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Cours numéro 3 Graphes et informatique

Définitions

Exemple de modélisation

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Graphes et informatique

GRAPHES : modélisation de problèmes anciens

ALGORITHMES DE RESOLUTION EFFECTUES « à la main »

(structures topologiques, parcours, optimisation combinatoire, etc.)

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Curiosités mathématiques

1. Circuits eulériens : utiliser une et une seule fois chaque arête d’un graphe

• Les 7 ponts de Koenigsberg (1736)

• Tracer un dessin sans lever la plume

2. Circuits hamiltoniens : passer une et une seule fois par chaque sommet

• Cheminement d’un cavalier sur l’échiquier

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Problèmes de coloration

1. Nombre chromatique : le plus petit nombre de couleurs nécessaire pour colorier les sommets (de façon que deux sommets adjacents soient de couleurs distinctes)

• Théorème des 4 couleurs (1976)1. Indice chromatique : coloration des arêtes• Couplages sous contraintes

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Graphes et informatique

GRAPHES : modélisation de problèmes anciens

ALGORITHMES « AUTOMATISES »

INFORMATIQUE : science du traitement automatique de l’information

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Graphes et informatique

INFORMATIQUE

GRAPHES

Automatisation de la

résolution des algorithmes

Modélisation de nouveaux

problèmes issus du domaine

informatique

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Exemples de modélisation

• Contrôle des configurations possibles d’un système ou d’un programme

• Cheminement dans un réseau informatique

• Représentations graphiques (automate, réseau)

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Graphes et informatique

INFORMATIQUE

GRAPHES

Automatisation de la

résolution des algorithmes

Modélisation de nouveaux

problèmes issus du domaine

informatique

INTERET ALGORITHMIQUE

UN OUTIL DE MODELISATION POUR L’INFORMATIQUE

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Quels sont les pré-requis?

• mathématiques : - Un minimum de théorie des ensembles - Une aptitude au raisonnement et à l’abstraction

• informatiques : - Des notions sur les structures de données

(tables, listes, piles, files)

- Des notions de programmation (structures de contrôle)

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Quelle approche algorithmique?

• formelle : conception, preuve Constructions raisonnées (techniques d’invariants, etc.)

• pratique : expression proche d’un langage à objets

Expression fondée sur les types de données abstraits

(classes, méthodes)

• appliquée : exécution d’exemples « à la main »

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UN EXEMPLE DE MODELISATION

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LE PROBLEME DES TRAVERSEES

DONNEES :

3 couples (h1, f1) (h2, f2) (h3, f3)

1 bateau (sans passeur) de deux places, sur la rive de départ

CONTRAINTE

Aucun homme ne laisse, en son absence, sa femme en compagnie d’un autre homme

OBJECTIF

Traversées des trois couples en utilisant le bateau

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H1

F1

H2

F2

H3

F3

14

H1 et F1 vont traverser

H1

F1

H2

F2

H3

F3

15

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

16

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

17

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

18

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

19

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

20

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

21

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

22

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

23

H1 et F1 traversent

H2

F2

H3

F3

24

H2

F2

H3

F3

H1

F1

F1 peut-elle revenir seule?

NON!

25

H2

F2

H3

F3

H1

F1 peut-elle revenir seule?

NON!

F1

26

H2

F2

H3

F3

H1

F1 peut-elle revenir seule?

NON!

F1

27

H2

F2

H3

F3

H1

F1 peut-elle revenir seule?

NON!

F1

28

H2

F2

H3

F3

H1

F1

H1 peut-il revenir seul?

OUI!

29

H2

F2

H3

F3

F1

H1 revient

30

H2

F2

H3

F3

H1 revient

31

H2

F2

H3

F3

H1 revient

32

H2

F2

H3

F3

H1 revient

33

H2

F2

H3

F3

H1 revient

34

H2

F2

H3

F3

H1 revient

35

H2

F2

H3

F3

H1 revient

36

H2

F2

H3

F3

H1 revient

37

H2

F2

H3

F3

H1 revient

38

H2

F2

H3

F3

H1

39

2F3H

3F2H

MODELISATION DES ETATS

3F3H

40

2F3H

MODELISATION DES ETATS

3F3H

2F2H

1F3H

3F

3H

1F1H

2F

1F

0

41

2F3H

2F2H

1F3H

3F

3H

1F1H

2F

1F

0

F1 et F2

traversent

H1 et F1 traversent

H1 traverse

F1 traverseF1 et F2 traversent

F3 traverse

H1 et H2 traversent

3F3H

MODELISATION DES TRANSITIONS ALLER

42

2F3H

2F2H

1F3H

3F

3H

1F1H

2F

1F

H1 revient

F1 revient

F1 et F2 reviennent

F3 revient

H1 et H2 reviennent

MODELISATION DES TRANSITIONS RETOUR

03F3H

43

2F3H

2F2H

1F3H

3F

3H

1F1H

2F

1F

TRACE DES SOLUTIONS

03F3H