Interpolation Polynomiale

8/3/2019 Interpolation Polynomiale

1/34

1

Mthodes numriques

pour lingnieur

Interpolation

f(x)


2/34

20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Approximation de fonctions

Soit une fonctionf(inconnue explicitement)

connue seulement en certains pointsx0,x1xn

ou valuable par un calcul coteux.

Principe : reprsenterfpar une fonction simple, facile valuer

Problme :

il existe une infinit de solutions !


3/34

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Approximation de fonctions

Il faut se restreindre une famille de fonctions

polynmes,

exponentielles,

fonctions trigonomtriques


4/34

4

Quelques mthodes d'approximation

Interpolation polynomiale

polynmes de degr au plus n

polynmes de Lagrange diffrences finies de Newton

Interpolation par splines

polynmes par morceaux

Interpolation d'Hermite

informations sur les drives de la fonction approche


5/34

5

ab ab

f(x)

P(x)

f(x)+e

f(x)-e

f(x)

P(x)

f(x)+e

f(x)-e

Thorme dapproximation de Weierstrass

baxxPxf

baxPbaf

,)()(

:quetel,surdfinit,)(polynmeunexisteil,0Alors,,intervallel'surcontinueetdfiniefonctionunesoit

e

e

)(xf

)(xP

e)(xf

e)(xf

grandestpolynomeduordrel'pluspetit,est,pluse

Interpolation :

nnnnn ordre:inconnues1quations,1s,contrainte1points,1


6/34

6


Le problme : les donnes, la solution recherche

mauvaise solution : rsoudre le systme linaire

la combinaison linaire de polynmes est un polynme

nixfxPxP

xfyxxfyxxfyx

ii

iiiiii

,0),()(quetel)(

)(,,...,)(,,...,)(, 000

010

)()(...)()(ainsi

0)(et1)(quetel

)()(...)()(

00

00

inniiiii

jiii

nnii

xPyxPyxPyxP

ijxPxP

xPyxPyxPyxP

eVandermonddematrice:)(0

VyVaxaxPn

i

ii


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Interpolation polynomiale : Lagrange

Thorme

Soient n+1 points distinctsxi rels et n+1 relsyi,

il existe un unique polynmepPn tel que

p(xi) = yi pour i = 0 n

Construction dep :

avecLi polynme de Lagrange

Proprits deLi

Li(xi)=1

Li(x

j)=0 (j i)

n

0i

ii )x(Ly)x(p

n

ij0j ji

j

ixx

xx

)x(L

L est un polynme dordre n

dmonstration


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01

0

1

10

10

10

0

1

10

10

10

0110

10

10

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxy

xx

xxyy

xx

yxyxx

xx

yyy

Exemple avec n=1

on connat 2 points (x0,y0) et (x1,y1)

on cherche la droitey=ax+b (polynme de degr 1)

qui passe par les 2 points : y0 = a x0 + b a = (y0 - y1) / (x0 - x1)

y1 = a x1 + b b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)

Lagrange : exemple n1

L0(x) L1(x)

x0

x1

y1

y0


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Exemple avec n=2

on connat 3 points (0,1), (2,5) et (4,17)

polynmes de Lagrange associs :

8

4x2x)x(L0

8

2xx)x(L2

4

4xx)x(L1

0 2 4

-

0 2 4 0 2 4


10/3410

-1 0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30


calcul du polynme d'interpolation

p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x)

en simplifiant, on trouve p(x)=x2+1


11/3411

Lagrange : lalgorithme

Complexit du calcul : n2

fait*

fait)()(

)(*

;,jusqu'1pourjusqu'1pour

lyyy

jxix

jxxll

ijnjni

i

ii

i

Fonctiony = lagrange(x,xi,yi)


12/3412

-1 0 1 2 3 4 5

-10

0

10

20

30

40

50

60


Exemple avec n=2 (fonction approchery=ex)

on connat 3 points (0,1), (2,7.3891) et (4,54.5982)

Polynme d'interpolation

p(x) =L0(x) + 7.3891 L1(x) + 54.5982 L2(x)


13/3413


Erreur d'interpolation e(x) = f(x) - p(x)

-1 0 1 2 3 4 5-20

-10

0

10

20

30

40

50

60


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Lagrange : erreur d'interpolation

Thorme :

sifest n+1 drivable sur [a,b], x [a,b], notons :

Ile plus petit intervalle ferm contenantx et lesxi f(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)

alors, il existe I tel que

NB : dpend dex

Utilit = on contrle lerreur dapproximation donc .

la qualit de lapproximation

x

!1n

fxe

)1n(

f


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Lagrange : choix de n

Supposons que l'on possde un nb lev de points pour

approcherf faut-il tous les utiliser ?

(calculs lourds)

Mthode de Neville :

on augmente progressivement n

on calcule desLi de manire rcursive

on arrte ds que l'erreur est infrieure un seuil

(dou lutilit du calcul de lerreur)


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La mthode de Neuville Dfinition

Thorme

Dmonstration

Application systmatique

kk

k

mmmmmm

mmm

yxyxyxk

xP

,,...,,,,pointsles

surcalculLagrangedepolynme)(

2211

21 ,...,,

ji

niiinjjj

xx

xPxxxPxxxP

)()()(

,...,1,1,...,1,0,...,1,1,...,1,0

)()(et)()();()( kkjjii xfxPxfxPxfxP

3,34,2,1,02,33,2,11,33,20,333

2,22,1,01,22,10,222

1,11,00,111

0,000

QPQPQPQPx

QPQPQPx

QPQPx

QPx

iijijiji PQ ,1,...,1,,


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Lalgorithme de Neuville


fait),(

fait)()(

11)(1)(

jusqu'1pourjusqu'1pour

fait)()0,(

jusqu'1pour

nnQy

jixix

),jQ(iixx)Q(i,jjixxQ(i,j)

ijni

iyiQni

ii

ii

i

Fonctiony = Neuville(x,xi,yi)


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Interpolation polynomiale : Newton

Polynmes de Newton :

base = {1, (x-x0), (x-x0)(x-x1), , (x-x0)(x-x1)(x-xn-1)}

on peut r-crirep(x) :p(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)++ an(x-x0)(x-x1)(x-xn-1)

calcul des ak: mthode des diffrences divises


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Newton : diffrences divises

Dfinition :

Soit une fonctionfdont on connat les valeurs en des points

distincts a, b, c, On appelle diffrence divisedordre 0, 1, 2,...,n

les expressions dfinies par rcurrence sur lordre k:

k=0 f [a] = f (a)

k=1 f [a,b] = ( f [b] - f [a] ) / ( b - a ) k=2 f [a,b,c] = ( f [a,c] - f [a,b] ) / ( c - b )

f [X,a,b] = ( f [X,b] - f [X,a] ) / ( b - a )

a X , b X , a b


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Thormes :

dtermination des coefficients dep(x) dans la base de

Newton :

f [x0, x1,, xk] = ak avec k = 0 n

erreur d'interpolation :

e(x) = f [x0, x1,, xn, x] f(x)


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a0

a1

a2

an

Calcul pratique des coefficients :

x0 f [x0]

x1 f [x1] f [x0, x1]

x2 f [x2] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

...

f [xn-3, xn-2, xn-1]

xn f [xn] f [xn-1, xn] f [xn-2, xn-1, xn] f [x0, ..., xn]


22/34

22

Newton : exemple

a

0

a2

p(x)=1+ 2x + x(x-2) (et on retombe surp(x) = 1 + x2)

a1

(ex. n2) : n=2 (0,1), (2,5) et (4,17)

0 f [x0]=1

2 f [x1]=5 f [x0, x1]

=(1-5)/(0-2)=2

4 f [x2]=17 f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

=(5-17)/(2-4)=6 = (2-6)/(0-4)=1


23/34

23

Newton : lalgorithme


fait),((i)jusqu'1pour

faitfait

)()(

111

jusqu'1pour

jusqu'1pourfait

)()0,(jusqu'1pour

inFani

jixix

),jF(i)F(i,jF(i,j)

ij

ni

iyiFni

ii

i

Fonction a = Newton(xi,yi)


24/34

24

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

A bas les polynmes

Ex :y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

entre les points, le polynme fait ce qu'il veut

et plus son degr est lev plus il est apte osciller !


25/34

25

Interpolation par splines cubiques

Principe :

on approche la courbe par morceaux (localement)

on prend des polynmes de degr faible (3) pour viter lesoscillations


26/34


27/34

27

Splines : illustration

P1(x)=a1x3+b1x

2+c1x+d1

=a1 (x-x1)3+b1 (x-x1)

2+c1 (x-x1)+d1

P2(x)=a2 (x-x2)3+b2 (x-x2)

2+c2 (x-x2)+d2


28/34

28

Splines cubiques : dtermination

Dtermination de la spline dinterpolation

g concide sur chaque intervalle [xi; xi+1] avec un polynme de

degr infrieur ou gal 3

g" est de degr 1 et est dtermin par 2 valeurs: mi = g"(xi) et mi+1 = g"(xi+1) (momentau noeud ni)

Notations :

hi = xi+1 - xi pour i = 0 n-1 di= [xi; xi+1]

gi(x) le polynme de degr 3 qui concide avec g sur lintervalle di


29/34

29


g"i(x) est linaire :

x di

on intgre

(ai constante)

on continue

(bi constante)

gi(xi) = yi

gi(xi+1) = yi+1

i

1ii

i

i1ii

h

xxm

h

xxmxg

iiii

31i

ii

3i

1ii bxxah6

xxm

h6

xxmxg

i

i

21i

i

i

2i

1ii a

h2

xxm

h2

xxmxg

i

2ii

i b6

hmy

iii

2i1i

1i bha6

hmy

1

2


30/34

30


g'(x) est continue :

et

on remplace les ai dans :

Rappel : on cherche les mi (n+1 inconnues) on a seulement n-1 quations grce

il faut rajouter 2 conditions, par exemple

m0 = mn =0 (spline naturelle)

i1i1i1i

iii

iii xga2

hma

2

hmxg

i1ii

i1i

i

i mm6

hyy

h

1a

3

1 2

3

1ii

1i

i1i

i

1iii1ii1i1i yyh

1yy

h

16mhmhh2mh4

4


31/34

31


Ex de rsolution avec hi = xi+1 - xi constant :

forme matricielle :

Tm=f

Tinversible (diagonale strictement dominante)

1ii1i

i1ii

1iii1ii1i1i yyh

1yy

h

16mhmhh2mh4

i1ii1i21ii1i fyy2yh1

mm4m

1n

1

1n

1

f

f

m

m

41

141

141

014


32/34

32

Splines cubiques : lalgorithme

Complexit du calcul : complexit du solveur

fait6

)()(

6

1)(

1;1pour]0,,0[

\1212

fait

6)1(

2)1,()1,(

2),(1;2pour

11

1

11

1

1

ii

ii

i

iii

i

ii

i

ii

i

i

ii

hmiyib

mmh

yyh

ia

nimmfTm

:n-,:n-TT

h

yy

h

yyif

hiiThiiT

hhiiTni


33/34

33

Splines cubiques : exemple

Ex :y=2(1+tanh(x)) - x/10 avec 9 points

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

spline

polynme de degr 8


34/34

Conclusion


valuer la fonction en un point : Polynme de Lagrange ->

mthode de Neville

compilerla fonction : Polynme de Newton Interpolation polynomiale par morceau : splines

spline cubique dinterpolation

spline cubique dapproximation (on rgularise)

b spline

spline gnralise : splines gausinnes (multidimensionelle)

approximation - apprentissage

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