МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

Сборник задач по кинематике для подготовки к защите расчетно-графических работ

Методические указания

для студентов всех направлений подготовки и форм обучения

Казань 2012

2

Сборник задач по кинематике для подготовки к защите расчетно-графических работ: Методические указания для студентов всех направлений подготовки и форм обучения / Сост.: А.В. Гумеров, Ф.Г. Шигабутдинов. Под редакцией Ф.Г. Шигабутдинова. Казань: КГАСУ, 2012. – 28 с. Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета Методические указания предназначены для проведения практических занятий, оперативного контроля знаний на зачетах, при приеме расчетно-графических работ, при допуске к экзамену и могут быть использованы студентами для самоконтроля. Все задачи имеют ответы.

Рецензент Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой

сопротивления материалов КГАСУ, профессор Р.А. Каюмов

УДК 531.8 ББК 22.21 Г94

Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 2012

Гумеров А.В.,

Шигабутдинов Ф.Г., 2012

УДК 531.8 ББК 22.21

Г94

3

От авторов

Вам предлагается сборник задач, который по степенно нужно прорешать при подготовке к сдаче очередной расчетно-графической работы. Выполнение расчетно-графической работы по теоретической механике с последующей ее защитой занимает очень важное место во всей системе обучения в высшей школе. Важность этой учебной работы определяется тем, что она способствует: закреплению теоретических знаний по предмету, приучает к самостоятельной работе с учебными источниками, способствует выработке навыков преодоления трудностей, возникающих при любой проектной работе, является своеобразным учебным «отчетом» по выданному учебному заданию.

Особое место при выполнении и защите работы занимает умение решать задачи. В задачнике включены простые задачи, позаимствованные из сборника [3] и сборника коротких задач 4. Этот сборник используется в Российской высшей школе уже не одно десятилетие, по нему учились и защищали свои расчетно-графические работы многие поколения студентов. Поэтому всякие разговоры о трудности выбранных авторами задач не соответствует действительности. Умение решать эти задачи нужно считать минимумом, ниже которого будущему инженеру нельзя опускаться.

Если кому-то выбранные нами задачи покажутся легкими, мы отсылаем их к сборнику 3. В сборнике задач приведены и задачи с решениями [2]. С этих задач и задач приведенных в других рекомендованных источниках [5,6] и надо начинать работу.

Просмотрите решение, ознакомьтесь с теорией [1], просмотрите решение еще раз, а затем приступайте к решению задач самостоятельно. НЕ оставляйте не понятой ни одну задачу. Если после многократных усилий задача все же не решается, обратитесь к преподавателю на консультации. Успехов Вам.

4

1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Траектория и уравнения движения точки

По заданному уравнению движения точки на произвольно выбраннойтраектории построить через равные промежутки времени шесть положенийточки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечногоположения точки и пройденный ею путь за указанный промежуток времени (sи – в см, t – в секундах).

1) 245 tts , 50 t . (s = 10 см, = 13 см) 2) 221 tts , 5.20 t . (s = –0.25 см, = 3.25 см)

По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории вкоординатной форме и указать на рисунке направление движения.

1) ,53 tx ty 24 . (Полупрямая 0232 yx с началом в т. (–5; 4))

2) ,2tx 28ty . (Правая ветвь параболы 22xy с началом в т. (0; 0))

3) ,10sin5 tx ty 10cos3 . ( 1925 22 yx с началом в т. (0; 3))

Кривошип ОА вращается с постояннойугловой скоростью 10 рад/с. Найтиуравнения движения и траекторию среднейточки М шатуна. Длина ОА = АВ = 80 см. 1) ,10cos120 txМ tyМ 10sin40 .

2) 140120 2222 yx .

В

А

О =t

х

у

Положение линейки АВ определяется угломt5.0 . Определить проекцию скорости точки

М на ось Ох в момент времени t = 2 c, еслирасстояние ВМ = 0.2 м. (– 8.41)

В

А

О

х

у

М

1.1

1.2

1.4

1.5

По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории,а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние отначального положения точки.

1) ,3 2tx 24ty . (Полупрямая 034 yx ; 25ts )

2) ,sin3 tx ty cos3 . (Окружность 922 yx ; ts 3 )

1.3

М

5

Постоянное ускорение точки

Молот, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0.02 с доостановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальнуюскорость движения сваи, считая его равнозамедленным (6 м/с)

Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получаетзамедление, равное 0.4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда настанцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение. (50 с, 500 м)

Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определитьзамедление его при посадке на пути l = 1200 м, считая, что замедлениепостоянно. (5.15 м/с2)

Самолет при посадке касается посадочной полосы с горизонтальнойскоростью 180 км/ч. После пробега 1000 м самолет останавливается.Определить модуль среднего замедления самолета. (1.25)

1.6

1.7

1.12

1.8

Поезд имея, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с.Считая движение поезда равнозамедленным, определить скорость и ускорениепоезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поездапроисходит на закруглении радиуса R = 1 км. (v = 25 м/с, а = 0.708 м/с2)

1.9

При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигаетвеличины 72 км/ч через 3 мин после отхода; путь расположен на закруглениирадиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорение поездачерез 2 мин после момента отхода от станции. ( 9/1а м/с2, 9/2nа м/с2,a = 0.25 м/с2)

1.10

Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса R = 800 м ипроходит путь s = 800 м, имея начальную скорость 540 v км/ч и конечную

18v км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, атакже время движения по этой дуге. ( 308.00 а м/с2, 129.0а м/с2, t = 80 c)

1.11

6

Точка начинает движение из состояния покоя и движется по прямой спостоянным ускорением а = 0.2 м/с2. Определить путь, который точка пройдетза промежуток времени от t1 = 4 c до t2 = 10 c. (8.4)

Закон изменения скорости задана уравнением v = 0.2t. Определитькриволинейную координату s точки в момент времени t = 10 c, если при t0= 0координата s0 = 0. (10)

Движение точки задано уравнением dx/dt = 0.3t2 и y = 0.2t3. Определитьускорение в момент времени t = 7c. (9.39)

Задан закон движения точки в прямоугольной системе координат: x = 3t2,y = 4t2. Определить момент времени t, когда криволинейная координата точкиs = 110 м, если при t0= 0 s0 = 0 и точка движется в положительном направлениикоординаты s. (4.69)

Касательное ускорение точки ta 2.0 . Определить момент времени t,когда скорость v точки достигнет 10 м/с, если при t0 = 0 скорость v0 = 2 м/с.(8.94)

Точка движется по окружности согласно уравнению ttts 32 23 .Определить криволинейную координату точки в момент времени, когда еекасательное ускорение 16a м/с2. (22)

Проекции скорости точки во время движения определяютсявыражениями: 22.0 tvx , 3yv м/с. Определить касательное ускорение в

момент времени t = 2.5 с. (0.385)

Проекции ускорения точки во время движения определяютсявыражениями: tax 2.0 , 8.0ya м/с2. Определить касательное ускорение в

момент времени t = 10 с, если при t0 = 0 скорость точки v0 = 0. (2.06)

По окружности движется точка согласно уравнению 24.05 tts .Определить время t, когда нормальное ускорение 0na . (6.25)

1.13

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.15

1.14

7

Точка движется по окружности радиуса R = 7 м согласно уравнению27.0 ts . Определить координату s точки в момент времени, когда ее

нормальное ускорение 3na м/с2. (7.50)

Дано уравнение движения точки по криволинейной траектории:tts 2.01.0 2 . Определить ее нормальное ускорение в момент времени t = 6 c.

В положении, занимаемом точкой в этот момент, радиус кривизны траектории6.0 м. (3.27)

Точка движется по окружности, радиус которой r = 50 м, со скоростьюtv 2 . Определить модуль полного ускорения в момент времени t = 5 c. (2.83)

Даны нормальное 5.2na м/с2 и касательное 5.1a м/с2 ускорения точки.Определить полное ускорение точки (2.92)

Задано уравнение движения точки по криволинейной траектории:tts 3.02.0 2 . Определить полное ускорение точки в момент времени t = 3 c,

если в этот момент радиус кривизны траектории = 1.5 м. (1.55)

По окружности радиуса r = 1 м движется точка согласно уравнению31.0 ts . Определить полное ускорение точки в момент времени t = 2 c. (1.87)

Ускорение точки а = 1 м/с. Векторы ускорения и скорости образуютугол 45°. Определить скорость в км/ч, если радиус кривизны траектории = 300 м. (52.4)

Точка движется по окружности радиуса r = 200 м из состояния покоя спостоянным касательным ускорением 1a м/с2. Определить полное ускорениеточки в момент времени t = 20 c. (2.24)

1.22

1.23

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

По окружности, радиус которой R = 7 м, движется точка согласноуравнению 23.0 ts . Определить время, когда нормальное ускорение точки

5.1na м/с2. (5.4)

1.24

1.30

8

Пример. Поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом

R = 1 км. В начале участка длиной 560 м поезд имеет скорость 360 v км/ч и ускорение 125.00 а м/с2. Определить скорость и ускорение поезда в конце участка.

Решение. Рассмотрим движение одной из точек поезда, например его центра тяжести. При равнозамедленном движении точки уравнение движения и формула скорости точки будут иметь вид

,2200 tatvss (1)

tavv 0 . (2) По условию задачи известны: s = 560 м, скорость и ускорение поезда в

начале участка м/с 01км/ч 630 v , 125.00 а м/с2. Модуль нормального ускорения точки М в начале участка

1.01000/100200 Rvаn м/с2.

Зная модуль полного ускорения точки М в начале участка 0а , определяем модуль касательного ускорения точки а , которое при равнопеременном движении постоянно:

220

20 aaa n , 075.01.0125.0 222

020 naaa м/с2.

Подставляем в уравнения (1) и (2) все известные величины ,2075.010560 2tt 0112020075.0 2 tt , 7.1861 t , 802 t с.

tv 075.010 . (3) Значение 7.1861 t с превышает время остановки поезда 3.133075.0/10 t с, который определяется из (3) при 0v . Поэтому берем меньший корень 2t .

480075.010075.010 tv м/с. Модуль нормального и полного ускорения точки М в конце участка

016.01000/422 Rvаn м/с2.

22 aaa n 0767.0075.0016.0 22 м/с2.

Ответ: 4v м/с, 0767.0а м/с2.

Точка движется по окружности r = 2 м. Нормальное ускорение точкименяется согласно закону 22tan . Определить угол в градусах междувекторами скорости и полного ускорения точки в момент времени t = 1 c. (45)

Точка движется по криволинейной траектории с касательным ускорением2a м/с2. Определить угол в градусах между векторами скорости и полного

ускорения точки в момент времени t = 2 с, когда радиус кривизны траектории = 4 м, если при 00 t скорость точки 00 v . (63.4)

1.31

1.32

9

2. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Угловая скорость тела изменяется согласно закону t8 . Определитьугол поворота тела в момент времени t = 3 c, если при 00 t угол поворота

50 рад. (– 31)

При равномерном вращении маховик делает 4 оборота в секунду. Засколько секунд маховик повернется на угол 24 ? (3)

Частота вращения за t1 = 10 c уменьшилась в 3 раза и стала равной30 об/мин. Определить угловое ускорение вала, если он вращаетсяравнозамедленно. (– 0.628)

Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону 324 t .Определить угловое ускорение тела в момент времени, когда угловая скорость

6 рад/с. (12)

Ротор электродвигателя, начав вращение равноускоренно, сделал запервые 5 с 100 оборотов. Определить угловое ускорение ротора. (50.27)

Угловое ускорение тела изменяется согласно закону 23t . Определитьугловую скорость тела в момент времени t = 2 с, если при 00 t угловаяскорость 20 рад/с. (10)

Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону 23 t .Определить угловую скорость тела в момент времени, когда угол поворота

10 рад. (12)

R

1

2 Груз 1 поднимается с помощью лебедки,

барабан 2 которой вращается согласно закону325 t . Определить скорость груза 1 в

момент времени t = 2 с, если радиус барабанаR = 0.3 м. (7.2)

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.8

2.7

10

Тело вращается равнопеременно с угловым ускорением 5 рад/с2.Определить скорости точки тела на расстоянии r = 0.2 м от оси вращения вмомент времени t = 2 с, если при 00 t угловая скорость 00 . (2)

Тело вращается вокруг неподвижной оси согласно закону 22t .Определить нормальное ускорение точки тела на расстоянии r = 0.2 м от осивращения в момент времени t = 2 с. (12.8)

R

1

Колесо 1 вращается согласно законуt201 . Определить число оборотов,

совершенных колесом 2 за время t = с, если радиус колес 8.0R м, 5.0r м. (16)

2

r

R

Нормальное ускорение точки М диска,вращающегося вокруг неподвижной оси, равна 6.4 м/с2.Определить угловую скорость этого диска, если егорадиус R = 0.4 м. (4)

nа

М

R

Ускорение точки М диска, вращающегося вокруг неподвижной оси, равно 8 м/с2. Определить угловое ускорение этого диска,если его радиус R = 0.4 м, а угол = 30°. (10)

а

М

1

Зубчатое колесо 1 вращается равнопере-менно с угловым ускорением = 4 рад/с2. Определить скорость точки М в момент времени t = 2 c, если радиусы зубчатых колес R1 = 0.4 м, R2 = 0.5 м, R3 = 0.6 м. Движение начинается из состояния покоя. (3.2) 2 3

М

2.9

2.11

2.10

2.12

2.13

2.14

Найти закон движения стержня, еслидиаметр эксцентрика D = 2r, а ось вращения Онаходится от оси диска С на расстоянииОС = а. Диск вращается равномерно с угловойскоростью .

С

А

О

2.15

а

11

1

2

Груз 1 поднимается с помощью лебедки 2.Закон движения груза имеет вид: 257 ts , где s – в см. Определить угловую скорость барабана в момент времени t = 3 c, если его радиус R = 25 см. (1.2)

R

s

1

2

Какой должна быть частота вращения(об/мин) 1n шестерни 1, чтобы тело 3 дви-галось с постоянной скоростью 90v см/с,если числа зубьев шестерен 261 z , 782 z ирадиус барабана r = 10 см? (257.83)

r

3

А В

Диск А приводится в движение бесконечным ремнем от диска В. При запуске диска В его угловое ускорение равно 4.0рад/с2. Пренебрегая скольжением, определитьчерез сколько времени угловая скорость дискаА будет равна 10 рад/с; R = 75 см, r = 30 см. (10 с)

r R

1

2

Угловая скорость зубчатого колеса 1изменяется по закону 2

1 2t . Определитьускорение груза 3 в момент времени t = 2 c,если радиусы шестерен R1 = 1 м, R2 = 0.8 м ирадиус барабана r = 0.4 м. (4)

r

3

R1 R

В механизме домкрата при вращениизубчатого колеса 1 частотой 30 об/минначинают вращаться шестерни 2, 3, 4 и 5,которые приводят в движение зубчатую рейкуА домкрата. Определить скорость рейки А,если число зубцов шестерен: z1 = 60, z2 = 180,z3 = 160, z4 = 240; радиус пятой шестерниr5 = 0.25 м.

1

2 3

4

5

А

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

12

Пример. Вращение маховика в период пуска определяется уравнением 331 t , где t – в с, – в рад. Определить модуль и направление ускорения

точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии 50 см, в тот момент, когда ее скорость равна 8 м/с (рис. 1).

Решение. По уравнению вращения маховика находим его угловые скорость и ускорение

2t , t2 . Находим момент времени t, когда скорость точки

М равна 8 м/с: ;Rv 165.0/8/ Rv с-1 162 t , 4t с. Вычислим модули нормального, касательного и полного ускорении точки М в этот момент времени:

842 рад/с2; 45.08 Rа м/с2;

1285.01622 Rаn м/с2; 06.12822 nааа м/с2.

Направление ускорения точки определяется углом : tgаа n .

321168 22 tg ; 8.1)321(arctg . Ответ: 06.128а м/с2, 8.1 .

Пример. Ведущий шкив 1 ременной передачи, частота вращения которого n1=60 об/мин, останавливается через 10 с. Считая вращение шкивов перед остановкой равнозамедленным, определить число оборотов ведомого шкива до остановки. Радиусы шкивов: r = 25 см, R = 50 см (рис. 2)

Решение. Формулы равнозамедленного вращения t 0 , (1)

tt 02

0 2 . (2) В нашей задаче конечная угловая скорость

равна нулю 0 , поскольку шкив 1 останавливается через 10 с, а начальная угловая скорость 260/20 n с-1.

Угловое ускорение шкива 1 определяется из формулы (1):

2.01020 t с-2. Из (2) найдем угол поворота ведущего шкива 1. По условию задачи не

дан начальный угол поворота шкива, поэтому принимаем 00 .

101021002.02 02

2 tt . Угол поворота ведомого шкива 2 находим из условия Rrv 21 или

Rr 21 . Откуда 550/102512 Rr .

N 22 5.2/522 N об. Ответ: ведомый диск 2 совершит 2.5 оборотов до остановки.

1 2

r R

М

v

а

nа а

Рис. 1

Рис. 2

13

3. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры

А Определить угловую скорость колеса,если точка А имеет скорость 10Av м/с, арадиус колеса R = 0.2 м. (33.3)

R

0.5R

А B

Аv

Вv

Стержень АВ длиной 80 см движется в плоскости чертежа. В некоторой момент времени точки стержня имеют скорости

2.0Av м/с, 6.0Вv м/с. Определить угловую скорость стержня. (0.5)

1

3

Блоки 1 и 2 вращаются вокруг неподвиж-ных осей О1 и О2 с угловыми скоростями

41 рад/с и 82 рад/с. Определить угло-вую скорость подвижного блока 3. Радиусыблоков одинаковы и равны r = 10 см. (2)

r

r r

2

1 2

С Центр колеса катится согласно

уравнениям 22txC , 5.0Cy м. Определить

угловое ускорение колеса. (8) О х

y

1

2

Барабан 1 вращается согласно закону23.0 t . Определить угловое ускорение блока 2,

если радиусы R = 0.1 м, r = 0.06 м. (0.5) r

1

R

1

2

Кривошип ОА вращается согласно закону25.0 t . Определить угловое ускорение

колеса 2, если r = 0.75R. (2.33)

R r

О

A

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

14

Скорость точек плоской фигуры

А B

Аv

Вv

Стержень АВ движется в плоскостичертежа. В некоторой момент временискорость точки А равна 180Аv м/с.Определить скорость точки В. (156)

30°

А B

Аv

Вv

Стержень АВ длины 0.5 м движется вплоскости чертежа. Скорость точки В равна

2Вv м/с. Найти модуль скорости точки А иугловую скорость стержня. ( 82.2Аv м/с, = 2.06 рад/с)

60° 45°

Колесо радиуса R = 0.5 м катится безскольжения по прямолинейному участку пути;скорость центра его постоянна и равна 100 v м/с.Найти скорости точек 1М , 2М , 3М и 4М колеса.Определить его угловую скорость.

0v

3М

4М 2М

1М

1

2 Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2соединены нерастяжимой нитью. Груз 3 опускаетсяпо вертикали вниз по закону 22tx м. Определитьскорости точек С, D, B и Е, лежащих на ободеподвижного блока, в момент t = 1 c, в положении,указанном на рисунке, если R = 0.2 м. Найти такжеугловую скорость блока 1.

Е

С

В

D х

3 R

Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью5.20 рад/с вокруг оси О неподвижного колеса

радиуса R = 15 см, приводит в движениенасаженную на его конец А шестеренку радиусаr = 5 см. Определить скорости точек А, В, С, D и Еподвижной шестеренки, если ВDСЕ .

R

r

О

A

0

С D

Е В

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

15

О

С

В

А

Для данного положения механизмаопределить скорость точки С – середины шатуна АВ, если угловая скорость = 1 рад/с; длины звеньев ОА = 0.3 м; АВ = 0.5 м. (0.3)

О

В А

Кривошип ОА длиной 0.5 м и шатун АВдлиной 1.57 м в данный момент времени находится на одной прямой. Определитьугловую скорость шатуна, если кривошипвращается с угловой скоростью =120. (120)

О

В

А

Определить угловую скорость шатуна АВкривошипно-шатунного механизма в указан-ном положении, если точка А имеет скорость

3Av м/с. Длина шатуна АВ = 1 м. (1.73)

30°

60°

О

В

А

Определить угловую скорость шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма в указан-ном положении, если точка А имеет скорость

3Av м/с, а длина шатуна АВ = 1 м. (3.46)

Аv

30°

О

В

А

Определить угловую скорость шатуна АВкривошипно-ползунного механизма в указан-ном положении, если точка А имеет скорость

3Av м/с, а длина шатуна АВ = 3 м. (1.15) 30°

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17Брусок АВ скользит, опираясь концами на

стену и пол. При каком угле в градусахскорость конца А будет в 2 раза большескорости конца В? (26.56)

А

В

В

О А

30°

Определить для показанного на рисункеположения шарнирного четырехзвенникаугловую скорость звена АВ, длина которого0.2 м, если точка А имеет скорость 1 м/с. (5.77)

3.18

Аv

Аv

16

Ускорения точек плоской фигуры

В

А

Аа

Стержень АВ длиной 2 м находится в плоскопараллельном движении. Найти ускоре-ние точки В, если ускорение точки А равно 1 м/с2, угловая скорость стержня = 1 рад/с, угловое ускорение = 0. (3)

А

B Стержень АВ движется в плоскости. Ускорение точки А в данный момент времени

1Аа м/с2, угловая скорость = 2 рад/с, угловое

ускорение = 2 рад/с2. Определить ускорение точки В, если длина АВ = 1 м. (5)

Аа

Тело находится в плоскопараллельномдвижении. Найти ускорение точки В, если ускорениеточки А равно 3 м/с2, угловая скорость = 1 рад/с,угловое ускорение = 0, расстояние АВ = 0.5 м. (2.5)

Аа А B

Аа

А BКолесо катится без скольжения. Определить

ускорение точки В колеса в тот момент, когдаскорость точки А равна нулю, а ускорение 2Аам/с2. (2.83)

Аv

А

B

Колесо радиуса R = 0.1 м катится безскольжения. Определить ускорение точки В, еслицентр колеса А перемещается с постояннойскоростью 2Аv м/с. (40)

R

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

О

Центр О колеса движется по закону 210tхО см. Кцентру колеса О колеса подвешен стержень ОА = 36см,

качающийся по закону t6

sin3

рад. Найти

ускорение конца А стержня ОА в момент времени t =1c.( 4.26Аа см/с2)

3.24

30° А

х

y

17

R r

О

A

М

Кривошип ОА вращается согласно закону t5.0 . Определить ускорение точки М подвиж-

ного колеса, если радиус R = 2r = 0.2 м. (0.05)

Кривошип ОА вращается c постояннойугловой скоростью 1 рад/с. Определитьускорение точки, являющейся мгновеннымцентром скоростей подвижного колеса, еслирадиус R = 0.1 м (0.2)

R R

О

A

А

B

Аа

Стержень длиной АВ = 40 см движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времениточки А и В стержня имеют ускорения 2Аа м/с2

и 6Ва м/с2. Определить угловое ускорение стержня. (10)

30°

30°

Ва

А B

Ва

Аа

Тело находится в плоском движении. Найтиего угловую скорость, если ускорение точки Аравно 1 м/с2, ускорение точки В равно 6 м/с2,расстояние АВ = 1 м, угол = 60°. (2)

3.25

3.27

3.28

3.29

3.30

О

В

А

45°

45° Кривошип ОА = 20 см вращается равномерно

с угловой скоростью 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ длины 100 см. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, атакже ускорение ползуна В в положении показанном на рисунке. ( 2 рад/с, 16 рад/с2, 6.565Ва см/с2)

3.26

Груз К, связанный посредством нерастя-жимой нити с катушкой L, опускается вертикальновниз по закону x = t2 м. При этом катушка L катитсябез скольжения по неподвижному горизонтальномурельсу. Определить ускорения точек А, В и D,лежащих на ободе катушки в момент времениt = 0.5 c, если OD = 2OC = 0.2м. ( 9.20Аа м/с2, 4.22Ва м/с2, 1.20Dа м/с2)

С В

А

О

D

K

х

L

18

О В

А

Определить ускорение ползуна Вкривошипно-ползунного механизма в данном положении, если угловая скорость кривошипа = 1 рад/с = const; длины звеньев ОА = 0.3 м; АВ = 0.5 м. (0.225)

Квадрат АВСD со стороною а совершает плоскоедвижение в плоскости рисунка. Найти ускорениявершин С и D, если известно, что в данный моментускорения двух вершин А и В одинаковы по величинеи равны 10 м/с2. (10)

3.33

3.34

3.35 А B

С D

Аа

Bа

Квадрат АВСD совершает плоское движение(а = 2 см). В данный момент ускорения вершин равны:

2Аа см/с2, 24Ва см/с2. Найти угловую скорость иугловое ускорение квадрата АВСD, а также ускорениеточки С. ( 2 рад/с, 1 рад/с2, 6Са см/с2)

3.36 А B

С D

Аа

Bа

Колесо радиуса R = 0.5м катится без скольженияпо наклонному прямолинейному пути. Найти уско-рение точек М1, М2, М3, М4 колеса, если в рассматри-ваемый момент времени: 1Оv м/с, 3Оа м/с2. ( 21 а м/с2, 16.32 а м/с2, 32.63 а м/с2, 83.54 а м/с2)

3.31

Оа О

Колесо радиуса R = 0.5м катится без скольжения с замедлением 2Оа м/с2, имея в данный момент скорость 1Оv м/с. Найти ускорения концов двух диаметров малого колеса радиуса r = 0.25 м, обра-зующих с вертикалью углы по 45°. ( 45.21 а м/с2,

41.22 а м/с2, 45.23 а м/с2, 59.04 а м/с2)

3.32

Оv

М2

М4 М1

М3

1

R

2

R

О

Барабан 1 вращается по закону 21.0 t .

Определить ускорение центра О диска 2, если радиус R = 0.2 м. (0.02)

О М2

М3 М4

М1

19

Пример. Колесо радиусом R катится без скольжения по прямому рельсу. Скорость центра колеса в рассматриваемый момент времени 2Cv м/с.

Определить скорость точек А, В, D и Е колеса, расположенных на концах взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 3).

Решение. 1-й вариант. Примем за полюс центр колеса (рис. 3, б). Тогда скорость, например точки В, будет определяться как

CВCВ vvv , где Cv – скорость полюса, CВv – вращательная скорость точки В вокруг полюса С.

Скорость полюса нам известна по условию задачи 2Cv м/с. Чтобы найти вращательные скорости точек, нужно знать угловую скорость колеса:

RvС . В данной задаче вращательные скорости равны

CCDCACECD vRvvvv . Находим модули скоростей точек:

82.2222 CCBCВ vvvv м/с. 42 CCDCD vvvv м/с.

82.2222 CCECE vvvv м/с.

В точке А скорость вращения CАv и скорость полюса Cv равны по модулю и противоположны по направлению: CCА vv . Это очевидно так как колесо катится без скольжения, поэтому скорость точки касания А колеса с рельсом равна нулю: 0Аv .

2-й вариант. Точка А является мгновенным центром скоростей (МЦС), т.к. 0Аv . Примем эту точку за полюс, тогда скорости всех точек колеса определяются как вращательные скорости вокруг МЦС. Модули скоростей всех точек найдутся по пропорциональности скоростей их расстояниям от МЦС:

АD

v

АC

v DC , 42

CC

D vАC

АDvv м/с.

82.22

CC

B vАC

АBvАВv м/с, 82.22 CЕB vvv м/с.

Найденные скорости точек направлены перпендикулярно соответствующим отрезкам в сторону вращения колеса (рис. 3, в).

CvС Е

D

B

A

CvС Е

D

B

A

Cv С Е

D

B

A(Р)

CDv Cv

CEv

Cv

Ev

Cv

CВv Вv

Cv CАv

Ev

Вv

Рис. 3

а) б) в) Dv

20

Пример. Кривошип ОА кривошипного механизма вращается вокруг оси О с угловой скоростью 10ОА рад/с. Принимая 1OA м и 2AB м, определить угловую скорость шатуна АВ и скорость ползунка В механизма в трех случаях, когда 90 ,30 ,0 (рис. 4, а). Решение. Зная угловую скорость ОА кривошипа и его длину можно вычислить скорость пальца А: 10 ОАА ОАv м/с. Скорость пальца кривошипа А направлена перпендикулярно ОА, а скорость ползуна В – по прямой ОВ (рис. 4, б).

Проводим перпендикуляры к скоростям в точках А и В. Точка пересечения этих перпендикуляров определяет положение МЦС Р шатуна АВ. Вычислим расстояние от точки А до Р.

2/330cos OAОN , 25.0422 ANABВN , 8.2 NBОNОВ м.

2.33/8.2230cos/ ОBОР м, 2.2 OAOРАP м. Угловая скорость шатуна АВ: 5.4 АРvAАВ рад/с. Для определения скорости ползуна В найдем РВ: 6.130 tgОBРВ м. Тогда скорость ползуна В: 2.76.15.4 PBv ABВ м/с.

При 0 МЦС шатуна совпадает с точкой В ( 0Вv ) и скорости всех точек шатуна являются вращательными вокруг точки В (рис. 4, в). Угловая скорость шатуна 5 АВvAАВ рад/с.

При 90 скорость пальца кривошипа А и ползунка В параллельны, поэтому МЦС шатуна АВ находится в бесконечности (рис. 4, г). В этот момент все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные Аv , а 0АВ . Скорость точки В можно также найти из соотношения

),cos(),cos( BAvvBAvv ААBB , т.е. coscos АB vv ,

415cos ABBN , 5.14)415arccos( , 5.455.143090 . 2.797.0/7.010cos/cos АB vv м/с.

О В

А

P

АВ Аv

Вv 30°

О В

А

АВОА

ОА

Аv

О В

А Аv

Вv

О В

А

ОА

Рис. 4

а)

б)

в)

г)

N

21

Пример. Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены нерастяжимой нитью. Груз 3 опускается по вертикали вниз по закону 22tx м. Определить ускорение точек С, B и D, лежащих на ободе подвижного блока, в момент t = 0.5 c, в положении, указанном на рисунке, если R = 0.2 м (рис. 5, а).

Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры ускорение любой точки плоской фигуры, например точки D, определяется как

nODODOD aaaa , (1)

где Оа – ускорение полюса О, центра диска 1 (рис. 5, б); ODа – касательное ускорение точки D во вращении вокруг полюса О; nODа – нормальное ускорение точки D во вращении вокруг полюса О.

Найдем ускорение груза 3 и тем самым определим следующие составляющие выражения (1): 4

ODO aax м/с. Определим угловую скорость диска 1 чтобы найти нормальное ускорение точки

nODа : 52 Rx с-1. Тогда 52.0252 RапOD м/с2.

Ускорение каждой точки определяется диагональю прямоугольника, сторонами которого являются сумма двух векторов ODO aa , оказавшихся на

одной прямой, и третьи вектор пODа , перпендикулярный им:

4.654)()( 2222 пODODOD aaaа м/с2.

Найдем ускорение точки В. Определим угловое ускорение диска 1 чтобы найти касательное ускорение

OВа точки В во вращении вокруг полюса О:

104.042 Rх с-2, тогда 22.010 RаOB м/с2. Ускорение полюса О: 22.010 RаО м/с2.

5 пOС

пOD

пOB ааа м/с2.

3.7)52(2)()( 2222 пOВОOВВ aaaа м/с2.

Ускорение точки С: 5 пОСС аа м/с2.

1 С

В

D

х

2

R 3 С

В

D

а) б)

Рис. 5

ODO aa

пОDа О

пОВа

пОСа

ОВа

ОСа

Оа Оа

Оа

1

О

22

4. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Определение скорости точки

Кривошип ОА = 0.2 м вращается вокруг оси О с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение кулису 1, движущуюся поступательно. Найти скорость кулисы приугле = 30° (0.2)

О

А

1

По грани призмы, движущейся соскоростью ev , скользит конец стержня АВ.

При каком угле в градусах абсолютная скорость точки А будет равна скорости призмы ev . (45)

еv

А

В

По шатуну 2 шарнирного параллело-грамма ОАВС скользит втулка 3. К точке Dвтулки шарнирно прикреплен стержень 4. Дляданного положения механизма определитьскорость стержня 4, если скорость точки Акривошипа 1 равна 2 м/с. (1)

А

О 60°

В

С

2 3

4 2

1

На шатун 1 кривошипно-ползунногомеханизма надета втулка 2. К точке С внутришарнирно прикреплен стержень 3. Дляданного положения механизма определитьскорость стержня 3, если длина ОА = 0.5АВ искорость точки А кривошипа 4 равна

3Av м/с. (1.73)

С

А

О

3 2

В

4

Аv

1

v А

В

r

M

Тело 1, имеющее форму полуцилиндра,скользит по горизонтальной плоскости соскоростью 2.0v м/с, поворачивая шарнирнозакрепленный в точке А стержень АВ.Определить относительную скорость точкикасания М, если = 30°. (0.173)

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

D

23

Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

М

R

О

rv

Точка М движется по ободу диска, радиус которогоR = 0.1 м, согласно уравнению ОМ = 0.3t. Определитьабсолютную скорость точки М в указанном положении,если закон вращения диска = 0.4t. (0.342)

4.10

М

rv

Квадратная плита вращается вокруг оси сугловой скоростью = 3 рад/с. Вдоль стороныплиты движется точка М со скоростью 4rv м/с.Определить абсолютную скорость точки М вуказанном на рисунке положении, если стороныквадрата равны 6 м. (15.81)

4.6

М rv

Конус, по образующей которого движется точкаМ согласно уравнению АМ = 2t, вращается вокруг осипо закону t4.0sin4 . Определить модуль перенос-ной скорости точки М в момент времени 2t с. (2.22)

А 4.7

30°

Диск вращается вокруг оси Оz. По его ободудвижется точка М с постоянной относительнойскоростью 9rv м/с. Определить переноснуюскорость точки М в момент, когда ее абсолютнаяскорость равна 15 м/с. (12)

4.8

М

rv

О z

М

Пластина АВСD вращается вокруг оси с угловойскоростью = 4t. По ее стороне ВС в направлении отВ к С движется точка М с постоянной скоростью 9м/с. Определить модуль абсолютной скорости точкиМ в момент времени t = 3 c, если длина АВ = 1 м. (15)

А

C

B

D

4.9

М

rv

По катету треугольника, вращающегосявокруг стороны АВ с угловой скоростью = 4рад/с, движется точка М с относительнойскоростью 2rv м/с. Определить модуль

ускорения Кориолиса точки М, если = 30°. (8)

А В

4.11

24

М По радиусу диска, вращающегося вокруг оси АВ

с угловой скоростью t2 рад/с в направлении отцентра диска к его ободу движется точка М позакону 24tОМ см. Радиус ОМ составляет с осьюАВ угол 60°. Определить величину абсолютногоускорения точки М в момент 1t с. (35.55)

О

4.17

60 А B

М R

О

rv Кольцо радиуса R = 0.5 м вращается спостоянной угловой скоростью = 4 рад/с вплоскости чертежа. По кольцу перемещается точкаМ с постоянной относительной скоростью

2rv м/с. Определить модуль абсолютногоускорения точки М в указанном положении. (40)

х

у

М

О

rv

Точка М движется с относительной скоростьюtvr 5.0 по хорде диска, вращающегося вокруг оси О,

перпендикулярной плоскости диска, с угловой скоростью = 0.5 с-1. Определить абсолютное ускорение точки М приt = 2 с, если расстояние ОМ = 0.02 м. (1.11)

М

Точка М движется с постоянной скоростью2v м/с по кольцу радиуса R = 0.5 м, который вра-

щается с постоянной угловой скоростью = 4 с-1.Определить модуль абсолютного ускорения точкиМ в указанном положении. (16)

О R

v

М

По стороне треугольника, вращающегосявокруг стороны АВ с угловой скоростью =2 с-1,движется точка М согласно закону 23tАМ .Определить модуль абсолютного ускоренияточки М в момент времени t = 2 с. (63.78)

А

rv

В

4.13

4.14

4.15

4.16

О А

В С

М

е

По стороне АВ прямоугольной пластины,вращающейся в плоскости чертежа, движетсяточка М по закону tАМ )3sin(3 . Определить

угловую скорость пластины е в момент времениt = 2 c, если ускорение Кориолиса в точке М в этотмомент равно 4 м/с2. (4)

4.12

25

Прямоугольник АВСD вращается вокруг стороны СDс угловой скоростью 2 рад/с=const. Вдоль стороныАВ движется точка М по закону tа )2(sin м.Определить величину абсолютного ускорения точки вмомент времени t = 1c, если DA = CB = a м. ( 242а )

D

Квадрат АВСD со стороною 2а м вращается вокруг стороны АВ с постоянной угловой скоростью 2 . Вдоль диагонали АС совершает гармонические колебание точка М по закону ta )2cos( м. Определить величину

абсолютного ускорения точки при t = 1 c. ( 52а )

А

О

М

C B

4.21

4.22

М

А

В

О

C

D

Р О

Шарик Р движется со скоростью 1.2 м/с от А до Впо хорде АВ диска, вращающегося вокруг оси, проходя-щей через его центр перпендикулярно плоскости диска.Найти абсолютное ускорение шарика, когда оннаходится на кратчайшем расстоянии от центра диска,равном 30 см. В этот момент угловая скорость дискаравна 3 рад/с, угловое замедление – 8 рад/с2. (10.19)

4.20 А

В

R

30

О

Диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через его центр перпенди-кулярно плоскости диска. По хорде АВ из ее серединыD движется точка М с постоянной относительнойскоростью u. Найти абсолютную скорость и абсолют-ное ускорение точки М как функции расстояния х.

222 )( cuхv , 222 )2( cuха

4.19

М В А

х

с

D

М

По ободу диска радиуса R, вращающегося вокругсвоего диаметра с постоянной угловой скоростью ,движется с постоянной по модулю относительнойскоростью vr точка М. Найти абсолютное ускорениеточки М как функцию угла , составленного радиус-вектором точки с осью вращение диска.

)cos1(2sin 22222424 vRRvа

О z

R

4.18 rv

26

Пример. Точка М, находящаяся в начальный момент в вершине кругового конуса, движется равномерно по образующей конуса к основанию с относительной скоростью 24rv см/с. Конус вращается вокруг своей оси

согласно уравнению 2125.0 t (рис. 6, а). Определить абсолютные скорость и ускорение точки в конце 4-й секунды, если 30 .

Решение. Движение точки М относительно конуса вдоль его образующей является относительным, а движение точки М вместе с конусом, вращающимся вокруг оси ОА – переносным.

Найдем положение точки М в конце 4-й секунды: 96424 tvOM r см; 485.096sin ОМMК см.

Определим алгебраические величины переносной угловой скорости и переносного углового ускорения при t = 4c:

1425.0 е рад/с > 0; 25.0 е рад/с2 > 0. Знаки е и е совпадают, следовательно, конус вращается ускоренно. Векторы

е и е направлены по оси вращения конуса вверх. Определяем абсолютную скорость точки М.

Абсолютная скорость точки М определяется как векторная сумма двух скоростей: re vvv . Переносная скорость еv направлена по касательной к окружности радиуса МК, а ее модуль 48481 MKv eе см/с. Относительная скорость rv направлена вдоль образующей конуса, а ее модуль 24rv см/с. Так как составляющие скорости взаимно перпендикулярны, то (рис. 6, б)

64.532448 2222 re vvv см/с.

Определяем абсолютное ускорение точки М. Абсолютное ускорение точки М при вращательном переносном движении: c

nrr

пee aааааа .

Определим составляющие абсолютного ускорения точки М (рис. 3, в).

М

О

О

ce aa

О

а) б)

Рис. 6

в)

rv

М

rv

еv

v

е

е rv

пeа

ху

а

А А А

е

е

К

М

27

Переносное касательное ускорение eа направлено по касательной к

окружности радиусом МК в соответствии с направлением углового ускорения, а его модуль 1225.048 еe МКа см/с2.

Переносное нормальное ускорение пeа направлено к центру К

окружности радиусом МК, а его модуль 481482 епe МКа см/с2.

Так как относительное движение точки прямолинейное и равномерное, то 0// 22 rr

nr vvа и 0 rr vа .

Направление кориолисова ускорения са определяется по правилу

Жуковского; оно совпадает с направлением eа , а его модуль

245.02412sin2 rес vа см/с2. Проецируя все составляющие абсолютного ускорения на оси х и у,

получаем: 362412

сех ааа см/с2; 48 пеy аа см/с2.

604836 2222 ух ааа см/с2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 2004. – 416 с.

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Учебник: 15-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2010. – 608 с.

3. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учеб. пособие. 36-е изд. исправл. – М.: Наука, 1986. – 448 с. Или С-Петербург-Москва-Краснодар: Лань, 2008. – 448с.

4. Кепе О.Э., Виба Я.А. и др. Сборник коротких задач по теоретической механике: Учеб. пособие для втузов; Под ред. Кепе О.Э. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с. Или 2-е стереотипное изд. С-Петербург, Лань, 2008. – 368с.

5. Шигабутдинов Ф.Г., Камалов А.З., Шигабутдинов А.Ф. Сборник задач по теоретической механике. Статика. / Учебное пособие. - Казань: КГАСУ, 2004. – 180с.

6. Шигабутдинов Ф.Г., Шигабутдинов А.Ф. Краткий курс теоретической механики. Часть 1. Статика. / Учебное пособие. - Казань: КГАСУ, 2009. – 171с.

28

Сборник задач по кинематике для подготовки к защите расчетно-графических работ

Методические указания

для студентов всех направлений подготовки и форм обучения

Составители: А.В. Гумеров, Ф.Г. Шигабутдинов Редактор В.В. Попова

Редакционно-издательский отдел Казанского государственного архитектурно-строительного университета Подписано в печать 28.05.12 Формат 6084/16 Заказ 312 Печать ризографическая Усл.-печ.л. 1.75 Тираж 100 экз. Бумага офсетная №1 Учет.изд.л. 1.75

Печатно-множительный отдел КГАСУ 420043, Казань, Зеленая, 1