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Le formalisme quadridimensionnel de la géométrie différentielle

pour des modèles de comportement anisotropes et indépendants

du référentiel - Application à l’élasticité des cristaux métalliques

ICD LASMIS Club Zebulon

Emmanuelle ROUHAUD, Benoît PANICAUD, Arjen ROOS

5 juin 2012

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Plan

Approche 3D : les possibilités Approche 3D : les problèmes Approche ND : les maths Approche 4D : la physique Approche 4D : les possibilités Approche 4D : application Zébulon Approche 4D : conclusions et perspectives

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3DApproche 3D : les possibilités

Hypothèses générales:

- Transformations finies- Elasticité isotherme avec des rigidités- Approche 3D sécante (pas de dérivation)

- Géométrie = VER- Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains)Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope

- Exemple- Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

OCICJCC 04412 23

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3DApproche 3D : les possibilités

• Modèle 1 = macroscopique + départ LagrangienTT FEµIEIFJFSFECS )2):((/:

• Modèle 2 = macroscopique + départ Eulérien

eµIeIeC 2):(:

• Modèle 3 = micromécanique + départ LagrangienN grains à symétrie cubique, désorientés par une FDO(Q)2X méthodes de transitions d’échelles possibles (Voigt, Reuss…)

T

T

TT

FEAQOCECIEICF

FEAQOCAICAJCF

FEAQOCICJCFJFSF

EAQCSSECS

::)(2):(

::)(:2:3

::)(23/

::)(:

04412

04412

04412

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3DApproche 3D : les problèmes

- Le choix Euler/Lagrange

- Le choix de la variable cinématique un faux problème

- Le choix du modèle de comportement dépend du matériau

- Le choix de la méthode de transition d’échelles quel ?

- Le problème de l’évolution de la texture FDO(Q(t)) ?

- Le problème de l’invariance des grandeurs et des relations

- La dépendance ou non au mouvement rigide

- Le problème de l’isotropie des modèles en Euler

Aréglé

OBJECTIVITE

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OBJECTIVITE ?Une nécessité

Repère avec mouvement rigide :e1

e2

e3

xO

F

A

F’x

Ae’ 1

e’ 2

e’ 3

Q(t)

3D

Repère fixe Dans le repère « ’ » lié au chariot :

V(A) = 0

La force est objectiveLa vitesse n’est pas objective

Soit Q la matrice de passage entre fixe et « ’ ».

Alors

F’ = QF V’≠QV

Changement de coordonnées (ou de référentiels)Pour un tenseur d’ordre 2 (3x3) :

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Les maths

Les composantes d’une densité géométrique, d’ordre deux (NXN) par exemple, obéissent toujours à :

par un changement de coordonnées dans un repère à N dimensions tel que :

Invariance de tout objet + toute relation par n’importe quel changement de coordonnées = covariance

3DNDLes indices

varient de 1 à N

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4D

Approche 4D : la physique1) Quatre dimensions :

trois d’espace : x1, x2, x3 : xi

une de temps : x4 = ct où c est une vitesse de référenceMouvement non-relativiste : c ∞

2) Une métrique dans le repère inertiel : de signature (- - - +)Dans un repère curviligne les compo-santes de la métrique sont g.

Les indices grecques varient de 1 à 4

Les indices latins varient de 1 à 3

Pour un changement de coordonnées les matrices Jacobiennes sont 4 x 4

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La physique

Changement de coordonnées 4D:

Jacobiennes 3D:

Jacobiennes 4D:

Changement de repères 3D Changement de référentiels⟺

Mouvement relatif rigide

Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D

4D

Changement de référentiels⟺

Mouvement relatif avec déformation

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4DL’objectivité ?

Le  « principe » d’objectivité 3D n’est pas un principe

Objectivité 3D, si

Vecteur 4D

Changement de référentiel (= observateur)

Sinon…(F’ = QF)

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Le cas de la vitesse

4D

La vitesse 4D est indépendante du référentiel d’observation (la force aussi) ET dépend du mouvement rigide

x'B

Ae’1

e’2

e’3

xA

e1

e2

e3 Q

U

Repère fixe Repère « ’ » en translation (U=cte)

Dans le repère lié au chariot : V(A) = 0

Soit la matrice Jacobienne entre fixe et « ’ »:

Transformation de la vitesse:

(x4=ct)

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La physique

Changement de coordonnées 4D:

Jacobiennes 3D:

Jacobiennes 4D:

Changement de repères 3D Changement de référentiels⟺

Mouvement relatif rigide

Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D

4D

Changement de référentiels⟺

Mouvement relatif avec déformation

Convectif: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le repère Eg qui suit la déformation de la matière (repère convectif curviligne) et tel que :

Interlude

Description des milieux continus

Lagrange: description en fonction de la position initiale (de référence) exprimée dans le repère E0

Configuration initiale Configuration actuelle

),( 0 tXT E

),( 0 txT E

MEX 0

MEx 0MEgx

),( txT Eg

Une formulation lagrangienne est la projection d’une relation tensorielle dans le repère convectif

Le passage d’une formulation eulérienne à une formulation lagrangienne est un changement de coordonnées 4D (relations anisotropes comprises)

Euler: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le même repère E0

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4DApproche 4D : les possibilités

- Toute relation 4 tensorielle est invariante par rapport à tout changement de référentiels.

- Un changement de référentiels est un changement de coordonnées curvilignes 4D (attention à la variance).

- La formulation de Lagrange est une projection dans le système de coordonnées 4D convectif.

- La dépendance au mouvement rigide est un choix physique.- L’(an)isotropie est un choix physique.

- La méthode 3D 4D = CONSTRUIRE DESTENSEURS 4D !!! (attention à la signature de la métrique età la dimension du temps).

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4DLes possibilités

dans le cas de l’élasticité

Modèle 4D

tensoriel

Inertiel ON

Convectif

Coordonnées 4D

: PK2CauchyE : Déformation Lagrangee : Déformation EulerC : FTFc : (FFT)-1

Inertiel ON

Convectif

Inertiel ON

Convectif

Inertiel ON

Convectif

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4DApproche 4D : les possibilitésHypothèses générales:

- Transformations finies- Elasticité isotherme avec des rigidités- Approche 4D (non-relativiste) sécante (pas de dérivation)

- Géométrie = VER- Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains)Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope

Exemple:- Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)

OCICJCC 023231122 23

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4DApproche 4D : les possibilités

• Modèle 4 = macroscopique + départ Obs Lagrangien

• Modèle 6 = macroscopique + départ Obs Eulérien = Modèle 4

SymggCggCC ˆˆ2ˆˆ 23231122 • Modèle 5 = macroscopique + départ Obs Lagrangien 3D Lagrange

SymCCC 23231122 2

SymCCC 23231122 2

• Modèle 7 = micromécanique + départ Obs Eulérien

• Modèle 8 = micromécanique + départ Obs Lagrangien 2 versions comme en macro avec ou g

)(2 023231122 QOCCCC Sym

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4DApplication Zébulon

Programmation des lois élastiques linéaires isotropes

Euler et Lagrange

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4DApplication Zébulon

Programmation des lois élastiques linéaires

Anisotrope Euler et Lagrange

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4D

Application ZébulonCalculs 9 grainsOrientations initiales« aléatoires »

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4DApplication ZébulonCalculs 9 grainsLagrange / Euler

Moyenne 9 grains

Moyenne 1 grain

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4DApproche 4D : conclusions…

- L’invariance des grandeurs et des relations est acquise par l’utilisation de tenseurs 4D (principe de covariance).

- Un modèle 4 tensoriel peut dépendre (ou pas !) du mouvement rigide : ceci correspond à un choix physique.

-Une relation peut décrire un phénomène anisotrope et être exprimée avec une approche Eulérienne.

- Les expressions Lagrangiennes correspondent à une projection de l’expression tensorielle dans le repère convectif 4D.

- On peut « passer » d’une description Eulérienne à une description Lagrangienne par un changement de repère 4D.

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FINApproche 4D : … et perspectives

- Développer un formalisme 4D pour décrire les effets dissipatifs dans le cadre thermodynamique :

- viscosité- plasticité

- Le principe de covariance a des conséquences importantes pour l’expression des variations dans le temps des grandeurs :

- Invariance par changement de référentiels assurée

- Programmer les taux covariants dans Zebulon.

- Programmer les modèles de comportement avec dissipations dans Zebulon.

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Ref.

- Rougée, P.: Kinematics of finite deformations. Arch. Mech. 44, 527-556 (1992)- Garrigues, J.: Fondements de la Mécanique des Milieux Continus. Hermes, Science Publications (2007)- Lamoureux-Brousse, L.: Infinitesimal deformations of finite conjugacies in nonlinear classical or general relativistic theory of elasticity. Physica D. 35, 203-219 (1989)- Murdoch, A.I.: Objectivity in classical continuum physics: a rationale for discarding the `principle of invariance under superposed rigid body motions' in favour of purely objective considerations. Continuum Mech. Thermodyn. 15, 309-320 (2003)- Bressan, A.: Relativistic Theories of Materials. Springer-Verlag, Berlin (1978)-Schouten, J.: Ricci-calculus: An Introduction to Tensor Analysis and Its Geometrical Applications. Springer-Verlag (1954)