Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'unepart il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sacomposition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Etude d'un lambdametre

Le problème se décompose en trois parties corrélées entre elles : une théoriegénérale sur les interférences (première partie), l'interféromètre d e Michelson(deuxième partie) et la conception d'un lambdarnètre (troisième partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

• l e s explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titreque les développements analytiques et les applications numériques;

• t o u t au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à lacompréhension du problème ;

• t o u t résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pasété démontré par les candidat(e)s ;

• l e tracé de la fonction sinc(x) est donné dans l'annexe en fin d'épreuve, ainsi que desformules trigonométriques utiles.

Les lambdamètres permettent de mesurer avec une excellente précision lalongueur d'onde d'une source laser. Sans mettre en oeuvre un lourd dispositif despectroscopie, i ls s ont basés s ur des principes d'interférométrie. L e principe dulambdamètre décrit dans ce problème est dérivé de l'interféromètre de Michelson.

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Devoir n°14 - Le 27 janvier - 4 heuresÉpreuve de Physique

CPGE Dupuy de Lôme - PC Physique 2012/2013

2

La propagation de l'onde lumineuse s'effectue dans un milieu transparent, diélectrique,linéaire, homogène et isotrope (DL HI).

La vitesse de la lumière dans le vide est notée c = 3.108 m . s- 1 PREMIERE PARTIE

INTERFERENCES

Les grandeurs harmoniques seront représentées en notation complexe.Une source lumineuse ponctuelle située en S émet, de manière pulsée, des trains

d'ondes lumineuses supposées de même pulsation a). Dans le modèle scalaire de la lumière, lafonction de l'onde monochromatique est caractérisée en un point M et à l'instant t par le signallumineux ou vibration lumineuse : s(A4,t) = a cosLcot—v(M,t)1, où a est l'amplitude supposéeconstante de l'onde et ç (4,1) son retard de phase en M et à l'instant t par rapport au point deréférence S.

Par convention, la grandeur complexe associée à la grandeur réelle s(M, t) est le signal

analytique : s(gt)— a expp (cot—v(M, 01, où j est le nombre complexe pour lequel i2 = - 1Le complexe conjugué de s(M,t) est noté s * (M, t) •

Le modèle des trains d'ondes suppose que la phase à la source ços r e s t e c o n s t a n t ependant des intervalles d e temps de durée constante r

c e n t r e l e s q u e l s e l l e c h a n g ealéatoirement de valeur. L'onde émise durant cet intervalle de temps appelé temps decohérence est nommée "train d'onde". Le train d'onde est ainsi limité dans le temps et sepropage dans le vide à la célérité c. La phase de l'onde gs à l a s o u r c e S p r e n d u n e n o u v e l l e

valeur aléatoire à chaque nouveau train d'onde,

A / Rayon lumineux

La lumière se propage de S à M le long d'un rayon lumineux avec pour vitesse au point

P :y (P)— c n P), où n (P) est l'indice de réfraction du milieu en P ; par définition, le chemin

(

optique (SM) entre les points S et M du rayon lumineux est : (SM) — SA: n ( P ) d £ ( P ) • L ' é l é m e n td'arc de la courbe suivie par la lumière est noté d£(P) ; il est défini en P et est parcouru par lalumière à la vitesse de propagation y (P) pendant la durée dt.

1) Chemin optique et phase du signal lumineux

L'onde se propage sans déformation, le signal s(M,t) reproduit le signal de la sourceavec un retard r (M).

A ra . Re lie r le chemin optique (SM) à la durée de propagation du signal t (M) Conclure quantà l'interprétation du chemin optique.

A rb . Calcu ler l'ordre de grandeur de la pulsation 0)„ d u signal lumineux Dans le domainevisible, pour une longueur d'onde moyenne dans le vide 2r, , d e l ' o r d r e d e 6 0 0 n m ,

calculer l'ordre de grandeur de la pulsation 0), du signal lumineux.

A rc . Etab lir l'expression du retard de phase cp p_m = ( M , t ) - - ( P , t ) l i é à l a p r o p a g a t i o n e n t r e

P e t M, en fonction du chemin optique (PM) e t de la longueur d'onde X0 d e l ' o n d eétudiée dans le vide.

3

2) Surface d'onde

A ra . Défi n ir une surface d'onde. Justifier le caractère d'onde sphérique associé au signallorsque celui-ci se propage dans un milieu d'indice n constant. Enoncer le théorème deMalus.

A rb . Que l instrument d'optique permet d'obtenir une onde plane à part ir d'une sourceponctuelle ? Illustrer votre réponse à l'aide d'un schéma faisant apparaître les surfacesd'onde.

L'éclairement (ou intensité lumineuse) e( o) est mesuré par un détecteur quadratiqueplacé en M sensible à la valeur moyenne temporelle de s2( M , t ) . I l e s t c o n v e n t i o n n e l l e m e n t

défini au point M (à une constante multiplicative près) par.

e(m)-, ( 50 14 ,0 .5 * (go) (1s (go 2)

Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse rR d u d é t e c t e u rtoujours très grand devant les temps de cohérence temporelle des sources supposés

identiques à rc. C e t e m ps d e c o hé r en c e est la durée moyenne de passage des trains d'ondes

en un point donné de l'espace.

B I Interférences entre deux sources ponctuelles

L'éclairement e(m) résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deuxsources ponctuelles Si e t 5 2 d e l o n g u e ur s d ' o nd e s d an s le v id e d i f fé r e nt e s Xi et 2 ‘,2. Elles sont

notées respectivement.si(M,t)= a1 cos[w1t-ço1(M,0] et s2(M,t)- a2 cos[co2t-v2(A4,0].

Exprimer l'éclairement e (M) en fonction des intensités ïl e t e 2 d e c h a c u n e d e s o n d e s ,

de leurs pulsations respectives (01 e t 0 02 e t d u d é p h a s a g e t l i O E

2/1 ( siVi. t) t ) - q),(M, t) del'onde issue de S2 par rapport à l'onde issue de Si. I d e n t i fi e r l e t e r m e d ' i n t e r f é r e n c e s .

B rb . A quelle condition, relative au te rme d'interférence, observe-t-on des interférenceslumineuses en M ? Les ondes sont alors dites cohérentes. Que vaut l'éclairement e (m)pour des ondes incohérentes ? Qualifier cet éclairement.

Bl*c. Est-il possible d 'observer d e s interférences e n t re d e u x sou rces d e pulsationsdifférentes ? Justifier votre réponse.

Bra .

B rd . Que l phénomène observe-t-on lorsque les deux sources admettent des longueursd'onde très proches ?

L'éclairement e(M) résulte maintenant de la superposition en M de deux ondes issuesde deux sources ponctuelles Si e t S 2 d e m ê m e l o n g u e ur d ' o n de 2 . E l le s s on t n o té e s

respectivement.si(M,t)- cos[coot-çoi(M, 0] et s2(M,t)= a2 cos[co0t-ço2(A4,0].

B ra . Déterminer le déphasage 4 )2 ) 1( M , t ) ( p2( M , t ) ( pl( M , t ) e n f o n c t i on d e l a l o n g ue u r d ' on d e

dans le vide 2, d e l a d i f f é re n c e de c he mi n o pt iq ue notée 82 11( M) = (S,M) - (S,M) et des

phases cps i e t 9 ,2 d es s ig na ux émis aux points sources Si et S2• Pourquoi le

déphasage b,,,(M,t) dépend-il du temps ?

Br b. Deux ondes synchrones donnent-elles nécessairement des interférences ?

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Le contraste (ou visibilité) du phénomène d'interférences est défini par :

Pour des ondes lumineuses parfaitement cohérentes, l'évolution de l'éclairement e ovo

est défini en fonction du déphasage 02/1 (M) par: e(t4) =el + e2 2 e .1 c o s ( 02 n( M ) ) .

B3. T r a c e r i(M) en fonction de 1)211 (M). Exprimer et préciser sur le graphe les éclairementsmaximum MAXe et minimum e n fonction de e t e2. Déterminer le contraste e enMNfonction de e t e2. Dans quelle situation le contraste est-il maximal ?

C / Figures d'interférences créées par deux sources ponctuellesmonochromatiques cohérentes

Deux sources lumineuses ponctuelles Si et S2 émettent dans le vide deux ondesmonochromatiques de même longueur d'onde 20, d e m ê m e a m p l i t u d e ao e t e n p h a s e e n l e u r s

origines respectives Si e t S 2 • C e s s o u r ce s d i s t an t e s de b s on t s y mé t r iq u es par r ap po rt à C

(figure 1). L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l'une des deux sources, est noté io Un écran (E) d'observation est parallèle à la droite des sources et situé à une distanceD de celles-ci. La droite normale à l'écran passant par C définit l'axe du système et cet axecoupe l'écran en B. Les sources Si e t S 2 s o n t d a n s l e p l a n ( B X Z ) .

Le point M, de coordonnées (X, Y, 0) dans le repère BXYZ, es t un point de l'écranproche de B. Il est suffisamment éloigné des sources pour que D » b, D » X et D » Y.

Cra. Comment réalise-t-on de telles sources ? Quel est l'éclairement e(m) au point M enfonction de la différence de marche 82 1 1( M ) - ( S , M ) - ( S , M ) , d e 20 e t ?

Cr i) . Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 32 1 1( M ) ( S2M ) ( S1M ) .

En déduire l'éclairement e(X) au point M de l'écran en fonction de X, b, D, X,0 et eo•Quelle est la forme des franges d'interférence observées ?

Cl*c. Définir l'ordre d'interférence p(M) au point M. Préciser en le justifiant p(M) lorsque• l a frange d'interférence en M est brillante,• l a frange d'interférence en M est sombre.

Cl*d. Définir et exprimer l'interfrange i en fonction de 2\,0, b e t D .

F igur e 1

•

4

, eMAX e M I Ne97, 97,

MAX M I N

D

L'écran (E) est maintenant placé perpendiculairement à la droite S1S2 e n B s u p p o s écentre de l'écran (figure 2). I l est situé à une distance D du point milieu C entre les deux

sources. Un point M du plan d'observation est défini par p = BM, avec D » b et D » p.

Cra . Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 82 1 1( M ) ( S2M ) — ( S , M ) e n

fonction de b et de l'angle 0 ( C B , CM)

C213. Exprimer l'éclairement e (0) au point M de l'écran en fonction de 0, b, X0 e t eo, p u i s e n

fonction de p, D, b, X0 e t eo,

C rc . Justifier la forme des franges d'interférences obtenues. L'ordre d'interférence p(M) en Mest-il croissant ou décroissant à partir du centre B ? Justifier la réponse.

Figure 2

(E)

D

5

S2 •

DEUXIEME PARTIEINTERFEROMETRE DE MICHELSON 1

Les ondes se propagent dans le vide.La figure 3 correspond au schéma de principe de l'interféromètre de Michelson. Les

miroirs sont réglés de telle sorte que sont observés, par projection à l'aide d'une lentilleconvergente (L), des anneaux d'interférence circulaires sur le plan d'observation (E). Ce planest situé dans le plan focal de la lentille (L) celle-c i est parfaitement stigmatique, de distancefocale image f' et son axe Oz coupe l'écran en B. Posons OB D .

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L'interféromètre supposé idéal est constitué :

• d ' u n e lame semi-réfléchissante dite séparatrice (Se) q u i r é fl é c h i t l a m o i t i é d e l a l u m i è r e

qu'elle reçoit ; l'origine 0 du repère est centrée su r la séparatrice qu i fait un angleinvariable de / 4 avec les axes Ox et Oz; les déphasages introduits par la séparatricene sont pas pris en compte car ils sont compensés par une lame compensatrice (nonreprésentée sur la figure 3) réglée parallèlement à la séparatrice.

• d e deux miroirs réglables (Mi) e t ( M2) p a r f a i t e m e n t p l a n s , p e r p e n d ic u l a i r e s au p la n de la

figure et dont les orientations fixes font un angle égal à 7114 par rapport à l'orientation dela lame séparatrice (Sp) ; le miro ir (Mi) e s t s u s c e p t i b l e d e s u b i r u n m o u v e me n t d e

translation parallèlement à la direction Oz alors que le miro ir (M2) r e s t e fi x e , l a d i s t a n c e

qui le sépare de l'origine 0 est notée Lo•

Seules seront considérées des ondes ayant été réfléchies une et une seule fois sur lalame séparatrice. A partir de la situation de référence où (Mi) e s t c o n f o n d u a v e c l ' i m a g e d e

(M2) p a r la séparatrice (Sp), l e miro ir (Mi) s u b i t u n e t r a n s l a t i o n d e l o n g u e u r e c o m p té e

positivement si le miroir s'éloigne de la séparatrice.

Figure 3

Ls

(E)

et

7

6

D I Anneaux d'égale inclinaison

image de M2 par4 - -

la séparatrice

(M2)

A

plan focal imagede la lentille

L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l'une des deux sources est noté eo.

La source ponctuelle S monochromatique, d e longueur d'onde 20, e s t p l a c é e à l a

distance finie Ls S O de la séparatrice. Le système optique constitué de (Sa) , ( Mi) e t ( M 2 )

donne deux images Si e t S 2 d e l a s o u r ce S . Si c o r r es p o nd aux r ay on s qui r e nc o nt r en t ( Mi) et S2

aux rayons qui rencontrent (M2).

La lentille (L) est stigmatique et n'introduit aucune différence de marche.

7

Dra. Préciser les coordonnées de Si e t S 2 d a n s l e r e p è r e O x z . E n d é d u i re l a d i s t an c e S1S2 en

fonction de e.

Orb. La distance qui sépare les points M et B sur l'écran (E) est notée p =BM. Avec lacondition p « ' , exprimer la différence de marche 811 2( M ) ( S , M ) ( S2M ) e n f o n c t i o n

de e et de l'angle 0 =- ( O ' B4O ' M ) , p u i s e n f o n c t i o n d e p , e e t f ' I l l u st r e r la

démonstration par un schéma explicatif faisant apparaître Si, S2, (L) et (E).

Déterminer, en fonction de e, la différence de marche A - 8(B) obtenue en B pour p O .

DVa. Exprimer l'éclairement e(p) obtenu en M en fonction de p, e, ' , o et E n déduire quela figure d'interférence projetée sur (E) est constituée d'anneaux concentriques centréssur B.

D2*1). Le centre B des anneaux correspond à un maximum d'intensité. Quel est l'ordred'interférence po, supposé entier, au centre des anneaux ? Déterminer le rayon pk d uOrne anneau brillant compté à partir du centre en fonction de e, ' , X0 et de son ordre

d'interférence pl,•Drc . Exprimer k en fonction de po et pk ; en déduire l'expression de p

k e n f o n c t i o n d e e , f ,

et k. Déterminer pk e n f o n c t i on d e k e t d e pl, le r ay on du p re mi er a nn ea u compté à partir

du centre.

Drcl. Quel est le phénomène observé sur l'écran quand l'interféromètre est réglé au contactoptique (c'est-à-dire quand e 0 ) ?Décrire, en la justifiant, l'évolution des anneaux lorsque la valeur de l'épaisseur e de lalame d'air est progressivement augmentée

• les anneaux semblent-ils "entrer" ou "sortir" du centre ?• y a-t-il un nombre croissant ou décroissant d'anneaux visibles sur l'écran ?

DVe. Une lame à faces parallèles d'indice ni a m e e t d ' é p a i s s e u r e! a m e = 8 p m e s t a j o u t é e d e v a nt

et parallèlement au miroir mobile (Mi) . P o u r u n e s o u r c e m o n o c h r o m at i q u e d e l o n g ue u r

d'onde X,0 - 5 0 0 n m, un b ru sq ue d ép la ceme nt de 16 anneaux brillants au centre est

alors observé. Evaluer numériquement l'indice de la lame nia m e.D3. Es t - i l indispensable, dans ce montage, de placer l'écran (E) dans le plan focal de lalentille (L) pour observer des interférences ?En serait-il de même si une source étendue incohérente était utilisée ?

E / Analyse d'interférogrammes

Le miroir (Mi) e s t m o b il e e n tr e e 0 et e L,„ > 0).

Un détecteur ponctuel est placé au centre B du système d'anneaux. I l délivre un signalélectrique u (A) proportionnel à l'éclairement qu'il reçoit, ce signal dépend de la différence demarche

L'accroissement de e par translation du miro ir (A41) e n t r a î n e u n e v a r i a t i o n d u c h e m i n

optique en B de t i — 0 à z i 4 „ „ et, p a r conséquent, u n défilement des anneaux, L edéplacement de (Mi) est contrôlé par un dispositif informatique qu i enregistre dans le mêmetemps l'éclairement 4 4 en B. On appelle in terférogrammel'(A) l'enregistrement de l'évolutionde l'éclairement e- e n f o n c t i on d e A

L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l'une des deux sources est noté e'o•

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8

1) Source monochromatique idéale

L'interféromètre est éclairé par une source ponctuelle, monochromatique, de longueurd'onde 20 e t d e p u ls a ti o n No.

Era. Exprimer l'éclairement «A) en fonction de A, wo, eo e t d e l a c é l é r i t é d e l a l u m i è r e c .

Elia. Représenter l'interférogramme eA) en fonction de A et indiquer ses paramètrescaractéristiques.Justifier qu'au cours du déplacement du miroir ( Mi) à l a v i t e s s e c o n s t a n t e V , u n

scintillement de fréquence u proportionnelle à V est visible au centre B des anneaux.

Ce scintillement est détecté au moyen d'une photodiode.

2) Source délivrant deux ondes de pulsations voisines

La source émet, avec la même intensité, deux ondes monochromatiques de pulsations1

(01 et (02 voisines de la pulsation moyenne co, —2( c o , + c o , ) , a v e c c Y c o = ( c o , - -c o , ) « 00.

Era. Déterminer l'éclairement e(A) en fonction de A, coo, eo, c e t d e l ' é c a r t w = w , —

Montrer que son expression diffère de l'éclairement de la question El*a précédente parle facteur y (A) appelé degré de cohérence temporelle qui sera précisé.

Erb. Exprimer le contraste (e(A) des franges d'interférence. Représenter i(A) en fonction deA, en indiquant les paramètres caractéristiques de l'interférogramme.

Lors du déplacement du miroir (Mi), le contraste varie périodiquement et s'annule endes points dits "points d'anticoïncidence" ; il y a alors brouillage de la figure d'interférence.

L'interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de sodium de longueur d'ondemoyenne /I, 6 0 0 nm (valeur adoptée pour faciliter les calculs). Lors de la translation dumiroir (Mi), u n éclairement uniforme d e l'écran es t observé — i l correspond à uneanticoïncidence — pour deux valeurs successives de l'épaisseur e de la lame d'air obtenueentre (Mi) e t l ' i ma g e de ( M2) par la s ép ar at ri ce . Entre ces deux annulations de la visibilité des

franges, 1000 scintillements sont comptabilisés par la photodiode en B.

Erc . Déterminer numériquement l'écart 8X entre les deux longueurs d'onde du doublet ainsique ôe, la longueur de déplacement du miroir (Mi).

3) Source à profil rectangulaire

Pour simplifier les calculs, la source lumineuse est supposée présenter un spectrerectangulaire de largeur spectrale Sco. L'intensité véhiculée dans chaque bras du Michelson,indépendamment l'un de l'autre, s'écrit : d0 • - = - 3 d a ) s i c o E [ t o —( 5 9 c o + —S e ) e t e l l e e s t

Sa) 2 2nulle partout ailleurs.

Era. Déterminer, par un calcul intégral, l'éclairement e(A) en fonction de A, coo, eo , c et &o.Quelle est l'expression du degré de cohérence temporelle y (A) ?

E313. Exprimer de contraste ( A ) des franges d'interférence. Représenter e(A) dans le casoù 8co « 04. Indiquer les paramètres caractéristiques de l'interférogramme.

E3*c. Montrer que les franges d'interférence restent bien contrastées tant que A vérifie larelation : lAI A . Exprimer A, en fonction de c et ôw, puis en fonction de e t i52.

Ac est appelé longueur de cohérence.

9

Chaque train d'ondes possède une phase à l'origine 9s a l é a t o i r e a u c o u r s d u t e m p s .

est limité dans le temps par sa durée de cohérence 7, et dans l'espace par sa longueur decohérence Ac= c Tc.

Eed. Précisez la signification de A, et commenter la condition d'interférences 1A1

L'interféromètre de Michelson est éclairé par une lampe basse pression de longueurd'onde moyenne 20 = 6 0 0 n m e t d e l a r ge u r de r ai e 62 = 10- 2 nm .

Eee. Evaluer sa longueur de cohérence. Répondre à cette même question dans le cas d'unlaser de longueur d'onde X, -600 nm et dont la largeur de raie vaut 8X, - 10- 6 n m . Q u edire de la longueur de cohérence d'une source parfaitement monochromatique ?Commenter.

F / Analyse spectrale de l'interférogramme

Partant de l'interférogramme, u n système informatique calcule numériquement latransformée F(co) de l'éclairement e(A). Cette transformée est définie par l'intégrale :

F (co) = ( z i ) c o s e j d A0

Fl*a. Calculer F(w) dans le cas d'une source idéale monochromatique de pulsation wo :

e(A) eo [ 1+ cos

Représenter l'allure de la courbe F(w) Montrer qu'elle présente trois pics dont vouspréciserez

les amplitudes en fonction de ïo e t A m a xla largeur -Wbase de leurs bases (voir annexe) en fonction de A

m a x e t d e c .Que devient F(0)) lorsque Am a x d e v i e n t t r è s g r a n d ?

F1*13. En déduire, sans calcul, l'allure de la courbe F(w) obtenue pour une source émettantdeux ondes de pulsations col e t ( 02 v o i s i n e s d e l a p u l s a t io n m o y en n e c oc, et de m êm e

intensité ( w, ( 01 ) .Un spectromètre a pour fonction de séparer deux radiations de pulsations voisines col e tc02. Il permet d'accéder à ces pulsations, de mesurer leur écart fréquentiel Sco, ( c o

2 - c oi) a i n s i

que les intensités relatives des deux radiations. L e paramètre le plus important pourcaractériser cet appareil est son pouvoir de résolution : il estime la capacité du spectromètreà séparer deux pulsations très voisines.

Le critère "d'éloignement" adopté pour évaluer l'ordre de grandeur de la limite derésolution du spectromètre est le critère de Rayleigh : le plus petit écart mesurable est obtenulorsque deux pics de deux radiations différentes sont distants d'une demi-largeur de base (voirannexe), autrement dit lorsque le maximum principal de l'un correspond à la premièreannulation de l'autre.

Fl*c. Estimer le plus petit écart spectral Aw, w , -w qui puisse être observé par ce dispositifen fonction de c et Amax•Le pouvoir de résolution 9f du spectromètre est défini par : - c 'ilcoR

F2. M o n t r e r que le pouvoir de résolution ,W du spectromètre est fixé par le nombre Nm a x d emaxima d'intensité enregistrés par le détecteur lors de la course finie de l'interféromètre.

Commenter.

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TROISIEME PARTIE

IDOUBLE I N TE R FE R OM E TR E DE MICHELSON : LAMBDAMETRE

Le lambdamètre (figure 4) a été élaboré pour mesurer rapidement la longueur d'onded'un laser stabilisé. Il se présente comme un double interféromètre de Michelson qui comparela longueur d'onde inconnue d'un laser stabilisé avec la longueur d'onde connue d'un laser deréférence : le laser Hélium-Néon stabilisé sur la raie d'absorption "i" de l'iode à À - 632,8 nm

Le lambdamètre ne nécessite qu'une séparatrice (Sp), deux coins de cube identiques etun miroir réglable (M). Tous les angles de réflexion sont égaux à 1r/4.

Les "coins de cube" sont des réflecteurs qui ont la propriété de renvoyer la lumière dansla même direction que celle de réception. Ils sont en verre d'indice n = 1,5 et les trois angles ausommet font chacun 90° avec une précision meilleure que la seconde d'arc. Un rayon lumineuxtombant sur une des trois faces du coin va se réfléchir trois fois successivement et donc sedécaler faiblement en position pour ressortir parallèlement à sa direction incidente.

Le coin de cube 2 est mobile, il se déplace verticalement dans une enceinte où le videest réalisé. I l est suffisamment lourd pour rendre les frottements négligeables lors de latranslation. l i est attaché à la poulie d'un moteur pas à pas par l'intermédiaire d'un fil et guidédans un tube en inox. Les concepteurs ont cherché à se rapprocher le plus possible de la chutelibre.

Les longueurs d e cohérence d u laser étalon e t d u laser C O2 s t a b i l i s é s o n trespectivement de l'ordre de 300 m et 30 km,

Figure 4

Laser étalonHe-Ne

i>1

LASER 1

Laser CO2LASER 2

S2

vide

10

Données : 3 1 6 0 5 5 6 x0 , 6 3 2 8,2 ; -\/ 0 , 2 - 0 , 4 5

(L2 )

r t(m) 1 ( D2)

( S p )

coin de cube 2mobile

coin de cube 1fixe

11

Gra. Le rayon issu du laser 1 arrive en A sur la lame semi-réfléchissante représenter sur unschéma les chemins optiques des deux rayons qui vont interférer.L'anneau central de la figure d'interférences est détecté par la photodiode (Dl)»

Grb. Le rayon issu du laser 2 arrive en B sur la lame semi-réfléchissante représenter sur unschéma les trajets optiques des deux rayons qui vont interférer.L'anneau central de la figure d'interférences est détecté par la photodiode (D2).Grc. Comparer les différences de marche pour les lasers 1 et 2 respectivement aux centres(D1) et (D2) des deux figures d'interférences.

Le laser 1 est le laser étalon de longueur d'onde A, —632,8 nm. Le laser 2 est un laserC O2s ta bi l is é dont la longueur d'onde À2 est à déterminer. Lors de la chute du coin de cube 2,

un compteur évalue à pl — 3 1 6 0 5 5 6 l e n o m b re d e s c i n t il l e m e nt s d é te c té s par ( D1) et, dans le

même temps, p2 — 1 8 8 6 7 9 s c i n t il l e m en t s s on t d ét ec té s par (1)2) .

G2. A l'aide de ces mesures, évaluer 22 (en pm).

G3. C i t e r deux avantages de l'utilisation des coins de cubes pour le fonctionnement dulambdamètre. Pourquoi le vide a-t-il été établi sur la longueur de déplacement du coinde cube ? Commenter le pouvoir de résolution du double interféromètre ainsi constitué.

G4. Calc u ler la hauteur de chute e du coin de cube mobile. Comparer à la longueur decohérence des lasers et commenter.

G5. Déterminer la durée tc h u t e d e l a c h u t e s u p p o s ée l i b re d u c o in de c u be , s a ch a nt que

l'intensité du champ de pesanteur est g = 10 m.s-2. C o m m e n t e r .C6. L e comptage des franges s'effectue à la frange près. En considérant que la longueurd'onde étalon Xi e s t c o n n ue s a ns i n c er t i t ud e , i nd iq ue r l ' in c er t it u de r el at iv e sur

l'évaluation de 22. C o m m en t e r .

ANNEXESsinc(x)

1

1Formules trigonométriques :

i

cos a + cos b - 2 cos a+b1cos [a -b -2 2 _

_

1

sina-sinb =2 cos[a +ID- sin[a -b12 [ 2 ]2 cos a • cos b = cos (a + b) + cos (a --b)

FIN DE L'EPREUVE

largeur de base