 Representation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.2.1 Equations en ux et en tension. . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.2.2 Matrice dinductance statorique . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.3 Reduction de la matrice dinductance statorique . . . . . . . . . . . . 16I.1.3.1 Circularite et Transformee de Fortescue . . . . . . . . . . . . 16I.1.3.2 Symetrie et Transformee de Concordia . . . . . . . . . . . . 18I.1.3.3 Equations dans les bases de decouplage . . . . . . . . . . . . 20I.2 Decomposition Multimachine de la Machine polyphasee . . . . . . . . . . . . 22I.2.1 Machine ctive : representation physique de lespace propre . . . . . . 22I.2.1.1 Bilan de puissance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2.1.2 Repartition du couple electromagnetique . . . . . . . . . . . 23I.2.1.3 Schema electrique dune machine ctive . . . . . . . . . . . . 24I.2.2 Familles dharmoniques associees aux machines ctives . . . . . . . . . 24I.2.2.1 Inductances cycliques et groupes dharmoniques . . . . . . . 25tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008ii TABLEDESMATI`ERESI.2.2.2 Projection dun vecteur periodique dans les bases propres . . 26I.2.2.3 Harmonique de rang minimal et machine ctive principale . 28I.2.3 Puissance instantanee de machine ctive. . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.2.3.1 Bilan de puissance de machines ctives . . . . . . . . . . . . 30I.2.3.2 Calcul du couple instantanne de machines ctives . . . . . . 30I.3 Conception polyphasee integrant la decomposition multimachine dans le cadrede lalimentation par onduleur de tension MLI . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.3.1 Commande multimachine de la machine polyphasee alimentee par on-duleur de tension MLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.3.1.1 Analyse du comportement de la machine ctive dans le cadrede lalimentation par onduleur de tension . . . . . . . . . . . 31I.3.1.2 Architecture de commande basee sur la decomposition multi-machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I.3.1.3 Impact de la commande multimachine sur le dimensionnementde lalimentation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.3.2 Adaptation de la conception de la machine `a la commande multimachine 36I.3.2.1 Strategie de commande multimachine . . . . . . . . . . . . . 36I.3.2.2 Denition des forces electromotrices ctives. . . . . . . . . . 38I.3.2.3 Crit`eres sur les constantes de temps de machines ctives . . 39II ModelisationdelaMachinepolyphasee`aPoleslisses 45II.1 Description de la machine reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.1.1 Geometrie et constitution des machines considerees . . . . . . . . . . . 47II.1.1.1 Topologie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.1.1.2 Type daimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.1.2 Bobinages polyphases consideres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II.1.2.1 Principe dobtention dun bobinage equilibre . . . . . . . . . 49II.1.2.2 Bobinages equilibres reguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.1.2.3 Bobinages equilibres irreguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.1.2.4 Periodicite et circularite dun bobinage polyphase equilibre . 52II.1.3 Couches daimants considerees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.1.3.1 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.1.3.2 Constitution dun pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54II.2 Representation des termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.2.1 Fonctions daimantation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.2.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2.1.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.2.2 Fonctions de bobinage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57II.2.2.1 Denition de la fonction de bobinage de phase . . . . . . . . 57tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008TABLEDESMATI`ERES iiiII.2.2.2 Proprietes de la fonction de bobinage . . . . . . . . . . . . . 59II.2.2.3 Notion de bobinage convenablement reparti . . . . . . . . . . 59II.2.3 Representation matricielle du bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.2.3.1 Matrice de fonction de bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . 60II.2.3.2 Matrice de distribution de conducteurs . . . . . . . . . . . . 62II.2.3.3 Lien entre la fonction de bobinage et la distribution deconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.3 Methode de calcul analytique du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II.3.1 Calcul analytique du champ pour une machine sans encoche `a poles lisses 67II.3.1.1 Hypoth`eses necessaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II.3.1.2 Principe de la resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67II.3.2 Correspondance entre une machine sans encoche et une machine encochee 68II.3.2.1 Extension de lentrefer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68II.3.2.2 Calcul du champ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69II.3.2.3 Prise en compte des eets locaux de denture . . . . . . . . . 71II.4 Calcul des grandeurs globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72II.4.1 Evaluation du ux `a laide de la modelisation du bobinage . . . . . . . 73II.4.1.1 Variation du ux `a partir de la densite de conducteurs . . . . 73II.4.1.2 Variation du ux `a partir de la fonction de bobinage . . . . . 74II.4.1.3 Calcul des coecients de bobinage globaux `a laide de la dis-tribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75II.4.2 Calcul analytique de la force electromotrice . . . . . . . . . . . . . . . 76II.4.2.1 Evaluation `a partir de la densite de conducteurs . . . . . . . 76II.4.2.2 Evaluation `a partir de la fonction de bobinage . . . . . . . . 77II.4.2.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78II.4.3 Calcul analytique des inductances de phase . . . . . . . . . . . . . . . 80II.4.3.1 Inductance dentrefer en fonction de la densite de conducteurs 81II.4.3.2 Inductance dentrefer en fonction de la fonction de bobinage 82II.4.3.3 Evaluation analytique des inductances de fuite . . . . . . . . 83II.4.3.4 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84IIIModelisationdesMachinesctives 91III.1La Transformee de Fourier discr`ete : outil pour la caracterisation des Machinesctives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93III.1.1DesmatricesdechangementdebaseverslaTransformeedeFourierdiscr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93III.1.1.1 Matrice de Fortescueet Transformee de Fourierdiscr`ete . . 93III.1.1.2 Matrice de Concordiaet Transformee de Fourierdiscr`ete reelle 94III.1.1.3 Synth`ese et interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008iv TABLEDESMATI`ERESIII.1.1.4 Exemple illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96III.1.2Lecture des composantes vectorielles comme elements de suitesperiodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97III.1.2.1 Transformee de Fourierdiscr`ete sur les vecteurs de phase. . 97III.1.2.2 Re-ecriture du lien entre ux, inductance et courant . . . . . 99III.1.2.3 Decouplage de la relation entre ux et courant . . . . . . . . 100III.1.3Caracterisation des machines ctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100III.1.3.1 Decouplage des equations en tension. . . . . . . . . . . . . . 101III.1.3.2 Repartition de la puissance et du couple . . . . . . . . . . . . 102III.1.3.3 Determination des familles dharmoniques . . . . . . . . . . . 103III.1.3.4 Synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104III.2Bobinage ctif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105III.2.1Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105III.2.1.1 Denition des vecteurs de distribution et de bobinage ctifs . 105III.2.1.2 Indice de circularite et proprietes sur les bobinages ctifs . . 107III.2.2Transformee de Fourierdiscr`ete des vecteurs de bobinage . . . . . . . 108III.2.2.1 Introduction des TFD de vecteurs de bobinage . . . . . . . . 109III.2.2.2 ExempledutilisationdelaTFDpourcaracteriserlesbobi-nages ctifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110III.2.2.3 Familles etendues dharmoniques de machines ctives . . . . 111III.2.3Vecteurs de bobinage ctif et grandeurs globales . . . . . . . . . . . . 114III.2.3.1 Bobinage ctif et inductance ctive . . . . . . . . . . . . . . 114III.2.3.2 Bobinage ctif et force electromotrice ctive . . . . . . . . . 116III.2.3.3 Synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118III.3Fonction daimantation ctive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119III.3.1Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119III.3.1.1 Analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119III.3.1.2 Denition des fonctions daimantation ctive . . . . . . . . . 120III.3.2Eet de segmentation de la fonction daimantation ctive . . . . . . . 122III.3.2.1 Origine de la segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123III.3.2.2 Reexions sur la notion daimants ctifs . . . . . . . . . . . . 124IVConceptionbaseesurladecompositionmultimachine 129IV.1Optimisation du bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131IV.1.1Analyse du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131IV.1.1.1 Denition des objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131IV.1.1.2 Caracterisationdesperformancesdesbobinagesdiametrauxentiers vis `a vis des objectifs multimachines . . . . . . . . . . 132tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008TABLEDESMATI`ERES vIV.1.1.3 Caracterisation des performances dun bobinage fractionnairevis `a vis des objectifs multimachines. . . . . . . . . . . . . . 135IV.1.1.4 Etude prospective sur le bobinage direct des machines ctives 137IV.1.2Demarche doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143IV.1.2.1 Principe de la methode doptimisation . . . . . . . . . . . . . 143IV.1.2.2 Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144IV.1.3Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IV.1.3.1 Recherchedunbobinageheptaphasefacilitantlaregulationde toutes les machines ctives . . . . . . . . . . . . . . . . . 145IV.1.3.2 Recherchedunbobinagepentaphasefavorisant lamachinesecondaire en terme de regulation et de production de couple 148IV.1.3.3 Aptitudedubobinagepentaphaseselectionne`areduirelescourants parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154IV.2Optimisation de la couche daimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159IV.2.1Analyse du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159IV.2.1.1 Isolationde linuence de lacouche daimant sur laforceelectromotrice elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160IV.2.1.2 Denition des objectifs multimachines pour la couche daimants161IV.2.2Optimisation pour une couche daimants radiaux . . . . . . . . . . . . 162IV.2.2.1 Denition de la fonction daimantation ideale. . . . . . . . . 162IV.2.2.2 Methode de modulation de la fonction daimantation . . . . 163IV.2.3Optimisation pour une couche daimants parall`eles . . . . . . . . . . . 166IV.2.3.1 Methode de recherche de la fonction daimantation . . . . . . 166IV.2.3.2 Exemple de mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168IV.2.3.3 Simulation de la solution `a couche daimants optimisee . . . 172Conclusion 179Annexes 182ADenitiondescoecientsdedecompositionenseriedeFourier 185BElementsdecalculanalytiqueduchamp 187B.1 Coecients de Fourierdes fonctions daimantation. . . . . . . . . . . . . . . 187B.2 Expression du potentiel vecteur d u aux aimants `a la fronti`ere entrefer-culassestatorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188CCalculducouplededetente 189C.1 Param`etres inuencant le couple de detente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189C.2 Methode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190C.3 Validations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008vi TABLEDESMATI`ERESC.4 Sensibilite parametrique du calcul analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193DCoecientsdebobinagedunbobinageconvenablementreparti 199Bibliographie 203Resume 209tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008ListedesguresI.1 Representation des deux rep`eres de calcul et de leur decalage instantanne . . 13I.2 Schemas electriquesdesmachinesctives(aveclabasedeConcordiacommesupport) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24I.3 Principe de la mise sous tension des phases reelles dans le cadre de lalimenta-tion par onduleur de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.4 Principe de la mise sous tension dune machine ctive . . . . . . . . . . . . . 32I.5 Schemaderegulationducourantdunemachinectivedanslecadredunealimentation par onduleur MLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.1 Modelisation des encoches et specication des notations . . . . . . . . . . . . 48II.2 Principe dobtention dun bobinage polyphase equilibre . . . . . . . . . . . . . 50II.3 Exempledunbobinageequilibreregulierpourunemachine`a5phases, 20encoches et 2 paires de poles (spp = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.4 Exemple dun bobinage equilibre irregulier `a trou pour une machine `a 5 phases,20 encoches et 2 paires de poles (spp = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.5 Exemple dun bobinage equilibre irregulier fractionnaire pour une machine `a 5phases, 20 encoches et 3 paires de poles (spp = 2/3) . . . . . . . . . . . . . . . 53II.6 Geometrie daimants prise en compte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.7 Exempledemodelisationcompl`etedunepairedepoles(pour p=10). Lesaimants sont `a aimantation parall`ele de norme M. Les fonctions daimantationsont normalisees par rapport `aM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.8 Fonction de bobinage de deux bobinages pentaphases sur 20 encoches . . . . . 58II.9 Illustration de la non prise en compte de la position relative des conducteursdans lencoche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.10 Passage de la machine initiale vers la machine lisse correspondante permettantle calcul analytique du champ dans la couche daimant et lentrefer mecanique 70II.11 Trajet circulaire du champ au sein de lencoche . . . . . . . . . . . . . . . . . 71II.12 Comparaison de la mesure de la force electromotrice elementaire avec les esti-mations numeriques et analytiques pour la machine M5-L2EP. . . . . . . . . 79II.13 Comparaison de la mesure de la force electromotrice elementaire avec les esti-mations numeriques et analytiques pour la machine M5-IRENAV. . . . . . . 80tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008viii LISTEDESFIGURESII.14 Modelisation des lignes de champ restant dans lentrefer pour lestimation duux de fuite dune encoche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83II.15 Lignes de champ resultant de lalimentation dune phase selon Dimedi pourles deux machines pentaphasees (fer = 2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.1 Representation de la suite inductance et de sa Transformee de Fourierdiscr`etereelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97III.2 ElementsderepresentationdesbobinagesctifsdelamachinepentaphaseeM5-IRENAV`a bobinage fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108III.3 Representation par histogramme des compoantes du vecteur TFDr des vecteursde distribution de bobinage ctif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111III.4 Visualisation dunombre de pairesde poles des bobinages des deux machinesctives diphasees (machine M5-IRENAV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112III.5 Transformee de Fourierdiscr`ete reelle des fonctions de bobinage ctif pour lamachine pentaphasee `a 20 encoches et 3 paires de pole M5-IRENAV . . . . . 114III.6 Obtentiondesforceselectromotricesctivesparutilisationdesdistributionsctives (pour la machine M5-IRENAV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117III.7 Caracterisationfrequentielledubobinagedunemachinective`apartir dubobinage de la phase 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118III.8 Fonction daimantation ctive radiale pour une machine `a 5 phases avec rotorradial sans lacune. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120III.9 Fonction daimantation ctive radiale pour une machine `a 5 phases : illustrationde la denition explicite par intervalle de largeur 36 degres electriques . . . . 121III.10 Illustrationdeleet desegmentationdelafonctiondaimantationpour laconstruction des fonctions daimantation ctive . . . . . . . . . . . . . . . . . 123III.11 Illustrationdeleetdesegmentationdelafonctiondaimantationpourdesallures plus generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.12 Etudedelapossibilitedidentierdesparam`etresdaimantsctifspouruneaimantation radiale et parall`ele (machine `a 5 phases) . . . . . . . . . . . . . . 125IV.1 Origine sinusodale des distributions ctives pour la machine M5-L2EP. . . . 132IV.2 Allure des forces electromotrices ctives pour la machine M5-L2EP `a bobinageentier diametralnepp = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133IV.3 Transformee de Fourier discr`ete reelle des distributions et fonction de bobinagectifs de la machine M5-L2EP`a bobinage diametral monocouche . . . . . . . 134IV.4 Evolutiondescoecentsdebobinagesglobauxetdesinductancesctivesenfonction du nombre dencoches par pole et par phase pour un bobinage penta-phase diametral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135IV.5 ComparaisondelorigineechantillonneedesbobinagesdesmachinesctivesprincipalesetsecondairespourlesmachinespentaphaseesM5-L2EPetM5-IRENAV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136IV.6 Comparaison des coecients de bobinage globaux pour les machines M5-L2EPet M5-IRENAV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008LISTEDESFIGURES ixIV.7 Transformee de Fourierdiscr`ete des distributions ctives et fonction de bobi-nage ctif de la machine M5-IRENAV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138IV.8 Coecients de bobinage globaux des machines ctives de la machine M5-L2EP139IV.9 Calcul desdistributionsctivesidealespourunemachinepentaphasee`a20encoches et 3 paires de poles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140IV.10 Comparaison des forces electromotrices ctives de la machine pentaphasee M5-IRENAVavec le bobinage existant et avec le bobinage ideal . . . . . . . . . . 141IV.11 Fonctions de bobinage ctif issus de la distribution ctive ideale denie pourune structure `a 20 encoches, 3 paires de pole et 5 phases . . . . . . . . . . . . 141IV.12 Representationdubobinagepentaphase20encocheset6poles, calculeparechantillonnage de distributions ctives continues . . . . . . . . . . . . . . . . 142IV.13 Synoptique de la procedure de selection du bobinage . . . . . . . . . . . . . . 144IV.14 Bobinage solution pour la machine `a 7 phases, 21 encoches et 16 poles . . . . 147IV.15 Machine M7-HYB: distributions ctives, les poles des machines ctives secon-daires et tertiaires napparaissent pas clairement . . . . . . . . . . . . . . . . . 148IV.16 Machine M7-HYB: coecients de bobinages globaux des dierentes machinesctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149IV.17 Machine M7-HYB: TFDr des fonctions de bobinage ctif avec indication duniveau denergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149IV.18 Machine M7-HYB: TFDr des distributions ctives avec indication du niveaudenergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150IV.19 Representationdumeilleurbobinagepentaphasetrouvepourlemoteur`a80encoches et 14 poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151IV.20 MachineM5-POD: miseenevidencedelapolaritedesdierentsbobinagesctifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152IV.21 Machine M5-POD: coecients de bobinages globaux des dierentes machinesctives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153IV.22 Machine M5-POD: allure des fonctions de bobinage ctif . . . . . . . . . . . 153IV.23 Machine M5-POD: TFDr des fonctions de bobinage ctif avec indication duniveau denergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154IV.24 Representation du bobinage entier diametral de la machine M5-POD-ref `a 16poles et 80 encoches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155IV.25 Comparaison des fem elementaires et des couple electromagnetiques en alimen-tation sinusodale pour les machines M5-PODet M5-POD-ref . . . . . . . . . 156IV.26 Courantsdephasesobtenussurlesdeuxmachines`a500tr/minet60Nm(fMLI = 2000 Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157IV.27 ComparaisondescourantsdeConcordiapourlamachinesecondaire(60Nm@ 500 tr/min). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157IV.28 Modulante de tension de phase pour les machines M5-POD-ref et M5-POD enregime permanent (60 Nm @ 500 tr/min) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158IV.29 Caracterisationdelaforceelectromotriceelementaireparlintermediairedegains harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008x LISTEDESFIGURESIV.30 Fonctions daimantation radiale ctives et reelle ideales pour la machine M5-POD163IV.31 Principe de la methode de modulation de la fonction ideale daimantation . . 164IV.32 Resultatobtenuparlamethodedemodulationdelafonctiondaimantationpour la machine M5-POD(porteuse de periodeelec/4) . . . . . . . . . . . . 165IV.33 AnalysecompareedesforceselectromotricesdelamachineM5-PODaveclerotor radial initial et le rotor radial segmente calcule par modulation . . . . . 165IV.34 ComparaisondesfonctionsdaimantationresultantdunanneaudeHalbachpour une machine `a 7 poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167IV.35 Gains (Gcr)h et (Gct)h pour la machine M5-PODavec le bobinage fractionnaire 169IV.36 Couche daimants `a magnetisation parall`ele solution . . . . . . . . . . . . . . 171IV.37 Fonctions daimantation ctive avec la couche daimants `a magnetisation pa-rall`ele optimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171IV.38 Machine M5-POD : comparaison des forces electromotrices elementaires ctivesobtenues avec le rotor initial et le rotor optimise (calcul analytique ANA-N). 172IV.39 Comparaison des fem elementaires et des couples electromagnetiques des ma-chines M5-POD-ref et M5-POD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173IV.40 Qualite du couple fournie par la machine M5-POD-MMet allure de son courantde phase en alimentation par onduleur MLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174IV.41 Machine M5-POD-MM(60 Nm@500 tr/min) : courants de Concordia pour lesmachines ctives diphasees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.1 Principe dintegration de la pression magnetique au sein de lencoche numeroq pour une positionR/Sdu rotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190C.2 MachineM1(5encoches et 4poles) : lignedechampselonDimedi avecpoudre = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192C.3 Machine M1 (5 encoches et 4 poles) : couple de detente experimental, analytiqueet numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193C.4 Machines `a toles laminees : ligne de champ selon Dimedi avecfer = 4000 . 194C.5 Machine M2 (20 encoches et 4 poles) : couple de detente experimental, analy-tique et numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195C.6 Machine M3 (3 encoches et 2 poles) : couple de detente experimental, analytiqueet numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196C.7 Machines calculees numeriquement et analytiquement . . . . . . . . . . . . . . 196C.8 Test de la sensibilite au rapport entre largeur daimant et pas polaire. Impor-tance de lhypoth`ese de ligne de champ circulaire dans les encoches. . . . . . . 197C.9 Test de la sensibilite aux valeurs dentrefer mecanique et douverture dencoche. 198tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008ListedestableauxI.1 Exemples de passage de phases internes `a phases externes . . . . . . . . . . . 12I.2 Famille dharmoniques associees aux 2 machines ctives (Nf= 2) composantune machine triphasee (N= 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.3 Famille dharmoniques associees aux 3 machines ctives (Nf= 3) composantune machine pentaphasee (N= 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.4 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 4) composantune machine hexaphasee (N= 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28I.5 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 4) composantune machine 7-phases (N= 7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.6 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 5) composantune machine 9-phases (N= 9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.1 Notations adoptees pour les param`etres topologiques et geometriques delamachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.2 Quelques exemples de valeurs dindice de circularite . . . . . . . . . . . . . . . 54II.3 Caracteristiques de la machine M5-L2EP : 5 phases, rotor interne `a aimantationradiale et bobinage entier diametral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78II.4 Caracteristiques de la machine M5-IRENAV: 5 phases, rotor externe `a aiman-tation radiale et bobinage fractionnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.5 Comparaison des valeurs dinductances obtenues pour la machine M5-L2EP . 85II.6 Comparaison des valeurs dinductances obtenues pour la machine M5-IRENAV 85IV.1 Caracteristiques de la machine M7-HYB : 7 phases, rotor externe `a aimantationradiale et bobinage fractionnaire `a caracteriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146IV.2 Calcul des inductances cycliques pour la machine M7-HYBselon les methodesnumerique et analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148IV.3 Caracteristiques de la machine M5-POD : 5 phases, rotor interne `a aimantationradiale et bobinage fractionnaire `a caracteriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150IV.4 Estimation analytique de la resistance statorique et des inductances cycliquespour les machines M5-POD-ref et M5-POD(methode ANA-D) . . . . . . . . 155IV.5 Choix de la frequence de MLI en fonction des caracteristiques electriques de lamachine et de le frequence de fonctionnement maximale . . . . . . . . . . . . 156tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008xii LISTEDESTABLEAUXC.1 Caracteristiques inuencant le couple de detente pour les machines `a courantcontinu testees experimentalement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192C.2 Param`etres des machines simulees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008GlossaireAbrevationsfem Force electromotriceDSF Decomposition en Serie de FourierTFD Transformee de Fourierdiscr`eteTFDr Transformee de Fourierdiscr`ete reelleMLI Modulation de Largeur dImpulsionANA-D Methode de calcul analytique du ux basee sur lintegration de la fonction dedistributionANA-N Methode de calcul analytique du ux base sur lintegration de la fonction debobinageNotationsliees`alatopologiedelamachineN Nombre de phases internesNextNombre de phases externesNsNombre dencochesNpNombre de polesp Nombre de paires de polesN

sNombre dencoches reduitp

Nombre de paires de poles reduiticIndice de circularited Indice de circularite reduitNotationsliees`alageometriedelamachineLmLongueur eective de la machine.rstRayon statorique.ecsEpaisseur de culasse statorique.rrtRayon rotorique.ecrEpaisseur de culasse rotorique.gmEntrefer mecanique.gaEpaisseur de couche daimants.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008xiv GLOSSAIREsPas dencoche (angle).sOuverture dencoche (angle).bsEpaisseur du bec dencoche.psProfondeur dencoche.Notationslieesauxrep`eresdecalculs(Os,er,et) Rep`ere xe lie au stator dont lorigine est positionne sur un axe de phase dela phase 0r(Or,er,et) Rep`ere tournant lie au rotor dont lorigine est positionne au centre dun pole Decalage instantane du rep`ere rotorique par rapport au rep`ere statoriquesPosition angulaire dun point P du stator dans le rep`ere statoriquerPosition angulaire dun point P du rotor dans le rep`ere rotorique Vitesse de rotation instantanee Pulsation electrique0Decalage initial du rotor par rapport au statorNotationsdesgrandeurs electromagnetiquesvnTension de phaseninCourant dans la phasenss,nFlux statorique du au stator capte par la phasensr,nFlux statorique du au rotor capte par la phasenmnInductance mutuelle entre deux phases decalees den2elec/NmenInductance mutuelle dentrefer entre deux phases decalees den2elec/NmfernInductance mutuelle de fuite entre deux phases decalees den2elec/NMkInductance cyclique ou ctive de rangkMekInductance cyclique ou ctive dentrefer de rangkcReluctance de correction dentrefergEntrefer magnetiquegeEntrefer eectifMferkInductance cyclique ou ctive de fuite de rangk

(A1/R,rst)hCoecient de Fourierde rang h du potentiel vecteur dans la zone de lentrefermecaniqueindicee1, enpresencedestermessourcesaimantsdurotorR,calcule enr = rstP(t) Puissance instantanee de la machine polyphaseeT(t) Couple instantane de la machine polyphaseePk(t) Puissance instantanee de la machine ctive dinductanceMkTk(t) Couple instantane de la machine machine ctive dinductanceMkFN(Mk) Famille dharmoniques associes `a la machine ctive dinductanceMkfar,n(r),fat,n(r) Fonctionsdaimantationradialeet tangentielledelaphase n(far,0=far,fat,0 = fat)Far,k(r),Fat,k(r) Fonctions daimantation radiale et tangentielle de la machine ctive dinduc-taneMktel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008GLOSSAIRE xvhkHarmonique impair de rang minimal pour la famille dharmoniques associes `ala machine ctive dinductanceMkFN,d(Mk) Familledharmoniquesdeforcemagnetomotriceassocies`alamachinectivedinductanceMkkAnglederotationdelamachinectivedinductanceMkpourlacommandedans le rep`ere de ParkNotationsliees`alamodelisationvectorielledelamachineENEspace vectoriel hermitien de dimensionNNN=_nN0, ...,nNN1_Base naturelle de lespace vectorielle hermitien de dimensionNFN=_fN0, ...,fNN1_Base orthonormale de Fortescuede dimensionNCN=_cN0, ...,cNN1_Base orthonormale de Concordiade dimensionNINMatrice identite de dimensionNFNMatrice de transformee de FortescueCNMatrice de transformee de ConcordiavNVecteur tension de phaseiNVecteur courant de phaseeNVecteur force electromotrice

NVecteur force electromotrice elementaire (fem `a 1 rad/s)NssVecteur ux statorique d u au statorNsrVecteur ux statorique d u au rotorMssMatrice dinductance statoriquessMatrice dinductance diagonaliseexk,f,xNk,fComposantes de Fortescuede la machine ctive diphasee dinductanceMkxk,,xk,Composantes de Concordiade la machine ctive diphasee dinductanceMkNotationsliees`alamodelisationvectorielledubobinageDn(s) Fonction densite de conducteurs pour la phasenNn(s) Fonction de bobinage pour la phasenD Matrice de distribution de bobinage de dimensionNs NB Matrice de fonction de bobinage de dimensionNs NdNsn,dN

snVecteurs de distribution de bobinage de dimensionNsetN

sde la phasendg,nComposantes numero g du vecteur de distribution de la phasenbNsn,bN

snVecteurs de fonction de bobinage de dimensionNsetN

sde la phasenbg,nComposantes numero g du vecteur de fonction de bobinage de la phasenDfMatrice de distribution de bobinage de phases ctives de dimensionNs NBfMatrice de fonction de bobinage de phases ctives de dimensionNs NdN

s,fkVecteur de distribution de bobinage de dimensionN

sde la phase ctivektel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008xvi GLOSSAIREdfg,kComposantes numero g du vecteur de distribution de la phase ctivekbN

s,fkVecteur de fonction de bobinage de dimensionN

sde la phase ctivekbfg,kComposantes numero g du vecteur de fonction de bobinage de la phase ctivekNotationsliees`alamodelisationparsuitesperiodiquesSN(C) Ensemble de suitesN-periodiques `a valeurs complexesSN(R) Ensemble de suitesN-periodiques `a valeurs reellesTNTransformee de Fourierdiscr`ete dordreN(NTransformee de Fourierdiscr`ete reelle dordreNmNVecteur des inductances mutuellesMNVecteur TFD des inductances mutuelles (compose des inductances ctives)VNVecteur TFD des courants de phase (compose des tensions ctives)INVecteur TFD des courants de phase (compose des courants ctifs)ENVecteur TFD des fem (compose des fem ctives)NssVecteur TFD des ux statoriques d us au stator (compose des ux ctifs)DN

sn= (N

s_dN

sn_Vecteurs TFDr de la distribution de bobinage de la phasenDh,nComposantenumerohduvecteurTFDrdedistributiondebobinagedelaphasen, ponderation frequentielle sur harmonique discret de ranghBN

sn= (N

s_bN

sn_Vecteurs TFDr de fonction de bobinage de la phasenBh,nComposante numero h du vecteur TFDr de fonction de bobinage de la phasen, ponderation frequentielle sur harmonique discret de ranghDN

s,fk= (N

s_dN

s,fk_Vecteurs TFDr de la distribution de bobinage de la phase ctivekDfh,kComposantenumerohduvecteurTFDrdedistributiondebobinagedelaphase ctivek, ponderation frequentielle sur harmonique discret de ranghBN

s,fk= (N

s_bN

s,fk_Vecteurs TFDr de fonction de bobinage de la phase ctivekBfh,kComposante numero h du vecteur TFDr de fonction de bobinage de la phasectivek, ponderation frequentielle sur harmonique discret de ranghtel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008Introductiontel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008IntroductionPourdesraisonshistoriques, lesmachinestriphaseessontlargementdiusees: leursproblematiquesdeconceptionetdalimentationsontaujourdhui bienmatrisees.Neanmoins, les machines polyphasees (cest-`a-diredont lenombredephases estsuperieur `a trois) presentent en comparaison des caracteristiques particuli`erement attractives.Tout dabord, laugmentation du nombre de phases implique une reduction des ondulationsdu couple electromagnetique (amplitude et periode) [58, 39]. La machine polyphasee est doncune solution interessante pour des applications exigeantes en terme de discretion vibratoireou accoustique. Ensuite, une structure `a grand nombre de phases accrot les possibilites defonctionnement en marche degradee tout en preservant une qualite de couple acceptable (am-plitudeetondulation). Cetteproblematiqueestfondamentalepourlesapplicationsdevantgarantiruneexcellentecontinuitedeservice.Enn,lamultiplicationdunombredephasesimplique un fractionnement de la puissance, ce qui diminue les contraintes de dimensionne-ment sur les composants delectronique de puissance alimentant chaque phase. Cest pourquoile choix de la structure polyphasee rel`eve parfois de la necessite pour les applications de tr`esforte puissance. Pratiquement, les moteurs polyphases sont utilises dans les domaines de latraction ferroviaire, de la propulsion navale, de lautomobile et de laerospatiale.Historiquement, cest probablement la tr`es bonne connaissance des moteurs triphases etde leurs alimentations qui a conduit `a mettre au point des machines polyphasees particuli`eres.Denommees machines multi-etoiles, ces structures sont constituees dun stator supportantplusieurs bobinages triphasees isoles et couples en etoile. Linteret est de pouvoir alimenterchaque etoile par un convertisseur triphase eprouve. Destines `a la traction ferroviaire ou `a lapropulsion navale, les premiers ensembles utilisent des commutateurs de courant. Ces struc-tures sont ables mais presentent deux limitations principales. Dune part, le commutateurde courant gen`ere des ondulations de couple, particuli`erement fortes `a basse vitesse. Dautrepart,laredondancenaturelleoerteparlarchitecturepolyphaseenestpasidealementex-ploitee:lorsdundefautsurunephase,cestlensembledeletoileconcerneeparledefautqui est deconnecte, ce qui nest pas optimal.La premi`ere limitation est donc dordre technologique. Pour y remedier, il faut alimenterlamachineparunonduleurdetension. Lapparitiondenouveauxcomposants(commelesthyristors blocables type GTO [6]) a rendu possible la mise au point donduleurs de tension deforte puissance. Malheureusement, les frequences de commutation de ces composants sont tropfaibles pour obtenir une amelioration systematique [31]. Il faut donc choisir des composantsplus rapides comme le transistor IGBT. La puissance transmise par un tel onduleur est alorsreduite mais les formes des courants sont plus facilement imposees du fait dune frequence decommutation plus elevee. Les premiers essais de syst`emes multi-etoiles alimentes par onduleurdetensionontmisen evidencedescourantsparasitesinattendus[35, 36, 34]. Generateurstel-00270448, version 1 - 4 Apr 20084 INTRODUCTIONdechauementsetdepertessupplementaires,cescourantsparasitespeuventconduire`aladestruction des interrupteurs [19].Ces phenom`enes nuisibles sont lies `a la deuxi`eme limitation qui est dordre conceptuelle.En eet, lalimentation dune machine multi-etoile par commutateur de courants masque lecouplagemagnetiqueexistantentrelesphasesdesdierentesetoiles[39]. Eneet, aveccetypedalimentation,chaquecommutateurpeut etrecommandecommesiilalimentaituneseulemachinetriphaseecoupleeenetoile. Parcontre, danslecadredelalimentationparonduleur de tension, cette approche decouplee nest plus possible : les couplages non pris encomptesont`aloriginedescourantsparasites. Dansunecertainemesure, lasimplicitedecontrole qui a justie le choix de la structure multi-etoile est perdue. Et le concepteur se doitdoncdaborderlamachinenonpascommeunesuperpositiondestucturestriphaseesmaisbiencommeuneveritablestructurepolyphasee.Decepointdevue,plusriennimposedeconserver des structures triphasees.Pourlaconceptiondunensembleconvertisseur-machine,lenombredephasesapparatdonc comme un degre de liberte. Dailleurs certains industriels commercialisent aujourdhuidesensemblesconvertisseur-machineintegres, cequi facilitelechoixdunetopologiepoly-phasee plus performante [60]. Mais le probl`eme reside dans le fait que les machines polyphasessont plus diciles `a apprehender : laugmentation du nombre de couplages electromagnetiquesentre les phases en complexie la conception et la commande. Des outils detude generale per-formants et communicants sont donc necessaires. A partir des travaux de D.C. White et al.[59], deJ. Lesenneet al. [25], dE.A. Klingshirn[20] etdeH.A. Toliyat et al. [58], EricSemail etXavierKestelynintroduisentleconceptdemachinesctives[51]. Baseesurunedecomposition de la machine polyphasee en une somme de machines virtuelles monophaseeset diphasees magnetiquement decouplees, cette approche permet une deduction systematiquede structures de commande pour syst`emes polyphases [5]. Elle permet aussi de deduire desr`egles de conception pour adapter la machine `a londuleur [52].Il existe donc un grand interet `a mettre en oeuvre cette nouvelle approche de commandeet de conception adaptee pour les applications de forte puissance pre-citees (propulsion na-vale notamment [55, 54]). Generalement embarquees, ces applications exigent une excellentedensite de couple, un faible niveau vibratoire et une grande surete de fonctionnement. Il estdoncnaturelledesorienterversdesmoteurspolyphases`aaimantsdeposes: lesaimantsassurent de faibles pertes rotoriques et le caract`ere non saillant des poles diminue les couplesreluctants[26]. Deplus, lesprogr`esaccomplisdanslatechnologiedesaimantspermanentsrendent cette solution encore plus attractive. Par exemple, certains plasto-aimants isotropesassocient une valeur daimantation remanente elevee (plus de 0.9 Tesla) et une bonne rigidite.Leurcaract`ereisotropepermetdelesaimanterprogressivementauseindunecouchedai-mants. Ainsi sont realisee les anneaux de Halbach[16] qui assurent une force electromotricesinusodale et attenuent le couple de detente[30]. La magnetisation de la couche daimants ap-parat donc comme un param`etre de conception qui doit permettre dameliorer ladaptationmachine-onduleur au benece de la densite de couple.Cette th`ese a pour but detablir des r`egles de conception dediees aux machines polyphasees`a poles lisses alimentees par onduleur de tension `a modulation de largeurs dimpulsions (MLI).Les objectifs sont donc tr`es classiques : il sagit dadapter au mieux la machine polyphasee`a son onduleur an de faciliter son alimentation et doptimiser la qualite du couple (densiteetondulations). Lambitionestdecontribuer`alaresolutiondeceprobl`emecomplexeparuneapprocheoriginalebaseesurladecompositionmultimachineetleconceptdemachinestel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008INTRODUCTION 5ctives. Il sagitdereporterlesobjectifsattribuesausyst`emepolyphasesurlesmachinesctives le composant an de faciliter la resolution du probl`eme considere.Ce memoire est organise en quatre chapitres.Le chapitre I decrit la decomposition multimachine basee sur une representation vetoriellede la machine polyphasee. Lintroduction des machines ctives permet dexpliquer loriginedes courants parasites apparaissant lors de lalimentation dune machine polyphasee par on-duleurdetensionsMLI. Cetteanalysepermet, dunepart, dededuireunearchitecturedecontrolecapabledattenuercescourantsparasiteset,dautrepart,dedenirunestrategiedalimentationplusperformantequelaclassiquealimentationsinusodale. Pourquecettestrategie soit ecace, le dimensionnement de la machine polyphasee doit etre speciquementadaptee ; les objectifs concernant la serie dinductances mutuelles et la repartition harmoniquede la force electromotrice sont explicites `a la n du chapitre.LechapitreII est consacre`alamodelisationdelamachinepolyphasee`apoles lissespourlecalculdecesdeuxgrandeurscritiques:laseriedinductancesmutuellesetlaforceelectromotrice. Les specicites geometriques de cette machine (entrefer regulier) et quelqueshypoth`eses simplicatrices permettent de mettre en oeuvre une methode de calul analytiquedu champ relativement precise. An de prendre en compte une large gamme de bobinages, unespace vectoriel de dimension egale au nombre dencoches est associe `a la machine : il permetde modeliser dierents types de bobinages (notamment les congurations fractionnaires). Laderni`ere partie de ce chapitre presente les elements de calcul de ux et de validation.LechapitreIIIestdedie`alamodelisationdesmachinesctives. Il vise`aassocierauxmachinesctivesunrotoretunbobinagectifsqui sontdesgrandeurssigniantespourleconcepteur. Pour cefaire, unnouvel outil decaracterisationdes machines ctives estintroduit : il sagit de la Transformee de Fourier discr`ete. Son utilisation autorise une nouvellelecture des tranformations matricielles denissant les machines ctives. Les aimantations etles bobinages ctifs peuventetredenis et leurs caracteristiques analysees `alaidedelaTransformee de Fourierdiscr`ete.LechapitreIVrassemblelensembledestravauxdeschapitreprecedentspour propo-serunedemarchedeconceptionbaseesurlesmachinesctives. Deuxgrandesprocedurescomplementairessontdetailleesettestees:lunevisant`aoptimiserlebobinage,lautrevi-sant `a optimiser la couche daimants.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008ChapitreItel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008CHAPITREIDecompositionMultimachineduneMachinepolyphasee`aPoleslissesSommaireI.1 Miseen equationdelaMachinepolyphasee . . . . . . . . . . . . 11I.1.1 Hypoth`eses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11I.1.2 Representation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14I.1.3 Reduction de la matrice dinductance statorique . . . . . . . . . . . 16I.2 DecompositionMultimachinedelaMachinepolyphasee. . . . . 22I.2.1 Machine ctive : representation physique de lespace propre . . . . . 22I.2.2 Familles dharmoniques associees aux machines ctives . . . . . . . . 24I.2.3 Puissance instantanee de machine ctive. . . . . . . . . . . . . . . . 29I.3 Conception polyphasee integrant la decomposition multimachinedanslecadredelalimentationparonduleurdetensionMLI . . 31I.3.1 Commandemultimachinedelamachinepolyphaseealimenteeparonduleur de tension MLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.3.2 Adaptation de la conception de la machine `a la commande multima-chine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Lecomportementdunsyst`eme`aplusieursvariablesfortementcoupleesestdicile`aapprehender. La machine polyphasee appartient `a cette categorie de probl`emes. Parexemple, les courants de phases se perturbent les uns les autres en raison des eets demutualisation. Pour faciliter letude et la comprehension du comportement de tels syst`emes,des methodes de decouplage sontrecherchees. Ainsi, la decomposition multimachine estunoutil permettantunerepresentationdecoupleedelamachinepolyphasee. Lobjectif decechapitreestdedecrirecettemethodeetdemontrersoninteretpourdenirdesobjectifsgeneraux concernant :ladaptation de la conception de la machine `a son onduleur de tension,tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200810CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESlamelioration de la qualite du couple electromagnetique.Cepremierchapitreestdivise entroisparties.La premi`erepartiedecritleshypoth`esesnecessaires`aladecompositionmultimachinepuispresentelamodelisationvectorielledelamachinepolyphasee. Enparticulier, lamatricedinductancestatoriqueestintroduitepuisdiagonalisee par lintermediaire des Transformees de Fortescueet de Concordiageneralisees.La deuxi`eme partie denit le concept de machines ctives base sur la reduction de la matricedinductanceprecedemmentdecrite.Lesproprietesdedecouplageinherentesauxmachinesctives sont explicitees : repartition de puissance et notion de familles dharmoniques. Enn, latroisi`eme partie aborde le probl`eme de ladaptation de la conception de la machine polyphasee`a son onduleur `a la lumi`ere de la decomposition multimachine.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 11I.1 MiseenequationdelaMachinepolyphaseeCette partie decrit la mise en equation des machines polyphasees etudiees. Les hypoth`esesrelatives aux machines etudiees et `a leur modelisation sont explicitees. Ensuite, la classiquerepresentation vectorielle des equations en ux et en tension est presentee. Elle permet dintro-duire la matrice dinductance statorique. La diagonalisation de cette matrice est etudiee dansla derni`ere section, ce qui permet de mettre en evidence des syst`emes dequations decouples.I.1.1 Hypoth`esesCettesous-partiepresenteleshypoth`esesrelativesauxmachinespolyphaseesetudiees.Ces hypoth`eses classiques sont celles que necessite la decomposition multimachine.I.1.1.1 TypesdemachinesconsidereesLes machines considerees dans ce memoires sont des machines radiales `a poles lisses. Lerotor ne presente donc aucun eet de saillance. LesNphases de la machines sont supposeesidentiques et reguli`erement decalees. Cette notion de regularite signie que le decalage entredeux phases consecutives est 2elec/Navec 2elec = 2/p (p, nombre de paires de poles).Selon [19, 20], le nombre de phases internes dune machine polyphasee correspondschematiquement aunombre de bobines de lamachine. Par denition, ces bobines sontreguli`erementespaceesau-dessusdunepairedepoles: ellesdenissentdoncdesaxesdephasereguli`erementdecalees. Parconsequent, danscememoire, Ndesignelenombredephasesinternesdela machine.SelonlavaleurdeN,ilestpossibledeconnecter les phasesinternes entre elles de telle sorte `a reduire le nombre de phases accessibles pour alimenter lamachine. Necessairement plus petit que le nombre de phases internes, ce nombre de phasesaccessibles est appele nombre de phases externesNext.Par exemple, si le nombre de phases internesNest pair, alors chaque phase interne estenoppositiondiametraleduneautre. Si lesphasesinternesenoppositiondiametralesontcoupleesenanti-serie, alorslenombredephasesexternesestegale`alamoitiedunombredephasesinternes.Maisilfautbiennoterquelensembledesphasesexternesobtenuesneforment pas necessairement un syst`eme polyphase reguli`erement decale. Le tableau I.1 illustrececi en schematisant quelques exemples de passage de nombre de phases internes N`a nombrede phases externesNext. En particulier, il apparat que le syst`eme double-triphase (6 phasesexternes`aalimenter)deriveenfaitdunsyst`emeregulier`a12phasesinternes(N=12).Lamemeanalysepeutetrefaiteconcernantlesyst`emedouble-pentaphasequi derivedunsyst`eme`a20phasesinternes(N=20)[48]. Cetableaumontrelapossibilitedetudierunsyst`ememulti-etoiles`apartirdunsyst`eme`aphasesreguli`erementdecalees.Danslasuite,Ndesignesystematiquementlenombredephasesinternesquipeut etreconsidereecommele nombre eectif de phases de la machine.I.1.1.2 LinearitePourlamiseenequationdelamachine, lesrelationsentreleschampssontsupposeeslineaires. En dautres termes, les eets de peau, de saturation et de variation de reluctancedu circuit magnetique ne sont pas prises en compte. Concr`etement, la force electromotrice `atel-00270448, version 1 - 4 Apr 200812CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESN 6 6 10 10 12 12 20 20Schema interneNext6 3 10 5 12 6 20 10Schema externeRegularite oui oui oui oui oui non oui nonRemarque 2 x 3 2 x 5TableauI.1Exemplesdepassagedephasesinternes`aphasesexternesvide et en charge sont identiques. Tout particuli`erement, la repartition harmonique de la forceelectromotrice est invariante et est donc consideree comme une caracteristique intrins`eque dela machine.I.1.1.3 EnvironnementmathematiquesetnotationsLa modelisation vectorielle consiste `a regrouperNgrandeurs de phase de meme nature(courant, tension, ...) en un seul vecteur de dimension N, ce qui rend la mise en equation plusconcise.Pourpermettrecettemodelisationvectorielle,lamachineestassociee`aunespacevectoriel hermitien1(cest-`a-dire construit sur le corps de complexes C) de dimension NnoteEN.LabaseorthonormeeNNcorrespond`alabasenaturelle,cest-`a-direlabasetellequeles composantes du vecteur correspondent aux grandeurs mesurables des phases statoriques(courant, tension, ux) [50, 19]. Les vecteurs constituant cette base sont notes comme suit :NN=_nN0,nN1, ...,nNN1_An de faciliter la lecture des calculs matriciels, il convient de denir une notation ma-tricielle pour les vecteurs. Un meme vecteur disposant dautant de notation matricielle quede bases decriture, la convention suivante est adoptee :si le vecteur est ecrit seul, il sagit de la notation vectorielle ; par exemple, la notationvectorielle de la decomposition dun vecteur xNdans la base naturelle estxN=N1

n=0xnnNnsi le vecteur est ecrit entre parenth`eses avec en indice une base, il sagit de la notationmatricielle ; par exemple, la notation matricielle du vecteur xNdans la base naturelle1Unespacevectoriel euclidien(cest-`a-direconstruitsurlecorpsdesreels R)seraitsusantpuisquelesgrandeursdephasesontreellesmais,pourdesraisonspratiques,lespacehermitienestchoisi.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 13FigureI.1Representationdesdeuxrep`eresdecalculetdeleurdecalageinstantanneest(xN)NN=________x0...xn...xN1________NNLespace hermitienENest dote du produit scalaire canonique, note .. Le produit scalairedependant de la base dexpression des vecteurs, il faut preciser la base lorsquil est utilise :(xN)NN.(yN)NN=N1

n=0xn(yn)Parailleurs, lamachineestmuniededeuxrep`eresdecalcul, representeessurlagureI.1 :un rep`ere xe lie au stator dont lorigine est positionne sur un axe de phase de la phase0 ; ce rep`ere est note s(Os,er,et),unrep`eretournantlieaurotordontlorigineestpositionneaucentredunpole ; cerep`ere est note r(Or,er,et).Le decalage instantanne entre les deux rep`eres correspond `a la position instantannee du rotor.Cette position est notee :Rr/Rs = t +0 = (I.1)Danscetterelation(I.1), estlavitesseinstantanneedelamachineet0estledecalageinitial entre le rotor et le stator. Au synchronisme, la pulsation electrique est reliee `a la vitessepar la relation = p.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200814CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESI.1.2 RepresentationvectorielleCette sous-partie introduit la modelisation vectorielle de la machine polyphasee et denitla matrice dinductance statorique representant les couplages magnetiques entre les phases.I.1.2.1 EquationsenuxetentensionDans ce contexte, le uxn,s capte par la phasen de la machine sexprime :n,s = n,ss +n,sro` u n,ss designe la part de ux exclusivement d u aux courants statoriques, n,srdesigne la part de ux statorique d u au rotor.Lensemble des equations de ux de phase est regroupe dans lexpression vectorielle suivante :Ns= Nss +Nsr(I.2)Dans la base naturelle, cette expression prend la forme suivante :______0,s...n,s...N1,s______NN=______0,ss...n,ss...N1,ss______NN+______0,sr...n,sr...N1,sr______NNLequationvectorielleentensiondelamachineestdeduitedelequationregissantleuxstatorique. En notantRs la resistance dune phase statorique, il vient :vN= RsiN+_dNsdt_/Rs= RsiN+_dNssdt_/Rs+_dNsrdt_/RsCetterelationpreciselerep`eredanslequel seectuentlesderivees: il sagitici durep`erestatorique. Leuxstatoriqued uaurotordependdelapostioninstantanneedurotorparrapport au stator, representee par (cf. relation (I.1)). La derivee de par rapport au tempscorrespond `a la vitesse de la machine. Lequation vectorielle en tension est ainsi modiee :vN= RsiN+_dNssdt_/Rs+ _dNsrd_/Rs(I.3)La grandeur dNsrdcorrespond au vecteur force electromotrice eN. Par consequent, le vecteurdNsrdrepresente la force electromotrice (fem) `a la vitesse de 1 rad/s. Dans la suite, ce vecteurtel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 15est appele force electromotrice elementaire et est note

N:

N=dNsrd=1eN(I.4)I.1.2.2 MatricedinductancestatoriqueLe vecteur ux statorique d u au stator Nss traduit le couplage electromagnetique entre lesphases : il est possible de denir une relation lineaire entre le vecteur Nss et le vecteur courantiN. Lapplication lineaire deENainsi denie est notee . Elle est decrite par lintermediairedelamatricedinductancestatoriqueMss.Ilfautnoterquelecaract`erenonsaillantdelamachine rend les coecients de cette matrice independant de la position du rotor. Decomposesdans la base naturelle, les vecteursNss et courantiNsont alors simplement lies par la relation :(Nss)NN= Mss(iN)NN avec Mss = mat(, NN, NN)(I.5)La matriceMss est precisee ci-dessous :Mss =________m0,0m0,1 m0,l m0,N1m1,0m1,1 m1,l m1,N1 mk,0mk,1 mk,l mk,N1 mN1,0mN1,1 mN1,l mN1,N1________Le coecient mg,h de cette matrice designe linductance mutuelle entre la phase numero g etla phase numeroh. Si gest egal `ah, il sagit de linductance propre. La reciprocite du uximplique la symetrie de la matrice :(g, h) [0..N 1]2mg,h = mh,gDapr`es les hypoth`eses dequivalence des phases et de regularite de construction, la connais-sance de linductance propre dune phase et de lensemble des inductances mutuelles induitessut `a caracteriser totalement la matrice dinductance. Autrement dit, la connaissance duneseulecolonne(ouduneseuleligne) delamatricedinductancepermet sadeterminationcompl`ete. La matrice dinductance est donc circulante :(g, h) [0..N 1]2mg,h = mmod(gh,N),mod(hg,N)An de mieux rendre compte de ces deux proprietes, les coecients de la matrice dinductancesont renotes comme suit :Mss = mat(, NN, NN) =____m0m1 mN1mN1m0 mN2 m1m2 m0____(I.6)tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200816CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESAvec ces nouvelles notations, m0 designe linductance propre dune phase. mk (pour k comprisentre 0 et N 1) designe linductance mutuelle entre deux phases decalees dun angle k2elecN.Par ailleurs, la propriete de symetrie de la matrice secrit :n [0..N 1] mn = mNn(I.7)La prochaine sous-partie etudie la diagonalisation de la matrice dinductance dont la faisa-bilite est assuree par les proprietes de circularite et de symetrie. Lobjectif est dobtenir dessyst`emes dequation decouples, donc plus faciles `a analyser.I.1.3 ReductiondelamatricedinductancestatoriqueCettesous-partieexploitetout dabordlaproprietedecircularitedelamatricedin-ductancestatorique. Unetransformationdiagonalisante`acoecients complexes est ainsideterminee : la Transformee de Fortescue. Cette transformation decrit une nouvelle base or-thonormeedanslaquellelescomposantesdunvecteurquelconquesontcalculees. Ensuite,lhypoth`esedesymetriedelamatricedinductanceestmiseenavantpourpresenterunetransformationdiagonalisante`acoecientsreels: laTransformeedeConcordia. Enn, lesequations en ux et en tension sont ecrites dans ces bases propres, ce qui fait apparatre dessyst`emes dequation en ux et en tension decouples.I.1.3.1 CirculariteetTransformeedeFortescueCommesouligneeprecedemment, lamatricedinductanceestcirculante. Cetargumentpermet de prouver quelle est diagonalisable dans ENet que lordre de multiplicite de chaquevaleur propre complexe est 1 (cf. [25]). La matrice de passageFNde la base naturelle vers labase propre est connue sous le nom de Transformee de Fortescue2:FN=1N_________1 1111 ej2N ej2Nn ej2N(N1) 1 ej2Nm ej2Nmn ej2Nm(N1) 1 ej2N(N1) ej2N(N1)n ej2N(N1)(N1)_________La base propre darrivee est une base orthonormale appelee par la suite base de Fortescue.Elle est notee comme suit :FN=_fN0,fN1, ...,fNN1_2Danscertainsouvrages,cestlatransposeedeFNquiestappeleeTranformeedeFortescue.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 17Dapr`esladenitiondeFN=mat(id, FN, NN) =PNNFN,levecteurdeFortescue fNnseprojette de la facon suivante dans la base naturelle :(fNn )NN=1N_______1...ej2Nmn...ej2N(N1)n_______NN(I.8)Le caract`ere orthonormale de FNpermet darmer que sa transposee est egale `a son inverse.Lamatricedinductancediagonaliseessest appeleematricedinductancecyclique. Lestermes constituant la diagonale de ss sont les inductances cycliques :ss = mat(id, FN, FN) = FTNMssFNss =________M0...0Mn0...MN1________(I.9)Lesinductancescycliquessontlesvaleursproprescomplexesdelendomorphisme. Ellessexpriment comme combinaison lineaire des inductances de phases denies dans (I.6).n [0..N 1] Mn =N1

k=0mkej2Nnk(I.10)Levecteurpropreassocie`alavaleurpropreMnestlevecteur fNn .Enraisonducaract`erereel des inductances, la relation de conjugaison suivante apparat :n [0..N 1] Mn = (MNn)Les composantes dun vecteur quelconque xNdans la base de Fortescuesont notees commesuit :(xN)FN=______x0,f...xk,f...xN1,f______FNIl sagit de calculer ses composantesxk,fdans la base de Fortescueen fonction de ses com-posantesxn dans la base naturelle. Il sut deectuer le calcul suivant :(xN)FN= FTN(xN)NNtel-00270448, version 1 - 4 Apr 200818CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESIl conduit au resultat suivant :k [0..N 1] xk,f=1NN1

n=0xnej2Nnk(I.11)A partir de cette relation , il est possible de montrer que la transformee de Fortescue conservele produit scalaire (par rapport `a la base naturelle) :(xN)FN.(yN)FN=N1

k=0xk,f(yk,f) =N1

k=0xn(yn) = (xN)NN.(yN)NN (I.12)Cette propriete doit etre vue comme une relation de conservation de puissance [25].Il faut aussi noter que les composantes de Fortescue dun vecteur quelconque sont a prioricomplexes. Cependant, si les composantes du vecteur xNdans la base naturelle sont reelles(ce qui est le cas si ce vecteur represente des grandeurs de phase), alors la propriete suivanteest etablie :k [0..N 1] xk,f= (xNk,f)Cette derni`ere relation signie que le calcul de la moitie des composantes est susant pourtotalement caracteriser la projection.I.1.3.2 SymetrieetTransformeedeConcordiaAlorsqueleparagrapheprecedentexploitaitexclusivementlacircularitedelamatricedinductance, ceparagrapheutiliselasymetriedecettematricepourdeterminerunebasededecouplage`acoecientsreels: latransformeedeConcordia. Cettetransformeeestca-racterisee `a partir de la transformee de FortescueLutilisation du caract`ere reel et de la symetrie des inductances de phase, signiee par larelation (I.7), permet darmer que :lapplication lineaire admet des valeurs propres reelles,lapplication lineaire admet une base propre `a coecients reels.Les inductances cycliques denies dans la relation (I.10) sont donc reelles :Mn = MNn =N1

k=0mk cos (2Nnk) (I.13)Lenombredinductances cycliques distinctes est ainsi reduit `aNf=N+2mod(N,2)2. Lesespaces propres associes ont pour dimension 1 ou 2 etse construisent `a partir des vecteurspropres de Fortescuecomme suit :___E(M0) = vect_fN0_E(Mn) = vect_fNn,fNNn_pour n _1..N 2 +mod(N, 2)2_E(MN/2) = vect_fNN/2_si mod(N, 2) = 0tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 19Dans la suite, evoquer la valeur propreMn pre-supposen _0..Nmod(N,2)2_.Il sagitdesormaisdecontruire`apartirdelabasedeFortescueunebasepropre`aco-ecients reels et ainsi denir la base deConcordia. Il est clair que les vecteurs de Fortescuecontenusdanslesespacespropresdedimension1(fN0eteventuellement fNN/2)sont`aco-ecientsreels. Seulslesespacespropresdedimension2contiennentdesvecteurpropres`acoecient complexe. Dans ce cas, il faut remarquer que les vecteurs de Fortescue fNnet fNnnsont conjuguees, ce qui permet de constuire aisement une nouvelle base propre orthonormee`a coecients reels :E(Mn) = vect_12(fNn+fNNn), j2(fNnfNNn)_ = vect_cNn ,cNNn_(I.14)Lanouvellebaseorthonormeeainsi constitueecorrespond`alabasedeConcordia. Elleestnotee CN=_cN0, ...,cNn , ...,cNN1_. Lamatrice CN=mat(id, CN, NN)qui decomposelesvecteurs de Concordia cNndans la base naturelle correspond `a la transformee de Concordia.Ses coecients sont determines `a partir des relations (I.14) et (I.8) :CN=___________1N...1N...1N... 0...........................1N..._2N cos(2N mn)...(1)mN..._2N sin(2N mn)...........................1N..._2N cos(2N (N 1)n)...(1)N1N..._2N sin(2N (N 1)n)...___________(I.15)Levecteurpropreenpositioncentrale(composede1/Netde 1/N)nexistequesiNest pair (puisquil correspond `a la valeur propreMN/2). Par ailleurs, en raison de lordrechoisipourconstruirelabaseorthonormeedeConcordia3,ladiagonalisationdelamatricedinductance dans cette base permet de retrouver la matrice dinductance cyclique ss deniedans (I.9) :ss = mat(id, CN, CN) = CTNMssCNComme la transformee de Fortescue, la transformee de Concordia conserve le produit scalaire(propriete de conservation de puissance, cf. relation (I.12)).Lanotationdescomposantesdunvecteur quelconque xNdanslabasedeConcordiarend compte de lexistence de valeurs propres simples et doubles. Ainsi les projections sur lesespaces propres de dimension 1 sont indiceesh et les projections sur les espaces propres de3Il estnotammentpossibledeclasserconsecutivementlesvecteurspropres, cequi aboutit`aunematricedinductancecycliquedelaformediag(M0, M1, M1, M2, ...),tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200820CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESdimension 2 sont indicees et.(xN)CN=___________x0,h...xn,...xn,...___________CNLe calcul des composantes dans la base de Fortescuepeut etre realise en utilisant la matricede passage que denit la relation (I.14) :(xN)CN= PCNFN(xN)FNLe resultat general est etabli :k _0,N2_ N xk,h = xk,fk _1..N2+mod(N,2)2____xk, =_ 2NN1

n=0xn cos_2Nnk_= 2'(xk,f). .sixnRxk, =_ 2NN1

n=0xn sin_2Nnk_= 2(xk,f). .sixnRAinsi, d`es que les composantes du vecteur considere dans la base naturelle sont reelles, alorslescomposantesdeConcordiacorrespondentsimplementauxpartiesreellesetimaginairesdes N/2 premi`eres composantes de Fortescue, ce qui dapr`es les remarques emises `a la n duparagraphe I.1.3.1 est susant pour totalement caracteriser la projection du vecteur.I.1.3.3 EquationsdanslesbasesdedecouplageLobjectif de ce paragraphe est de donner les expressions des equations vectorielles en uxen en tension dans les bases propres orthonormees de Fortescuepuis de Concordia.LabasedeFortescueestunebaseproprepourlendomorphisme. Laprojectiondelequation(I.2) dans cette base aboutit `aunsyst`eme de Nequations scalaires enuxdecouplees :n [0..N 1] s,n,f= Mnin,f +sr,n,fLesvecteursuxetcourantsont`acoecientsreelsdanslabasenaturelle.Anderendrecomptedes relations deconjugaisonexistantes entreles composantes deFortescueet lesinductances propres, la base de Fortescue restreinteFNk=_fNk,fNNk_ est introduite. Pourles valeurs de k dierentes de 0 ou N/2, les bases des Fortescue restreintes denissent des plans(sinon, elles denissent des droites vectorielles). Les equations de ux sont alors regroupeestel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.1. MISEENEQUATIONDELAMACHINEPOLYPHASEE 21deux `a deux :_s,k,f(s,k,f)_FNk=_Mk00 (Mk)__ik,f(ik,f)_FNk+_sr,k,f(sr,k,f)_FNkLequation en tension correspondante est :_vk,f(vk,f)_FNk= Rs_ik,f(ik,f)_FNk+_Mk00 (Mk)_ddt_ik,f(ik,f)_FNk+_ek,f(ek,f)_FNkIl existeNf=N+2mod(N,2)2bases de Fortescue restreintes :2 mod(N, 2) bases de dimension 1,N2+mod(N,2)2bases de dimension 2.LaprojectiondanslabasedeFortescuefaitintervenirdescomposantescomplexes.Alin-verse, comme souligne dans le paragraphe precedent, la projection dans la base de Concordiagarantit lobtention de composantes reelles.ProjeteedanslabasedeConcordia, lequationdesuxfaitapparatreunnombrenidequationsvectoriellesdecoupleesdedimensionunoudeux.Lequationduuxstatoriquedans la base de Concordia secrit :___________s,0,h...s,n,...s,n,...___________CN=____________M00 . . . . . . . . . 00...............Mn...........................Mn00 . . . . . . . . . 0..._______________________i0,h...in,...in,...___________CN+___________sr,0,h...sr,n,...sr,n,...___________CNAndemettreen evidenceledecouplageentrelesespacespropres,lesbasesdeConcordiarestreintes sont introduites : la base restreinteCNkest composee des vecteurs propres deMk.Parexemple, pourlesvaleurspropresdordre2, CNk=_cNk,cNNk_etlequationenuxassociee est :_s,k,s,k,_CNk= Mk_ik,ik,_CNk+_sr,k,sr,k,_CNkLequation vectorielle en tension associee est :_vk,vk,_CNk= Rs_ik,ik,_CNk+Mkddt_ik,ik,_CNk+_ek,ek,_CNk(I.16)En resume, cette premi`ere partie met en avant les deux proprietes de la matrice dinduc-tance statorique supposee invariante :la circularite qui resulte de la regularite de construction de la machines,la symetrie qui resulte de la propriete de reciprocite de ux.Laproprietedecirculariteestsusantepourpouvoirdiagonaliserlamatricedinductancedans un espace vectoriel hermitien : dans ce cas, les espaces propres sont des droites vecto-tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200822CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESrielles complexes. La propriete de symetrie permet de passer de lespace vectoriel hermitien`alespacevectoriel euclidien. Lesespacespropressontalorsdesplansoudesdroites. LatransformeedeConcordiadenitunebaseorthonormalededecouplage`acoecientsreels.Les equations en ux et en tension projetees dans les plans ou les droites propres (bases deConcordiarestreintes)sonttotalementdecoupleeslesunesdesautres. Laconstructiondesmachines ctives va sappuyer sur ces proprietes de decouplage.I.2 DecompositionMultimachinedelaMachinepolyphaseeLe concept de Machines ctives est enonce pour la premi`ere fois dans [51]. Il consiste `aassimilerlobjetmathematiqueespacepropre`aunemachineelectrique. Lamachinepoly-phasee est ainsi vue comme une association de machines ctives magnetiquement decoupleeset mecaniquement couplees.I.2.1 Machinective:representationphysiquedelespacepropreCettesous-partie etablitlebilandepuissancedelamachinepolyphaseepourfaireap-paratrelesmachinesctives. Lescaracteristiqueselectromecaniquesdesmachinesctivessontobtenuesenutilisantleursequationsenuxetentensionrespectivesdansunebasepropre othonormale. Cest la base de Concordia qui est choisie4. Unschemaelectriqueequivalent peut ensuite leur etre attribuee.I.2.1.1 BilandepuissanceLa puissance instantanee de la machine est egale au produit scalaire du vecteur tensionstatorique vNpar le vecteur courant statorique iN.P= (vN)NN.(iN)NN=N1

n=0vn(in)(I.17)Touteslesbasespropresdumorphismesontorthogonales. Donc, si leproduitscalairedenissant la puissance est eectue dans une base orthonormale, alors la puissance apparatrepartie sur les dierents espaces propres (propriete dorthogonalite de la base orthonormale)et la somme des puissances des espaces propres est egale `a la puissance totale de la machinepolyphasee (propriete de normalite de la base orthonormale). Dans la base de Concordia, lapuissance est distribuee surNfsyst`emes magnetiquement decouples comme suit :mod(N, 2) = 0 P= v0,hi0,h +Nf2

k=1(vk,ik, +vk,ik,) +vN/2,hiN/2,hmod(N, 2) = 1 P= v0,hi0,h +Nf1

k=1(vk,ik, +vk,ik,)4Bienentendu,toutebasepropreorthonormaleconvient.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.2. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDELAMACHINEPOLYPHASEE 23Chaque sous-syt`eme produit donc une puissance Pk. Pour les syst`emes de dimension 1, cettepuissance sexprime :Pk = vk,hik,h pourk _0, N2_(I.18)Pour les syst`emes de dimension 2, la puissance est :Pk =_vk,vk,_CNk._ik,ik,_CNk(I.19)Ces syst`emes decouples pourront etre assimiles `a des machines si leurs comportements ther-mique, magnetique et mecanique sont semblables `a ceux dune machine reelle. Cest letudedu bilan de puissance des syst`emes decouples qui justie le concept de machine ctive.I.2.1.2 Repartitionducouple electromagnetiqueCebilanest etabli`apartirdelequationvectorielleentension(I.3) ecritedanslabasede Concordia. Pour les syst`emes de dimension 2, lutilisation de lequation en tension dans labase de Concordia restreinteCNk(relation (I.16)) donne le bilan de puissance correspondant :Pk= Rs_ik,ik,_CNk._ik,ik,_CNk_ PJ,k+ Mkddt_ik,ik,_CNk._ik,ik,_CNk_ Pmag,k+ dd_sr,k,sr,k,_CNk._ik,ik,_CNk_ Pmeca,kTroistermesdepuissancesontdistingues: lespertesJoulePJ,k, lapuissancemagnetiquePmag,k et la puissance mecanique Pmeca,k. Chaque syst`eme magnetiquement decouple se com-portedonccommeunemachinedont lenombredephases seraitegal `aladimensiondelespace propre qui la denit. Les machines ctives sont ainsi introduites. Caracterisees parleurinductanceMketleurforce electromotricerespective,lesmachinesctivestournent`ala meme vitesse : elles sont donc mecaniquement couplees. Le bilan de puissance montreque les pertes Joule, la puissance magnetique et la puissance mecanique de la machine reellesontrepartiessurlesdierentesmachinesctives. Lecoupleelectromagnetiquetotal delamachine reelle correspond `a la somme des couples electromagnetiquesTkproduits par cha-cunedesmachinesctives. Lecoupledunemachinectivecorrespondauproduitscalairede la force electromotrice elementaire ctive par le courant ctif. Pour les machines ctivesdiphasees, ce couple sexprime :Tk =Pmeca,k=dd_sr,k,sr,k,_CNk._ik,ik,_CNk=_

k,

k,_CNk._ik,ik,_CNkEtantdonneelaquadraturedesphases et , lesmachinesctivesdiphaseesproduisentuncoupleconstantlorsqueleursfem elementairesetleurscourantssontsinusodaux5.Par5Cetteconditiondecourantsetdefemsinusodalesestsusante.Autrementdit,lecoupleconstantpeutetreobtenuavecdautressignaux(signauxcarresparexemple).tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200824CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESFigureI.2Schemas electriquesdesmachinesctives(aveclabasedeConcordiacommesupport)contre, dans une conguration semblable, les machines ctives monophasees sont incapablesde produire un couple constant.I.2.1.3 Schema electriquedunemachinectiveLes equations entensiondans labase de Concordiapermettent detablir unschemaelectrique elementaire pour les machines ctives. Sur la gure I.2, les vecteursxk, regroupentles composantes et associees `a la machine ctive dinductance Mk. Une modelisation vec-torielleestdoncassociee`achacunedesmachinesctives. Lesdipolesdecemod`elessontconnus : la resistanceRscorrespond `a la resistance statorique de phase de la machine poly-phasee et linductance Mk resulte de la diagonalisation de la matrice dinductance statorique.Cependant, les grandeurs variables que sont le courant, la tension et la force electromotricene sont pas apriori explicitement connues. Le formalisme les denit comme les projectionsinstantanees dans la base propre denissant la machine ctive des vecteurs courant, tension etforce eletromotrice. La prochaine sous-partie montre quune autre caracterisation est possible.I.2.2 FamillesdharmoniquesassocieesauxmachinesctivesPoursuivant les travaux dEric Semail, Xavier Kestelyn [19] introduit la notion de familledharmoniques ici presentee.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.2. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDELAMACHINEPOLYPHASEE 25I.2.2.1 InductancescycliquesetgroupesdharmoniquesEn etudiantlalimentationdemoteurspolyphasesparonduleurdetensionpleineonde,Eug`eneA. Klingshirnmetenevidencequelimpedancedelamachineestlamemepourdes groupes dharmoniques precis [20, 21]. Il est donc possible de faire apparatre les induc-tances cycliques obtenues par diagonalisation de la matrice dinductance statorique `a partirdune decomposition harmonique de lequation vectorielle en tension (I.3). Cest lobjet de ceparagraphe.Les vecteurs courant, tension et force electromotrice poss`edent deux proprietes essentielles.Dunepart, enraisondelhypoth`esederegularitedelamachine, lescomposantesdecesvecteurs sont reguli`erement decalees les unes des autres. Dautre part, les composantes de cesvecteurssontperiodiques.Cesvecteursperiodiquespeuventdonc etredecomposesenseriede Fourier.SoitxN, un vecteur de phase dependant de la variable . Il sagit de calculer laDecomposition en Serie de Fourier (DSF) de ce vecteur. Chaque composante xn de ce vecteurest reel et decrit une fonction 2-periodique de la variable . La DSF `a coecients complexesde chacune de ces fonctions secrit (cf. Annexe A pour les notations concernant les dierentscoecients de Fourier) :xn() =+

h=(xn)hejh(I.20)La propriete de regularite entre les composantes du vecteur xNsecrit :n [0..N 1] xn() = x0( (n 1)2N ) (I.21)En associant les equation (I.20) et (I.21), le vecteur xNprend la forme suivante :xN=+

h=(x0)hejh________1...ej2Nhn...ej2Nh(N1)________NN= N+

h=(x0)hejhfNmod(h,N)(I.22)La DSF de xNapparat clairement comme une combinaison lineaire de vecteurs de Fortes-cue. En dautres termes, la DSF de xNest une combinaison lineaire de vecteurs propres delapplication lineaire . En appliquant la relation (I.22) aux vecteurs tension vN, courant iNet force electromotrice eN, dans lequation en tension (I.3), il vient en introduisant la matricedinductance (et en notant la pulsation) :(v0)h =_Rs +jh_N1

n=0mnej2Nnh__(i0)h + (0)htel-00270448, version 1 - 4 Apr 200826CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESLa relation (I.10) permet didentier linductance cyclique :(v0)h = _Rs +jhMmod(h,N)(i0)h + (0)h(I.23)Cette relation (I.23) montre que linductance cycliqueMh denit le dephasage entre les har-moniquesderangNZ hducourant et delatension. Commeuneinductancecycliquecaracteriseunemachinective, unenotiondegroupesdharmoniquesparmachinectiveest mise en evidence. Ces familles dharmoniques peuvent aussi etre calculees en evaluant laprojection dun vecteur periodique dans les bases propres de Fortescueet de Concordia.I.2.2.2 ProjectiondunvecteurperiodiquedanslesbasespropresConcernant la base de Fortescue, il sagit de calculer les composantes de Fortescuexn,fetxNn,fdu vecteur xN. La projection du vecteur sur la machine ctive diphasee dinductanceMn est ainsi obtenue :n _1..N 2 +mod(N, 2)2____xn,f= N+

q=(x0)qN+nej(qN+n)xNn,f= N+

q=(x0)qNnej(qNn)Pour la machine ctive homopolaire dinductance M0 (construite sur la droite vectoriellefN0),lunique composante de Fortescueest :x0,f= N+

q=(x0)qNejqN= N (x0)0 + 2N'__+

q=1(x0)qNejqN__Si N est paire, il existe une seconde machine ctive homopolaire dinductance MN/2(construite sur la droite vectorielle fNN/2). Sa composante de Fortescueest :xN/2,f= N+

q=(x0)qN2ejqN2= N (x0)0 + 2N'__+

q=1(x0)qN2ejqN2__Danscesexpressions,ilapparatclairementque,silesignalperiodiquex0()aunevaleurmoyenne non nulle, alors cette valeur moyenne est recuperee par les machines ctives mono-phasees.Ilfautnoterque,danslabasedeFortescue,seuleslescomposantesdesmachineshomopolaires sont reelles. Celles des machines ctives diphasees sont a prioricomplexes. Parcontre, dans la base de Concordia, toutes les composantes seront reelles.Enutilisantlarelation(I.14)quidenitlamatricedepassagedelabasedeConcordiarestreinte CNnvers la base de Fortescue restreinte CNnles composantes de Concordia associeestel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.2. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDELAMACHINEPOLYPHASEE 27`a la machine ctive diphasee dinductanceMn peuvent etre evaluees :n _1..N 2 +mod(N, 2)2____xn, =_N2+

q=2'_(x0)qN+nej(qN+n)_xn, =_N2+

q=2_(x0)qN+nej(qN+n)_(I.24)Pour bien rendre compte du caract`ere reel des composantes du vecteur xNdans la base deConcordia(qui est une base `a coecients reels), il est interessant dintroduire les coecientsde Fourierreelles (xc0)h et (xs0)h (cf. Annexe A pour les denitions des coecients de DSF).Lexpression (I.24) se re-ecrit alors :___xn,=_N2_(xc0)n cos (n) + (xs0)n sin (n)++

q=1_(xc0)qNn cos ((qN n)) + (xs0)qNn sin ((qN n))+(xc0)qN+n cos ((qN +n)) + (xs0)qN+n sin ((qN +n))__xn,=_N2_(xs0)n cos (n) + (xc0)n sin (n)++

q=1_(xs0)qNn cos ((qN n)) (xc0)qNn sin ((qN n))(xs0)qN+n cos ((qN +n)) + (xc0)qN+n sin ((qN +n))__(I.25)Pour la machine ctive homopolaire dinductanceM0, il vient :x0,f= N (x0)0 +N+

q=1_(xc0)qN cos (qN) + (xs0)qN sin (qN)_(I.26)Pour leventuelle machine ctive homopolaire dinductanceMN/2, il vient :xN/2,f= N (x0)0 +N+

q=1_(xc0)qN2cos (qN2) + (xs0)qN2sin (qN2)_(I.27)Lensembledesequations(I.25), (I.26)et(I.27)conrmeladistributiondesharmoniquessur les espaces propres. Ainsi, il est etabli que les grandeurs electromagnetiques de machinesctivessontunecompositionbienprecisedharmoniquesspatiaux. Enresume, lamachinectivedinductanceMnestsensible`aunefamillespeciquedharmoniquesdespacenoteeFN(Mn) denie comme suit :FN(Mn) = [qN n[ , q Z (I.28)Il faut noter que si les signaux de phase sont anti-periodiques (i.e. `a symetrie glissante), alorsles harmoniques de rang pair sont theoriquement nuls.tel-00270448, version 1 - 4 Apr 200828CHAPITREI. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDUNEMACHINEPOLYPHASEE`APOLESLISSESMachine ctive FN(Mn) FN(Mn) 2Z + 1 hnHomopolaireM03, 6, 9, 12, ... 3q 3, 9, 15, 21, ... 3DiphaseeM11, 2, 4, 5, ... 3q 1 1, 5, 7, 11, ... 1Tableau I.2 Famille dharmoniques associees aux 2 machines ctives (Nf= 2) composantunemachinetriphasee(N= 3)Machine ctive FN(Mn) FN(Mn) 2Z + 1 hnHomopolaireM05, 10, 15,... 5h 5, 15, 25, ... 5DiphaseeM11, 4, 6, 9, ... 5h 1 1, 9, 11, 19, ... 1DiphaseeM22, 3, 7, 8, ... 5h 2 3, 7, 13, 17, ... 3Tableau I.3 Famille dharmoniques associees aux 3 machines ctives (Nf= 3) composantunemachinepentaphasee(N= 5)I.2.2.3 HarmoniquederangminimaletmachinectiveprincipaleLharmonique de rang minimal dune machine ctive correspond au plus petit harmoniqueimpair de sa famille :hn = min_FN(Mn) 2Z + 1_(I.29)Dans le cas o` uNest impair,hn est deni pour toutes les machines ctives. Par contre, siNest pair, alors lharmonique de rang minimal nest pas deni pour les machines ctives baseessur lespace propre de valeur propreMnavecn pair. La machine ctive principale est cellequiestsensible`alharmoniquederang1,cest-`a-direaufondamentaldescourant,tensionet force electromotrice. Avec les notations adoptees dans ce memoire, il sagit de la machinective dinductanceM1.LestableauxI.2, I.3, I.4, I.5etI.6donnentlacompositiondesfamillesdharmoniquespour des machines `a3, 5, 6, 7et 9phases respectivement. Entroisi`emecolonnedecestableaux, lafamilledharmoniques derangimpair est preciseeet, enquatri`emecolonne,apparait lharmonique de rang minimal.Le tableauI.2donne ladistributiondes harmoniques pour lamachine triphasee. Ladecomposition multimachine permet evidemment de retrouver le mod`ele classique de la ma-chinetriphasee:lamachinectivediphaseecorrespond`alamachine(, )danslerep`eredeConcordialieaustatorou`alamachine(d, q)danslerep`eredePark lieaurotor. Silamachineestcoupleeen etoile(respectivementtriangle), alorslasommedescourantsdephase (respectivement tensions de phase) est nulle. La machine homopolaire nest ainsi passollicitee.Pourlamachinepentaphaseelescompositionsdesfamillesdharmoniquessontdonneesdans le tableau I.3. Lharmonique de rang minimal pour la machine dinductanceM2est 3.Machine ctive FN(Mn) FN(Mn) 2Z + 1 hnHomopolaireM06, 12, 18, 6h -DiphaseeM11, 5, 7, 11, ... 6h 1 1, 5, 7, 11, ... 6h 1 1DiphaseeM22, 4, 8, 10, ... 6h 2 -HomopolaireM33, 9, 12, 15, ... 6h 3 3, 9, 12, 15, ... 6h 3 3Tableau I.4 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 4) composantunemachinehexaphasee(N= 6)tel-00270448, version 1 - 4 Apr 2008I.2. DECOMPOSITIONMULTIMACHINEDELAMACHINEPOLYPHASEE 29Machine ctive FN(Mn) FN(Mn) 2Z + 1 hnHomopolaireM07, 14, 21, 28, ... 7h 7, 21,... 7DiphaseeM11, 6, 8, 13, ... 7h 1 1, 13, 15, 27, ... 1DiphaseeM22, 5, 9, 12, ... 7h 2 5, 9, 19, 23, ... 5DiphaseeM33, 4, 10, 11, ... 7h 3 3, 11, 17, 25 ... 3Tableau I.5 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 4) composantunemachine7-phases(N= 7)Machine ctive FN(Mn) FN(Mn) 2Z + 1 hnHomopolaireM09, 18, 27, ... 9h 9, 27, ... 9DiphaseeM11, 8, 10, 17, ... 9h 1 1, 17, 35, ... 1DiphaseeM22, 7, 11, 16, ... 9h 2 7, 11, 25, ... 7DiphaseeM33, 6, 12, 15, ... 9h 3 3, 15, 33, ... 3DiphaseeM44, 5, 13, 14, ... 9h 4 5, 13, 23, ... 5Tableau I.6 Famille dharmoniques associees aux 4 machines ctives (Nf= 5) composantunemachine9-phases(N= 9)Si un nombre de paires de poles etait attribue `a cette machine, il serait trois fois plus eleveque le nombre de paires de poles de la machine pentaphasee. Dans loptique du controle decette machine dans un rep`ere tournant, il sera judicieux deectuer une rotation de Parksurtrois fois la position instantanee du rotor6.Le cas de la machine hexaphasee (cf. tableau I.4) est interessant : la moitie des machinesctives ont leur famille dharmoniques impairs vide. En fait, il sagit dune propriete generaleconcernantlesmachines`anombrepairdephases. Enconsiderantlequation(I.28), il estfacilementprouveque, danslhypoth`esedesignauxdecourantetdeforceelectromotriceanti-periodiques, lamoitiedesmachinesctivesnepeuventetresollicitees. Dapr`eslesre-marques du paragraphe I.1.1.1 (page 11) sur la distinction entre phases internes et externes,ces resultats etaient previsibles. En particulier, le tableau I.1 montre bien quune machine `a6 phaes internes est en fait une machine `a 3 phases externes reguli`erement decalees. Il sagitdonc dune machine triphasee : les compositions des familles dharmoniques de la machine `a6 phases internes (N= 6, cf. tableau I.4) et de la machine `a 3 phases (N= 3, cf. tableau I.2)sont identiques.Les tableaux I.5 et I.6 concernant respectivement les machines `a 7 phases et `a 9 phases sontdonnes `a titre illustratif. Tous les tableaux presentes insistent sur les familles dharmoniquesimpairs. Cependant, surleplanprati