1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Interpolation f(x)

1

ASI 3

Méthodes numériquespour l’ingénieur

Interpolation

f(x)

20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Approximation de fonctions• Soit une fonction f (inconnue explicitement)

– connue seulement en certains points x0,x1…xn

– ou évaluable par un calcul coûteux.

• Principe :– représenter f par une fonction simple, facile à évaluer

• Problème : – il existe une infinité de solutions !

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-4

-3

-2

-1

0

1

2

Approximation de fonctions

• Il faut se restreindre à une famille de fonctions– polynômes,

– exponentielles,

– fonctions trigonométriques…

4

Quelques méthodes d'approximation

• Interpolation polynomiale– polynômes de degré au plus n

• polynômes de Lagrange

• différences finies de Newton

• Interpolation par splines– polynômes par morceaux

• Interpolation d'Hermite– informations sur les dérivées de la fonction à approcher

• ...voir le groupe de TT…

5

ab ab

f(x)

P(x)

f(x)+

f(x)-

f(x)

P(x)

f(x)+

f(x)-

Théorème d’approximation de Weierstrass

baxxPxf

baxPbaf

, )()(

: que tel,sur définit ,)( polynômeun existe il ,0 Alors,, intervallel'sur continueet définiefonction une soit

)(xf)(xP

)(xf

)(xf

grandest polynomedu ordrel' plus petit,est , plus

Interpolation :nnnnn ordre :inconnues 1 équations, 1 s,contrainte 1 points, 1

6

Interpolation polynomiale• Le problème : les données, la solution recherchée

• mauvaise solution : résoudre le système linéaire

• la combinaison linéaire de polynômes est un polynôme

nixfxPxP

xfyxxfyxxfyx

ii

iiiiii

,0),()( que tel)(

)(,,...,)(,,...,)(, 000

0 1 0

)( )(...)()( ainsi

0)(et 1)( que tel

)( )(...)( )(

00

00

inniiiii

jiii

nnii

xPyxPyxPyxP

ijxPxP

xPyxPyxPyxP

eVandermond de matrice : )(0

VyVaxaxPn

i

ii

7

Interpolation polynomiale : Lagrange

• Théorème– Soient n+1 points distincts xi réels et n+1 réels yi,

il existe un unique polynôme p Pn tel que p(xi) = yi pour i = 0 à n

– Construction de p :

avec Li polynôme de Lagrange

– Propriétés de Li

• Li(xi)=1

• Li(xj)=0 (j i)

n

0iii )x(Ly)x(p

n

ij0j ji

ji xx

xx)x(L

L est un polynôme d’ordre n

démonstration

8

01

01

10

10

10

01

10

10

10

0110

10

10

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxyy

xx

yxyxx

xx

yyy

• Exemple avec n=1 – on connaît 2 points (x0,y0) et (x1,y1)

– on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1) qui passe par les 2 points :

• y0 = a x0 + b a = (y0 - y1) / (x0 - x1)

• y1 = a x1 + b b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)

–

Lagrange : exemple n°1

L0(x) L1(x)

x0x1

y1

y0

9


• Exemple avec n=2 – on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17)

– polynômes de Lagrange associés :

8

4x2x)x(L0

8

2xx)x(L2

4

4xx)x(L1

0 2 4

-

0 2 4 0 2 4

10

-1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30

Lagrange : exemple n°2– calcul du polynôme d'interpolation

• p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x)

• en simplifiant, on trouve p(x)=x2+1

11

Lagrange : l’algorithme

Complexité du calcul : n2

fait*

fait )()(

)(*

;, àjusqu' 1pour àjusqu' 1pour

lyyy

jxix

jxxll

ijnjni

i

ii

i

Fonction y = lagrange(x,xi,yi)

12

-1 0 1 2 3 4 5-10

0

10

20

30

40

50

60


• Exemple avec n=2 (fonction à approcher y=ex)

– on connaît 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)

– Polynôme d'interpolation• p(x) =L0(x) + 7.3891 L1(x) + 54.5982 L2(x)

13


– Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)

-1 0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

14

Lagrange : erreur d'interpolation

• Théorème :– si f est n+1 dérivable sur [a,b], x [a,b], notons :

• I le plus petit intervalle fermé contenant x et les xi

(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

– alors, il existe I tel que

– NB : dépend de x

• Utilité = on contrôle l’erreur d’approximation donc . la qualité de l’approximation

x

!1n

fxe

)1n(

15

Lagrange : choix de n

• Supposons que l'on possède un nb élevé de points pour approcher f … faut-il tous les utiliser ? – (calculs lourds)

• Méthode de Neville :– on augmente progressivement n

– on calcule des Li de manière récursive

– on arrête dès que l'erreur est inférieure à un seuil(d’ou l’utilité du calcul de l’erreur)

16

La méthode de Neuville• Définition

• Théorème

• Démonstration

• Application systématique

kk

k

mmmmmm

mmm

yxyxyxk

xP

,,...,,,, points les

sur calculé Lagrange de polynôme )(

2211

21 ,...,,

ji

niiinjjj

xx

xPxxxPxxxP

)()()( ,...,1,1,...,1,0,...,1,1,...,1,0

)()(et )()();()( kkjjii xfxPxfxPxfxP

3,34,2,1,02,33,2,11,33,20,333

2,22,1,01,22,10,222

1,11,00,111

0,000

QPQPQPQPx

QPQPQPx

QPQPx

QPx

iijijiji PQ ,1,...,1,,

17

L’algorithme de Neuville


fait),(

fait )()(

11)(1)(

àjusqu' 1pour àjusqu' 1pour

fait)()0,(

àjusqu' 1pour

nnQy

jixix

),jQ(iixx)Q(i,jjixxQ(i,j)

ijni

iyiQni

ii

ii

i

Fonction y = Neuville(x,xi,yi)

18

Interpolation polynomiale : Newton• Polynômes de Newton :

– base = {1, (x-x0), (x-x0)(x-x1), …, (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)}

– on peut ré-écrire p(x) :p(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)+…+ an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

– calcul des ak : méthode des différences divisées

19

Newton : différences divisées

• Définition :– Soit une fonction f dont on connaît les valeurs en des points

distincts a, b, c, …

– On appelle différence divisée d’ordre 0, 1, 2,...,n les expressions définies par récurrence sur l’ordre k :

– k=0 f [a] = f (a)

– k=1 f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a )

– k=2 f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b )

– … f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )a X , b X , a b

20


• Théorèmes :– détermination des coefficients de p(x) dans la base de

Newton :

f [x0, x1,…, xk] = ak avec k = 0 … n

– erreur d'interpolation :

e(x) = f [x0, x1,…, xn, x] (x)

21


a0a1

a2

an

• Calcul pratique des coefficients :

x0 f [x0]

x1 f [x1] f [x0, x1]

x2 f [x2] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

… … … ...

… … … f [xn-3, xn-2, xn-1]

xn f [xn] f [xn-1, xn] f [xn-2, xn-1, xn] … f [x0, ..., xn]

22

Newton : exemple

a0

a2

p(x)=1 + 2x + x(x-2) (et on retombe sur p(x) = 1 + x2)

a1

• (ex. n°2) : n=2 (0,1), (2,5) et (4,17)

0 f [x0]=1

2 f [x1]=5 f [x0, x1]

=(1-5)/(0-2)=2

4 f [x2]=17 f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

=(5-17)/(2-4)=6 = (2-6)/(0-4)=1

23

Newton : l’algorithme


fait),((i) àjusqu' 1pour

faitfait

)()(111

àjusqu' 1pour àjusqu' 1pour

fait)()0,(

àjusqu' 1pour

inFani

jixix),jF(i)F(i,j

F(i,j)

ijni

iyiFni

ii

i

Fonction a = Newton(xi,yi)

24-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

A bas les polynômes• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

– entre les points, le polynôme fait ce qu'il veut…et plus son degré est élevé plus il est apte à osciller !

25

Interpolation par splines cubiques

• Principe :– on approche la courbe par morceaux (localement)

– on prend des polynômes de degré faible (3) pour éviter les oscillations

26

Splines cubiques : définition

• Définition :– On appelle spline cubique d’interpolation une fonction notée

g, qui vérifie les propriétés suivantes :• g C2[a;b] (g est deux fois continûment dérivable),

• g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3,

• g(xi) = yi pour i = 0 … n

• Remarque : – Il faut des conditions supplémentaires pour définir la spline

d’interpolation de façon unique

– Ex. de conditions supplémentaires :• g"(a) = g"(b) = 0 spline naturelle.

27

Splines : illustration

P1(x)=1x3+1x2+1x+1

=a1 (x-x1)3+b1 (x-x1) 2+c1 (x-x1) +d1

P2(x)=a2 (x-x2) 3+b2 (x-x2)

2+c2 (x-x2) +d2

28

Splines cubiques : détermination• Détermination de la spline d’interpolation

– g coïncide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

g" est de degré 1 et est déterminé par 2 valeurs:• mi = g"(xi) et mi+1 = g"(xi+1) (moment au noeud n°i)

– Notations :• hi = xi+1 - xi pour i = 0 … n-1

i= [xi; xi+1]

• gi(x) le polynôme de degré 3 qui coïncide avec g sur l’intervalle i

29

Splines cubiques : détermination– g"i(x) est linéaire :

x i

• on intègre(ai constante)

• on continue(bi constante)

– gi(xi) = yi

– gi(xi+1) = yi+1

i

1ii

i

i1ii h

xxm

h

xxmxg

iiii

31i

ii

3i

1ii bxxah6

xxm

h6

xxmxg

i

i

21i

ii

2i

1ii ah2

xxm

h2

xxmxg

i

2ii

i b6

hmy

iii

2i1i

1i bha6

hmy

1

2

30

Splines cubiques : détermination– g'(x) est continue :

– et

– on remplace les ai dans :

– Rappel : on cherche les mi (n+1 inconnues) on a seulement n-1 équations grâce à il faut rajouter 2 conditions, par exemple

m0 = mn =0 (spline naturelle)

i1i1i1i

iii

iii xga2

hma

2

hmxg

i1ii

i1ii

i mm6

hyy

h

1a

3

1 2

3

1ii

1ii1i

i1iii1ii1i1i yy

h

1yy

h

16mhmhh2mh4

4

31

Splines cubiques : détermination

– Ex de résolution avec hi = xi+1 - xi constant :

•

• forme matricielle :

Tm=f

• T inversible (diagonale strictement dominante)

1ii

1ii1i

i1iii1ii1i1i yy

h

1yy

h

16mhmhh2mh4

i1ii1i21ii1i fyy2yh

1mm4m

1n

1

1n

1

f

f

m

m

41

141

141

014

32

Splines cubiques : l’algorithme

Complexité du calcul : complexité du solveur

fait6

)()(

61

)(

1;1pour ]0,,0[

\1212

fait6)1(

2)1,( )1,(

2),( 1;2pour

11

1

11

1

1

ii

iii

iii

i

ii

i

ii

i

i

ii

hmiyib

mmh

yyh

ia

nimmfTm

:n-,:n-TT

h

yy

h

yyif

hiiThiiT

hhiiTni

33

Splines cubiques : exemple

• Ex : y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

spline

polynôme de degré 8

34

Conclusion

• Interpolation polynomiale– évaluer la fonction en un point : Polynôme de Lagrange ->

méthode de Neville

– compiler la fonction : Polynôme de Newton

• Interpolation polynomiale par morceau : splines– spline cubique d’interpolation

– spline cubique d’approximation (on régularise)

– b spline

– spline généralisée : splines gausiènnes (multidimensionelle)

• approximation - apprentissage

1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Interpolation f(x)

Documents

Transcript of 1 ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Interpolation f(x)