Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 1 - Sries numriques. Chap. 02 : dmonstrations. 1. Sries de rels et de complexes. Thorme 1.1 : condition ncessaire de convergence Si la srie relle ou complexe nu converge, alors la suite (un) tend vers 0 linfini. Dmonstration : Si la srie nu converge, alors la suite (Sn) de ses sommes partielles par dfinition converge, donc la suite (Sn Sn-1)n1 tend vers 0. Or : n 1, Sn Sn-1 = un, et (un) tend vers 0. Thorme 1.2 : critre de divergence grossire Si la suite relle ou complexe (un) ne tend pas vers 0, alors la srie nu diverge. Dmonstration : Cest la contrapose de limplication prcdente. Thorme 1.3 : convergence dune srie tlescopique Une srie tlescopique relle ou complexe nu , avec : n , un = an+1 an, converge si et seulement si (an) est une suite convergente. Dans ce cas, on a : +=+ = 0 nn 0 nnu a ) a lim ( . Dmonstration : Soit (Sn) la suite des sommes partielles de la srie nu . Alors : n , Sn = an+1 a0, et lquivalence ainsi que la valeur de la limite en dcoule. Thorme 1.4 : combinaison linaire de sries convergentes Soient nu et nv des sries relles ou complexes convergentes, et : (,) 2 ou 2. On pose : n , wn = .un + .vn. Alors nwest une srie convergente et on a : +=+=+= + =0 n 0 n 0 nn n nv . u . w . Dmonstration : En notant (Un), (Vn), (Wn) les suites de sommes partielles des sries nu , nv , et nw , on a : n , Wn = .Un + .Vn, et le rsultat se dduit du rsultat identique sur les suites. Thorme 1.5 : quivalence de convergence en cas de produit par un scalaire non nul Soit nu une srie relle ou complexe, un scalaire rel ou complexe non nul. Alors nu converge si et seulement si nu . , et dans ce cas : +=+= = 0 nn0 nnu . u . . Dmonstration : Si nu converge alors nu . aussi comme cas particulier du thorme prcdent. Si nu . converge, alors nu aussi en la multipliant par 1. Thorme 1.6 : cas de trois sries lies par une somme Soient nu et nv des sries relles ou complexes, et : n , wn = un + vn. Alors si deux des trois sries nu , nv , nw , convergent, la troisime converge aussi.Si lune diverge, au moins lune des deux autres diverge. Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 2 - Dmonstration : Si nu et nv convergent, alors nw aussi comme somme de deux sries convergentes. Si nu (par exemple) et nw convergente, alors nv aussi, comme diffrence. La dernire affirmation est la contrapose de la prcdente. Thorme 1.7 : lien entre convergence dune srie complexe et celle de ses parties relle et imaginaire Soit nz une srie complexe, avec : n , zn = an + i.bn, o : (an,bn) 2. Alors nz converge si et seulement si na et nb convergent et alors : +=+=+=+ =0 n 0 n 0 nn n nb . i a z . Dmonstration : En appelant (An), (Bn) et (Zn) les suites de sommes partielles associes, on a : n , Zn = An + i.Bn, et le rsultat dcoule du mme rsultat sur les suites complexes. 2. Sries de rels positifs. Thorme 2.1 : premier critre de convergence pour les sries termes rels positifs Soit nu une srie termes rels positifs.Elle converge, si et seulement si la suite (Sn) de ses sommes partielles est majore. Dmonstration : La suite (Sn) est croissante puisque : n , Sn+1 Sn = un+1. Donc la suite (Sn) converge si et seulement si elle est majore. Thorme 2.2 : rgle des majorants Soient nu et nv deux sries termes rels positifs, telles que : nu converge, n0 , n n0, vn un. Alors nv converge et : +=+=0 0n nnn nnu v . Dmonstration : Notons : n n0, Un = =nn kk0u , et : Vn = =nn kk0v . On a alors : n n0, Vn Un. Or la srie ( termes positifs) nu converge, donc la suite de ses sommes partielles (mme en commenant n0) est majore par un rel M, et : n n0, Vn M. La suite (Vn) est alors croissante et majore par M donc convergente. En passant la limite dans lingalit sur les sommes partielles, on en dduit la dernire ingalit. 3. Sries relles alternes. Thorme 3.1 : critre spcial des sries alternes Soit nu une srie alterne telle que : (|un|) est une suite dcroissante, 0 u limnn=+ . Alors nu converge et sa somme est du signe u0.De plus : n , 1 n1 n kk nu u R+++ = = . Dmonstration : Quitte remplacer toute la suite (un) par (-un), on peut supposer : u0 0. Dans ce cas tous les termes u2n sont positifs et u2n+1 ngatifs. Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 3 - Appelons (Sn) la suite des sommes partielles associe la srie nu . La suite (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.En effet : n ,S2(n+1) S2n = u2n+2 + u2n+1 = |u2n+2| |u2n+1| 0, et :S2(n+1)+1 S2n+1 = u2n+3 + u2n+2 = |u2n+2| |u2n+3| 0,puis : n , S2n+1 S2n = u2n+1, suite qui tend bien vers 0, puisque extraite dune suite qui tend vers 0. Donc (S2n) et (S2n+1) convergent vers la mme limite L, et finalement (Sn) aussi. De plus : n , 0 S1 S2n+1 L S2n+2 S2n S0. Donc dans ce cas L est positif, soit du signe de u0, et aurait t ngatif si on avait suppos u0 ngatif. Enfin : n ,|R2n+1| = L S2n+1 S2n+2 S2n+1 = u2n+2 = |u2n+2|, et : |R2n| = S2n L S2n S2n+1 = u2n+1 = |u2n+1|. 4. Sries relles de signe quelconque, sries complexes. Thorme 4.1 : rgle des quivalents Soient nuet nvdeux sries relles dont les termes de lune gardent un signe constant partir dun certain rang et telles que : n nv ~ u +. Alors : (nuconverge)(nv converge). Dmonstration : On sait donc que (un) et (vn) ont des termes de mme signe partir dun certain rang, et donc quitte les changer en leur oppos, on peut supposer quelles restent positives partir dun certain rang. On peut encore crire : n , un = vn.(1 + (n)), avec :0 ) n ( limn= + . Donc, pour : = 21, n0 , n n0, |(n)| 21, et : 21 (1 + (n)) 23, puis : nu .21 vn nu .23. Par comparaison de sries termes positifs, on en dduit donc lquivalence de convergence des deux sries. Thorme 4.2 : lien entre convergence et absolue convergence Une srie nu relle ou complexe absolument convergente est convergente. Pas de rciproque. Dans ce cas, on a : +=+=0 nn0 nnu u . Dmonstration : Cas dune srie relle. On peut poser : n , un = |un| (|un| un), et on a alors : n , 0 (|un| un) |un|. Donc les deux sries nuet( )n nu usont convergentes et par diffrence, nuaussi. De plus : n , = =n0 kkn0 kku u , et en passant la limite, on a bien : +=+=0 nn0 nnu u . Cas dune srie complexe. On pose : n , un = an + i.bn, avec : (an, bn) 2. On constate alors que : n , |an| |un|, et : |bn| |un|. Donc les sries relles na et nb sont absolument convergentes, donc convergentes (en utilisant des sries relles), et finalement nu converge aussi. En utilisant nouveau lingalit triangulaire, on termine avec : n , = =n0 kkn0 kku u , et en passant la limite, on a toujours : +=+=0 nn0 nnu u . Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 4 - Thorme 4.3 : rgle de dAlembert Soit nu une srie de rels non nuls partir dun certain rang, telle que : kuulimn1 nn=++ . Si : k < 1, alors nu converge absolument, k > 1, alors nu diverge grossirement, (mme si : k = +) k = 1, on ne peut a priori rien dire. Dmonstration : Cas : 0 k < 1. Soit : k < k < 1, et posons : = k k > 0. Alors : n0 , n n0, +kuun1 n, et :' k kuun1 n= + +, donc : n 1 nu '. k u +. Dans ce cas : n n0, nnn nn) ' k .( C u . ) ' k ( u00= , et la srie tant majore partir dun certain rang, par une srie gomtrique convergente est absolument convergente. Cas : 1 < k (ventuellement infini). Comme prcdemment, soit : 1 < k < k. Alors, en adaptant la dmonstration prcdente : n0 , n n0,00nn nnu . ) ' k ( u , et le terme gnral de la srie tend alors vers + donc la srie diverge grossirement. Thorme 4.4 : rgle des petits o Soient nu et nv des sries complexes telles nvsoit absolument convergente. Si de plus : un = o(vn) en +, alors nuest aussi absolument converge. Dmonstration : On sait que : n , un = vn.(n), o est une suite qui tend vers 0 en +. Donc : n0 , n n0, |(n)| 1, et : |un| |vn|, ce qui garantit labsolue convergence de nu . Thorme 4.5 : rgle des n Soit nu une srie relle ou complexe. Si (n.un) tend vers 0, avec : > 1, alors nu converge. Dmonstration : Il suffit de remarquer que les hypothses se rcrivent en : un = ||

\|n1o , en + et que 1 nn1est absolument convergente. 5. Sries remarquables. Thorme 5.1 : sries de Riemann Soit : . La srie n1, avec converge, si et seulement si : > 1. Dmonstration : Soit : un, = +) 1 n (1n1, avec rel. La srie , nuest tlescopique de somme partielle : n , Sn, = 1 +) 1 n (1, et elle converge si et seulement si : 0. De plus : un, 1n~n11 1 .n1+ + (((

||

\|+ = . Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 5 - Soit maintenant : 1. Alors : + , nu .11~n1, o on pose : = 1. Comme les sries considres gardent un signe constant, on en dduit que n1converge si et seulement si , nu converge, soit : 0, ou encore : > 1, puisquon a suppos : 1. Enfin, pour : = 1, on a, pour les sommes partielles : n 1, S2n Sn = 21n 21. nk1n 21 n k= + =. Donc la suite (Sn) ne peut converger puisque (S2n Sn) ne tend pas vers 0, et (Sn) tend vers +. Thorme 5.2 : hors programme, sries de Bertrand Soit : (,) 2. La srie )) n .(ln( n1 converge si et seulement si : > 1, ou : ( = 1, > 1). Dmonstration : Cas : > 1. Soit : 1 < < . Alors : =)) n .(ln( n1.n1)) n .(ln( n1' ', et )) n .(ln( n' tend vers +, car : > 0. Donc :||

\|= 'n1o)) n .(ln( n1, en +, ce qui garantit la convergence de la srie de Bertrand dans ce cas. Cas : = 1, > 1. La srie est termes positifs donc elle converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majore. Or : k 3, t [k 1, k], )) t .(ln( t1)) k .(ln( k1, et : k1 k)) t .(ln( tdt)) k .(ln( k1. Puis : 1n21n2n3 k)) 2 (ln(1.11)) t (ln(1.11)) t .(ln( tdt)) k .(ln( k1 = ((

= . La suite des sommes partielles tant majore, la srie de Bertrand est donc convergente. Cas : = 1, = 1. De la mme faon : k 2, t [k, k+1], )) k .(ln( k1)) t .(ln( t1 , et : )) k .(ln( k1)) t .(ln( tdt1 kk+. Puis : =+ + =n2 k1 n2)) k .(ln( k1)) 2 ln(ln( )) 1 n ln(ln()) t .(ln( tdt, et la suite des sommes partielles tend vers + donc la srie de Bertrand diverge. Cas : = 1, < 1. On minore alors en crivant : n 2, )) n .(ln( n1)) n .(ln( n1, et le terme gnral de la srie est minor par le terme gnral dune srie positive divergente, donc la srie de Bertrand diverge. Cas : < 1. Puisque : n 2, =)) n (ln(n.n1)) n .(ln( n11, et que :+ = + )) n (ln(nlim1n, le terme gnral est l encore minor partir dun certain rang par le terme gnral n1 dune srie positive divergente, et la srie de Bertrand diverge. Thorme 5.3 : srie gomtrique complexe Soit : z .Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 6 - Alors nz converge si et seulement si : |z| < 1 ; elle est alors absolument convergente. De plus, on a : z 11z0 nn=+=.Dmonstration : Pour : z = 1, la srie gomtrique diverge, puisque son terme gnral ne tend pas vers 0. Pour : z , z 1, on a : n , z 1z 1z1 n n0 kk=+=, et cette suite converge si et seulement si : |z| < 1.De plus, dans ce cas, la somme de la srie vaut : z 11z 1z 1lim z1 nn0 nn==++ +=. Thorme 5.4 : exponentielle complexe Soit : z .La srie ! nzn est absolument convergente. On note alors : exp(z) =+=0 nn! nz, et cette fonction concide avec lexponentielle relle sur . Dmonstration : Pour z nul, la srie est videmment convergente. Pour : z *, la srie est absolument convergente en utilisant la rgle de dAlembert.Soit maintenant x un rel, non nul (car dans le cas o : x = 0, lgalit : ex = +=0 nn! nx est immdiate. Alors la formule de Taylor sur [0,x] (ou [x,0]) garantit que : n , cx,n ]0,x[ (ou ]x,0[), ex = n , xc1 n n0 kke .)! 1 n (x! kx+++=. Or comme cx,n reste dans lintervalle ]0,x[ (ou ]x,0[), la quantit n , xceest majore par un rel M indpendant de n. Donc : n ,M .)! 1 n (x! kxe1 nn0 kkx+ +=, et : xn0 kkne! kxlim ==+ , du fait des croissances compares de |x|n+1 et de (n+1)!, soit bien le rsultat voulu. Thorme 5.5 : convergence du produit de Cauchy de deux sries absolument convergentes Le produit de Cauchy de deux sries relles ou complexes nu et nv absolument convergentes est une srie nw absolument convergente et on a :||

\|||

\|= +=+=+= 0 nn0 nn0 nnv . u w .Dmonstration : Pour : n , = = + = = + = =n0 k k q pq pn0 k k q pq pn0 kkv . u v . u w . La dernire somme porte en fait sur tous les couples : (p,q) 2, avec : p + q n. Or lensemble de ces couples est inclus dans {(p,q) 2, 0 p n, 0 q n}.Comme de plus les termes que lon ajoute en remplaant le premier ensemble dindices par le second sont tous positifs, on a donc : n , |||

\||||

\||||

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\|= +=+= = = = = = = + = 0 qq0 ppn0 qqn0 ppn0 pn0 qq pn0 k k q pq pn0 kkv . u v . u v . u v . u w . La suite des sommes partielles de la srie termes positifs nwtant majore, la srie nwconverge et nw est absolument convergente. De plus : n , = = + ==n 20 k k q pq pn 20 kkv . u w , et lensemble des couples concerns par cette dernire Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 7 - somme est la runion de {(p,q) 2, 0 p n, 0 q n} et dun ensemble En. Donc : n , = = = = =+|||

\||||

\|= + =' E ) q , p (q pn0 qqn0 pp' E ) q , p (q pn0 pn0 qq pn 20 kkn nv . u v . u v . u v . u w . Enfin : (p,q) En, p n+1, et : q n+1. Donc : |||

\||||

\|= ++ = ++ = ++ = ++ = 1 n qq1 n pp1 n p 1 n qq p' E ) q , p (q p' E ) q , p (q pv . u v . u v . u v . un n, ces majorations tant justifies par le fait que les sries majorantes sont toutes convergentes. Or le produit qui apparat la fin est le produit de deux restes dordre n de sries convergentes, et donc ce produit tend vers 0 quand n tend vers +, et la valeur absolue de la somme majore aussi. Finalement : + +=+= =+ +|||

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\|=' E ) q , p (q pn0 qq0 ppn 20 kknnv . u lim v . u w lim , do : |||

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\|= +=+=+= 0 qq0 pp0 kkv . u w . 6. Complments. Thorme 6.1 : constante dEuler La somme partielle Hn de la srie harmonique 1 nn1admet un dveloppement asymptotique en + qui scrit :) 1 ( o ) n ln(k1n1 k+ + ==, en +, o vaut environ : 0.577, et est appele constante dEuler. Dmonstration :On pose : n 1, un =) n ln(k1n1 k=, et : vn = un+1 un. Alors la srie 1 nnv est tlescopique. De plus : vn = ||

\|+ =||

\|+ + ||

\|+ =||

\|+ +2 2 2 21n1on . 21n1on . 21n1n11 .n1n11 ln1 n1. La srie 1 nnv est alors absolument convergente et par consquent la suite (un) converge. Si on note cette limite , on peut alors crire : un = + (n), o est une suite qui tend vers 0 en +. On en dduit bien le dveloppement asymptotique de Hn annonc. Thorme 6.2 : formule de Stirling En +, on a :n . . 2 . e . n ~ ! nn n +. Dmonstration : Soit, pour : n *,n1.ne !. nunnn= , et : vn = ln(un+1) ln(un). La srie nv est tlescopique et converge si et seulement la suite (ln(un)) converge. Or : n *, vn =||

\| + + ||

\|+=|||

\|+n1 nln .21) e ln(1 nnln . nuulnn1 n. On utilise alors un dveloppement limit en n1 lordre 2 en +, et : n *, vn = ||

\|+ ||

\|2 2n1on1.121. La srie nv est donc termes ngatifs partir dun certain rang et son terme gnral est quivalent en + celui dune srie de Riemann convergente. Donc nv converge vers une limite L. Par consquent, (ln(un)) converge vers [L + ln(u1)], et (un) converge vers un rel strictement positif K gal lexponentielle de la limite prcdente, du fait de la continuit de lexponentielle sur . On en dduit que : un +~ K, puis :K . n . e . n ~ ! nn n +. Chapitre 01 Suites et sries numriques. - 8 - La valeur de K enfin, peut tre obtenue en passant par les intgrales de Wallis.On peut poser pour cela : n , =20n 2ndt ). t ( sin I . On montre que : n.21~ In +, puis que : 2.! n . 2)! n 2 (I2 n 2n= .On en dduit finalement : K = . 2 .