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Multivariable I: un exemple applicatif

Michellod YvanDr. Müllhaupt PhilippeMER Denis Gillet

11.2005

Introduction au problème & Modélisation

En collaboration avec:-ESO-Observatoire de Genève

2

Introduction

• Introduction au problème

• La solution proposée

• Modélisation et équations d’états

• Commande à priori

3

Introduction

Site:Chili, Paranal

VLTI:Very Large TelescopeInterferometer

4

Introduction

5

Introduction

PerturbationsAtmosphérique

Compensationavec une ligne àRetard différentielle

Active Trackingd’une référence stochastique

6

Cahier des charges

Spécifications

• Course complète > 60mm

• Bande passante > 200 Hz

• Précision ~1nm

• Mode de résonance mécanique > 150 Hz

• Dissipation maximum < 5W

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Solution existante

• Bande passante élevée etGrande précision (de l’ordre du nanomètre):– > Actuateur piézoélectrique

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Rappel: l’effet piézoélectrique

• Actuateur:– Un matériau se déforme sous l’action d’un

champs électrique extérieur

• Capteur:– Un matériau génère un champs électrique sous

l’effet d’une contrainte mécanique externe

9

L’effet piézoélectrique

Déformationcontrôlée

10

Le piézo: actuateur idéal?

• Non

– > Course limitée … (typiquement <30 um)

11

Autre solution (suite)

• Précision et grande course– > Moteur classique

• Choix: – NEMA 17, moteur pas à pas avec vis de

transmission de précision (Ultra motion)

12

Le moteur classique (suite)

13

Le moteur classique (suite)

• Mais– Précision dynamique en tracking, trop limitée– Bande passante trop limitée

…

14

Solution adoptée

• Combinaison des deux actionneurs pour contrôler efficacement la sortie– Piézo pour la vitesse et la précision– Moteur pour la course complète

• Guidage mécanique par un système à lamespour coupler les deux étages

• Système multivariable

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Solution adoptée

QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor

are needed to see this picture.

dOPD

LCUs

Front-endElectronics

LCUs

TranslationStage

OpticsMetrology

Main Actuator

Piezo

VacuumSystem

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Définition

• Un système est dit suractionné s’il possède un nombre plus grand d’actionneurs indépendants que de degrés de liberté

• Notre application:– 1 degré de liberté pour 2 actionneurs

17

Le prototype

18

Système complet

19

Modèle du moteur

• Il s’agit d’un moteur synchrone à aimant permanent.

• On contrôle la tension des phases du moteur, groupées 2 par 2 en parallèle.

• Le problème du frottement sec, ainsi que du jeu dans la transmission sont négligés.

20

Equations d’état

Les 2 tensions de contrôle ua et ub, ne sont pas indépendantes:elles doivent être en quadrature (90°).

21

22

Equations d’état (suite)

• Simplification du modèle:Approximation du 2ième ordre

€

˙ ̇ y (t) + 2ξωo ˙ y (t) + ωo2y(t) = ωo

2α (t)

⎧ ⎨ ⎩

x1 = y

x2 = ˙ y ⇒

˙ x 1 = x2

˙ x 2 = −ωo2x1 − 2ξωox2 + ωo

2α

⎧ ⎨ ⎩

AT =0 1

−ωo2 −2ξωo

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟, BT =

0

ωo2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟, CT = 1 0( )

23

Modèle du piézo

• Le piézoélectrique peut être modélisé, en première approximation, comme un circuit électrique RC.

• Dont la tension sur la capacité est proportionnel au mouvement réalisé.

R

CU

i

uc

24

Modèle du piézo

€

K1z = uc

Cduc

dt= i

U = uc + Ri

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒

x3 = z

˙ x 3 = −z

RCx3 +

U

K1RC

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

AP = −z

RC ⎛ ⎝

⎞ ⎠, BP =

1

K1RC

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟, CP = 1( )

25

Modèle d’état global

€

A =AT 0

0 AP

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟, B =

BT 0

0 BP

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟, C = CT CP( )

€

A =

0 1 0

−ωo2 −2ξωo 0

0 0 −1

RC

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

, B =

0 0

ωo2 0

01

K1RC

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

, C = 1 0 1( )

26

Modèle d’état global

€

˙ x (t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t)

⎧ ⎨ ⎩

Représentationcontinue

Représentationdiscrète

€

x(kh + h) = Φx(kh) + Γu(kh)

y(kh) = Cx(kh)

⎧ ⎨ ⎩

DA D

A

u(kh) y(kh)

u(t)y(t)

€

Φ =eAh Γ = eAndnB0

h

∫

27

Modèle d’état global

€

Φ =eAh Γ = eAndnB0

h

∫1) Calcul exact à l’aide d’un logiciel adéquat (Mathematica)

€

Φ =eAh = L−1[(sI − A)−1] Mathematica Simplify[InverseLaplaceTransform[Inverse[sI - A], s, kh]]

MatrixExp[A*h] Ou plus simplement

28

Modèle d’état global

2) Théorème de Cayley-Hamilton

Valeurs propres de A:

€

λ1 = −ωoξ − ωo ξ 2 −1 = −ωoξ − iωo 1− ξ 2

λ 2 = −ωoξ + ωo ξ 2 −1 = −ωoξ + iωo 1− ξ 2

λ 3 = −1

RC

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

€

eAh = p0I + p1Ah + p2A2h2

eλ 1h = p0 + p1λ1h + p2λ 12h2

eλ 2h = p0 + p1λ 2h + p2λ 22h2

eλ 3h = p0 + p1λ 3h + p2λ 32h2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒

p0

p1

p2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟=

1 λ1h λ 12h2

1 λ 2h λ 22h2

1 λ 3h λ 32h2

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

−1ehλ 1

ehλ 2

ehλ 3

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

Coefficients du polynômeP(A):

29

Modèle d’état global discret

Evaluation numérique via Matlab

€

ωo ≈ 2π (100)

ξ ≈ 0.1

RC ≈1

300h = 1/5000 = 0.0002

K1 = 1/3

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪

avecΦ = exp m(Ah)

Γ = inv(A)(Φ − I)B

⎧ ⎨ ⎩

A =

0 1 0

-3.9478e5 -125.664 0

0 0 −300

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

B =

0 0

3.9478e5 0

0 900

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

Φ =

0.9922 0.0002 0

-77.768 0.9674 0

0 0 0.9418

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

Γ =

0.0078 0

77.768 0

0 0.1747

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

30

Comparaison: Continu/Discret

• Dans Matlab: définition du modèle d’étatsà partir de ces matrices

• Continu:

• Discret:

• Représentation du diagramme de Bode en amplitude: bodemag(Mc, Md)

€

Mc = ss(A,B,C,D)

Md = ss(Φ,Γ,C,D,h)

⎧ ⎨ ⎩

31

Comparaison: Continu/Discret

Matlab:Md=c2d(Mc,h)

32

Commande a priori

• Maintenant que le système a été modélisé

• Elaboration d’une commande en « feed forward »– En boucle ouverte

Sans utilisation de capteur– Basée entièrement sur le modèle de

connaissance

33

Commande a priori

• Moteur

• Piézo

Approximation statique

€

α ≈γzT

€

U ≈ Kzp

€

yout = zp + zT

yout ≈α (t)

γ+

U(t)

K

Résultat:Rampe du moteur

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A suivre

• Commande en boucle fermée– Schéma de contrôle suractionné– Observateur– Réglage découplé: PID– Réglage d’état

Intéressé? -> Projets de semestre

35

FIN