11/04/231

- Transformées des dérivées

0fpFpdt

dfL

0'022

2

ffppFpdt

fdL

- Théorème de la valeur initiale

ppFtfpt

limlim0

- Théorème de la valeur finale

ppFtfpt 0limlim

?

?

?

?

Les Systèmes Linéaires Continus Et Invariants

- Transformée des signaux usuels

fonction f(t) F(p)

Impulsion 1

Echelon E0 . u(t)

Rampe a . t . u(t)

Exponentielle e−at

------------------ t . e−at

t

p

E0

2p

a

ap 1

21

ap

? ?

? ?

? ?

??

??

11/04/23 2

Déplacement d’un comparateur d’amont en aval d’un bloc

+- pX 3)(1 pX

)(2 pX

H(p) +- pX 3)(1 pX

)(2 pX pH

1

H(p)

?

Les schémas fonctionnels

Déplacement d’un comparateur d’aval en amont d’un bloc

+- pX 3)(1 pX

)(2 pX

H(p) +- pX 3)(1 pX

)(2 pX pH

H(p)

?

11/04/23 3

+ - pXpX r)( pX

)( pX r

A(p) )( pY

B(p)

pBpApA

pH

1

??

- Schéma fonctionnel d’un système automatisé

- Fonction de transfert

11/04/23 4

txKty • Equation de l’intégrateur

• Système du premier ordre

pk

pH

1

- Temps de réponse à ±5%: tr = 3

- Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3

Réponse à une rampe

?

?

?

?(Réponse indicielle)

- Fonction de

transfert- Allures des courbes Réponse

à une impulsion

Analyse Temporelle

11/04/23 5

• Système du second ordre

1

2

020

2

pww

p

kpH

- si 1 : système hyper-amorti.

- Si < 1 : système sous-amorti

La réponse est apériodique

La réponse est pseudo-périodique

?

?

?

?

?

- Fonction de transfert

Temps de montée

21

12

0Wtm ?

arcsinAvec ?

11/04/23 6

Temps du premier maximum (ou temps de pic)

20 1

W

tPic

Dépassements

21max1

eKSSD

Pseudo période

20 1

22

WW

Ta

P

21max1 100100%

e

S

SSD

?

? ?

?

wtXtx sin0 wtYty sin0Si

jwHXY 00 Avec

* Système intégrateur

wKGdb log20log20

90

* Entrée sortie

p

KpH

?

?

? ?

?

jwH

jwHArctg

jwHArg

Re

Im

?

Analyse Harmonique

Lieu de Bode d’un système intégrateur

Diagramme asymptotique d’un système du premier ordre

G (dB)

(°)

log(w)

log(w)

20 log(k)

W=1/

0°

-90°

-45°

* Système du premier ordre 21 w

KjwH

?

* La bande passante

La bande passante à xdb est :

xdbMaxdbfGMaxdbfBP ;

* Système du second ordre

- cas de racines réelles 1

jwHjwHKjwH 21

?

Diagramme asymptotique d’un système du second ordre (racines réelles)

(°) log(w)

G (dB)

log(w)20 log(k)

W=1/

W=1/

droite de pente -20 dB/dec droite de pente -40 dB/dec

0°

-180°

-90°

- cas de racines complexes <1

G (dB)

(°)

log(w)

log(w)0°

-180°

-90°

Diagramme asymptotique d’un système du second ordre (racines complexes)

20 log(k)

W=w0

droite de pente -40 dB/dec

- Facteur de résonance

7,0Pour on définit le facteur :2212

1

M? ?

- Pulsation de résonnance 20 21 wwr ?

11/04/23 14

* Critère de Routh

Condition1:

Une condition nécessaire de stabilité est que les coefficients ai du polynôme soient de même signe

Condition2:

Le système est stable si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh sont de même signe

Performances des Systèmes Asservis

11/04/23 15

0002

001

00

01

02

.

.

.

4

3

00...2

0...1

1

1

321

321

7531

0642

n

un

tn

ssn

rrn

dddd

cccc

aaaa

aaaaa

lignedeN

n

n

nn

nn

nnnn

nnnn

nnnn

nnnn

Tableau de Routh

Avec

1

321

22

n

inn

inn

in a

aa

aa

c

n

inn

inn

in c

cc

aa

d 1

321

n

inn

inn

in d

dd

cc

e 1

1

?

?

?

?

?

11/04/23 16

* Critère du Revers

On utilise le lieu de Nyquist pour la FTBO et la courbe ne doit pas envelopper le point critique (-1,0) dans le plan complexe pour que le système en boucle fermée soit stable

* Marge de gain

BdBG Re1log20

* Marge de phase

180AAOB

pHpG

pXpE1

1

* Forme de l’erreur

?

?

?

11/04/23 17

* Erreur en régime permanent

pHpG

pPXte

Pt 1limlim

0 P

KpHpGFTBO

Pour obtenir une erreur

faible en régime

permanent il faut

augmenter les valeurs de

K et ce qui s’oppose à

la condition de stabilité

Erreur de position

Erreur de traînage

Erreur d’accélération

20 1

K1

1 0 0? ? ?

K

1 0

?

? ? K

1

? ?

?

?

KpC

Type Equation Effet

P Stable pour des valeurs de

K bien déterminé

PI Précis

PD Rapide

PID Précis et rapide

PTKpC

i

11

PTKpC d 1

PT

PTKpC d

i

11?

?

?

?

Correction des Systèmes Asservis