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Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse4èmeannée Automatique Electronique

option Systèmes Embarqués

Systèmes MultivariablesPilotage d’un avion

BOUVOT SimonVASCONCELOS Joao

Enseignant : Elodie ChanteryToulouse - 25 novembre 2012

Table des matières

Introduction 3

1 Modélisation du système 41.1 Modèle d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Choix des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Choix des entrées/sorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Modèle numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Analyse de l’avion naturel 62.1 Observabilité vs Commandabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Modes du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Commande de l’avion 93.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Découplages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Sous-système Σ1 : 3 modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Sous-système Σ2 : 1 mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Placement insensible de modes 114.1 Caractéristiques des fonctions utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Retour d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Sensibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Fonctionnement dégradé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4.1 Commande monovariable par U1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4.2 Commande monovariable par U2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Placement de structure propre et découplage 165.1 Sous-espaces admissibles associés aux modes . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2 Découplage "à droite" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Découplage "à gauche" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.4 Matrice H1 : 1ère méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.5 Matrice H2 : 2ème méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6 Réponse indicielle en bouclée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.7 Sensibilité du placement de structures propres . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Découplage en régime statique 226.1 Un peu de maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Matrice de précommande H "parfaite" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.3 Sensibilité du placement de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Conclusion 26

2

Introduction

Le but de cette application est de faire la synthèse de lois de commande insensiblesou avec découplage pour le pilote automatique dans le plan vertical, pour un avion detransport. On testera ces commandes par simulation numérique.

La complexité des calculs et la simulation numérique des réponses nécessitent l’utili-sation d’un logiciel, en l’occurence Matlab.

On commencera par faire une analyse de l’avion naturel (reprise des travaux effectuésen 3ème année), puis un placement insensible de modes avec une étude sur le fonctionne-ment dégradé. On étudiera le placement de structure propre afin d’obtenir la dynamiquesouhaité ainsi que le découplage voulu. Dans une dernière partie, l’étude sera portée surle découplage en régime statique.

Le script matlab complet est ajouté en annexe.

3

Chapitre 1

Modélisation du système

Le système sur lequel nous allons porter cette étude est un avion de transport en phasede vol de croisière. Bien sur, ce systèmes est non-linéaire, c’est pourquoi on étudiera unsystème linéarisé autour d’un point d’équilibre.

Figure 1.1 – Forces agissant sur l’avion, dans le plan vertical

1.1 Modèle d’état

1.1.1 Choix des étatsNous avons choisi les variables d’états suivantes :

x =

αVqVZ

Avec :

- α : angle d’incidence- V : vitesse du centre de gravité par rapport à un système de référence galiléen- q = θ : vitesse de tangage

4

Syst. multi. Pilotage d’un avion INSA Toulouse

- VZ = Hdt

= V.sin(γ) ≈ Vγ : la vitesse ascensionnelle

1.1.2 Choix des entrées/sortiesLes commandes sont en principes fixées pour l’avion. Le modèle non linéaire développé

précédemment nous indique comme entrées, le braquage de la gouverne et F, la pousséeou encore le nombre de tours N1 auxquels F peut être reliée par une relation statique :

F = F (N1)

On aura donc :U =

(δN1

)Le choix des sorties est une combinaison linéaire des états. Celui-ci est fait en fonction dela variable d’état que l’on veut piloter. Nous avons donc comme sorties :

Y =(VVZ

)

1.2 Modèle numériqueLe choix des entrées et des sorties ayant été fait, le modèle d’état associé aux équations

linéaires peut être alors écrit. Le modèle d’état suivant a été établi linéarisé autour d’unpoint de vol soit pour une vitesse et une altitude donnée et une pente nulle.

X = AX +BUY = CX

Soit le système suivant :

A =

−0.61 0 1 0−0.1 −0.005 0 −0.05−0.7 0 −0.75 02.2 0.1 0.05 0

B =

−0.03 0

0 0.028−1.5 0.010.1 0

C =

(0 0 0 00 0 0 0

)D =

(0 00 0

)La matrice D est nulle, il n’y a donc aucune commande directe entre les entrées (U1

et U2) et la sortie Y.

Bouvot - Vasconcelos Page 5/ 34 25 novembre 2012

Chapitre 2

Analyse de l’avion naturel

On définit le modèle d’état du système :

2.1 Observabilité vs CommandabilitéLe modèle d’état du système étant défini, on va déterminer si le système est observable

et s’il est commandable.

Observable ?

On rappelle la matrice d’observabilité :Qo = [C ; C*A ; C*A^2 ; C*A^3]

. Si le rang de Q0 et le rang de la matrice A sont égaux, alors le système est observable.Dans notre cas, le rang de A est 4.

Qo =

0 1.0000 0 00 0 0 1.0000

−0.1000 −0.0050 0 −0.05002.2000 0.1000 0.0500 0−0.0485 −0.0050 −0.1025 0.0003−1.3870 −0.0005 2.1625 −0.00500.1024 0.0000 0.0284 0.0002−0.6786 −0.0005 −3.0091 0.0000

Le rang de la matrice Q0 est 4. Le système est donc observable.

Commandable ?

La matrice de commandabilité se détermine de la manière suivante :Qc = [B , A*B , A^2*B , A^3*B]

. Si le rang de Qc et le rang de la matrice A sont égaux, alors le système est commandable.Dans notre cas :

Qc =

−0.0300 0 −1.4817 0.0100 2.0498 −0.0136 −1.0727 0.0069

0 0.0280 −0.0020 −0.0001 0.1552 −0.0012 −0.0456 0.0003−1.5000 0.0100 1.1460 −0.0075 0.1777 −0.0014 −1.5682 0.01060.1000 0 −0.1410 0.0033 −3.2026 0.0216 4.5340 −0.0301

Le rang de Qc vaut : rank(Qc) = 4. Le système est donc commandable.

6


2.2 Modes du systèmeAfin d’étudier les modes du système, nous avons calculé le déterminant de la matrice

A, son polynôme caractéristique ainsi que ces racines (les modes). On a trouvé 2 pairesde pôles :

P1 = -0.0025 ± 0.0707iP2 = -0.6800 ± 0.8337i

Les parties réelles des pôles sont négatives. Le système est donc stable en boucleouverte.

Le système étudié présente 2 modes : un mode phugoïde/lent et un mode rapide. Onles visualise dans le plan de Laplace :

Figure 2.1 – Pôles et Zéros du système en boucle ouverte

On récupère la pulsation propre, le coefficient d’amortissement et les pôles de chaquemode grâce à la fonction matlab :>>[Wn,Z,P] = damp(sys)

Le mode phugoïde/lent est celui caractérisé par une pulsation propre plus faible, une par-tie réelle faible (environ = 0) et une valeur d’amortissement faible.

Mode Phugoïde Mode RapideWn 0.0707 1.0759Z 0.0354 0.6320P -0.0025 ± 0.0707i -0.6800 ± 0.8337i



On peut résumer de la manière suivante : les pôles peu amortis correspondent au modephugoïde dans le cas de la stabilité dynamique longitudinale. Le mode rapide caractérisel’oscillation d’incidence.

Les coefficients d’amortissement des 2 modes sont < 1 : Zphugoïde = 0.0354 et Zrapide= 0.6320. Le régime transitoire sera alors caractérisé par des oscillations amorties. Lecomportement du système général est donné par le mode phugoïde car il est bien pluslent que le mode rapide : c’est lui qui impose son rythme avec sa "lenteur". On visualisela réponde indicielle du système afin de confirmer ce qui a été dit précédemment.

Figure 2.2 – Réponse indicielle du système en BO

A gauche, l’influence du mode phugoïde (amortissement très lent) alors qu’au contraire,à droite, un amortissement très rapide (mode rapide).


Chapitre 3

Commande de l’avion

3.1 ObjectifsL’objectif est de piloter l’avion dans le plan vertical de façon à commander "indépendamment"

sa vitesse horizontale V ainsi que sa vitesse verticale VZ (l’action sur une seule commandeδ ou N1 agissant bien entendu sur les 2 grandeurs). Un couplage résiduel peut être inévi-table et pas gênant en pratique, on aura donc les spécifications suivantes :

- Pour un échelon de vitesse longitudinale donné de 2.5m/s, la vitesse verticale ne doitpas être modifiée de plus d’une quantité ∆VZ donnée (par exemple 0.7m/s correspondantà une pente de 0.2 dans les conditions de vol nominal utilisées).

- Pour un échelon de vitesse verticale donnée de 3.5m/s par exemple, la variation dela vitesse longitudinale doit être limitée à un ∆V donné de 0.1m/s par exemple.

- Indépendamment des couplages requis, les modes de l’avion en boucle fermée doiventse trouver à l’intérieur d’un trapèze défini par les contraintes d’amortissement minimal,de temps de réponse maximal et la limitation de la bande passante des actionneurs.Nousimposerons alors un amortissement supérieur à 0.65 et des temps de réponse à 95% de20s et 10s sur V et VZ .

Figure 3.1 – Contraintes sur les modes désirés

9


3.2 DécouplagesOn désire satisfaire ces objectifs en utilisant une loi de commande de la forme retour

d’état :

U = −KX +HYC

Le vecteur U représente le vecteur de commande du processus. Et YC est le vecteur

de consignes[VC

VZC

]. Nous imposons le découplage suivant :

δ →

Σ1︷︸︸︷λ1, λ

∗1, λ2 → Vz N1 →

Σ2︷︸︸︷λ3 → V

Nous aurons donc trois modes influents sur le sous-système Σ1, une paire complexe(λ1, λ

∗1) et un mode réel (λ2). En ce qui concerne le sous-système Σ2, un seul et unique

mode réel lui sera associé (λ3). On va expliquer la démarche suivie pour trouver ces modes.

3.2.1 Sous-système Σ1 : 3 modesDétermination de λ2

λ2 étant donné dans l’énoncé, on refait la dé-marche permettant son obtention.Tr2 = 4s = 3.τ2→ τ2 = 1.33s→ λ2 = − 1

τ2

D’où :

λ2 = −0.75

Détermination de λ1, λ∗1

On résoud l’équation p2 + 2ζωnp+ ω2n = 0

∆ = (2ζωn)2 − 4ωn= 4ζ2ω2

n − 4ω2n

= 4ω2n(ζ2 − 1)

= 4 ∗ 0.532(0.72 − 1)= −0.573

λ1 = −2ζωn±j√|∆|

2Soit :

λ1 = −0.371 + 0.378jλ∗1 = −0.371− 0.378j

3.2.2 Sous-système Σ2 : 1 modeDétermination de λ3

Tr3 = 25s = 3.τ3 d’où τ3 = 253 = 8.33s

La fonction de transfert est de type ordre 1 : H(jω) = 11+j ω

ωn

λ3 est solution de 1 + j ωωn

= 0 d’où λ3 = −ωn3 = − 325

λ3 = −325


Chapitre 4

Placement insensible de modes

4.1 Caractéristiques des fonctions utiliséesNous allons maintenant réaliser le placement insensible de modes. Pour cela nous al-

lons utiliser 3 fonctions place.m, cond.m et sensible.m qui nous permettront d’étudier leplacement des modes. Voyons de plus près à quoi ressemble ces fonctions.

place.m

... permet de calculer la matrice de feedback gain en fonctions des valeurs propres qu’onentre en arguments

cond.m

... permet de nous informer de la justesse des résultats en calculant le conditionnement denotre matrice dynamique. Plus notre conditionnement est petit, plus notre matrice serabien conditionnée. Cela va de soit pour le cas contraire.

sensible.m

... calcule et représente les valeurs propres de la matrice dynamique dans le cas de per-turbations non-structurées aléatoires.

4.2 Retour d’étatIci, on calcule un retour d’état permettant de placer les modes sur λ1, λ

∗1, λ2, λ3 avec

comme critère un minimum de sensibilité.

On utilise la fonction place : K = place(A,B, [∑λi]). D’où :

K =(

0.3857 0.0873 0.2019 −0.07565.9942 11.3124 25.2295 −5.6531

)

11


4.3 SensibilitéNous avons alors déterminé la nouvelle matrice dynamique AC = A − BK associée

à la boucle fermée. On note que cette matrice a pu être calculée étant donné que Aet B sont commandables. Pour déterminer son conditionnement, on utilise la eig pourextraire les vecteurs propres de AC : [V ectpropre, V alpropre] = eig(Ac). On utilise la fonctioncond(V ectpropre)

Conditionnement de Ac ⇒ cond(V ectpropre) = 18.8448

On notera, pour ce rapport :

Conditionnement de Ac = cond(V ectpropre) = cond(Ac)

Cette valeur n’est pas suffisante, car un conditionnement est bon quand il est prochede 1. Déduction : notre matrice des vecteurs propres est mal conditionnée. Ce mauvaisconditionnement va altérer le placement des modes.

En utilisant la fonction sensible et en faisant varier pmax, on remarque que nos modessont très sensibles face aux perturbations non-structurées aléatoires. Il faut bien faire at-tention dans notre choix de pmax à ce que le système reste stable (que les pôles soit tousà partie réelle négative, soit à gauche de l’axe des ordonnées). Faisons varier pmax entre0.3 et 0.01 afin de visualiser ce phénomène.

Figure 4.1 – Placement des pôles avec pmax = 0.3





Lors d’une faible perturbation, on remarque que le pôle λ3 peut devenir à partie réellepositive. Dans ce cas, le système sera instable.



4.4 Fonctionnement dégradéPrécédemment nous avons étudié le système dans sa globalité. Nous allons faire une

étude similaire dans un fonctionnement dégradé : on considérera le cas où la commandeU2 est inactive (commande monovariable par U1), et le cas symétrique (commande mono-variable par U2).

4.4.1 Commande monovariable par U1

On étudie tout d’abord le cas où la commande U2 est inactive. Pour çà, on sélectionnela 1ère colonne de B (B( :,1)) et la 2ème ligne de C (C( :,2)). On recalcule la matricedynamique Ac = A−BK. Avec la fonction [V ectpropre, V alpropre] = eig(Ac), on extrait lesvecteurs propres et on en déduit le conditionnement avec la fonction cond(V ectpropre). Ontrouve :

cond(Ac1) = 33.8347

Figure 4.4 – Entrée U2 inactive (pmax = 0.1)

4.4.2 Commande monovariable par U2

La démarche est la même, on sélectionne B( :,2) et C(1, :)... On trouve comme valeurde conditionnement :

cond(Ac2) = 36.8731



Figure 4.5 – Entrée U1 inactive (pmax = 0.1)

Le fonctionnement dégradé sur U1 n’arrange en rien le conditionnement, de même pourun fonctionnement dégradé sur U2. Nous ne pouvons donc pas réaliser notre commandepar l’intermédiaire du placement insensible de modes. En effet, la matrice de feedbackgain K trouvée n’est pas acceptable en vue du conditionnement de la matrice des vecteurspropres associée.

Nous ne pouvons donc pas obtenir des résultats répondant au cahier des charges : unecommande par retour d’état avec un placement de structure propre sera envisagé par lasuite.


Chapitre 5

Placement de structure propre etdécouplage

5.1 Sous-espaces admissibles associés aux modesOn cherche ici à connaître les sous-espaces admissibles associés aux différents modes

souhaités. On calcule R(λi) qui est une base du noyau de Q(λi) = [λiI −AB] en fonctiondes différents modes souhaités : λ1, λ

∗1, λ2 et λ3. On rappelle que :

R(λi) =(N(λi)M(λi)

)

On va diviser la matrice R(λi) en 2 afin de tirer et calculer N(λi) et M(λi) pour chacunsdes modes.

N(λ1) =

0.1486− 0.1793i −0.0021− 0.0004i−0.0248− 0.0622i 0.0372 + 0.0381i0.1007 + 0.0150i −0.0005− 0.0009i−0.9548 + 0.0895i 0.0059− 0.0018i

N(λ∗1) =

0.1486 + 0.1793i −0.0021 + 0.0004i−0.0248 + 0.0622i 0.0372− 0.0381i0.1007− 0.0150i −0.0005 + 0.0009i−0.9548− 0.0895i 0.0059 + 0.0018i

N(λ2) =

0.3264 −0.0034−0.0185 0.0375−0.0503 0.0003−0.9313 0.0055

N(λ3) =

0.0674 −0.0101−0.3303 0.22720.0317 −0.0049−0.9368 −0.0026

Afin de vérifier si ces matrices sont bien définies, on remplace les valeurs de N(λi) et

M(λi) par les valeurs calculées précédemment dans :

(λiId− A)(N(λi) +BM(λi) = 0

Théoriquement, on ne pourra pas trouver 0 pour chacuns des cas étant donné qu’on autilisé dans nos calculs des valeurs approchées. On trouve par exemple, pour le mode λ1 :

(λ1 ∗ Id− A)N(λ1) +B ∗M(λ1) = 1.0e−15 ∗

0.0837− 0.0308i −0.0005− 0.0003i0.0046− 0.0001i −0.0035 + 0.0021i−0.1665 + 0.0278i −0.0004− 0.0012i−0.1821− 0.1847i 0.0007 + 0.0036i

16


D’où :

(λ1 ∗ Id− A)N(λ1) +B ∗M(λ1) ∼= 0

Les sous-espaces admissibles associés aux différents modes souhaités sont donc bonsgrâce à la vérification ci-dessus.

5.2 Découplage "à droite"Etant donné les découplages, on veut que les 2 sous-systèmes aient respectivement 1

et 3 modes :CV =

(0 0 0 11 1 1 0

)En décomposant, on a :

CVi =(

0 1 0 00 0 0 1

)∗

Vi1Vi2Vi3Vi4

Pour respecter la valeur de CV , on veut que :

CV1 =(

01

)CV2 =

(01

)CV3 =

(01

)CV4 =

(10

)

D’où :

V1 =

∗0∗1

V2 =

∗0∗1

V3 =

∗0∗1

V4 =

∗1∗0

En recomposant V d, on a :

V d =

∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 1∗ ∗ ∗ ∗1 1 1 0

Disposant de cette matrice des vecteurs propres, on va chercher à déterminer le gain deretour K permettant de placer les valeurs et vecteurs propres à droite souhaités. Pourcela, on va commencer par extraire les 2ème et 4ème lignes de la matrice N(λi). Le cas deλ1 sera détaillé ici, le principe est applicable aux 3 autres modes.

N(λi) = [N(λi)(2, :);N(λi)(4, :)]

Après extraction, on a :

λ1 =(−0.0248− 0.0622i 0.0372 + 0.0381i−0.9548 + 0.0895i 0.0059− 0.0018i

)

On calcule alors z1 qui va nous donner W1 :

z1 = inv(N1) ∗ [V d(2, 1);V dd(4, 1)]



A ce stade, on regroupe les zi :

z =(z1 z2 z3 z4

)=(−1.0464− 0.0997i −1.0464 + 0.0997i −1.0769 −0.0120−1.1667− 0.6220i −1.1667 + 0.6220i −0.5305 4.3838

)

On peut dès à présent recalculer notre matrice V d maintenant remplie avec :

V (i) = N(λi) ∗ zi

d’où

V d =

−0.1712 + 0.1746i −0.1712− 0.1746i −0.3497 −0.0450−0.0000− 0.0000i −0.0000 + 0.0000i 0 1.0000−0.1038− 0.0244i −0.1038 + 0.0244i 0.0540 −0.02201.0000 + 0.0000i 1.0000− 0.0000i 1.0000 0

On déduit :

K = Wi ∗ V d−1 =(

0.2439 0.0070 −0.0980 −0.0762−3.5714 4.1071 0 −1.7857

)

5.3 Découplage "à gauche"Les conditions de découplage à gauche sont :

UBH = J

avec U = V d−1 et

J =

0 10 10 11 0

5.4 Matrice H1 : 1ère méthodeNous allons donc tirer H de UBH = J :

(UB)TUBH = (UB)TJ

d’où H = (UB)T J(UB)TUB

On calcule cette matrice sur Matlab, ce qui nous donne :

H1 =(

0.2582 0.007237.4769 0.9223

)



5.5 Matrice H2 : 2ème méthodeCette méthode est bien plus longue que le précédente car l’intégralité des calculs a été

réalisé sur papier. Le principe est de calculer UBH en fonction de H et d’identifier à Javec :

H =(h1, h2h3, h4

)Pour simplifier les notations, on note :

UB =

a bc de fg h

D’où :

UBH =

ah1 + bh3 ah2 + bh4ch1 + dh3 ch2 + dh4eh1 + fh3 eh2 + fh4gh1 + hh3 gh2 + hh4

=

0 10 10 11 0

On a les 8 équations suivantes à résoudre :

ah1 + bh3 = 0ch1 + dh3 = 0eh1 + fh3 = 0gh1 + hh3 = 1

⇔

ah1 + bh3 = 0ch1 + dh3 = 0eh1 + fh3 = 0

gh1 + hh3 − 1 = 0ah2 + bh4 = 1ch2 + dh4 = 1eh2 + fh4 = 1gh2 + hh4 = 0

⇔

ah2 + bh4 − 1 = 0ch2 + dh4 − 1 = 0eh2 + fh4 − 1 = 0gh2 + hh4 = 0

On utilise ici la méthode des moindres carrés pour trouver les composantes de H. Onva utiliser 2 équations : S0 pour les 4 équations égales à 0 dans UBH et S1 pour les 4restantes égales à 1 dans UBH.

S0 = [ah1 + bh3]2 + [ch1 + dh3]2 + [eh1 + fh3]2 + [(gh1 + hh3)− 1]2

S1 = [(ah2 + bh4)− 1]2 + [(ch2 + dh4)− 1]2 + [(eh2 + fh4)− 1]2 + [gh2 + hh4]2

A ce stade, on résoud les 4 équations suivantes pour tirer h1, h2, h3 et h4.

δS0

δh1= 0 δS0

δh3= 0 δS1

δh2= 0 δS1

δh4= 0

On obtient :H2 =

(0.2582 −0.006737.4769 −1.0832

)On obtient, avec les 2 méthodes, quasiment le même H. On a donc H1 = H2 = H.



5.6 Réponse indicielle en boucléeEn rentrant H dans la boucle, on visualise la réponse indicielle du système :

Figure 5.1 – Réponse indicielle du système en BF avec H1

Après avoir effectué le tracé de la réponse indicielle, on s’aperçoit que le découplagen’est pas correct puisque l’entrée 1 "pilote" les deux sorties tandis que l’entrée 2 n’a qu’untrès faible effet sur les sorties. On rappelle d’ailleurs que l’entrée 1 correspond au braquagede la gouverne δ et l’entrée 2 au nombre de tours du moteur N1. La sortie 1 correspondantà la vitesse du centre de gravité V , la sortie 2 correspondant à la vitesse ascensionnellede l’avion Vz.

5.7 Sensibilité du placement de structures propresOn voit très bien sur le graphe suivant que ce placement de structures propres est

beaucoup moins sensible aux variations de A−BK. En effet, on remarque que les modesrestent exactement au même endroit, quelles que soit les variations de la matrice d’évo-lution du système bouclé.



Figure 5.2 – Sensibilité du placement de structures propres


Chapitre 6

Découplage en régime statique

6.1 Un peu de mathsEn régime permanent, on a x = 0. On a de ce fait :

(A−BK)x+BHYc = 0

Le découplage en régime statique est tel que Yc = Cx, ce qui nous donne :

(A−BK) +BHC = 0⇐⇒ BHC = BK − A

On rappelle que Ω vaut :

Ω =[

Ω11 Ω12Ω21 Ω22

]=[A BC 0

]−1

On peut transformer cette équation en 2.La première : [

Ω11 Ω12Ω21 Ω22

]×[A BC 0

]=[

1 00 1

]Et la seconde : [

A BC 0

]×[

Ω11 Ω12Ω21 Ω22

]=[

1 00 1

]On dispose des 2 systèmes suivants :

Ω11A+ Ω12C = 1Ω11B = 0

Ω21A+ Ω22C = 0Ω21A = 1

AΩ11 +BΩ21 = 1

CΩ11 = 0AΩ12 +BΩ22 = 0

CΩ12 = 1

Maintenant, on multiplie BHC = BK − A par Ω12 (post-multiplication).

BHCΩ12 = BKΩ12 − AΩ12

En remplaçant les combinaisons par les 8 équations ci-dessus, on déduit :

BH = BKΩ12 +BΩ22

De même, en pré-multipliant par Ω21 :

22


Ω21BH = Ω21BKΩ12 + Ω21BΩ22

D’où le résultat suivant :

H = Ω22 +KΩ12

6.2 Matrice de précommande H "parfaite"On peut calculer sur Matlab, notre nouvelle matrice H3 :

H3 =(

0.0420 −0.06425.3571 0.0000

)

Désormais, on redétermine notre système en boucle fermée en prenant en compte H3 :

Figure 6.1 – Réponse indicielle en BF avec H3 (couplages inversés)

On observe un couplage inversé à celui souhaité dans le cahier des charges. En effet,chacune des entrées pilote bien une seule sortie, mais pas celle voulue. Il suffit d’inverserles colonnes de H3, ce qui nous donne une réponse indicielle correcte.



Figure 6.2 – Réponse indicielle en BF avec H3

Le découplage est quasiment parfait et totalement différent des cas de placement in-sensible de modes et de placement de structure propre. Le braquage de la gouverne δpilote bien la vitesse ascensionnelle Vz ; la poussée F (le nombre de tour N1) pilote bienla vitesse du centre de gravité V . L’objectif au niveau du découplage est atteind.

6.3 Sensibilité du placement de modesPour étudier la sensibilité, on utilise de nouveau la fonction sensible : on remarque

bien que le système bouclé est de nouveau sujet à la sensibilité quand des variations dela matrice dynamique A−BK sont présentes.



Figure 6.3 – Sensibilité du placement de modes

Par ailleurs, on a calculé le conditionnement de la matrice dynamique :

cond(A−BK) = 20.4217

Ce n’est pas la valeur optimale qu’on ait eu le long de ce bureau d’études, cependant, lecouplage est parfait.


Conclusion

Dans ce bureau d’études, nous avons étudié 3 méthodes de placement et de découplage.

Le placement insensible de mode confère un bon conditionnement mais une sensibilitédu placement de mode trop importante. Les fonctionnements dégradés sur U1 et U2 n’ar-rangent en rien ces critères.

Nous avons alors étudié un placement de structure propre avec 2 découplages : un"à droite" avec CV et un "à gauche" avec UBH. Le découplage à gauche a été étudiésuivant 2 méthodes différentes qui aboutissent à une même matrice H. En visualisant laréponse indicielle du système, on conclue que cette méthode ne répond pas aux objectifsde découplage car le braquage de la gouverne δ pilote à la fois la vitesse V de l’avion etsa vitesse ascensionnelle Vz. Point positif : ce placement de structure propre est beaucoupmoins sensible aux variations de la matrice dynamique.

La méthode du découplage en régime statique s’est avérée concluante. En effet, l’in-sertion de la matrice de précommande H dans la boucle nous fournit, lors du tracé dela réponse indicielle, un découplage parfait. L’objectif étant de piloter l’avion de façonà commander "indépendamment" la vitesse horizontale V et la vitesse verticale Vz. Ce-pendant, la sensibilité est de nouveau assez importante et le conditionnement pas optimal.

On peut conclure que chaque méthode a un inconvénient, que ce soit au niveau dudécouplage, de la senbilité et du conditionnement. On préférera le découplage en régimestatique car il offre un découplage parfait : il répond à notre objectif.

∗ ∗ ∗

Ce bureau d’études nous a sensibilisé sur les différentes questions à se poser quant audécouplage, à la sensibilité ou encore au conditionnement du système pour répondre àun cahier des charges. Il a été vu comme un prolongement de l’étude portée sur le piloteautomatique de l’an passé : nous avons pu donc ré-exploiter des données et poursuivre avecla mise en oeuvre des cours de systèmes multivariables de cette 4ème. Le fonctionnementétant simplifié, on a quand même pu appréhender et comprendre l’importance et les enjeuxd’une telle étude afin d’assurer les performances du système.

26

Table des figures

1.1 Forces agissant sur l’avion, dans le plan vertical . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Pôles et Zéros du système en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Réponse indicielle du système en BO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Contraintes sur les modes désirés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1 Placement des pôles avec pmax = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Placement des pôles avec pmax = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Placement des pôles avec pmax = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Entrée U2 inactive (pmax = 0.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Entrée U1 inactive (pmax = 0.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1 Réponse indicielle du système en BF avec H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Sensibilité du placement de structures propres . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.1 Réponse indicielle en BF avec H3 (couplages inversés) . . . . . . . . . . . . 236.2 Réponse indicielle en BF avec H3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.3 Sensibilité du placement de modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

27

Annexe

%On détruit tout ce qui est présent avant de commencerclcclear allclose all

A = [-0.61 , 0 , 1 , 0 ;-0.1 , -0.005 ,0 , -0.05 ;-0.7 , 0 , -0.75 , 0 ;2.2 , 0.1 , 0.05 , 0];

B = [-0.03 , 0 ;0 , 0.028 ;-1.5 , 0.01 ;0.1 , 0 ];

C = [0 , 1 , 0 , 0 ;0 , 0 , 0 , 1];

D=zeros(2,2);

%Modele d’état%x. = Ax + Bu%y = Cxsys = ss(A,B,C,D)%réponse indicielle du système en Boucle Ouvertefigure(1);step(sys)

%matrice de commandabilité%Qc = [B , A*B , A^2*B , A^3*B]Qc = ctrb(sys)if (rank(Qc) == rank(A))

’Le Syst est commandable’else

’la matrice n-est pas commandable’end

%matrice d’observabilité%Qo = [C ; C*A ; C*A^2 ; C*A^3]Qo = obsv(sys)

28


if (rank(Qo) == rank(A))’Le Syst est observable’

else’la matrice n-est pas observable’

end

%Calculs de pulsation propre, coeff amortissement et pôles[Wn,Z,P] = damp(sys)

%EIG : retourne les Vecteurs et Valeurs propres%de la matrice passée en argument[V1,D1] = eig(A)

%POLES ET ZEROSfigure(2);pzmap(sys)title(’Pôles et Zéros avec pzmap’)

%VALEURS PROPRES lambda1,lambda1*,lambda2,lambda3l11=-0.371+sqrt(0.573036)/2*il12=-0.371-sqrt(0.573036)/2*il2=-0.75l3=-3/20

%On place nos pôlesK=place(A,B,[l11 l12 l2 l3])

%Calcul de notre nouvelle matrice dynamiqueAc=(A-B*K)%Calcul des valeurs et vecteurs propres du système bouclé[V2,D2]=eig(Ac)%Test de son conditionnementcondD=cond(V2)

%Visualisation de Sensible pour 3 valeurs de pmaxpmax=0.3figure(3)sensible(Ac,pmax)

pmax=0.2figure(4)sensible(Ac,pmax)

pmax=0.01figure(5)sensible(Ac,pmax)



%QUESTION 6-4%OK, on va maintenant passer en monovariable avec U1 et U2

sysU1= ss(A,B(:,1),C(2,:),0);%Division en 2 matrices dynamiquesK_U1=place(A,B(:,1),[l11 l12 l2 l3]);%1ere matrice dynamique Ac1Ac1=(A-B(:,1)*K_U1)%Calcul des valeurs et vecteurs propres du système bouclé[V_1,D_1]=eig(Ac1)%Test de son conditionnementcondV_1=cond(V_1)%Etude de la sensibilité quand U2 est inactifpmax=0.1figure(6)sensible(Ac1,pmax)

sysU2= ss(A,B(:,2),C(1,:),0);K_U2=place(A,B(:,2),[l11 l12 l2 l3]);%2eme matrice dynamique Ac2Ac2=(A-B(:,2)*K_U2)%Calcul des valeurs et vecteurs propres du système bouclé[V_2,D_2]=eig(Ac2)%Test de son conditionnementcondV_2=cond(V_2)%Etude de la sensibilité quand U1 est inactifpmax=0.1figure(7)sensible(Ac2,pmax)

%Conditionnement meilleur pour U1, mais reste mauvais car >>1

%PARTIE 7 : PLACEMENT DE STRUCTURE ET DECOUPLAGE%QUESTION 7-1

Q1=[l11*eye(4)-A,B];%on va calculer R(lambda) qui est une base du Ker de Q(lambda)%R(lambda)=[N1;M1]N1=null(Q1); % On divivise la matrice en 2 parties : N1 et M1M1=N1(5:6,:)N1=N1(1:4,:)

Q2=[l12*eye(4)-A,B];N2=null(Q2);M2=N2(5:6,:)N2=N2(1:4,:)





%VERIFICATION%Calcul de (lambda*Id-A)*N(lambda)+B*M(lambda)=0verif_11=(l11*eye(4)-A)*N1+B*M1verif_2=(l12*eye(4)-A)*N2+B*M2verif_3=(l2*eye(4)-A)*N3+B*M3verif_4=(l3*eye(4)-A)*N4+B*M4

%on trouve 10^-15 donc notre choix est acceptable

%QUESTION 7-2%x=sym(’x’)Vd=[5,5,5,5;

0,0,0,1;5,5,5,5;1,1,1,0]

%On a mis 5, mais cette valeur n’est pas utilisée%car on extrait que les lignes 2 et 4.

%V(ligne,colonne)N1_24=[N1(2,:);N1(4,:)]N2_24=[N2(2,:);N2(4,:)]N3_24=[N3(2,:);N3(4,:)]N4_24=[N4(2,:);N4(4,:)]

%On calcul la matrice z qui va nous donner Wiz1=inv(N1_24)*[Vd(2,1);Vd(4,1)];z2=inv(N2_24)*[Vd(2,2);Vd(4,2)];z3=inv(N3_24)*[Vd(2,3);Vd(4,3)];z4=inv(N4_24)*[Vd(2,4);Vd(4,4)];

z=[z1,z2,z3,z4]

%on recalcule la nouvelle matrice Vd, maintenant remplie



%V(i)=N(Lambda_i)*z_iVd_72=[N1*z1,N2*z2,N3*z3,N4*z4]

%Calcul des Wi qui nous sert pour déterminer KWi=[M1*z1,M2*z2,M3*z3,M4*z4]

%Calcul de K%On utilise real pour supprimer les 0.000iK_72=real(Wi*inv(Vd_72))

%QUESTION 7-4 : Calcul de UBH

U_74=inv(Vd_72)%ce qui nous intéresse, c’est les 0 dans UBH=[*,0;0,*;0,*;0,*]%merci Joao

UB=U_74*B

J1=[0,1;0,1;0,1;1,0]

%Calcul de H avec la 1ere méthodeH_74_2=inv(transpose(UB)*UB)*transpose(UB)*J1H_74_2=real(H_74_2)

%Calcul de H avec la 2eme méthodea=UB(1,1);b=UB(1,2);c=UB(2,1);d=UB(2,2);e=UB(3,1);f=UB(3,2);g=UB(4,1);h=UB(4,2);

h3=(h-g*(a*b+c*d+e*f+g*h)/(a^2+c^2+e^2+g^2))/((b^2+d^2+f^2+h^2)-(a*b+c*d+e*f+g*h)^2/(a^2+c^2+e^2+g^2))

h1=(g-h3*(a*b+c*d+e*f+g*h))/(a^2+c^2+e^2+g^2)

h4=(b+d+f-(a+c+e)/(a^2+c^2+e^2+g^2))/((b^2+d^2+f^2+h^2)-((a*b+c*d+e*f+g*h)^2)/(a^2+c^2+e^2+g^2))

h2=((a+c+e)-h4*(a*b+c*d+e*f+g*h))/(a^2+c^2+e^2+g^2)

%H de notre 2eme méthode



H=[real(h1),real(h2);real(h3),real(h4)]

%On établie 2 systèmes, avec chacun un H calculé différemmentsys_75 = ss(A-B*K_72, B*H, C, zeros(2,2));sys_75_1 = ss(A-B*K_72, B*H_74_2, C, zeros(2,2));

%Réponses indicielles des 2 systèmes en BFfigure(8);step(sys_75)figure(9);step(sys_75_1)

%Conditionnement du système avec K_72figure(10);sensible(A-B*K_72, 0.05)[vect76,val76]=eig(A-B*K_72)cond_76=cond(vect76)

%DECOUPLAGE EN REGIME STATIQUE

Omega=inv([A , B;C , zeros(2,2)]) ;

%On sélectionne les 4 sous matrices de OmegaOm11=Omega(1:4,1:4);Om12=Omega(1:4,5:6);Om21=Omega(5:6,1:4);Om22=Omega(5:6,5:6);

%Calcul de H (3eme méthode)H_3=Om22+K_72*Om12

%On établie encore un nouveau système avec H3sys_h3 = ss(A-B*K_72, B*H_3, C, zeros(2,2));figure(11)step(sys_h3) %découplages inversés

%on retrace avec les colonnes de H3 inverséesH_3=[H_3(:,2),H_3(:,1)]sys_h3 = ss(A-B*K_72, B*H_3, C, zeros(2,2));figure(12)step(sys_h3)

%Calcul des valeurs et vecteurs propres du système bouclé



[V_fin,D_fin]=eig(A-B*K_72)%Test de son conditionnementcondfin=cond(V_fin)

%Etude (la dernière) de la sensibilité de ce placementpmax=0.1figure(13)sensible(A-B*K_72,pmax)


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