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1
3.3-Propriétés de conservation de puissances Courants Monophasés
Page 3
Théorème de Boucherot
La puissance active totaleest la somme algébriquedes puissances activesde chaque récepteur. Il en est de même pour la puissance réactive
Que les divers récepteurs d'un circuit soient groupés en série ou en parallèle
maisce n'est pas le cas de la puissance apparente
2
Courants Monophasés
1Z 2Z nZ
A B
∑∑∑∑====
±±±±∑∑∑∑====
====±±±±====
∑∑∑∑====
====
∑∑∑∑====
====
n
iiQj
n
iiPjQPS
n
iiQQ
n
iiPP
11
1
1
La puissance consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances consommées dans chaque partie du circuit
Page 3
1Z2Z nZ
A
B
3.3-Propriétés de conservation de puissances
3
Exercice 6 3.3-Propriétés de conservation
Exo 6
Courants Monophasés
Page 3
( ) ( ) WIRIRP 64405.19105.1120 22222
211 =×+×=+=
( ) VARILQ 23905.195021020 2322 =××××== − πω
VAQPS 686022 =+= 93.0cos ==S
Pϕ
AI 5.192 +
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201RVeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R
IAI 5.111 =
4
Exercice 6 3.3-Propriétés de conservation
Exo 6
Courants Monophasés
Page 3
WP 6440=
VARQ 2390=
VAS 6860=
AV
SI
IVS
82.29230
6860 ===
×=
AI 5.192 +
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201RVeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R
IAI 5.111 =
5
Exercice 5 3- Puissances Courants Monophasés
Exo 5 Page 3
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201RVeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V 2R
I
1R
2IL
1I
≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R
IAe
e
R
VI j
j0
0
11 5.11
20
230 ===
( ) Aee
e
j
eI j
j
jj128.32
128.32
00
2 5.19808.11
230
28.610
230 −==+
=
AeIII j 128.3221 85.29 −=+=
2
2211
2
2211 )sinsin()coscos( ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ IIIII −−−−−−−−++++++++====
6
Exercice 7 4- Méthode d’études des circuits
Exo 7
xr
V
I
ZV ’
Courants Monophasés
V
0'V
Ir
Ijx
I ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
V∆∆∆∆αααα
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
sincossincos
'
'
xIrIVVxIrIVV
++++====−−−−++++++++====
7Ka
0≈≈≈≈ααααSi
ϕϕϕϕϕϕϕϕααααϕϕϕϕϕϕϕϕαααα
cossinsinsincoscos '
xIrIVxIrIVV
++++−−−−====++++++++====
ϕϕϕϕϕϕϕϕ sincos xIrIV ++++====∆∆∆∆
Page 3
αααααααα sincos
'
jVVVIjxIrVV
++++====++++++++====
7
4- Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
xr
V ZV ’
CIc
I'I
Bilan des puissances réactives mises en jeu
Puissance réactive de la charge: ϕϕϕϕtan*PQ ====
Puissance réactive du condensateur:2' VCQQQ c ωωωω−−−−====−−−−====
Puissance réactive souhaitée: '' tan* ϕϕϕϕPQ ==== 0' <<<<−−−− QQ
Capacité du condensateur du condensateur: 2
' )tan(tan
V
PC
ωϕϕ −=
Page 3
8
4- Méthode d’études des circuits
Pour l ’étude d ’un circuit linéaire, comportant plusieurs dérivations. Si tous les éléments sont données par leurs impédances, la méthode suivante s ’applique automatiquement.
Courants Monophasés
Page 3
1Z 2Z 3Z11,QP 22,QP33,QP
I
V
1I 2I 3I
3V
B1 2
1. On fixe la tension V3
2. On calcule V
3. On se sert du rapport Vréelle /Vcalculéepour corriger toutes les grandeurs électriques
9
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
Exo 8
Courants Monophasés
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;50,240 321
21
211 RLLCC
RRHzVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI2CI
Page 3
10
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
Exo 8
Courants Monophasés
WR
VPAvB 2000
20
2002
3
23 ===
0=AvBQ
VAIVQPS AvBAvBAvB 2000* 3322 ==+=
AV
SI AvB 10
33 ==
En aval du point B
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1
Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CI
Page 3
11
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
Exo 8
Courants Monophasés
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CIWPPP AvBBAmB 2000=+=
VARQQQ AvBBAmB 100−=+=
VAIVQPS AmBAmBAmB 2002* 2322 ==+=
AV
SI AmB 10
32 ==
En amont du point B
Page 3
VARVCQB 100400
20022
32 −=−=−= ω
12
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
Exo 8
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CI
WIRPP AmBAvA 210010*12000 2222 =+=+=
VARILQQ AmBAvA 10010*2100 2222 =+−=+= ω
2222
22 1002100* +==+= IVQPS AvAAvAAvA
VI
SV AvA 210
10
2102
22 ===
En aval du point A
Page 3
13
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CI
WPPP AvAAAmA 2100=+=
VARQQQ AvAAAmA 10110100 −=−=+=
VAIVQPS AmAAmAAmA 2100* 1222 ==+= A
V
SI AmA 10
21 ==
En amont du point A
Exo 8 Page 4
VARVCQA 1104002102
221 −−−−====−−−−====−−−−==== ωωωω
14
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CI
WIRPP AmAS 220010*12100 2211 =+=+=
VARILQQ AmAS 19010*210 2211 =+−=+= ω
VAIVQPS SSS 22081902200* 2211
22 ====++++========++++==== VIS
V S 2211
1 ========
Au niveau de la source
Page 4
15
4- Méthode d’études des circuits
En utilisant la méthode vue précédemment, on calcule la tension aux bornes de la source et on se sert du rapport
pour corriger les tensions et les courants
Pour toutes les puissances, on utilise le rapport au carré.
calculée
réelle
VV
)()(
(((( )))) calculéecalculée
réelleréelle P
VV
P )()(
)()( 3
23 ====
(((( )))) calculéecalculée
réelleréelle Q
VV
Q )()(
)()( 3
23 ====
Courants Monophasés
fixéeV
calculéeV
réelleVréelleV )3)(
)(
)(()3( ==== calculéeI
calculéeV
réelleVréelleI )3)(
)(
)(()3( ====
Page 4
16
Exercice 9 4- Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
d’après nos calculs on trouve V1égale à 221V,or la valeur réelle de V1 est égale à 240V, d’oùla nécessité de corriger les grandeurs V et I
calculées par le rapport 221240
et les grandeurs P,
Q et S par2
221240
, on trouve donc
V3=(240/221)*200=217,19V
Page 4Exo 9
17
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
Exo 8
Courants Monophasés
WP AvB 67.23582000221
2402
=×
= 0=AvBQ
VASAvB 67.23852000221
2402
=×
= AI 85.1010221
2403 =×
=
En aval du point B
Page 3
( ) WIRPAvB 67.235885.1020 22
33 =×==
Correction:
18
Exercice 8 4- Méthode d’études des circuits
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011
;1;240 32121
211 RLLCC
RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω
≈≈≈≈1V
3I
3R1
1Cjωωωω
ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R
2
1Cjωωωω
00BA
2V 3V
2I1I
1CI 2CI
VIS
V S 2211
1 ========
Au niveau de la source
Page 4
VV 240221221
2401 =×
=
Correction:
19
Exercice 5a Méthode d’études des circuits
( ) Aee
e
j
e
XxjRr
VI j
j
jj8.25
19.32
3.63.6
23.9673.15
3.1513
38.831.13
3.1513
)(−==
+=
+++=
( )
AR
VeV
jZ
xr
j
9.0cos
3.1513
28.696.12
1.2;35.0
3.6
==
Ω+=Ω=Ω=
ϕ
xr
V
I
ZV ’
Courants Monophasés
Page 3
On considère le circuit ci-dessous, calculer le courant I
20
Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
Page 3
Pour améliorer le facteur de puissance, et obtenir 95.0'cos =ϕ
on place aux bornes de la charge un condensateur
A'A
liZ
Z
N
Impédance de la ligne
AI '
ANVNA
V '
Zli=(0.35+j2.1)
xC
AI
95.0cos ' ====ϕϕϕϕ
VAN
V 6.1385' =
21
Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
Page 3
Calculez les grandeurs suivantes:
La puissance active P de la charge
WRIP 1200002
23.9696.122
=×==
La puissance reactive Q de la charge
VARXIQ 581542
23.9628.62
=×==
22
Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
Page 3
Puissance reactive après compensation :'Q
( ) VARPSQ 3944221200002
95.012000022'' =−=−=
Puissance reactive du condensateur :
VARQQQc 187125815439442' −=−=−=
23
Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
Page 3
Réactance d’un condensateur
( ) ( ) Ω=== 6.10218712
6.1385 22'
cx
NAcx Q
VX
La valeur de capacité du condensateur
FXf
Ccx
x µππ
316.102*50*2
1
**2
1 ===
24
Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés
Page 3
La nouvelle valeur du courant de ligne:
AV
PI
NA
AA 16.91
95.0*6.1385
120000
cos* ''
'
===ϕ
Conclusion:
A23.96 Consommation avant compensation
A16.91 Consommation avant compensation
25
Exercices
( ) Ω=+= 5.511 3.808.6250 jejZ
1. Calculer I1 et I2 puis I en prenant U pour origine des arguments. VU 48====
≈≈≈≈U
2I
C
I
1I
R
L
Hzf 50====ΩΩΩΩ==== 50R mH200 FC µµµµ10====
Ω=−== − 902 318
318
1
318
1 jejj
Z
26
Exercices
Aee
e
Z
UI j
j
j5.51
5.51
0
11 598.0
3.80
48 −+ === ( ) Ω=+= 5.51
1 3.808.6250 jejZ11 IZU ×=
Aee
e
Z
UI j
j
j90
90
0
22 151.0
318
48 +− === Ω=−== − 90
2 318318
1
318
1 jejj
Z
( )
AeI
jjjI
eeIII
j
jj
4.40
905.5121
489.0
317.0372.0151.0468.0372.0
151.0598.0
−
+−
=
−=+−=
+=+=
Ce récepteur est-il inductif ou capacitif ?ΩΩΩΩ============ ++++
−−−−
++++4.40
4.40
0
159.98489.048 j
j
j
ee
eI
UZ
04.40 >= °ϕ Ce récepteur est globalement inductif
27
ExercicesFaire un diagramme vectoriel
Aeee
ZU
I jj
j5.51
5.51
0
11 598.0
3.8048 −−−−
++++ ============
Aeee
ZU
I jj
j90
90
0
22 151.0
31848 ++++
−−−− ============
AeI j 4.40489.0 −−−−====
U
2I
2I1I
I
°°°°−−−− 4.40°°°°−−−− 5.51
°+ 90
( ) Ω=+= 5.511 3.808.6250 jejZ
Ω=−== − 902 318
318
1
318
1 jejj
Z
28
Exercices
A la fréquence f, le module de l’impédance complexe d’un condensateur de capacité C = 25 µF est proche de 127 Ω. Quelle est la valeur de la fréquence f ?
fCx2
1
C.
1Z
πω==
Hz50x12725.10x2
1
CZx2
1fsoit
6=== −ππ
29
ExercicesUn dipôle soumis à la tension :
u(t) 4. 2. sin(314. t + 0,524)= est traversé par un courant d’intensité :
i(t) 0,127. 2. sin(314. t - 1,047)=Ce dipôle est : R, L ou C ?ϕϕϕϕ = 0,524 - (- 1,047) = 1,571 rad °== 90
180x1,571
πϕ
C’est donc une inductance pure.
H0,131431,531,5LSoit === ωΩ==== 31,5
0,127
4
I
UL.Z ω
30
ExercicesPour un circuit R, Lw parallèle, tracez la représentation vectorielle de et donnez les expressions de sa valeur efficace I et de son déphasage ϕϕϕϕ
I
≈≈≈≈V
I
RB
BI RI
V0RI
BIϕϕϕϕI
522212B
2 ====++++====++++==== IRII
)(1tan)2)(
2)((1tan)
2
2(1tan)(1tan ωωωω
ωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕ
LR
RVRLVL
RRIBIL
PQ −−−−====−−−−====−−−−====−−−−==== °°°°==== 4.63ϕϕϕϕ
31
Exercices
2Z3R
ΩΩΩΩ103 ====R ΩΩΩΩ)1510(2 jZ ++++====
Calculer l ’impédance équivalente Z?
Ω=Ω+=++
+=
+==
4.192.7)4.28.6(
)1510(10
)1510(*10
23
2*32//3
jej
j
j
ZR
ZRZRZ
32
Le wattmètre dispose d’un circuit courant et d’un circuit tension ( donc à quatre bornes), comme l’indique la figure .
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
33
Diminuer le plus possible les pertes à effet joule essentiellement dans la ligne
L’objectif est le transfert d’une puissance donnée sur une distance importante
en considérant une efficacité optimale.
ASPECTS PRATIQUES
Transport de l ’énergie électrique
Courants Monophasés
34
Utilisation des matériaux de faible résistivité
ASPECTS PRATIQUES
Transport de l ’énergie électrique
Courants Monophasés
35
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
36
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
37
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
38
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
39
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
40
ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés
41
Nombres complexes
Rappels sur les nombres complexes
1.1. Forme algébrique d’un complexe
A tout couple (x, y)∈ /R2, on associe le nombre complexe = a + j bZ
42
Nombres complexes
Un nombre complexeZ s’écrit : jbaZ +=
avec 12 −=j
On appelle a la partie réelle deZ et b la partie imaginaire
On représente le lieu de Z sur un plan complexe(figure 1)
ℜℜℜℜ
ℑℑℑℑ
0
ϕϕϕϕa
bZ
1−−−−figure
43
Nombres complexes
Le module de Z s’écrit 22 baZ +=
Il représente la distance du centre 0 du plan complexe au lieu deZ
.
L’argument ϕ de Z se calcule simplement d’après la figure 1 : a
btg =ϕ
donc )(a
barctag=ϕ
44
Nombres complexes
1.2. Nombre conjugué
On appelle *Z nombre complexe conjugué de Z le complexe défini par :
)()(* ZjZeZ ℑ−ℜ=
Par exemple :.Si 43 jZ += alors 43* jZ −=
45
Nombres complexes
1.3. Forme trigonométrique
)sin(cos ϕϕ jZZ +×=
aZZe =×=ℜ ϕcos)(
bZZm =×=ℑ ϕsin)(
Z
a=ϕcos
Z
b=ϕsin
46
Nombres complexes
1.4. Forme exponentielle d’un complexe
Soit ∈Z ¢, ℜ∈ρ tels que ρ=Z et argument de ϕ=Z
Par convention, la forme exponentielle est ϕjeZZ =Attention !
Soit ϕjeZ 3−= , cette écriture est correcte mais il ne faut pas en déduire que 3−=Z
Mais 3=Z et argument πϕ +=Z
47
Nombres complexes
Exemple1. Addition ou soustraction
ℜℜℜℜ
ℑℑℑℑ
0
ϕϕϕϕ
2Z
2−−−−figure
1Z
Z
1ϕϕϕϕ 2
ϕϕϕϕ
48
Nombres complexes
Considérons la somme ou la différence de deux nombres complexes :
)()()()(21
dbjcajdcjbaZZZ +++=+++=+=
Le module de Z s’écrit alors : 22 )()( dbcaZ +++=
L’argument ϕ de Z se calcule simplement d’après la figure 2: ca
dbtg
++=ϕ
donc )(ca
dbarctag
++=ϕ
On additionne ou on soustrait deux nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.
49
Nombres complexes
Exemple2. Multiplication
Considérons le produit de deux nombres complexes21
* ZZZ =On obtient :
))sin()(cos(*)(*)(2121
2222 ϕϕϕϕ +++++=++= jdcbajdcjbaZ
Cela revient à dire que pour multiplier deux nombres complexesl’un par l’autre, on fait le produit de leurs modules et la somme de leurs arguments
50
Nombres complexes
Exemple3. Division
Considérons le rapport de deux nombres complexes :jdc
jba
Z
ZZ
++==
2
1
Le module de Z s’écrit alors :22
22
22
dc
baBAZ
++=+=
Le module du rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules.
L’argument de Z s’écrit : )()(c
darctg
a
barctg −=ϕ
L’argument du rapport de deux nombres complexes est égal à la différence des arguments.