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Genèse des grandes révolutions de la Géométrie

interprétée en microgéométriepar

Fernand Lemay

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Euclide

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Genèse virtuelle des grandes révolutions de la géométrie

interprétées en microgéométrie

• Cette reconstruction miniature de la géométrie permet toutes les audaces, fantaisies, risques, insolences et catastrophes qui alimentent les jeux d’enfants et stimulent leur créativité.

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La géométrie …

est affaire de points et d’alignements Le Nil, la crue des eaux, l’arpentage, la géodésie, un désert de neige, la stéréométrie, les navettes et véhicules spatiaux …

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Charte euclidienne. (A1) Possibilité de s’aligner sur deux points. (A2) Possibilité de prendre la direction d'une droite; où que l’on soit. (A3) Minimum d'étalement, de dispersion. (Pas de dégénérescence en simple ligne).

Des crises auront lieu au cours de l’Histoire

[ l’incommensurabilité, le parallélisme, etc ]

Euclide hérite de Thalès et nous livre une magistrale synthèse qui traversera les millénaires …

Qui rappelleront Hilbert à la p’tite école:

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Hilbert fait ses devoirs!

…

«Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.»

« Let us consider three distinct (!) systems of things. The things composing the first system, we will call points … ; those of the second, we will call straight lines … »

et Russell vient nous provoquer!

Aucune indication sur la nature des objets! (Things!)

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Les mauvaises manières, la dissidence …

• Suivre la lettre mais non l’esprit

• Première dissidence:Things!

The essence of mathematics lies in its freedom.

•«Things» •ça pourrait être autre chose que des droites!

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Géométrie d'un faisceau de cercles

• Faisceaux superposés de droites

et de cercles

•Issus d’un même point

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Ça ne marche pas …

Voyez: deux lignes par la paire de points rouges!

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A moins de perforer les cercles!

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Cette fois ça ira!Voici l’unique parallèle (noire) à la droite bleue passant par le point rouge:

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Une autre dissidence extrême: le site des géométries finies!

• Si la géométrie, est affaire de points et d'alignements … le «tic-tac-to» aussi:

Est-ce une géométrie?

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Qu’en dirait Euclide?Jouerait-il au tic-tac-to?

Mais ça s’arrange:La première condition n’est pas réalisée:

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Hommage à Rutherford

• Et on en tire une élégante … géométrie

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Faire de la géométrie?•« … les plaisirs du géomètre s'alimentent à la contemplation des figures et sont redevables à l'œil … »

Action ou Contemplation?

Comme la géométrie elle-même, les actions sont conceptuelles; ce seront des "applications" de l'ensemble des points en lui-même.

Les 9 atomes (points) nous ensevelissent déjà sous plus d'un tiers de milliard (99 = 387 420 489) d'applications.

C’est insuffisant! Il faudra des bijections.

Il en existe 9! = 362 880 permutations !

•La conservation de la matière» impose des bijections

Il faut opérer sans casser la structure. La plupart des permutations fracassent tout:

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Permutation brutale!

• La plupart des quelque 362 880 permutations font voler les droites en éclats. Voici une permutation brutale qui les casse toutes sans exception:

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L’idée de colinéation

• Le caractère géométrique du site doit subsister. Qu'est-ce que cela signifie? Tous les alignements devront être respectés

Définition.- Une colinéation f est une permutation de conservant l'ensemble des lignes: Alors f(, ) = (, )

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Recherche de colinéations au hasard. Brainstorming.

• Isométries:

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Symétries diagonales

Rotations:

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Jumelage d'écransPériodicité dans un champ de «pixels»

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Changement de représentants.-

Compactage dans l’écran espion:

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Idée.- Déplacement de caméra.

Espionnage:

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Idée.- Fugues hors de l'écran

Espionnage

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Dilatation et contraction

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Colinéations d’ordre maximal?

Pourrait-on en avoir d’ordre 9 ?

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Puissance du groupe des actions?

• Transition des atomes (points)• des segments ?• des triangles ?• des quadruplets ?• Conjecture: Toute action géométrique

(colinéation) est déterminée par son effet sur un triplet de points libre:

• Card C = 986 = 432• “C’est de la certitude que surgit le besoin de

démonstration.” Nicolet

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Descartes

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Opposition entre géométries grecque et françaiseEcho du miracle grec

« … toute la nature et les cieux sont en symboles de géométrie». [Pythagore et Platon.]

«Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere ist Menschenwerk.» [Kronecker}

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Un substrat nouveau"Tout est nombre …."

• Création des nombres naturels., { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, …

Qu’est-ce que «créer» ?

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Les droites n’ont que trois points …3 nombres devront suffire !

{0,3,6,9 …} {1,4,7,…} {2,5,8,…}

Z3 = { }= {{0,3,6,9 …},{1,4,7,…},{2,5,8,…}}

En particulier on note 2 = -1

C’est le corps des entiers définis à multiple de 3 près.

Réduction cyclique

{… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … }

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Le corps des couleurs (Z3 , , ).- + 0 1 2 0 1 2

0 1 2 1 2 0 2 0 1

0 1 2 0 1 2

0 0 0 0 1 2 0 2 1

Multiplication des couleurs!

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Un ensemble de «points» .

– Avec ces trois "atomes numériques" ;on engendre des "molécules"

= {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}

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Un ensemble de «lignes»

• Les «droites» seront des complexes de molécules

• Trois points (couples) x, y, z, dont la somme (terme à terme) est nulle

• x + y + z = 0

• forment une droite

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Caractérisation numérique …

Tout point x étant un couple de nombres x =

2

1

x

x

et toute droite étant un trio de points

[x, y, z] ou

222

111

zyx

zyx

0

00

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

xouzyx

=

211200

221001

201102201201

211002

221100222120

121110

020100221202

211101

201000

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Ce système est-il régi par la charte?

– (A1) Chaque couple se retrouve-t-il dans un trio unique?

• (A2) A-t-on accès en chaque point à toutes les directions?

• (A3) Se trouvent-il des points non alignés?

• Peut-on définir ce que sont les

• "directions"?

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Paramétrisation. CoordonéesConciliation avec Euclide?

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xxf : ; 0

xaxf

:

Exemple 2

Recherche de colinéations

Nouveau mode d’action L’algèbre remplace la combinatoire géométrique

•Exemple 1

Exemple 3

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Gauss

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Tragédie métrique : Quelle est la distance du bout du monde?

Sans recourir à Pythagore:

On trouve le côté d’un carré sur la diagonale!

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Quel nombre saura produire 2 ?

• On les essaye tous.

•□ □ = 2 ?• Aucune solution!

• L’écart du centre au coin est

• incommensurable!

C’est la seconde tragédie (… un autre meurtre?)

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Pour nous « 2 » c’est « (-1) »

• «I met a man recently who told me that, so far from believing in the square root of minus one, he did not even believe in minus one. This is at any rate a consistent attitude. (E. C. Titchmarsh.)

C’est-à-dire un nombre «imaginaire»

Insuffisance du corps Z3

Propulsion dans l’imaginaire!

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Création d’un corps de nombres mini-complexes Recette de fabrication.-

• Se procurer des polynômes

• anXn +an-1Xn-1+ … a1X+a0

• Les choyer en substituant «i» à «X» Décantez tous les (i2+1)

• Le résidu est un élégant corps de mini-complexes

• K={ 0, 1, 2, i, i+1, i+2, 2i, 1+2i, 2+2i }

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Un beau vrai corps!• Les

interventions seront algébriques!

• Pas de problème de « fractions ».

• Des tables

+ -

0 1 2 i 1+i 2+i 2i 1+2i 2+2i

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 i 1+i 2+i 2i 1+2i 2+2i

2 0 2 1 2i 2+2i 1+2i i 2+i 1+i

i 0 i 2i 2 2+i 2+2i 1 1+i 1+2i

1+i 0 1+i 2+2i 2+i 2i 1 1+2i 2 i

2+i 0 2+i 1+2i 2+2i 1 i 1+i 2i

2i 0 2i i 1 1+2i 1+i 2 2+2i 2+i

1+2i 0 1+2i 2+i 1+i 2 2i 2+2i i 1

2+2i 0 2+2i 1+i 1+2i i 2 2+i 1 2i

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Défis pressentis!

• Ce corps présente un retournement sur lui-même, la conjugaison, qui est un véritable automorphisme et une colinéation de la «géométrie de Gauss» annonçant les plus subtiles explorations … (chez von Staudt en particulier)

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Dividendes géométriques

• Il y a 9 de ces nouveaux nombres

• c’est-à-dire autant qu’il y a de points en géométrie euclidienne ou cartésienne.

• Ce qui offre une géométrie

• super numérique dont les points ne sont soumis qu’à une seule coordonnée

• C’est le plan de Gauss et tous les jeux que proposent les nombres complexes.