1-Algebra de Diag de Bloques

Ministerio de Cultura y Educacin UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL PARAN Avda. Almafuerte 1033 - (3100) Paran - Entre Ros - Argentina. Tel.: +54-(343) 424-3694 / Fax: +54-(343) 424-3589

Prof. EDUARDO J. ADAM Email: [email protected]

www.intec.unl.edu.ar/~eadam

CARRERA: INGENIERA ELECTRNICA. CTEDRA: SISTEMAS DE CONTROL.

Apunte de Teora

lgebra de Diagrama de Bloques

Primer Cuatrimestre - marzo, 2003 (Versin 1.0)

Contenido

RESUMEN ...................................................................................................................................... 2

1 INTRODUCCIN ........................................................................................................................... 2

2 DEFINICIONES BSICAS EN LGEBRA DE BLOQUES ........................................................ 3

3 REGLAS DEL LGEBRA DE DIAGRAMAS DE BLOQUES .................................................... 4

3.1 Reglas Bsicas ......................................................................................................................... 5

3.2 Reglas Bsicas para sistemas SIMO, MISO y MIMO ............................................................. 17

4 CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 26

RESUMEN

1. INTRODUCCIN

Un sistema de control est formado por una cierta cantidad de componentes, donde

cada uno de ellos cumple con una cierta funcin. As, podemos mencionar como

componentes de un sistema de control a la planta, el transductor y transmisor, el

controlador y el elemento de control final. La ingeniera de control acostumbra a

representar grficamente mediante bloques a cada uno de los componentes. La

representacin grfica de un conjunto de bloques que compone un sistema se la

designa como diagramas de bloques (DB). Un DB es una forma convencional de

representar grficamente las interrelaciones entre las variables ms significativas de

un sistema, as como las caractersticas de los componentes que lo forman.

Los DB no solo son usados para representar grficamente componentes y/o

ecuaciones sino que tambin son extensamente usados en el anlisis y el diseo de los

sistemas de control.

En realidad, todo sistema fsico expresado mediante ecuaciones diferenciales o

algebraicas puede ser representado con idntica rigurosidad mediante este tipo de

diagramas. La diferencia fundamental reside en que, mientras un conjunto de leyes y

principios fsico-qumicos son una representacin puramente abstracta, un DB tiene

la ventaja de indicar en forma ms realista el flujo de seales del sistema real,

posibilitando visualizar rpidamente la manera en que impactan cada una de las

Ctedra de Sistemas de Control, U.T.N. Facultad Regional Paran, Eduardo J. Adam. 2

variables en el comportamiento de un sistema fsico o bien en el desempeo de un

sistema de control.

2. DEFINICIONES BSICAS

Definicin B1 (Diagrama de Bloques). Un diagrama de bloques de un sistema es

una representacin grfica de las funciones realizadas por cada componente y del

flujo de seales de una ecuacin o sistema de ecuaciones.

En un DB, todas las variables del sistema estn ligadas entre s a travs de bloques

funcionales.

Definicin B2 (Bloque Funcional). El bloque funcional o simplemente bloque es

una representacin grfica-simblica de una operacin matemtica, donde la salida

es igual al producto de la entrada por la funcin incluida en el bloque.

GU Y

Figura B1. Grfico de un bloque funcional donde en trminos matemticos se

representa la operacin Y = GU. Note que, bajo esta representacin, G puede ser una

funcin lineal o no lineal.

La bibliografa clsica del tema suele hablar indistintamente de ganancia, funcin de

transferencia o bien de tramitancia de un bloque, refirindose a la funcin incluida

dentro de un bloque funcional. Debido a que la representacin en DB puede ser

aplicada tanto para sistemas lineales como no lineales, dichas funciones no

necesariamente sern funciones en variable compleja s. Aqu, haremos referencia a

funciones de transferencia debido a que estudiamos sistemas LTI, considerando a la

ganancia como un caso particular de una funcin de transferencia en el campo de

Laplace.

Los bloques funcionales estn conectados entre s por flechas que indican la direccin

del flujo de seales. As, resulta sencillo identificar como impactan ciertos

componentes en el comportamiento del sistema, visualizando una o ms propiedades

particulares.


La otra operacin matemtica posible de representar grficamente es la suma (o bien

la sustraccin o diferencia).

Definicin B3 (Bloque Sumador). El bloque sumador es una representacin grfica-

simblica de la operacin suma (o bien, sustraccin) donde puede haber n seales de

entrada pero solo una de salida.

En la representacin grfica del sumador, usualmente, la operacin suma no se indica

en el diagrama con el signo + y slo el signo es usado para indicar la diferencia. Un

ejemplo de dicha representacin se muestra en la Fig. B2.

YU1

U3

U2

Figura B2. Grfico de un bloque sumador donde en trminos matemticos se

representa la operacin Y = U1 + U2 U3.

Definicin B4 (Toma de Seal o de informacin). La toma de seal es una simple

representacin grfica simblica de un punto desde el cual la seal de entrada o bien

salida de un bloque funcional es enviada hacia otros bloques o sumadores.

Un ejemplo de toma de seal es representado en la Fig. B3.

U G Y

Y

Toma de seal o de informacin

Figura B3. Ejemplo de toma de seal de una porcin de un DB.

Con estas tres ltimas definiciones (producto, suma y toma de informacin) se

construye lo que se conoce como lgebra de diagramas de bloques, la que se resume

en un conjunto mnimo de reglas que se enuncian en la prxima seccin.


3. REGLAS DEL LGEBRA DE DIAGRAMA DE BLOQUES

Dada la importancia de los diagramas de bloques en el estudio de sistemas de control

a continuacin estudiaremos las reglas que rigen la manipulacin y transformacin de

estos diagramas. La validez de estas reglas est sujeta a la hiptesis de considerar

elementos lineales y en principio sern enunciadas para sistemas simple entrada

simple salida (SISO) y posteriormente se extendern dichas reglas para sistemas de

mltiples entradas y simple salida (MISO), de simple entrada y mltiple salida

(SIMO) y de mltiples entradas mltiples salida (MIMO).

Cabe destacar que para sistemas SISO, en todo momento podrn aplicarse las leyes

conmutativas, asociativas y distributivas. Mientras que, las propiedades conmutativas

del producto son slo vlidas para sistemas MISO, SIMO y MIMO (seccin 3.3).

3.1 Reglas Bsicas para Sistemas SISO

Las propiedades bsicas del lgebra a aplicar se resumen en la Tabla 1.

Tabla 1. Propiedades bsicas del lgebra lineal aplicables a sistemas SISO.

Propiedad Operacin

conmutativa de la suma G + F = F + G

asociativa U1 U2 = U1 + (-U2) = U1 (+U2)

conmutativa del producto GF = FG

factor comn GU1 + GU2 = G(U1 + U2)

distributiva (G + F)U = GU + FU

Las principales reglas del lgebra de DB son las que se enuncian a continuacin.

1. Bloques en Serie Regla 1. Los bloques en serie se multiplican.

DEMOSTRACIN. Considere la siguiente operacin algebraica:

Y1 = G1U (B1)

Y = G2Y1 . (B2)


La Fig. B4a muestra la representacin en diagrama de bloques de las operaciones (B1) y (B2). Resulta

sencillo probar que Y = (G2G1)U, demostrando la regla enunciada. Este ltimo resultado como se

muestra en forma grfica en la Fig. B4b.

U YG2G1Y1

Bloques en serie

(a)

G G1 2 Y U

(b)

Figura B4. (a) Representacin de dos bloques en serie y (b) el correspondiente bloque con operacin

equivalente.

2. Bloques en Paralelo Regla 2. Los bloques en paralelo se suman1.


Y1 = G1U (B3)

Y2 = G2U . (B4)

Y = Y1 + Y2 . (B5)

La Fig. B5a muestra la representacin en diagrama de bloques de las operaciones (B3), (B4) y (B5).

Resulta sencillo probar que Y = (G1 G2)U, mostrando esta representacin en la Fig. B5b.

U

G2

Y

G1 Y1

Y2

Bloques en paralelo

(a)

G G1 2U Y

(b)

Figura B5. (a) Representacin de dos bloques en paralelo y (b) su correspondiente bloque con

operacin equivalente.

3. Atraso y Adelanto de Toma de Informacin Regla 3. El adelanto de toma de informacin implica multiplicar a la seal extrada

de la nueva toma de informacin por el bloque se cruza.

Ctedra de Sistemas de Control, U.T.N. Facultad Regional Paran, Eduardo J. Adam. 6 1 Se entiende a la diferencia o resta como un caso particular de la suma.

DEMOSTRACIN. Considere el sistema de la Fig. B6a donde se enva informacin de la seal Y a otra

porcin de un DB. As, si toma informacin de U para no alterar la informacin y poder enviar Y,

entonces se debe multiplicar por G (Fig. B6b).

U GY

Y

Adelanto de toma de informacin (a)

G

G

Y

Y

U

(b)

Figura B6. (a) Representacin de una toma de informacin en la seal de salida de un bloque G y (b)

su correspondiente operacin equivalente designada como adelanto de toma de informacin.

Regla 4. El atraso de toma de informacin implica dividir a la seal extrada de la

nueva toma de informacin por el bloque se cruza.

DEMOSTRACIN. Considere el sistema de la Fig. B7a donde se enva informacin de la seal U a otra

porcin de un DB. Para no alterar la informacin que se enva, dado que se debe enviar U y si toma

informacin de Y, entonces se debe dividir por G (Fig. B7b).

U G Y

U

Atraso de toma de informacin (a)

1/G U

YU G

(b)

Figura B7. (a) Representacin de una toma de informacin en la seal de entrada a un bloque G y (b)

su correspondiente operacin equivalente designada como atraso de toma de informacin.

4. Atraso y Adelanto de un Sumador Regla 5. El adelanto de un sumador implica dividir por el bloque que se cruza.


Y1 = GU (B6)

Y = Y1 X . (B7)



sencillo probar que Y = GU X = 1 XG

G U , donde la correspondiente representacin en DB se

muestra en la Fig. B8b.

(a)

U Y

G

X

Adelanto de sumador

X

YU G

1/G

(b)

Figura B8. (a) Representacin de las operaciones (B6) y (B7) y (b) su correspondiente operacin

equivalente designada como adelanto de sumador.

Regla 6. El atraso de un sumador implica multiplicar por el bloque que se cruza.


U3 = U1 U2 (B8)

Y = GU3 . (B9)


sencillo probar que Y = G(U1 U2) = GU1 GU2 mostrando este resultado en la Fig. B9b.

GU1 Y

U2

(a)Atraso de sumador

G

G

U1

U2

Y

(b)

Figura B9. (a) Representacin de las operaciones (B8) y (B9) y (b) su correspondiente operacin

equivalente designada como atraso de sumador.

5. Realimentacin Regla 7. La relacin salida-entrada en una realimentacin es igual a la funcin de

transferencia de la trayectoria directa sobre 1 el producto de las funciones de

transferencia de la trayectoria directa por las de realimentacin.

m

DEMOSTRACIN. Considere la siguiente operacin algebraica: Ctedra de Sistemas de Control, U.T.N. Facultad Regional Paran, Eduardo J. Adam. 8

Y = GE (B10)

E = R Ym (B11)

Ym = HY . (B12)

La Fig. B10a muestra la representacin en diagrama de bloques de las operaciones (B10), (B11) y

(B12). Resulta sencillo probar que Y G mostrando este resultado en la Fig. B10b. /(1 )GH R= m

GY

H

R

Realimentacin

(a)Trayectoria directa

Trayectoria de realimentacin

E

Ym

G GH/(1 ) YR

(b)

Figura B10. (a) Representacin de las operaciones relacionadas a la realimentacin ((B10), (B11) y

(B12)) y (b) su correspondiente operacin equivalente.

A continuacin se presenta tres ejemplos ilustrativos que tienen por objeto

familiarizar al lector con una metodologa de trabajo a seguir con el fin de reducir un

DB a una forma ms sencilla. Ejemplo 1. Considere el sistema hidrulico de la Fig. B11. Obtenga, basndose en las ecuaciones de

balance, la representacin en DB correspondiente de dicho sistema. Luego, reduzca dicho diagrama a

un solo bloque entrada-salida siguiendo las reglas enunciadas. qe1

qsh

R Figura B11. Sistema Hidrulico. Aqu R representa la resistencia hidrulica de la vlvula.

El modelo matemtico del sistema se obtiene mediante la ecuacin de balance de materia total en

estado transciente donde, por simplicidad en el ejemplo se asume las siguientes hiptesis:

la densidad del lquido () no vara con el tiempo,


la seccin transversal del tanque (A) es constante, as el volumen de lquido acumulado es V = Ah donde solo vara h,

por simplicidad se asume que las condiciones iniciales nulas son nulas, V(t = 0) = 0 o bien h(t = 0) = h0 = 0 y

que el caudal volumtrico de salida es aceptablemente bien modelado mediante la ecuacin qs = h/R. El lector puede consultar el apunte de modelado matemtico de sistemas donde se

justifica adecuadamente esta ltima relacin entre el caudal de salida y el nivel de lquido.

As, se puede escribir,

e sd V q q

dt = (B13)

donde qe el caudal volumtrico de entrada y qs el caudal volumtrico de salida.

Segn las hiptesis planteadas anteriormente la ecuacin de balance de materia se resume a,

edh hA qdt R

= (B14)

sujeta a la condicin inicial h0 = 0. Note que, la Ec. (B14) es una ecuacin diferencial lineal a

coeficientes constantes con condicin inicial nula.

Aplicando transformada de Laplace a la ltima ecuacin se tiene,

( )( ) eH sAsH s q

R= . (B15)

As, la representacin en diagrama de bloques de la Ec. (B15) resulta como se indica en la Fig. B12.

1/AsH s( )Q se( )

1/RQ ss( )

Figura B12. Diagrama de bloques del sistema hidrulico de la Fig. B11 basado en la ecuacin

diferencial (B15) en el campo de Laplace.

Claramente se evidencia una realimentacin la que es resuelta siguiendo la regla 7.

H s( )Q se( )R

ARs + 1 Figura B13. Reduccin del diagrama de bloques de la Fig. B12.

De acuerdo con la Fig. B13b se puede expresar, Ctedra de Sistemas de Control, U.T.N. Facultad Regional Paran, Eduardo J. Adam. 10

( ) ( )1 e

RH s Q sARs

= + , (B16)

o bien,

( ) : ( )( ) 1e

H s RG sQ s ARs

= = + (B17)

siendo G(s) la funcin de transferencia entre H y Qe.

Note que, si bien el mismo resultado se podra haber obtenido resolviendo directamente la Ec. (B15), la

representacin en DB de la Fig. B12 muestra grficamente como impacta un cambio en el caudal de

salida el nivel de lquido en el tanque. Hay una clara ventaja a favor del DB de la Fig. B12 con

resprecto a la representacin abstracta de la Ec. (B15).

Ejemplo 2. Considere un sistema cuya representacin en diagramas de bloques se indica en la Fig.

B.14. Reduzca dicho diagrama a un solo bloque entrada-salida siguiendo las reglas enunciadas.

G1 G2

H1

H2

G4

G3

Figura B14. Diagrama de bloques de un sistema de control.

Usualmente puede haber ms de una secuencia a seguir para reducir un DB. La Fig. B15 muestra la

secuencia usada para resolver el DB de la Fig. B14. Se observa (Fig. B15a) es la presencia de dos

bloques en serie (G1 y G2) y dos bloques en paralelo (G3 y G4). Estas dos situaciones son resueltas

siguiendo las reglas 1 y 2 respectivamente y presentadas en la Fig. B15b. Tambin en dicha figura se

observa dos bloques que forman una realimentacin y la reduccin de estos bloques es resuelta

siguiendo la regla 7 lo que se muestra en la Fig. B15c. Ahora, quedan dos bloques en serie, los que son

escritos como un nico bloque en la Fig. B15d usando la regla 1. Finalmente, en dicha figura queda

una realimentacin la que se reduce a un slo bloque (Fig. B15e) usando la regla 7.


G1 G2

H1

H2

G4

G3Bloques en serie

Bloques en paralelo (a)

H2

G G1 2

H1

G +G3 4

Realimentacin (b)

H2

G +G3 4

Bloques en serie

1+G G H1 2 1

G G1 2

(c)

H2

Realimentacin

1+G G H1 2 1

G G G G1 2 3 4( + )

(d)

1+ +G G H1 2 1 G G G G H1 2 3 4 2( + )G G G G1 2 3 4( + )

(e)

Figura B15. Secuencia usada para reducir el diagrama de bloques de la Fig. B14.

Ejemplo 3. Considere un sistema cuya representacin en diagramas de bloques se indica en la Fig.

B.16. Reduzca dicho diagrama a un solo bloque entrada-salida siguiendo las reglas enunciadas.

(5 +1)/( +1)s s

2( +1)s

1/s2

s

K/ s( +1)

Figura B16. Diagrama de bloques de un sistema de control.

La Fig. B17 muestra una secuencia adoptada para este ejemplo. Primeramente, se propone un adelanto

del sumador (Fig. B17a) debiendo entonces aplicar la regla 5. Luego, considerando la propiedad

asociativa de la suma, es posible rotar los sumadores para luego volver a adelantar el sumador (Fig.

B17b). En la Fig. B17c se observa que nuevamente se pueden rotar sumadores y se visualiza una

realimentacin la que es resuelta aplicando la regla 7. En la Fig. B17d se evidencia dos bloques en

paralelo (uno de ellos unitario) y dos en serie. Ambas operaciones son resueltas aplicando las reglas 1

y 2 respectivamente. Luego, en la Fig. B17e se observa una realimentacin la que se reduce aplicando

la regla 7, quedando dos bloques en serie (Fig. B17f) los que se reducen aplicando la regla 1.

Finalmente, una cancelacin de trminos se aplica en la Fig. B17g para mostrar el resultado final en la

Fig. B17h.


(5 +1)/( +1)s s

2( +1)s

1/s2

s

K/ s( +1)Adelanto de sumador

(a)

(5 +1)/( +1)s s

2( +1)s

1/s2

s

Ks / s2 ( +1)

Rotacin y adelanto de sumador

(b)

(5 +1)/( +1)s s

2( +1)s

1/s2

s

Rotacin de sumadores Realimentacin

Ks2( +1)s (5 +1)s

( +1)s(c)

(5 +1)/( +1)s s

2( +1)s

1/[ ( +1)]s s

Ks / s2 (5 +1)

Bloques en serie

Bloques en paralelo

1

(d)

Realimentacin

2( +1)s

1+ Ks2

(5 +1)s(5 +1)ss s( +1)2

(e)

Bloques en paralelo

(5 +1)ss s( +1) +(5s+1)2(s+1)21+

Ks2(5 +1)s

(f)

5 +1+s Ks2(5 +1)s

(5 +1)ss s( +1) +(5s+1)2(s+1)2

(g)

Ks s2 + 5 +1

( +1)( +11 +2)s s s2

(h)

Figura B17. Secuencia usada para reducir el DB de la Fig. B16.


3.2 Reglas Bsicas para Sistemas SIMO, MISO y MIMO

Los sistemas con ms de una entrada y / o una salida (SIMO, MISO o bien MIMO)

deben ser resueltos con especial atencin. Para ello se debe tener en cuenta dos cosas

bsicas; i) el teorema de superposicin de sistemas lineales y ii) si el sistema y el DB

se encuentran bajo una representacin matricial vectorial.

El teorema de superpocin puede ser enunciado en trminos prcticos como sigue:

Los sistemas LTI sometidos a ms de una entrada simultanea, su salida es igual a la

suma de cada una de las salidas que tendra el sistema considerando de a una

entrada individual a la vez.

Una presentacin ms rigurosa se puede consultar en el apndice de transformada de

Laplace.

Ejemplo 4. Considere el sistema LTI MIMO de la Fig. B18. Obtenga las distintas funciones de

transferencia para cada salida segn cada entrada individual. Luego, obtenga las funciones de

transferencia de cada una de las salidas considerando a las entradas en forma simultanea.

G2

G1

G3

G4

u1

u2

y1

y2

Figura B18. Sistema LTI MIMO de dos entradas y dos salidas, usualmente denotado como 2x2 o bien

sistema TITO.

La Fig. B19a muestra el diagrama de bloques resultante cuando se considera la salida y1 con la entrada

u1. Dicho DB puede ser reordenado para dar el DB de la Fig. B19b. Resolviendo dicho diagrama de

bloques se tiene el DB de la Fig. B19c.


G2

G1

G4

u1 y1

-G3

(a)

G1

G2

G4

u1 y1

-G3

(b)

G G G G G1 1 2 3 4/(1- )u1 y1

(c)

Figura B19. Secuencia para reducir el DB de la Fig. B18 considerando y1 con u1.

As la funcin de transferencia entre la salida y1 y la entrada u1 resulta ser,

11 1

1 2 3 41Gy u

G G G G= . (B18)

Similarmente al considerar y1 con u2 se puede probar que,

1 2 41 2

1 2 3 41G G Gy uG G G G

= . (B19)

As, por el teorema de superpocin sistemas lineales, la salida y1 debido a la aplicacin simultanea de

ambas entradas resulta ser,

1 1 21 1

1 2 3 4 1 2 3 4

( )1 1

G G G Gy uG G G G G G G G

= + 4

2u

1 1 1 2 4 2

1 2 3 41G u G G G u

G G G G= .

(B20)

Mientras que, basndose en los comentarios anteriores, la salida y2 en funcin de u1 y u2 resulta ser,

1 3 42 1

1 2 3 41G G Gy uG G G G

= , (B21)

42 2

1 2 3 41Gy u

G G G G= . (B22)

As, la salida y2 debido a la accin simultanea de ambas entradas, por el teorema de superposicin,

resulta ser,


1 3 4 42 1

1 2 3 4 1 2 3 41 1G G G Gy uG G G G G G G G

= + 2u

1 3 4 1 4 2

1 2 3 41G G G u G u

G G G G += .

(B23)

Una forma muy comn de escribir sistemas con ms de una entrada y / o salida es

haciendo uso de la notacin matricial-vectorial. As por ejemplo, el sistema MIMO

de la Fig. B18 puede ser escrito como sigue:

1 11 12

2 21 22

y g g uy g g u

= 1

2

,

(B24)

o bien,

Y = GU , (B25)

donde, Y := [y1 y2]T, G := [g11 g12; g21 g22] y U := [u1 u2]T. Siendo, g11 = G1/(1-

G1G2G3G4), g12 = G1G2G4/(1-G1G2G3G4), g21 = -G1G3G4/(1-G1G2G3G4) y g22 = G4/(1-

G1G2G3G4).

Basndose en (B24) y las expresiones algebraicas que definen a G, el DB de la Fig.

B18 puede ser redibujado como sigue:

g21

g11

g12

g22

u1

u2

y1

y2

(a)

U YG

(b)

Figura B20. (a) Representacin en DB de la Ec. (B24) y (b) su forma matricial

vectorial equivalente (Ec. (B25)).


La Fig. B20b muestra la representacin equivalente a la Fig. B20a bajo al forma

matricial vectorial.

Note que, la representacin (B24) puede ser generalizada fcilmente para sistemas

con n entradas y m salidas (nxm) considerando,

u = [u1 u2 ... un]T , (B26)

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

g g gg g g

g g g

= G

LL

L L L LL

, (B27)

y = [y1 y2 ... ym]T . (B28)

Ahora, las dimensiones del sistema matricial vectorial resultan ser, para el vector de

entradas u de nx1, para la matriz de funciones de transferencia de mxn y para el vector

de salida y de mx1. En lo que sigue del texto se asumir sin entrar en detalles que las

dimensiones de los vectores y matrices son compatibles, esto es, no entran en

conflicto matemtico al realizar el producto o bien las inversas correspondientes.

Basndose en estos ltimos comentarios, el bloque funcional para sistemas MIMO

puede ser redefinido como se lo muestra en la Fig. B20b. Del mismo modo, el

sumador para sistemas MIMO puede ser representado de igual forma considerando

ahora que cada entrada y el vector de salida es un vector columna de dimensin nx1,

donde simplemente se realiza una suma vectorial.

Debido a que el producto matricial vectorial no es conmutativo las reglas que se

enuncian abajo deben ser tenidas en cuenta.

1. Bloques MIMO en Serie Regla 1. Los bloques en serie se multiplican de derecha a izquierda.


Y1 = G1U (B29)

Y = G2Y1 , (B30)

la que es representada en DB en la Fig. B4 y donde Y, Y1 y U son vectores y G1 y G2 son matrices de

funciones de transferencia. Luego, como el producto matricial vectorial en general no es conmutativo

al reemplazar (B29) en (B30) se tiene que, Y = G2G1U. Note que, en general, . 2 1 1G G G G2


El lector se dar cuenta fcilmente que las reglas 2, 3, y 4 no se alteran al ser

enunciadas para sistemas MIMO. Solo hay que cuidar la compatibilidad de la

dimensin de los vectores involucrados.

2. Realimentacin (MIMO) Regla 2. Considere el sistema realimentado MIMO de la Fig. B21. La relacin

salida-entrada en una realimentacin MIMO es igual a la inversa de (I m GH) por G o bien, G por la inversa de(I HG). m

GY

H

R E

Ym

Figura B21. Sistema realimentado MIMO.

DEMOSTRACIN. Considere el sistema realimentado de la Fig. B21. Luego,

Y = GE (B31)

E = R Ym (B32) Ym = HY . (B33)

Reemplazando (B31) en (B32) se tiene que E = R HY. Luego, reemplazando esta ltima expresin en (B33) es fcil demostrar que,

Y = (I GH)m -1GR . (B34)

Similarmente, si se reemplaza (B31) en (B33) se tiene que Ym = HGE. Luego, reemplazando esta

ltima expresin en (B32) es fcil demostrar que,

Y = G(I HG)m -1R . (B35)

3. Regla Prctica

G1 (I - G2G1)-1 = (I - G1G2)-1G1 . (B36)


DEMOSTRACIN. Basndose en la demostracin de la regla 2, la prueba de la Ec. (B36) resulta

prcticamente trivial.

Las tres reglas enunciadas para sistemas MIMO se puede resumir en la siguiente regla

prctica general:

4. Regla General para Sistemas MIMO

Comenzar por la salida y escribir hacia atrs a medida que se encuentran los bloques.

Si hay una realimentacin incluir (I GH)m -1, segn sea negativa o positiva, cuidando si premultiplica o posmultiplica.

Ejemplo 5. Considere el sistema MIMO de la Fig. B22. Obtenga la funcin de transferencia que

relaciona la salida Z con la entrada W.

KP21

P22

P11W Z

P12

Figura B22. DB de un sistema MIMO escrito bajo la forma matricial vectorial.

Haciendo uso de la regla general de sistemas MIMO y por simple inspeccin de la figura se puede

escribir,

1

12 22 21( )K = + 11Z P P K I P P W (B37)

En la Tabla 2 se resume las operaciones bsicas del lgebra de diagrama de bloques

para sistemas lineales SISO y MIMO.


Tabla 2. Reglas bsicas del lgebra de DB para sistemas lineales SISO y MIMO.

Regla DB original DB equivalente

Bloques en Serie U YG2G1

Y1 G G1 2

Y U

Bloques en Paralelo

U

G2

Y

G1

G G1 2U Y

Adelanto de Toma de Informacin

U GY

Y

G

G

Y

Y

U

Atraso de Toma de Informacin

U G Y

U

G-1 U

YU G

Adelanto de Sumador U Y

G

X

X

YU G

G-1

Atraso de Sumador G

U1 Y

U2

G

G

U1

U2

Y

Realimentacin G Y

H

R

(1 )GH G-1 YR


4. CONCLUSIONES

REFERENCIAS


1-Algebra de Diag de Bloques

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