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4ème : Chapitre02 : Puissances de 10 ; écritures scientifiques

1. Puissances, écritures, notations 34 = 3 × 3 × 3 × 3⏟

4𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

= 81 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3⏟ 5𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

= 243

46=4×4×4×4×4×4=4096

(-3)5=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=-243

(-2)8=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=256

-28=-2×2×2×2×2×2×2×2=-256

Ne pas confondre 46 et 4×6. En effet : 4×6=24 et 46=4096 Ne pas confondre (-2)8

et -28.

En effet (-2)8=256 et -28=-256 Par convention, un nombre à la puissance zéro vaut 1.

20 = 1 ; 180 = 1 ; 30 = 1

2. Puissances et calculatrices. Pour obtenir le résultat de

46 avec sa calculatrice, on

tape :

et on obtient sur l'écran :

Pour avoir le résultat de

(-2)8 on tape sur sa

calculatrice :

et on obtient sur l'écran :

Quelques touches de puissances :

Pour mettre à la puissance 2 :

Changement de signe :

Utilisation de la calculatrice :

https://youtu.be/1J1fis6vXG0

EXERCICES À CONNAITRE

ENONCES SOLUTIONS

EXERCICE1 : Sans calculatrice, trouver le

résultat de 𝐴 = 43 ; 𝐵 = 24 ; 𝐶 = 125 ;

𝐷 = 80

EXERCICE2 : Sans calculatrice, en étant très

attentif au signe du résultat, calculer :

𝐸 = −23 ; 𝐹 = (−2)5 ; G= (−4)2

EXERCICE3 : Ecrire chaque nombre sous forme

d’une puissance de 2 :

𝐻 = 100 ; 𝐼 = 25 ; 𝐽 = 49

EXERCICE4 : J’ai un cadenas à code. Je peux

saisir le code en faisant tourner des molettes. Mon cadenas possède 3 molettes et chaque molette contient 6 lettres (A ;B ;C ;D ;E ;F). Le problème est que je ne me souviens plus du code de ce cadenas. Je vais donc tester toutes les combinaisons possibles. Ecrire un calcul sans

puissance qui permet de connaitre le nombre de combinaisons qui existent en tout sur ce cadenas puis écrire ce calcul avec une puissance. Ecrire enfin le résultat de ce calcul sous forme d’un nombre entier.

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3. Puissances de 10 ; introduction

3.1 Grands et petits nombres Distance terre-soleil : 150 000 000km

Diamètre de notre galaxie : 1 000 000 000 000 000 000 km

Épaisseur d'un cheveu : 0,000 05m

Diamètre d'un virus : 0,000 000 000 1m

Il n'est pas pratique d'écrire beaucoup de zéros. On transforme l'écriture de ces nombres avec des puissances de 10.

3.2 Écritures notations

3.3 Puissance avec exposant négatif Soit n un nombre entier ; on a :

𝟏𝟎−𝒏 =𝟏

𝟏𝟎𝒏

Exercice1 : On me demande de calculer A = 10−3

Solution : A = 10−3 donc A =1

103

donc A =1

10×10×10 donc A =

1

1000 donc A=0,001

Exercice2 : On me demande de calculer

B = 10−5 Solution : B = 10−5 donc B=0,000 01 Remarque : On peut directement passer à l’écriture

décimale car on sait qu’il y aura 5 chiffres après la

virgule (ou 5 zéros en tout)

Exercice3 : On me demande de calculer C = 10−12 Solution : 𝐶 = 10−12 donc C=0,000 000 000 001 Remarque : On peut directement passer à l’écriture

décimale car on sait qu’il y aura 12 chiffres après la

virgule (ou 12 zéros en tout)

Exercice4 : Ecrire l’épaisseur d’un cheveu et le diamètre d’un virus avec des puissances de 10 (voir 3.1). Solutions : 𝐶 = 0,000 05 donc 𝐶 = 5 × 0,000 01

donc 𝐶 = 5 × 10−5 L’épaisseur d’un cheveu peut s’écrire

𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓 mètre.

D = 0,000 000 000 1 donc D = 10−10 Le diamètre d’un virus peut s’écrire

𝟏𝟎−𝟏𝟎 mètre.

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EXERCICES À CONNAITRE

ENONCES SOLUTIONS

EXERCICE1 : Donner

l’écriture décimale des

nombres suivants

𝐴 = 2,3 × 103

𝐵 = 2,3 × 10−3

𝐶 = 0,05 × 102

𝐷 = 50 × 10−4

EXERCICE2 : Ecrire

E ; F ; G et H sous la

forme 23 × 10…..

E=2 300

F=23 000

G=0,23

H=0,002 3

4. Puissances de 10 et formules Soient m et n deux entiers relatifs :

10n×10m=10n+m

Exemple : 105×1025=105+25

=1030 Remarque : Priorité des

opérations : L'écriture 105+25

signifie 10(5+25)

Soient m et n deux entiers relatifs :

𝟏𝟎𝒏

𝟏𝟎𝒎= 𝟏𝟎𝒏−𝒎

Exemple : 1028

1030= 1028−30

= 10−2

Soient m et n deux entiers relatifs :

(10n)m=10n×m

Exemple : (1025)3=1025×3

=1075

EXERCICES À CONNAITRE

ENONCES SOLUTIONS

EXERCICE1 : Ecrire I sous forme

10𝑛 et J sous forme 𝑎 × 10𝑛 ; n

étant un entier relatif et a un nombre

relatif.

𝐼 = 10−3 × 10−9

𝐽 = 1,4 × 108 × 2 × 105

EXERCICE2 : Ecrire K sous forme

10𝑛 et L sous forme 𝑎 × 10𝑛 ; n

étant un entier relatif et a un nombre

relatif.

𝐾 =10−5

10−6 ; 𝐿 =

9,6

2×109

10−4

EXERCICE3 : Ecrire M sous forme

10𝑛 et N sous forme 𝑎 × 10𝑛 ; n

étant un entier relatif et a un nombre

relatif.

𝑀 = (10−2)3 ; 𝑁 = (3 × 107)2

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5. Problèmes concrets Exercice résolu Commentaires élève

Enoncé1 : La masse d'un

atome de carbone est de

1,99×10-26kg. Quel est la masse

de 5×1022 atomes de carbones ?

Solution : 1,99 × 10−26 × 5 × 1022 = 5 × 1,99 × 10−26 × 1022

= 9,95 × 10−26+22 = 9,95 × 10−4

Les 5×1022 atomes de carbone pèsent 9,95×10-4kg soit 0,995 grammes.

Exercice résolu Commentaires élève

Enoncé2 : La distance

terre soleil est d’environ

𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟖 km. La sonde

MathSpace est partie de

la terre et se dirige vers

le soleil. La sonde a une vitesse constante de 103km/h.

Combien d’heures sera nécessaire pour que la sonde

atteigne le soleil ?

Solution : 1,5×108

103= 1,5 ×

108

103

= 1,5 × 108−3 = 1,5 × 105

Il faudra environ 1,5 × 105 heures pour que la sonde atteigne le soleil.

6. Écritures scientifiques 6.1 Définition Tout nombre décimal positif peut s'écrire en écriture scientifique sous la forme :

a×10p où a est un nombre décimal tel que 𝟏 ⩽ 𝒂 < 𝟏𝟎 et p est un nombre entier relatif. Exemples :

0,0341=3,41×0,01

=3,41×10-2

3,41×10-2 est l'écriture scientifique de 0,0341

34 500=3,45×10 000 =3,45×104

3,45×104 est l'écriture scientifique de 34 500

Remarque : Un nombre décimal négatif peut aussi s'écrire en écriture scientifique. (on ajoute le

signe moins) -3,45×104 est l'écriture scientifique de -34 500

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EXERCICES À CONNAITRE

ENONCES SOLUTIONS

EXERCICE1 :

Donner les écritures

scientifiques de

A=238×105 et

B=0,045×1012

EXERCICE2 :

Donner un ordre de

grandeur de C=5 812 342×449 109 876 en utilisant les écritures

scientifiques.

6.2 Calculatrice

7. Les préfixes et les puissances de dix Le tableau ci-dessous reprend les préfixes les plus connus et les puissances de dix qui leur sont associées :

Préfixe des multiples d'unité de base Préfixes des sous-multiples d'unité de base

101 da (déca) 10-1 d (déci)

102 h (hecto) 10-2 c (centi)

103 k (kilo) 10-3 m (milli)

106 M (méga) 10-6 µ (micro)

109 G (giga) 10-9 n (nano)

1012 T (tera) 10-12 p (pico)

Exercice : La phrase ci-dessous (Source) vient du site « Wikipédia ». Il s’agit de l’écrire à

nouveau (Destination) en remplaçant « micromètre » par « nanomètre ». Source : Vers 1925, un virus était défini comme un « agent responsable d'une maladie infectieuse, parasite, de nature particulaire et de taille comprise entre 0,01 et 0,3 micromètre ». Destination : Vers 1925, un virus était défini comme un « agent responsable d'une maladie infectieuse, parasite, de nature particulaire et de taille comprise entre ………………………………... En effet :

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Unités et ordres de grandeurs avec deux dessins

Petites unités

Grandes unités

Source : https://artemis.oca.eu/fr/rechercheartemis/projets/173-art-telemetrie-laser/341-unites-de-longueur-les-grandes-les-petites

Quelques données chiffrées pour votre culture générale

Ecritures trouvées sur Internet

Ecriture scientifique

Taille d’un atome Environ 10 nanomètres 1×10-10m

Taille d’une bactérie Environ 1 micromètre 1×10-6m

Taille d’une alvéole pulmonaire Environ 0,2 millimètre 2×10-4m

Longueur de l’intestin Environ 7 m 7×100m

Capacité de stockage d’un disque dur Environ 1 téraoctet 1×1012 octets

Vitesse du son Environ 340 m/s 3,4×102m/s

Vitesse de la lumière Environ 300 000 km/s 3×108m/s

Population française Environ 70 millions de français 7×107 français

Population mondiale Environ 7,7 milliards d’habitants 7,7×109 habitants

Distance Terre-Lune Environ 380 000 km 3,8×108 m

Distance Terre Soleil Environ 150 millions de kilomètres 1,5×1011 m

4ème - Objectifs – Chapitre02 : Puissances de 10, écritures scientifiques

A10 : Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

A30 Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées

Simplex : La rumeur : la puissance d'un nombre

https://youtu.be/RQlSEC5aLy0

Maths et tiques : Utiliser la notation des puissances -

Quatrième

https://youtu.be/jts9wiXPHtk

Maths et tiques : Calculer les puissances avec les nombres

relatifs - Quatrième

https://youtu.be/4CEYTrvUP0I

Ecrire un nombre avec des puissances de 10 (1) –

Quatrième

https://youtu.be/D5Fe9Fv6CqQ

Ecrire un nombre avec des puissances de 10 (2) - Quatrième

https://youtu.be/vRPOgw3Sfnk

Utiliser les puissances de 10 d'exposant négatif - Quatrième

https://youtu.be/TSeL-rVZNPQ

Ecrire un nombre sous forme scientifique - Quatrième

https://youtu.be/tzhNCpLRtCY

EXERCICE : Ecrire un nombre sous forme scientifique - Quatrième

https://youtu.be/W9ZjP-7jk50

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Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel CASIO Collège

https://youtu.be/xMR4hFMdTMY

Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel HP Collège

https://youtu.be/IIOkQuUy_ow

Calculer des puissances (notation scientifique) - Tutoriel TI-Collège

https://youtu.be/7eKVelM9lF8

Les 1% les plus riches possèdent autant que les 99% restants... et ?

https://youtu.be/L1szCTCgB3M

Je possède un livre qui contient 100 000 000 000 000 de poèmes

https://youtu.be/FxsEBlwDViQ

Le grand zoom de tout l'univers (aller-retour et en HD)

https://youtu.be/1VOXpmqtze4

Fiche élève de fin de chapitre

Carte mentale - sketchnote

Emotion(s) :

Remarque : Sur cette « fiche élève de fin de chapitre » c’est l’élève qui est l’auteur des traces écrites qui ne seront pas corrigées par l’enseignant.

Mathématiques : évaluation du cahier partie COURS (pour ce chapitre)

Code correcteur1 Code correcteur2

LA PARTIE COURS de ce chapitre est

soignée et esthétiquement agréable. Le contenu de LA PARTIE COURS est

complet. On peut utiliser LA PARTIE COURS pour

réviser, s’entrainer, apprendre ses leçons.

Conseil(s) donné(s) par le correcteur2 pour améliorer ce cahier :

Correcteur1 : propriétaire du cahier

Correcteur2 : (camarade, surveillant,

professeur, parent, …) : ……………………………..…….

………………………………..….