Exemple 1
Modèle : polynôme d' interpolation qui passerait par tous les points .
Vitti , . . . 7) Plait = yi
points ( an , yr ) = ( O , r ) et ( Kz , yz ) = ( O , 2)
mêmes abscisses xp = xz ( on ne satisfait les
y a hypothèses du cours ) yz
--2
H , ⇒ kz = 0
La fonction en bleu ne serait pas continue , et donc ne
pourrait pas être un polynôme .
La courbe en vert n' est pas une fonction ! il y a plusieurs valeurs différentes de
y pour une même valeur de x.
Donc on ne peut pas trouver de polynôme d' interpolation pour ce
nuage de points .
les deux points sont les mêmes , et donc un polynôme
qui passerait par ton .gr ) passerait aussi par lacs , ya ) .
On se ramène au nuage
X = ( 0,1 , 2,3 , 4,5 ) et Y = ( 1,2 , 2,3 , 4 , 5) en enlevant un des 2 points ( ici le 3ème ) Méthode générale :
pour ntl points ,
on cherche un polynôme de
Kyle) ( de degré inférieur on égal à m ) . Donc ici , on cherche un polynôme d' interpolation L C- Rs (X) (car on a ntt = 6 points ) tel que : Kitty .-6 } Llx il = y i i est à dire :
Lpo ) : 1
L (1) = 2
{% : :L (4) = 4
L (5) = 5
On a bien 6 conditions pour un polynôme qui possède 6
coefficients ( inconnus ) : L (x ) = a. + ait t azi t - - taxi
Dans ce qui suit , on "
réfléchit "
la méthode générale pour trouver
le polynôme d' interpolation pour ces points .
En général : on écrirait les 6 équations pour les 6
inconnues (ai litho , - - s )± Ici : on pose L (x ) = x + P (x ) et on transforme
les 6 conditions sur L en 6 conditions sur P
( trouver P permettra de trouver L ) cette transformation est utile
pour ce nuage de points seulement
.
L ( O ) = 1 = 0 t Plo ) L (1) = 2
= 1 t P (1)fi: ÷: ÷: " ( ËËËÏ: ( ( hl = 4 Plut 0
451--5 P (5) = 0
Rem : il faut donc chercher P E R , le] car on a toujours 6 conditions .
Rem : la méthode générale serait d' écrire pour P un
système de 6 équations ( conditions sur P ) à 6
onconnues ( coefficients de P ) Mais l' intérêt du problème sur P est que ,
ici ,
P s' annule aux abscisses x : 2,3 , 4 , et 5
On cherche donc P sous la forme :
P (x ) : (x -2) la - 3) ( x - 4) la - t) Q (x )
où Q (x ) est un polynôme .
P s' annule bien en al = 2,3 , 4 et 5
P est de degré au plus 5 , donc Q doit être de degré au plus 1 ⇒ Q (x ) = a xtb
P satisfait les 4 conditions P ( di 1=0 it { 3,4 , 5,64 mais pas
nécessairement P ( O ) = I et Pls ) = 1 .
Il reste 2 conditions pour les 2 inconnues a et b de Q H)
P ( o ) = 1 = ( O - 2) ( O - 3) ( O - 4) ( O - 5) ( axo + b)
P (1) = 1 = (1-2) ( 1- 3) 11-4/(1-5) ( axl t b)
On a transformé un problème 6 équations à 6 inconnues
en un problème à 2 équations et 2 inconnues
{÷: ÷ . ⇒ { Ë ⇒ QUI = ! ( x t f- )
⇒ P (x ) = ¥ (x - a) la - 3) la _ a) (x - t ) ( x + f) ⇒ L ( x ) = x + P (x )
qui passe bien par le nuage
de points unitùal Rcm : Pensez à le vérifier :
L ( x = 0 ) = 0 t P ( o ) = 1 ( par exemple . . - t
Rem : l' objectif de cet exemple est de comprendre l' intérêt de connaitre les racines ri , i c- { 1 , - -
k } d' un polynôme pour l' écrire comme
k
A méditer . . .
Exemple 3
Observation : P ( x ) = x2
Méthode 1 : cherche PE IR ( X) tel que du cours
y , c-µ , ça,
a } Plait = yi
Etapes :
1) Déterminer le degré de P 4 Ecrire sous forme matricielle le système linéaire ( qui provient des 4 conditions )
3) Résoudre ce système et déterminer P
.
Solutions
1) P doit être de degré inférieur ou égal à n pour
passer par nt1 points .
Ici , on a 4 points donc n =3 et P E Rz ( x)
2) Conditions :
Pl o ) = 0
{ PHI = 1 où Play = a o t anal t azi t azi
P (2) = 4 ( car P C- Rz ( x ) ) P (3) : 9
Au = 0
Observation : P (x ) = x ' est le polynôme d' interpolation
de ces 4 points .
Il est unique ( application du théorème du cours car les abscisses sont distinctes 2 à 2) .
1) PE Rz [ X)
pour P (x ) = au t an x + azad + azi
i : : : :*:X:" " soeutim
:p !;) =p ! ) ⇒ Ptit "
t 1 X ?
pp , gaz : Il 1
1 , 5,31 )
I : : : : :*:*:L - - -
Rem : . F est une matrice de Vandermonde d' ordre 5
qui peut s' écrire :( voir cours )
F- - ( f. ( x ) fr IN fi KI f , KI full 1)
où fi : " ai
abscisses sont distinctes 2 à 2- ( un
" (§! ) -- µ;) up : xnxx.im .ÏÎ
Le système d' équations est
au - Zap t 4 a , - 8 az t 16 ai, = 11
do - ap t az - az t 9h = 1
= 1{:" ÷ : : . :îü :90 t 2 a
mais la 3ème équation donne sans calcul a. = 1 ! ici ) .
On peut donc se ramener à un système de 4 équations sur les 4 inconnues an ,
az , az et au restantes :
- 2 ap t 4 a , - 8 as + 16 au = 11 - ao = 10
{ - ah + a 2 - "
3 + a 4 = 1 - a ° = 0
a 1 t az t az t au = 5 - ao = 4
Za , t 4oz t 8 az t 16 au = 31 - ao = 30
avec ao = 1
.
mais
continuer les calculs .
. tait
Cela revient à enlever la 3ème ligne de la matrice
( qui donne a. = 1) et faire passer la 1ere colonne
multipliée par ao dans le second membre .
Il ne reste alors qu' à finir les calculs , en observant
par exemple que des transformations telles que :
Lp t La , 4 - tu , lz t lz , Lz - Lz peuvent s' avérer
tres pratiques . . .
sa
.on voit que la seconde ligne donne sans calcul b =
On peut alors séparer le système en :
" z et "
tilO O