informations: http://cag.epfl.ch

sections IN + SC

Serie 5

ANALYSE IV

Printemps 2009-2010

Exercice 1. On considere la fonction f(z) = e1

z2−1 , z ∈ C− {−1, 1} .

(1) Quel est le type de singularite aux points z0 = 1 et z1 = −1 ?

(2) Calculer le developpement de Laurent de f au point z0.

(3) Quel est le domaine de convergence absolue de ce developpement ?

(4) Calculer le developpement de Taylor de f au point z2 = 0.

(5) Quel est le domaine de convergence absolue de ce developpement ?

Corrige 1. Rappelons les definitions : f(z) = e1

z2−1 , z0 = 1, z1 = −1 et z2 = 0.

On a z2 − 1 = (z − 1)(z + 1) et1

(z−1)(z+1) =1/2

(z−1) −1/2

(z+1) . On peut donc ecrire f(z) = f0(z)f1(z)

avec f0(z) = e1/2z−1 et f1(z) = e−

1/2z+1 .

(1) Au voisinage du point z0, f1(z) est holomorphe. Le developpement de Laurent de f0(z) au

point z0 est�∞

k=01

2kk!1

(z−1)k . Il converge absolument dans C− {z0} vers f0(z). On en deduit

que z0 est une singularite essentielle de f , puisque son developpement de Laurent comporte

une infinite de termes d’ordre negatif.

Considerons, par ex., trois suites qui tendent vers z0 :

pour la suite wk = 1− 1/k, k = 1, . . . ,∞, on a f0(wk) = e−k qui tend vers 0 ;

pour la suite wk = 1 + 1/k, k = 1, . . . ,∞, on a f0(wk) = e+k qui tend vers l’infini ;

pour la suite wk = 1 + i/k, k = 1, . . . ,∞, on a f0(wk) = eik qui oscille sans cesse a cause de

la 2iπ-periodicite de l’exponentielle.

Considerons encore D = {1 + ρeiθ : 0 < ρ < �, 0 < θ ≤ 2π} le disque pointe de rayon �petit autour du point z0 = 1 ; l’image de D par l’application z → 1/2

z−1 contient une infinite de

”bandes” du type {z ∈ C : 2ikπ ≤ Im(z) < 2i(k+1)π}, k entier ; et l’image de chacune de ces

bandes par l’exponentielle est le plan complexe tout entier. Ceci souligne le comportenemt

”erratique” d’une fonction au voisinage d’une singularite essentielle.

f a une singularite de meme type au point z1.

(2) Le developpement de Laurent de f au point z0 s’obtient comme produit des series du

developpement de Laurent de f0 au point z0 et du developpement de Taylor de f1 au meme

point z0. On utilise le resultat suivant :

Si�∞

k=1 zk = s,�∞

k=1 z�k = s�, avec convergence absolue alors on a convergence absolue de�∞k=1

�p+p�=k zpzp� vers ss�. Rappelons encore que la valeur d’une serie absolument conver-

gente ne depend pas de l’ordre dans lequel on additionne ses termes (pourvu qu’on prenne

exactement une fois chacun d’entre eux).

(3) Son domaine de convergence absolue est l’interieur du disque de centre z0, de rayon 2 (pour

eviter z1) prive de son centre.

(4) On a successivement :

f(z) = e(z2−1)−1, f(0) = e−1

f �(z) = e(z2−1)−1(−2z)(z2 − 1)

−2= f(z)(−2z)(z2 − 1)

−2, f �(0) = 0

f”(z) = f(z)�(−2z)

2(z2 − 1)

−4 − 2(z2 − 1)−2 − 2z(z2 − 1)

−3(−4z)

�, f”(0) = −2e−1.

1

2

On en tire le developpement de Taylor de f au point 0 :

f(z) = e−1(1− z2 + . . .).

(5) Son domaine de convergence absolue est l’interieur du disque de centre z2 = 0 et de rayon 1.

3

Petit resume sur les points singuliers/reguliers :

Soit f une fonction holomorphe dans un domaine D = {z ∈ C : 0 <| z − z0 |< R}. Alors :

(1) Soit il existe un voisinage ”pointe” (=voisinage - {z0}) de z0 dans lequel f est bornee : alors

z0 est une singularite apparente de f et f peut s’etendre en une fonction holomorphe fdans D = {z ∈ C : 0 ≤| z − z0 |< R} = D ∪ {z0} et z0 est alors un point regulier de f . La

fonction f admet un developpement de Taylor au point z0.

Exemple : f(z) =1

1+1/z et z0 = 0.

(2) Soit f est non bornee dans tout voisinage ”pointe” de z0 inclus dans D. Alors

(a) Soit limz→z0 f(z) =∞. Dans ce cas z0 est un pole de f et l’ordre de z0 est le seul entier

positif m tq limz→z0 f(z)(z − z0)m soit un nombre complexe non nul. Le developpement

de Laurent de f au point z0 comporte un nombre fini de termes d’ordre negatif, le

premier dans l’ordre croissant est −m.

Exemple : f(z) =1

zm et z0 = 0.

(b) Soit f n’a pas de limite lorsque z → z0. Dans ce cas z0 est une singularite essentielle.

On a alors la propriete :

Pour tout nombre complexe a, il existe une suite {wn}∞n=1 ⊂ D tendant vers z0 tq

limn→∞ f(wn) = a. Le developpement de Laurent de f au point z0 comporte une infinite

de termes d’ordre negatif.

Exemple : f(z) = e1z et z0 = 0.

Dans le cas ou il n’existe pas de nombre reel positif R tq f soit une fonction holomorphe dans le

domaine D = {z ∈ C : 0 <| z − z0 |< R} alors z0 est une singularite non isolee. Alors f n’admet

pas de developpement de Laurent au point z0.

Exemple : f(z) =1

1−cos 1z

et z0 = 0.

Soit g une fonction holomorphe dans un voisinage de z0 et tq g(z0) �= 0. Alors la ”nature” (=

sing. apparente, pole, sing. essentielle ou sing. non isolee) de z0 relativement a la fonction f(z) est

la meme que la nature de z0 relativement a la fonction f(z)g(z).

4

Exercice 2. On considere la fonction f : R → R definie par f(x) = e1

x2−1 si | x |< 1 et f(x) = 0 si

| x |≥ 1.

(1) Demontrer que f est de classe C∞(R).

(2) Calculer le developpement de Taylor de f en x = 1.

(3) Quel est le domaine de convergence de ce developpement ?

(4) Calculer le developpement de Taylor de f en x = 0.

(5) Quel est le domaine de convergence de ce developpement ?

Corrige 2.

(1) La fonction f est de classe C∞ en tout point x tq | x |�= 1 : si | x |> 1, c’est trivial puisque

f est identiquement nulle ; si | x |< 1, f , comme composition de deux fonctions C∞ l’est

encore.

En x = 1, on se convainc facilement que toutes les derivees successives a gauche de f sont

nulles ; en effet, soit x < 1 ; la derivee d’ordre k de f en x est de la forme

f (k)(x) = e

1(x2−1)

pk(x)

(x2 − 1)q(k)

ou pk est un polynome ; on tire alors des proprietes de l’exponentielle que, lorsque x tend

vers 1, cette derivee tend vers 0. De meme au point x = −1. f est donc de classe C∞(R).

(2) Le developpement de Taylor de f au point 1 est donc 0.

(3) Ce developpement de Taylor ne converge dans aucun ”disque” centre au point x = 1 ; en

effet, f(x) > 0 pour | x |< 1 et la valeur de la serie de Taylor est toujours nulle.

(4) On a successivement :

f(x) = e(x2−1)−1, f(0) = e−1

f �(x) = e(x2−1)−1(−2x)(x2 − 1)

−2= f(x)(−2x)(x2 − 1)

−2, f �(0) = 0

f”(x) = f(x)�(−2x)

2(x2 − 1)

−4 − 2(x2 − 1)−2 − 2x(x2 − 1)

−3(−4x)

�, f”(0) = −2e−1,

On en tire le developpement de Taylor de f au point 0 :

f(x) = e−1(1− x2 + . . .).

(5) Son domaine de convergence absolue est l’interieur du disque de centre x = 0 et de rayon 1.

5

Exercice 3.

On considere la fonction complexe f(z) =1

1− 1z3

.

Trouver les singularites de f et expliciter le residu de f en ces points singuliers.

Corrige 3.

(1) Le point z = 0 est une singularite apparente de f ; en effet, ∀z �= 0, on a : f(z) =1

1− 1z3

=

z3

z3 − 1; on en tire que limz→0 f(z) = 0.

On peut donc prendre dorenavant f(z) =z3

z3 − 1comme definition de f .

(2) Les trois racines de z3 = 1, soit z1 = e2iπ/3 =12(−1 + i

√3), z2 = e4iπ/3 =

12(−1 − i

√3) et

z0 = 1 sont des poles d’ordre 1 de f . On a, puisque f(z) = 1 +1

z3−1 :

Res(f, z0) =13 , Res(f, z1) =

16(−1 + i

√3) et Res(f, z2) =

16(−1− i

√3).

Exercice 4. Trouver les singularites des fonctions suivantes. En particulier, preciser si ce sont des

singularites isolees ou non, si ce sont des poles, des singularites apparentes ou des singularites essen-

tielles.

(1) f(z) =1

1 +1z

,

(2) f(z) =1

1− ez,

(3) f(z) =1

1− cos1z

.

Corrige 4. (1) La fonction f(z) =1

1 +1z

a une singularite apparente en z0 = 0 ; en effet, pour

un z non nul dans un voisinage de z0 on a f(z) =1

1 +1z

=z

z + 1; on a lim

z→0,z �=0f(z) = 0 et on peut

donc etendre f en z0 qui est une singularite apparente et on a f(z) =z

z + 1pour z ∈ C− {−1}.

Cette fonction a aussi un pole d’ordre 1 au point z1 = −1 ; en effet, on a f(z) =g(z)

z − z1avec g(z) = z

holomorphe dans C et g(z1) = −1 �= 0.

(2) Soit k ∈ Z. La fonction f(z) =1

1− eza un pole d’ordre 1 au point zk = 2ikπ ; en effet, on a

ez= ez−zk = 1+(z−zk)+

1

2!(z−zk)

2+

1

3!(z−zk)

3+ . . . avec convergence absolue de la serie dans C ;

la fonction 1− ez= (z − zk)

�−1− 1

2!(z − zk)

1 − 1

3!(z − zk)

2 − . . .

�est holomorphe dans C et donc

la fonction g(z) =1�

−1− 12!(z − zk)

1 − 13!(z − zk)

2 − . . .� est donc holomorphe dans un voisinage de

6

zk , verifie g(zk) = −1 et on a f(z) =g(z)

(z − zk). D’ou le resultat.

(3) Soit k ∈ Z − {0}. Montrons que la fonction f(z) =1

1− cos1z

a un pole d’ordre 2 au point

zk =1

2kπ. La fonction h(z) = cos

1z est holomorphe dans un voisinage de zk ne contenant pas 0.

Calculons son developpement de Taylor autour du point zk : il vient : h�(z) =1z2 sin

1z et h��(z) =

−1z4 cos

1z +

−2z3 sin

1z et donc h(z) = 1− 1

2!1z4k(z−zk)

2 + . . .. On a alors 1− cos1z = (z−zk)

2�

12!

1z4k

+ . . .�.

On a donc f(z) =g(z)

(z − zk)2

au voisinage de zk avec g(z) =1»

12!

1z4k

+...

– holomorphe dans ce voisinage

et g(zk) = z4k �= 0.

Notons de plus que le point z0 = 0 est une singularite non-isolee puisque c’est le point d’accu-

mulation des zk, k ∈ Z− {0}.

Remarque. Si une fonction holomorphe f(z) s’annule en un point z0 (par ex. f(z) = 1 + z en

z0 = −1 ou f(z) = 1 − ez en z0 = 2ikπ), alors son developpement de Taylor au point z0 est de

la forme f(z) =

k=∞�

k=1

ak(z − z0)k

et converge absolument dans un disque centre en z0. Il est clair

que, si on met en evidence (z − z0), i.e, si on ecrit f(z) = (z − z0)

�k=∞�

k=1

ak(z − z0)k−1

�la serie

�k=∞�

k=1

ak(z − z0)k−1

�converge aussi absolument dans le meme disque et definit donc une fonction

holomorphe dans ce disque. On peut alors poser g(z) =1��k=∞

k=1 ak(z − z0)k−1

� (si a1 �= 0) dans un

voisinage de z0 choisi de maniere que la serie

��k=∞k=1 ak(z − z0)

k−1�

ne s’y annule pas. Si a1 = 0 et

a2 �= 0, il faut mettre (z − z0)2 en evidence (cas de f(z) = 1− cos

1z en z0 =

1

2kπ).