1- Filtrage analogique - pages personnelles et les cours...

CNAM de Saclay Corrigé de l'Examen : Traitement Analogique du Signal (2) 26 juin 2004

Ce document donne souligné ou encadré en vert, les réponses du devoir de Traitement Analogique du Signal du 26 juin 2004. Il comporte également des calculs et explications qui n'étaient pas attendus dans le cadre de l'examen. 1- Filtrage analogique

1-1- Pour un filtre passe bas, le gain de +20 dB dans la bande passante, correspond à une amplification de10 lorsque avec ( dB20)10log(20 += ) 0FF <<

πω2

00 =F

( ) 2

00

21

10

++

=

ωω

ωω

ω

jmj

H j

1-2- Pour passer d'un filtre passe bas du second ordre, à un filtre passe haut du second ordre, il faut effectuer le changement de variable suivant :

ΩΩ

=

ΩΩ

=jj

j 0

0

0

1ωω

Ce changement donne

( ) 20021

1

Ω

Ω+

ΩΩ

+

=Ω

jjm

H j

( )

Ω

Ω+

ΩΩ

+

ΩΩ

ΩΩ

=Ω 200

2

0

2

0

21jj

mj

j

H j

( ) 2

00

2

0

21

ΩΩ+

ΩΩ+

ΩΩ

=Ωjjm

j

H j

puis en multipliant le numérateur et le dénominateur

par 2

0

ΩΩj

, on obtient

ce qui après simplification donne bien la fonction de transfert d'un filtre passe haut du second ordre

Note : De la même façon, il existe un changement de variable pour passer d'un filtre passe bande ou coupe bande à un filtre passe bas (voir poly AE2 CNAM tome 1 page 113 et 114)

1-3- Réaliser un filtre passe haut répondant au cahier des charges suivant : • Pas d'ondulation dans la bande passante.

F (Hz)

Fp=300Hz; Gpmax=19,5dB

Fa=50Hz; G0=20dB

Fa=50Hz; Gamax=-20dB

G (dB)

Lecture du gabarit : Le gain dans la bande passante est : G0 = +20dB. Le gain minimum dans la bande passante est : Gpmin = +19,5dB. Le gain maximum dans la bande d'arrêt est : Gamax = -20dB. La bande passante est définie pour : F > Fp avec Fp = 300Hz. La bande d'arrêt est définie pour : F < Fa avec Fa = 50Hz.

1-3-1. Pour la synthèse de filtre, il faut d'abord se reporter à un prototype de filtre passe bas normalisé.

Pour cela, on fixe les points de référence pour la normalisation : G0 et Fp, puis on effectue les changements de variables suivants :

dBGGg 0000 =−= dBGGg aa 400max −=−= dBGGg pp 5,00min −=−=

Atténuation dans la bande d'arrêt : 40dB Atténuation dans la bande passante : 0,5dB

Conversion passe haut en passe bas F

1f = et comme on normalise en

même temps par rapport à Fp, on obtient

11 ==

p

pp

FF

f

et 6

503001 ====

a

p

p

aa F

F

FF

f

Les valeurs de fp et fa, étant normalisées, elles sont sans dimension.

Sylvain LARRIBE /19 EXAM TAS_26-06-2004_corrige.doc (.PDF) imprimé le 20/07/2004


f

fp = 1; gp = -0,5dB

fa = 6; g0 = 0dB

fa = 6; ga = -40dB

g (dB)

gabarit normalisé du filtre

( ) ( 2log10log20 HHG == ) soit

= 102 10G

H

0,89125091010 05,0105.0

2 === −

−

pH

1,122101 05,02 ==pH

0001,01010 41040

2 === −

−

aH

10000101 42 ==aH

Ne devant pas avoir d'ondulation dans la bande passante, les filtres de type Chebychev, elliptique ou Cauer ne sont pas utilisables. Il reste les filtres de type Bessel ou Butterworth. Comme il n'y a pas de contrainte sur la linéarité de la phase, on retient le filtre type de Butterworth car pour le même gabarit, il nécessite un ordre moins élevé, donc moins de cellules en cascades.

L'ordre du filtre de type Butterworth est donné par

−−

−

=

A

P

AP

ff

HHn

ln2

11ln11ln 22 ( ) ( ) 3,15718

61ln2

110ln110ln 405,0

=

−−−=n

L'ordre d'un filtre correspond au nombre de pôles (~cellule du 1er ordre). Il s'agit d'un nombre entier, et l'on retient toujours l'entier supérieur soit n = 4 .

1-3-2. On résout l'équation de Butterworth ( ) 42

0

2

1

1×

+

=

ff

H f pour obtenir f0, la fréquence à -3dB en fonction

de H, f et n = 4. Ayant deux couples (Hp, fp) et (Ha, fa), on obtient deux valeurs f0p et f0a.

n

H

ff2

2

0

11 −=

1,3008110

1

11 8 05,0

42 2

0 =−

=−

=×

p

pp

H

ff 1,8974

110

6

11 8 442 2

0 =−

=−

=×

a

aa

H

ff

Ces deux valeurs se situent aux limites inférieure et supérieure du gabarit normalisé. Il est donc possible de choisir n'importe quelle fréquence entre f0p et f0a., mais l'on retient comme fréquence f0, celle qui se situe au milieu de f0p et f0a (échelle logarithmique). Cela permet de rester à l'intérieur du gabarit, même pour de petite variation de f0 due aux valeurs normalisées et aux tolérances des composants. La fréquence f0 est obtenue par la moyenne géométrique de f0p et f0a soit 1,57100 =×= oaop fff

Le graphe ci-dessous montre que le gain de la fonction de transfert d'un filtre de Butterworth du 4ième ordre passe bien à l'intérieur du gabarit si la fréquence f0 est comprise entre f0p et f0a.



f0p

f0a

Pour revenir à la fréquence F0 du filtre passe haut, il faut faire la transformation inverse et dénormaliser :

190,961Hz1,5710

3001

00 ==×= pF

fF rd/s 1200soit Hz 191 00 ≈≈ ωF

1-3-3. Le filtre étant du 4ième ordre, il est composé par la mise en cascade de 2 cellules du 2ième ordre. Le

polynôme normalisé du 4ième ordre de Butterworth est ( )( 22 8478.117654.01 pppp ++++ )Le graphe ci-dessous montre la réponse en fréquences du gain des 2 cellules du filtre de Butterworth, ainsi que le gain total.

Pour obtenir la fonction de transfert complète du filtre passe haut, il faut faire les différents changements de variables dont

0ωωjp = et ne pas oublier le gain de +20dB dans la bande passante.

( ) 2

002

2

02

001

2

0

2121

10

++

×

++

×=

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ω

jjm

j

jjm

jH jTOT

Pour les filtres de Butterworth, toutes les cellules ont la même pulsation ω0, par contre le coefficient d'amortissement m est différent pour chaque cellule.

8478,12 1 =m soit m et 2 soit m 0,92391 = 7654,02 =m 0,38272 =



( ) 2

2

2

2

120012007654,01

1200

120012008478,11

120010

−+

−

×

−+

−

×=ωω

ω

ωω

ω

ω

jjH jTOT

1-3-4. Le graphe ci-dessous donne le module (en dB) des 2 cellules du 2ième ordre (S1 en Rouge et S2 en Bleu),

et celui du filtre complet en Vert. La fonction de transfert du filtre complet est obtenue en faisant le produit des fonctions de transfert de chaque cellule, mais on obtient le même résultat en faisant la somme des gains (en dB) de chaque cellule

. ( ) )log(20)log(20)log(20log20 210210 HHHHHH ++=××

Le graphe ci-dessous donne la phase (en degré) des 2 cellules du 2ième ordre (S1 en Rouge et S2 en Bleu), et celui du filtre complet en Vert.

On retrouve bien que pour F0 (~191Hz), la phase est à la moitié de sa valeur, soit 180°.



1-3-5. Plusieurs structures sont possibles, mais les plus simples dans ce cas, sont celles de Rauch ou de Sallen and Key. La structure à variable d'état ne présente pas beaucoup d'intérêt puisque l'on ne recherche qu'une sortie passe haut, et la structure à contre réaction simple est plus difficile à synthétiser.

Filtre à contre réaction multiples : structure de Rauch :

243524312

23152

)(1 ωωω

CCRRCCCjRCCRR

H−+++

=

4

10 C

CK = 4352

01

CCRR=ω et ( )

435

24312

1CCR

RCCC ++=m

401 CKC = ( ) 04312

2ωCCC

mR++

= 043

4315 2 ωCmC

CCCR

++=

2

00

2

00

21

−+

×=

ωω

ωω

ωω

mj

KH

Le gain de +20dB (amplification de 10) est à répartir entre les deux cellules. Il y a plusieurs solutions mais le mieux dans ce cas est de le répartir de façon identique soit +10dB sur chacune des deux cellules. Note :

Dans le cas du même filtre mais en passe bas, il serait plus intéressant de faire la répartition +13dB et +7dB, respectivement sur les cellules avec les coefficients d'amortissements de 0,9239 et 0,3827.

Exemple d'application numérique :

Afin de limiter les références, on choisit les condensateurs dans les séries E6 (1 1,5 2,2 3,3 4,7 6,8). Il faudrait faire l'étude de sensibilité afin de connaître l'impact de la tolérance de chaque composant sur le respect du gabarit, mais bien qu'elle n'ait pas été faite, il faut limiter la tolérance des condensateurs à une valeur plus faible que celle de la série standard E6 qui est de ±20%. L'exemple ci-dessous donne également des valeurs normalisées dans la série E48 pour les résistances, tout en limitant leurs tolérances à ±1%.

Valeurs choisies ou calculées Série Valeurs

normalisées Erreur min Erreur max

C1a 33 nF E6 à 2% 33 nF -2% +2% R2a 20 264 Ω E48 à 1% 20,5 kΩ 0,15% 2,18% C3a 33 nF E6 à 2% 33 nF -2% +2% C4a 10 nF E6 à 2% 10 nF -2% +2% R5a 103 878 Ω E48 à 1% 105 kΩ 0,07% 2,09%

1ère cellule

m1 = 0,9239 Amplification : 3,3

1033

4

101 ===

nFnF

CCK

C1b 100 nF E6 à 2% 100 nF -2% +2% R2b 3 843 Ω E48 à 1% 3,83 kΩ -1,33% 0,66% C3b 33 nF E6 à 2% 33 nF -2% +2% C4b 33 nF E6 à 2% 33 nF -2% +2% R5b 165 985 Ω E48 à 1% 169 kΩ 0,80% 2,83%

2ième cellule

m2 = 0,3827 Amplification : 0303,3

33100

4

102 ===

nFnF

CC

K

La mise en cascade des deux cellules a été choisie dans l'ordre décroissant des coefficients d'amortissement, afin de garantir la plus grande dynamique du filtre.



Note :

• Les composants E1 et E2 de type ELAPLACE sont des sources de tension (Rs =0), contrôlée en tension (Re=∞), dont la fonction de

transfert ( ) (

( ) ( ))

−−+−−+

ININOUTOUT

est définie par une équation de Laplace (s ≡ jω). Ici, elles représentent un amplificateur opérationnel de type passe bas du 1er ordre, dont le gain en boucle ouverte est de +100dB (100 000) et une fréquence de coupure à 10Hz.

• Les tolérances des composants sont renseignées à 1/3 de la tolérance des composants utilisés car les simulateurs spice comme

MicroSim ou OrCAD, associent la tolérance à une probabilité de 1σ, lors des analyses statistiques de type Monte-Carlo avec une distribution gaussienne. Cette valeur (3σ) est plus réaliste de la dispersion réelle des composants, car elle permet d'avoir 99% des composants, dont leur valeur est comprise dans la plage de tolérance.

Filtre à source de tension contrôlée : structure de Sallen and Key :

ω11

1jC

Z = 22 RZ =ω3

31

jC=Z Z

44 R=

b

a

RR

k +=1

( )( ) 23142343212

23142

11 ωωω

CCRRkCRCRCRjCCRkRH

−−+++−=

kK −=0 3142

01

CCRR=ω ( )

−++=

3142

343212 121

CCRRkCRCRCR

m

Cette solution est moins intéressante car la simplification habituelle qui consiste à prendre et

ne permet pas de choisir le gain. Il est dans ce cas dépendant du facteur d'amortissement : .

42 RR =

31 CC =k 23 −= mPour obtenir le gain souhaité de +20dB dans la bande passante, il faudrait alors ajouter un amplificateur supplémentaire :

( )( ) 884,32323

10

210 =

−−=

mmk .

En reprenant les équations générales des paramètres de cette structure, il est néanmoins possible de répondre au cahier des charges avec seulement les 2 structures du second ordre, mais les calculs des valeurs des composants sont plus longs. Une solution consiste par exemple à résoudre ces équations avec un solveur numérique, après avoir fixer arbitrairement la valeur des condensateurs C1 et C3.

Exemple d'application numérique :

Il a été obtenu avec le solveur numérique disponible dans Excel.



Valeurs choisies ou calculées Série Valeurs

normalisées Erreur min Erreur max

C1a 47 nF E6 à 2% 47 nF -2% +2% R2a 21 006 Ω E48 à 1% 21,5 kΩ 1,31% 3,26% C3a 100 nF E6 à 2% 100 nF -2% +2% R4a 7 036 Ω E48 à 1% 7,15 kΩ 0,60% 2,57% Raa 2,2 kΩ E48 à 1% 2,2 kΩ -1% +1% Rba 1 kΩ E48 à 1% 1 kΩ -1% +1%

1ère cellule

m1 = 0,9239

Amplification : 2,312,2101 =ΩΩ=+=

kk

RR

ba

aaK

C1b 47 nF E6 à 2% 47 nF -2% +2% R2b 16 956 Ω E48 à 1% 16,9 kΩ -1,34% 0,66% C3b 100 nF E6 à 2% 100 nF -2% +2% R4b 8 716 Ω E48 à 1% 8,66 kΩ -1,67% 0,34% Rab 10 kΩ E48 à 1% 10 kΩ -1% +1% Rbb 4,7 kΩ E48 à 1% 4,7 kΩ -1% +1%

2ième cellule

m2 = 0,3827

Amplification : 1277,37,4

10102 =ΩΩ=+=

kk

RR

Kbb

ab

1-3-6. Calcul de l'impédance d'entrée des filtres : Structure de Rauch :

La forme littérale de l'impédance d'entrée de la structure de Rauch est la suivante :

43524232

4321 ZZZZZZZZ

ZZZZZe +++

+= .

Dans le cas du filtre passe haut, elle s'écrit : ( ) 2

4352432

2

1 11

ωωω CCRRCCjRR

jCZe −++

+=

Dans la bande passante (ω>ω0), l'impédance d'entrée tend vers zéro, comme ZC1.



Structure de Sallen and Key :

La forme littérale de l'impédance d'entrée de la structure de Sallen & Key est la suivante : ( )

( )kZZZZZZ

ZZe −+++

+=1432

4321

.

Dans le cas du filtre passe haut, elle s'écrit : ( )( )( ) ω

ωω 342

342

1 1111

CkRRjCjRR

jCZe −++

++=

Dans la bande passante (ω>ω0), l'impédance d'entrée tend vers :

( ) ( )kRRRR

Ze −+=> 142

420ωω

mais pour les hautes fréquences (~1MHz), le gain k tendant vers zéro (l'amplificateur opérationnel est un passe bas), l'impédance d'entrée du filtre tend alors vers :

( )42

420 RR

RRZe +

=>>ωω

1-4- Un filtre passe bande du deuxième ordre a la fonction de transfert suivante : ( ) 2

00

0

21

++

=

ωω

ωω

ωω

ω

jmj

jH j

.

1-4-1. est le coefficient d'amortissement. Il définit le comportement du filtre, plus il est grand, et plus le mfiltre est amorti. Ce comportement peut également être défini par son facteur de qualité (ou surtension)

mQ

21= à la place du coefficient d'amortissement m.



• ≥ 1, le dénominateur est décomposable en deux fonctions du 1m er ordre.

( )

+

+

=

0201

0

11ωω

ωω

ωω

ω

jj

jH j

avec 02010 ωωω ×= et

0

0201

ω2

ωω +=m

• = 1, il s'agit d'un cas particulier du cas précédent., le dénominateur est le produit de deux fonctions du 1m

er ordre identique.

( ) 2

0

0

1

+

=

ωω

ωω

ω

j

jH j

• < 1, le système n'est pas décomposable, et pour m 707,02

1 ≈<

0

m , la fonction de transfert présente

une surtension, d'autant plus importante et proche de ω que m est petit. • = 0, le système est instable. m

Le tableau ci-dessous donne quelques valeurs type du coefficient d'amortissement d'un filtre du 2ième ordre.

Chebychev 2 x RC Bessel Butterworth0,5dB 1dB ≈1,25dB 2dB 3dB

√3/2 √2/2 m 1

0,866 0,7071 0,5789 0,5227 0,5 0,443 0,3832

1/√3 1/√2

mQ

21= 0,5

0,5774 0,7071 0,8637 0,9565 1 1,1286 1,3047

00 2 F××= πω est la pulsation propre .

Contrairement aux filtres du première ordre, cette pulsation 0ω ne correspond pas à la pulsation de coupure à -3 dB, sauf dans le cas d'un filtre de type Butterworth. A la pulsation 0ω , la rotation de la phase est égale à 50% de la rotation totale, soit 0° pour un filtre passe bande du 2ième ordre.

1-4-2. Les graphes ci-dessous représentent les diagrammes asymptotiques du module (en dB) et de la phase d'un filtre passe bande normalisée du deuxième ordre, ainsi que les diagrammes réels pour différentes valeurs du coefficient d'amortissement (m).



Dans le cas d'un filtre passe bande ou coupe bande, la bande passante ou la bande coupée normalisée à -3dB est définie par :

cics

cicsmωωωω

×−

=2

Ne pas confondre ωci et ωcs pulsations de coupure à -3dB avec ω01 et ω02 pulsations propres des deux fonctions du 1er ordre, sauf lorsque m>>1, alors ω01 → ωci et ω02 → ωcs.

1-4-3. voir ci-dessus les graphes du module (en dB) et la phase (en degrés) pour différentes valeurs de m (5, 2, 1,

0.707, 0.5, 0.2 et 0.1).

1-5- Soit le filtre défini par la fonction de transfert suivante : ( ) ωω

ω jRCjRCH j +

−=11

1-5-1. Le module de (ω)H est donné par ( ) 22

22

DD

NNHℑ+ℜ

ℑ+ℜ=ω

, et son argument par

( )

ℑℜ−

ℑℜ=

D

D

N

N arctanarctanωϕ , ce qui donne pour la fonction ci-dessus :

( ) 1=ωH et ( ) ( )ωϕ ω RCarctan2−=

ω 0=ω RC1

0 ==ωω +∞→ω

( )ωH 1 1 1

(ωϕ ) 0° -90° -180°



1-5-2. Ce type de filtre s'appelle un filtre passe tout, ou déphaseur puisqu'il agit uniquement sur la phase du signal.

1-5-3. Il permet de corriger la phase, ce qui peut être intéressant dans le cas un filtre ou un asservissement, afin

d'améliorer la réponse impulsionnelle, ou augmenter la marge de phase

1-6- Les filtres de type Bessel présentent la particularité d'avoir la réponse en phase la plus linéaire dans la bande passante , comparés aux filtres de type Butterworth, Chebychev ou elliptique. Cet avantage est obtenu au détriment de la raideur dans la bande de transition (entre la bande passante et la bande d'arrêt). Ils sont appelés filtres à phase linéaire, ce qui signifie que toutes les composantes spectrales d'un signal sont retardées du même temps. Ce temps est appelé temps de propagation tP (ou temps de groupe) et il est défini par :

ωϕ

ddtP = .

Le coefficient d'amortissement d'un filtre de Bessel est 866,023 ≈=m

Les graphes ci-dessous montrent la différence de réponse fréquentielle, temps de propagation et la réponse transitoire entre les différents types de filtres.



Le graphe ci-contre est un agrandissement de la réponse transitoire à un échelon. Il permet de connaître le dépassement (overshoot) en fonction du coefficient d'amortissement.



2- Modulation

2-1- Si s(t) = S cos (ωt) est le signal modulant et p(t) = P cos (Ωt) la porteuse, le signal modulé en amplitude v(t) s'écrit :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ttSPpsv ttt Ω=×= coscos )ω et comme ( ) ( )2

coscoscos bababa −++=cos

On obtient : ( ) ( )( ) (( )( )ttSPv t ωω +Ω+−Ω= coscos2

)Puisque s(t), et p(t) sont alternatifs (pas de composante continue), il n'y a pas de composante en Ω dans v(t), on dit qu'il s'agit d'une modulation sans porteuse.

2-2- Représentation spectrale de s(t), de p(t) et de v(t) :

Ω−ω Ω+ω

pulsation

SP/2

Ω

S

P

ω

Signal modulant Porteuse

Signal modulé

ci-dessous, exemple de représentation temporelle et fréquentielle d'un signal modulé en amplitude :



2-3- La forme générale d'un signal modulé en amplitude s'écrit : v( ) ( )( ) tPtkSt Ω×+= coscos1 ( )ω , ou k est le taux de

modulation. ( ) ( ) ( )( ) ( )( )tP ω+Ω× cos2

SktPSktPSv t ω +−Ω×+Ω×= cos2

cos2

Représentation spectrale de v(t) avec k=0.5 :

Ω−ω Ω+ω

pulsation

SP

Ω

Sk x P 2

Signal moduléavec porteuse

Ci-dessous, exemple de représentation temporelle et fréquentielle d'un signal modulé en amplitude avec un taux de 50% :



2-4- En France, les radios émettant en modulation d'amplitude dans la bande des grandes ondes (GO), se répartissent les fréquences de la façon suivante :

162kHz 183kHz 216kHz 234kHz

porteuse

bande latérale inférieure

bande latérale supérieure

198kHz

Fran

ce In

ter

Eur

ope

1

BB

C

RM

C

RTL



En modulation d'amplitude, la bande passante du signal modulé est égale à deux fois la bande passante de la bande de base (signal modulant), et elle est centrée sur la fréquence de la porteuse. Pour connaître la bande passante audio disponible pour chaque radio (valeur maximale théorique), il faut trouver la bande passante maximale disponible pour le signal modulé. La fréquence attachée à chaque radio, est la fréquence de la porteuse.

Nom de la station France inter Europe 1 BBC RMC RTL Fréquence de la

porteuse 162kHz 183kHz 198kHz 216kHz 234kHz

Delta de fréquence entre les porteuses 21kHz 15kHz 18kHz 18kHz

Hormis entre la BBC et Europe1, il y a au minimum 18kHz entre les porteuses de deux radios côte à côte. Ceci offre en théorie une bande passante de 9kHz pour le signal audio .



3- Conversion

3-1- Lors de l'échantillonnage d'un signal, il faut respecter le critère de Nyquist (ou théorème de Shannon). 3-1-1. Le critère de Nyquist dit que la fréquence d'échantillonnage (Fe) d'un signal doit être strictement

supérieure au double de la fréquence la plus élevée (Fmax) du signal à échantillonner, afin de pouvoir le reconstituer. Fe > 2 x Fmax.

3-1-2. Si ce critère n'est pas respecter, il devient impossible de reconstituer le signal d'origine, car il y a un

repliement du spectre. si Fmax > Fe/2 alors (Fe - Fmax) < Fe/2

L'échantillonnage d'un signal est le produit de ce signal par un peigne de dirac (signal d'échantillonnage), ce qui revient à faire une modulation d'amplitude. Il y a deux approches possibles pour résoudre les problèmes dus au repliement de spectre :

• Soit les signaux, dont les fréquences sont au-dessus de la fréquence de Nyquist (Fe/2), sont des signaux indésirables, et dans ce cas, on peut les supprimer avant échantillonnage par filtrage, afin de ne pas les retrouver mélangés au signal utile. Raison pour laquelle on trouve un filtre en entrée des convertisseurs analogiques-numériques (CAN). La plage de fréquence située entre Fmax et Fe/2 correspond à la bande de transition du filtre anti-repliement. Plus cette plage est faible, et plus, il faut un filtre d'ordre élevé.

• Soit les signaux, dont les fréquences sont au-dessus de la fréquence de Nyquist (Fe/2), sont des signaux utiles, et dans ce cas, il faut augmenter la fréquence d'échantillonnage.

L'évolution de l'intégration électronique et l'augmentation des fréquences de fonctionnement des systèmes numériques permettent de faire des convertisseurs A/N plus rapides et de pouvoir intégrer des filtres numériques. Le filtre analogique en entrée du convertisseur est toujours indispensable, mais il peut être d'un ordre et d'une complexité bien plus faible. C'est le cas par exemple avec les convertisseurs A/N de type Σ∆.

3-2- Convertisseur Flash (parallèle).

3-2-1. Structure interne d'un convertisseur Flash de 3 bits.




L'encodeur a la table de vérité suivante :

entrées sorties 7 6 5 4 3 2 1 C B A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Exemple de référence : 74HC148 (8 to 3 Line Priority Encoder). Le registre de sortie est constitué de 3 bascules, qui mémorisent l'état des 3 bits A, B, C sur un front du signal Clk.

Exemples de références : 74HC175 (Quad D-type flip-flop with reset;s positive-edge trigger) sans sortie trois états, ou 74HC574 (Octal edge-triggered D-type flip-flops with 3-state outputs)

3-2-2. Avantages et inconvénients des convertisseurs Flash. - principe simple. - convertisseur très rapide car la décision des 2n niveaux sont prises en même temps. - ne nécessite pas d'échantillonneur bloqueur en entrée. - nécessite une échelle de 2n-1 références de tension et autant de comparateurs. - limité à des convertisseurs 8 ou 10 bits pour des raisons de précision et de coût. - consommation électrique importante. - surface de silicium importante. - prix important.

3-3- Si l'on ne tient compte que de l'erreur de quantification d'un convertisseur analogique numérique, un convertisseur

10 bits a un rapport signal à bruit de 61,96 dB SNR = (6,02n + 1,76) dB

Durée : 2 heures CNAM, le 26 juin 2004 Examen : Traitement Analogique du Signal (2)

Sans documents, calculatrice autorisée.

Page 1/7 EXAM TAS_26-06-2004.doc (.PDF)

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. 1- Filtrage analogique

1-1- Donner la fonction de transfert d'un filtre passe bas du second ordre, dont le gain est de +20 dB dans la bande passante: ( ) ?=ωjH

1-2- Quel changement de variable doit-on effectuer pour convertir la fonction de transfert d'un filtre passe bas du

second ordre, en un filtre passe haut du second ordre ?

1-3- Réaliser un filtre passe haut répondant au cahier des charges suivant : • pas d'ondulation dans la bande passante.

F (Hz)

300Hz; 19,5dB

50Hz; 20dB

50Hz; -20dB

G (dB)

1-3-1. Calculer l'ordre du filtre : n = ? 1-3-2. Calculer la fréquence de coupure de ce filtre et justifier votre choix. 1-3-3. Ecrire la fonction de transfert complète de ce filtre passe haut : ( ) ?=ωjTOTH 1-3-4. Tracer sur le même graphe (4dB/cm, 1 décade/5cm) : le gabarit donné dans le cahier des charges, l'allure du

module de chaque cellule du filtre, et l'allure du module du filtre complet ( )ωjTOTH 1-3-5. Choisir une structure de filtre actif, puis calculer les valeurs des composants (les condensateurs seront

choisis dans la série E6) 1-3-6. Calculer l'impédance d'entrée du filtre.

1-4- Un filtre passe bande du deuxième ordre a la fonction de transfert suivante : ( ) 2

00

0

21

++

=

ωω

ωω

ωω

ω

jmj

jH j

.

1-4-1. Comment appelle-t-on m et 0ω ? 1-4-2. Tracer les diagrammes asymptotiques du module et de l'argument. 1-4-3. Tracer sur le graphe précédant, l'allure du module pour 3 ou 4 valeurs de m judicieusement choisies,

permettant d'illustrer les possibilités offertes par m.

1-5- Soit le filtre défini par la fonction de transfert suivante : ( ) ωω

ω jRCjRCH j +

−=

11

1-5-1. Calculer son module ( ) ?=ωH et son argument ( ) ?=ωϕ

1-5-2. Comment appelle-t-on ce type de filtre ? 1-5-3. A quoi peut-il servir ?

1-6- Quel est la particularité d'un filtre de type Bessel ?




2- Modulation

2-1- Donner l'expression du signal modulé en amplitude v(t) = ? avec pour signal modulant s(t) = S cos (ωt) et comme porteuse p(t) = P cos (Ωt)

2-2- Représenter le spectre de v(t) (noter les valeurs importantes)

2-3- Faites la/les modification(s) nécessaire(s) de s(t) et/ou p(t) afin d'obtenir un signal en bande étroite avec un taux de

modulation de 50%. Représenter le spectre de v(t)

2-4- En France, les radios émettant en modulation d'amplitude dans la bande des grandes ondes (GO), se répartissent

les fréquences de la façon suivante :

Fran

ce In

ter

Euro

pe 1

RTL

RM

C

162 kHz 182 kHz 216 kHz 234 kHz f

Que peut-on en déduire, quant à la bande passante maximale du signal audio pour chacune des stations, et pourquoi ?

3- Conversion

3-1- Lors de l'échantillonnage d'un signal, il faut respecter le critère de Nyquist (ou théorème de Shannon). 3-1-1. Que dit-il ? Pourquoi ? 3-1-2. Que se passe-t-il si ce critère n'est pas respecté ? Que peut-on faire pour le respecter ?

3-2- Convertisseur Flash (parallèle).

3-2-1. Dessiner et commenter la structure interne d'un convertisseur Flash unipolaire de 3 bits. 3-2-2. Donner ses avantages est ses inconvénients.

3-3- Si l'on ne tient compte que de l'erreur de quantification d'un convertisseur analogique numérique, quel est le

rapport signal sur bruit obtenu par un convertisseur 10 bits ?




Annexes Filtre de type Butterworth :

( ) nH 2

0

2

1

1

+

=

ωω

ω

−−

−

=

A

P

AP HHn

ωωln2

11ln11ln 22 le polynôme du 4ème ordre est : ( )( )22 8478.117654.01 pppp ++++

Filtre de type Chebytchev :

1≤ω ( ) ( )( )ωω arccoscos nTn = ( )

( )ω

ωε nT

H 22

11

+=

1>ω ( ) ( )( )ωω harccoscosh nTn = ( )( )

( )ωω

harccosharccos nT

n =

le polynôme du 3ème ordre est : ( ) ωωω 34 3

3 −=T Filtre à contre réaction multiples : structure de Rauch

11 1

YZ = 2

2 1YZ =

33 1

YZ = 4

4 1YZ =

55 1

YZ =

5453435251

31

YYYYYYYYYYYY

VeVsH

++++−

==

Passe bas :

11 RZ = ω22 1

jCZ = 33 RZ = 44 RZ = ω55 1

jCZ =

1

40 R

RK

−=

52430

1CCRR

=ω et 2

543

431

11121

CC

RRRRR

m

++=

Passe haut :

ω11

1jC

Z = 22 RZ = ω3

31

jCZ =

ω44

1jC

Z =

55 RZ =

4

10 C

CK = 4352

01

CCRR=ω et ( )

435

24312

1CCR

RCCCm ++=




Passe bande : • Configuration a :

11 RZ = 22 RZ = ou

ω2

1jC

ω3

31

jCZ =

ω44

1jC

Z =

55 RZ =

22 RZ =

43521

210 CCRRR

RR +=ω

43521

2143

)(2 CCRRRRRCCm

++

= 4121

3520 )( CRRR

CRRK

+−=

ω22

1jC

Z = 4351

01

CCRR=ω

435

1432

2 CCRRCCC

m++

= 41

350 CR

CRK −=

câblée non : Z 2

43510

1CCRR

=ω 435

143

2 CCRRCCm +

= 41

350 CR

CRK −=

• Configuration b :

ω11

1jC

Z = 22 RZ = ou

ω2

1jC

33 RZ =

44 RZ =

ω55

1jC

Z =

22 RZ =

51430

1CCRR

=ω 1

543

432

11121

CC

RRRRR

m

++=

53

140 CR

CRK −=

ω22

1jC

Z = 52143

0 )(1

CCCRR +=ω

)(11

21

21

543

43 CCC

RRRR

m+

+=

15213

40 )(

CCCCR

RK ×

+−=

câblée non : Z 2

51430

1CCRR

=ω 1

543

43

1121

CC

RRRR

m

+=

53

140 CR

CRK −=




Filtre à contre réaction simple

Les quadripôles Qa et Qb donnent

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅=

bbbbb

bbbbb

aaaaa

aaaaa

VYVYI

VYVYI

VYVYI

VYVYI

2221212

2121111

2221212

2121111et que l’on peut simplifier car

VsVVV

VeVII

bba

aba

==−==

=−=

212

112

0et

ε et l’on obtient VsYVeY ba ⋅−=⋅ 1221 soit

ba

YY

VeVsH

1221−==

Généralisation : Il est facile de généraliser car les admittances en parallèles s’additionnent.

∑

∑

=

=−= n

jbj

m

iai

Y

YH

112

121

RY 1

21 −=

ωjCY −=21

ωω

jRCjCY

+−=

121

RjRCY ω+

−=1

21

+

−=

212

121 ωRCjR

Y

ω

ωωjRC

jRCjCY21221 +

×−=




Filtre à source de tension contrôlée : structure de Sallen and Key

( ) ( ) ( )43232141

42

1 ZZZZZZkZZZkZ

VeVsH

++++−==

avec b

ba

RRRk +

=

Passe bas :

11 RZ = ω22 1

jCZ = 33 RZ = ω4

41

jCZ =

kK =0 4231

01

CCRR=ω et ( )

++−=

4231

434121 121

CCRRCRCRkCR

m

Passe haut :

ω11

1jC

Z = 22 RZ = ω3

31

jCZ =

44 RZ =

kK −=0 3142

01

CCRR=ω et ( )

−++=

3142

343212 121

CCRRkCRCRCR

m

Passe bande :

11 RZ = 22 RZ = ω3

31

jCZ =

ω44

44 1 CjR

RZ

+=

2

00

00

21

−+

×=

ωω

ωω

ωω

mj

jKH

( ) ( )21

243421

21

3134442441

21

342

21

RRCCRRR

RRCRCRCRRkCRR

j

RRCRR

jkH

+−

+

+++−+

+×

=ω

ω

ω

Par identification, on obtient :

( ) 4121

3420 CRRR

CRRkK

+=

43421

210 CCRRR

RR +=ω

et ( ) ( )( ) 4342121

3134442441

22

CCRRRRRCRCRCRRkCRR

m+×

+++−=




Filtre à variable d’état : filtres universels Il est basé sur l’utilisation d’intégrateurs et de sommateurs. Il présente la particularité de fournir en même temps une sortie passe bas, une sortie passe haut et une sortie passe bande.

∫ ∫ Ve V1 V2 V3 -

-+ τ1 τ2

321 VVVeV −−=

11

21 Vp

Vτ

= 22

31 Vp

Vτ

=

Sortie en V1 :

filtre passe haut

Sortie en V2 :

filtre passe bande

Sortie en V3 :

filtre passe bas

V1 V2 V3

V4

3243

3

43

41

22 VVRR

RVeRR

RV −+

++

= 111

21 V

CjRV

ω−

= 222

31 V

CjRV

ω−

= 24

34 V

RRVeV −−=

Passe haut : Vphaut = V1

43

40

2RR

RK

+−

= 2121

01

CCRR=ω et

11

22

43

3

CRCR

RRR

m+

=

Passe bande : Vpbande = V2

3

40 R

RK

−=

21210

1CCRR

=ω et 11

22

43

3

CRCR

RRR

m+

=

Passe bas : Vpbas = V3

43

40

2RR

RK

+=

21210

1CCRR

=ω et 11

22

43

3

CRCR

RRR

m+

=

Coupe bande : Vcoupe bande = V4

10 =K 2121

01

CCRR=ω et

11

22

43

3

CRCR

RRR

m+

=

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