Post on 03-Apr-2015
TRIGONOMETRIE
I SOUVENIRS
1° Vocabulaire
A B
C
Pour l’angle aigu A ,
Le côté opposé est :……………………
Le côté adjacent est :…………………..
Pour l’angle aigu C ,
Le côté opposé est : ……………………
Le côté adjacent est : ………………….
BC
AB
AB
CB
2° Définition.
A B
C
Le triangle ABC est rectangle en B.
Cos A = ------------------------------------- = ----------
Cos C = ------------------------------------- = ----------
Côté adjacent
Hypoténuse
AB
AC
Côté adjacent
HypoténuseCBAC
A B
C
Soit ABC un triangle rectangle en B tel que AC = 8,5 cm et CAB = 37°Calculer AB à 0.01 près
37°
On sait que : Cosinus = Côté adjacent
Hypoténuse
Nous avons ici:
Cos (CAB) =
Soit, en utilisant les données
Cos (37°) =AB
8,5
En faisant le produit en croix AB = 8,5 x Cos( 37° )
On obtient avec la calculatrice AB 6,79 cm
AB
AC
Arrondi à 0,01 près
a)Calcul du côté ADJACENT
3° Utilisation.
Soit POR un triangle rectangle en O tel que PO = 8cm et RPO = 28°Calculer PR à 0.01 près
On sait que : Cosinus = Côté adjacent
Hypoténuse
Nous avons ici:
Cos (RPO) =
Soit, en utilisant les données
Cos (28°) =8
PR
En faisant le produit en croix PR
On obtient avec la calculatrice PR 9,06 cm
Arrondi à 0,01 près
b) Calcul de l’HYPOTENUSE
x Cos( 28° ) = 8
D’où PR =8
P O
R
PR
PO
Cos (28°)
Soit FER un triangle rectangle en R tel que FE =7cm et FR = 5 cmCalculer cos ( RFE) puis la valeur de l’angle RFE au degré près
On sait que :
Cosinus = Côté adjacent
Hypoténuse
Nous avons ici:Cos (RFE) =
Soit, en utilisant les données Cos (RFE) =
5
7
c) Calcul du cosinus puis de l’angle
F R
E
FE
FR
a) Calcul du cosinus
b) Calcul de l’angle Il faut utiliser la calculatrice et faire apparaître la fonction cos -1
Cos -1 ( 5 :7) 44°
Pour cela généralement il appuyer sur seconde ou shift puis sur cos
Résultat arrondi au degré près
II AUTRES RAPPORTS TRIGONOMETRIQUES
1° Sinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
A B
C
Sinus d’un angle = Côté opposé
Hypoténuse
Sin( BAC ) = BC
AC
Sin ( ACB ) = AC
AB
2° Tangente d’un angle aigu dans un triangle rectangle
A B
C
Tangente d’un angle = Côté opposé
Côté adjacent
Tan ( BAC ) = BC
AB
Tan ( ACB ) = AB
BC
3° Résumé
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu â, on a :
Cos (â ) = ADJACENTHYPOTENUSE
Sin (â ) = OPPOSE
HYPOTENUSE
Tan (â ) = OPPOSE
ADJACENT
4°Choisir le bon rapport trigonométrique.
S
E L
36 °8,5 cm
?Par rapport à l’angle connu
Je connais : l’hypoténuse
Je cherche : le côté opposé
Donc j’utilise Sinus
ESL:
Par rapport à l’angle connu
Je connais : le côté opposé
Je cherche : le côté adjacent
Donc j’utilise Tangente
ESL:
S
E L
36 °
4,5 cm
?
Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché
S
E L
36 °8,5 cm
?
Je cherche la mesure de l’angle
Je connais : l’hypoténuse
Je connais : le côté adjacent
Donc j’utilise Cosinus
ESL:
III FORMULES TRIGONOMETRIQUES
Cos â =
A
B C
â
ABAC
Sin â = BCAC
Tan â =BCAB
1° Relation cosinus sinus
cos² â + sin² â = ABAC
( )² + ( )²BCAC
= AB²AC²
+BC²AC²
=AB² + BC²
AC²Or ABC est un triangle rectangle en B,donc on a d’après le théorème de PythagoreAB² + BC² = AC²
=AC²AC²
= 1
Quel que soit l’angle aigu â,
cos² â + sin² â =1
2° Relation sinus cosinus tangente
= =BCAC
ACAB
=BCAB
= tan âsin âcos â AB
AC
BCAC
Quel que soit l’angle aigu â,
sin âcos â = tan â
3° Utilisation : Sachant que cos â = calculer sin â et tan â3
2
Calcul de sin â
On a : cos² â + sin² â = 1
3
2( )² + sin² â = 1
9
2 + sin² â = 1
sin² â = 1 - 9
2
sin² â = 9
2
9
9
sin² â = 9
7
sin â = 9
7
9
7
sin â = 3
7
Calcul de tan â
tan â = sin âcos â
=3
7
3
2=
3
7× 2
3=
2
7
Conclusion
sin â = 3
7 et tan â = 2
7
IV ANGLE AU CENTRE , ANGLE INSCRIT
1° Définitions
a) Angle au centre
O
AB
Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre d’un cercle
L’angle au centre AOB intercepte l’arc AB
b) Angle inscrit
O
AB
C
Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés coupent le cercle.
L’angle inscrit ACB intercepte l’arc AB
Géoplan
2° Propriétés
O
AB
C
Si un angle inscrit intercepte le même arc qu’un angle au centre, alors sa mesure est égale à la moitié de celle de l’angle au centre
a)
b)
Si deux angles inscrits interceptent le même arc,
alors ils ont même mesure.
86°
43°
Géoplan
O
AB
D
E
F
32°32°
32°