Théorème de Boucherot - Annales HEIcolasapoil.free.fr/HEI/HEI3...

1

3.3-Propriétés de conservation de puissances Courants Monophasés

Page 3

Théorème de Boucherot

La puissance active totaleest la somme algébriquedes puissances activesde chaque récepteur. Il en est de même pour la puissance réactive

Que les divers récepteurs d'un circuit soient groupés en série ou en parallèle

maisce n'est pas le cas de la puissance apparente

2

Courants Monophasés

1Z 2Z nZ

A B

∑∑∑∑====

±±±±∑∑∑∑====

====±±±±====

∑∑∑∑====

====

∑∑∑∑====

====

n

iiQj

n

iiPjQPS

n

iiQQ

n

iiPP

11

1

1

La puissance consommée dans un circuit est égale à la somme des puissances consommées dans chaque partie du circuit

Page 3

1Z2Z nZ

A

B

3.3-Propriétés de conservation de puissances

3

Exercice 6 3.3-Propriétés de conservation

Exo 6


( ) ( ) WIRIRP 64405.19105.1120 22222

211 =×+×=+=

( ) VARILQ 23905.195021020 2322 =××××== − πω

VAQPS 686022 =+= 93.0cos ==S

Pϕ

AI 5.192 +

VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I

VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201RVeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R

IAI 5.111 =

4

Exercice 6 3.3-Propriétés de conservation

Exo 6


Page 3

WP 6440=

VARQ 2390=

VAS 6860=

AV

SI

IVS

82.29230

6860 ===

×=

AI 5.192 +

VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I


1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R

IAI 5.111 =

5

Exercice 5 3- Puissances Courants Monophasés

Exo 5 Page 3

VeV j 0230= Hzf 50= Ω=102R mHL 20=Ω= 201R

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I


1R

2IL

1I

≈≈≈≈V 2R

I

1R

2IL

1I

≈≈≈≈V ≈≈≈≈≈≈≈≈V 2R

IAe

e

R

VI j

j0

0

11 5.11

20

230 ===

( ) Aee

e

j

eI j

j

jj128.32

128.32

00

2 5.19808.11

230

28.610

230 −==+

=

AeIII j 128.3221 85.29 −=+=

2

2211

2

2211 )sinsin()coscos( ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ IIIII −−−−−−−−++++++++====

6

Exercice 7 4- Méthode d’études des circuits

Exo 7

xr

V

I

ZV ’


V

0'V

Ir

Ijx

I ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

V∆∆∆∆αααα

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

sincossincos

'

'

xIrIVVxIrIVV

++++====−−−−++++++++====

7Ka

0≈≈≈≈ααααSi

ϕϕϕϕϕϕϕϕααααϕϕϕϕϕϕϕϕαααα

cossinsinsincoscos '

xIrIVxIrIVV

++++−−−−====++++++++====

ϕϕϕϕϕϕϕϕ sincos xIrIV ++++====∆∆∆∆

Page 3

αααααααα sincos

'

jVVVIjxIrVV

++++====++++++++====

7

4- Méthode d’études des circuits Courants Monophasés

xr

V ZV ’

CIc

I'I

Bilan des puissances réactives mises en jeu

Puissance réactive de la charge: ϕϕϕϕtan*PQ ====

Puissance réactive du condensateur:2' VCQQQ c ωωωω−−−−====−−−−====

Puissance réactive souhaitée: '' tan* ϕϕϕϕPQ ==== 0' <<<<−−−− QQ

Capacité du condensateur du condensateur: 2

' )tan(tan

V

PC

ωϕϕ −=

Page 3

8

4- Méthode d’études des circuits

Pour l ’étude d ’un circuit linéaire, comportant plusieurs dérivations. Si tous les éléments sont données par leurs impédances, la méthode suivante s ’applique automatiquement.


Page 3

1Z 2Z 3Z11,QP 22,QP33,QP

I

V

1I 2I 3I

3V

B1 2

1. On fixe la tension V3

2. On calcule V

3. On se sert du rapport Vréelle /Vcalculéepour corriger toutes les grandeurs électriques

9


Exo 8


ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ========ΩΩΩΩ============ 20;2;40011

;1;50,240 321

21

211 RLLCC

RRHzVV ωωωωωωωωωωωωωωωω

≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω

ωωωω1jL 1R ωωωω2jL 2R

2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI2CI

Page 3

10


Exo 8


WR

VPAvB 2000

20

2002

3

23 ===

0=AvBQ

VAIVQPS AvBAvBAvB 2000* 3322 ==+=

AV

SI AvB 10

33 ==

En aval du point B


;1;240 32121

211 RLLCC

RRVV ωωωωωωωωωωωωωωωω

≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1

Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CI

Page 3

11


Exo 8



;1;240 32121

211 RLLCC


≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CIWPPP AvBBAmB 2000=+=

VARQQQ AvBBAmB 100−=+=

VAIVQPS AmBAmBAmB 2002* 2322 ==+=

AV

SI AmB 10

32 ==

En amont du point B

Page 3

VARVCQB 100400

20022

32 −=−=−= ω

12


Exo 8


;1;240 32121

211 RLLCC


≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CI

WIRPP AmBAvA 210010*12000 2222 =+=+=

VARILQQ AmBAvA 10010*2100 2222 =+−=+= ω

2222

22 1002100* +==+= IVQPS AvAAvAAvA

VI

SV AvA 210

10

2102

22 ===

En aval du point A

Page 3

13



;1;240 32121

211 RLLCC


≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CI

WPPP AvAAAmA 2100=+=

VARQQQ AvAAAmA 10110100 −=−=+=

VAIVQPS AmAAmAAmA 2100* 1222 ==+= A

V

SI AmA 10

21 ==

En amont du point A

Exo 8 Page 4

VARVCQA 1104002102

221 −−−−====−−−−====−−−−==== ωωωω

14



;1;240 32121

211 RLLCC


≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CI

WIRPP AmAS 220010*12100 2211 =+=+=

VARILQQ AmAS 19010*210 2211 =+−=+= ω

VAIVQPS SSS 22081902200* 2211

22 ====++++========++++==== VIS

V S 2211

1 ========

Au niveau de la source

Page 4

15

4- Méthode d’études des circuits

En utilisant la méthode vue précédemment, on calcule la tension aux bornes de la source et on se sert du rapport

pour corriger les tensions et les courants

Pour toutes les puissances, on utilise le rapport au carré.

calculée

réelle

VV

)()(

(((( )))) calculéecalculée

réelleréelle P

VV

P )()(

)()( 3

23 ====

(((( )))) calculéecalculée

réelleréelle Q

VV

Q )()(

)()( 3

23 ====


fixéeV

calculéeV

réelleVréelleV )3)(

)(

)(()3( ==== calculéeI

calculéeV

réelleVréelleI )3)(

)(

)(()3( ====

Page 4

16

Exercice 9 4- Méthode d’études des circuits Courants Monophasés

d’après nos calculs on trouve V1égale à 221V,or la valeur réelle de V1 est égale à 240V, d’oùla nécessité de corriger les grandeurs V et I

calculées par le rapport 221240

et les grandeurs P,

Q et S par2

221240

, on trouve donc

V3=(240/221)*200=217,19V

Page 4Exo 9

17


Exo 8


WP AvB 67.23582000221

2402

=×

= 0=AvBQ

VASAvB 67.23852000221

2402

=×

= AI 85.1010221

2403 =×

=

En aval du point B

Page 3

( ) WIRPAvB 67.235885.1020 22

33 =×==

Correction:

18



;1;240 32121

211 RLLCC


≈≈≈≈1V

3I

3R1

1Cjωωωω


2

1Cjωωωω

00BA

2V 3V

2I1I

1CI 2CI

VIS

V S 2211

1 ========

Au niveau de la source

Page 4

VV 240221221

2401 =×

=

Correction:

19

Exercice 5a Méthode d’études des circuits

( ) Aee

e

j

e

XxjRr

VI j

j

jj8.25

19.32

3.63.6

23.9673.15

3.1513

38.831.13

3.1513

)(−==

+=

+++=

( )

AR

VeV

jZ

xr

j

9.0cos

3.1513

28.696.12

1.2;35.0

3.6

==

Ω+=Ω=Ω=

ϕ

xr

V

I

ZV ’


Page 3

On considère le circuit ci-dessous, calculer le courant I

20

Exercice 5a Méthode d’études des circuits Courants Monophasés

Page 3

Pour améliorer le facteur de puissance, et obtenir 95.0'cos =ϕ

on place aux bornes de la charge un condensateur

A'A

liZ

Z

N

Impédance de la ligne

AI '

ANVNA

V '

Zli=(0.35+j2.1)

xC

AI

95.0cos ' ====ϕϕϕϕ

VAN

V 6.1385' =

21


Page 3

Calculez les grandeurs suivantes:

La puissance active P de la charge

WRIP 1200002

23.9696.122

=×==

La puissance reactive Q de la charge

VARXIQ 581542

23.9628.62

=×==

22


Page 3

Puissance reactive après compensation :'Q

( ) VARPSQ 3944221200002

95.012000022'' =−=−=

Puissance reactive du condensateur :

VARQQQc 187125815439442' −=−=−=

23


Page 3

Réactance d’un condensateur

( ) ( ) Ω=== 6.10218712

6.1385 22'

cx

NAcx Q

VX

La valeur de capacité du condensateur

FXf

Ccx

x µππ

316.102*50*2

1

**2

1 ===

24


Page 3

La nouvelle valeur du courant de ligne:

AV

PI

NA

AA 16.91

95.0*6.1385

120000

cos* ''

'

===ϕ

Conclusion:

A23.96 Consommation avant compensation

A16.91 Consommation avant compensation

25

Exercices

( ) Ω=+= 5.511 3.808.6250 jejZ

1. Calculer I1 et I2 puis I en prenant U pour origine des arguments. VU 48====

≈≈≈≈U

2I

C

I

1I

R

L

Hzf 50====ΩΩΩΩ==== 50R mH200 FC µµµµ10====

Ω=−== − 902 318

318

1

318

1 jejj

Z

26

Exercices

Aee

e

Z

UI j

j

j5.51

5.51

0

11 598.0

3.80

48 −+ === ( ) Ω=+= 5.51

1 3.808.6250 jejZ11 IZU ×=

Aee

e

Z

UI j

j

j90

90

0

22 151.0

318

48 +− === Ω=−== − 90

2 318318

1

318

1 jejj

Z

( )

AeI

jjjI

eeIII

j

jj

4.40

905.5121

489.0

317.0372.0151.0468.0372.0

151.0598.0

−

+−

=

−=+−=

+=+=

Ce récepteur est-il inductif ou capacitif ?ΩΩΩΩ============ ++++

−−−−

++++4.40

4.40

0

159.98489.048 j

j

j

ee

eI

UZ

04.40 >= °ϕ Ce récepteur est globalement inductif

27

ExercicesFaire un diagramme vectoriel

Aeee

ZU

I jj

j5.51

5.51

0

11 598.0

3.8048 −−−−

++++ ============

Aeee

ZU

I jj

j90

90

0

22 151.0

31848 ++++

−−−− ============

AeI j 4.40489.0 −−−−====

U

2I

2I1I

I

°°°°−−−− 4.40°°°°−−−− 5.51

°+ 90

( ) Ω=+= 5.511 3.808.6250 jejZ

Ω=−== − 902 318

318

1

318

1 jejj

Z

28

Exercices

A la fréquence f, le module de l’impédance complexe d’un condensateur de capacité C = 25 µF est proche de 127 Ω. Quelle est la valeur de la fréquence f ?

fCx2

1

C.

1Z

πω==

Hz50x12725.10x2

1

CZx2

1fsoit

6=== −ππ

29

ExercicesUn dipôle soumis à la tension :

u(t) 4. 2. sin(314. t + 0,524)= est traversé par un courant d’intensité :

i(t) 0,127. 2. sin(314. t - 1,047)=Ce dipôle est : R, L ou C ?ϕϕϕϕ = 0,524 - (- 1,047) = 1,571 rad °== 90

180x1,571

πϕ

C’est donc une inductance pure.

H0,131431,531,5LSoit === ωΩ==== 31,5

0,127

4

I

UL.Z ω

30

ExercicesPour un circuit R, Lw parallèle, tracez la représentation vectorielle de et donnez les expressions de sa valeur efficace I et de son déphasage ϕϕϕϕ

I

≈≈≈≈V

I

RB

BI RI

V0RI

BIϕϕϕϕI

522212B

2 ====++++====++++==== IRII

)(1tan)2)(

2)((1tan)

2

2(1tan)(1tan ωωωω

ωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕ

LR

RVRLVL

RRIBIL

PQ −−−−====−−−−====−−−−====−−−−==== °°°°==== 4.63ϕϕϕϕ

31

Exercices

2Z3R

ΩΩΩΩ103 ====R ΩΩΩΩ)1510(2 jZ ++++====

Calculer l ’impédance équivalente Z?

Ω=Ω+=++

+=

+==

4.192.7)4.28.6(

)1510(10

)1510(*10

23

2*32//3

jej

j

j

ZR

ZRZRZ

32

Le wattmètre dispose d’un circuit courant et d’un circuit tension ( donc à quatre bornes), comme l’indique la figure .

ASPECTS PRATIQUES Courants Monophasés

33

Diminuer le plus possible les pertes à effet joule essentiellement dans la ligne

L’objectif est le transfert d’une puissance donnée sur une distance importante

en considérant une efficacité optimale.

ASPECTS PRATIQUES

Transport de l ’énergie électrique


34

Utilisation des matériaux de faible résistivité

ASPECTS PRATIQUES

Transport de l ’énergie électrique


35


36


37


38


39


40


41

Nombres complexes

Rappels sur les nombres complexes

1.1. Forme algébrique d’un complexe

A tout couple (x, y)∈ /R2, on associe le nombre complexe = a + j bZ

42

Nombres complexes

Un nombre complexeZ s’écrit : jbaZ +=

avec 12 −=j

On appelle a la partie réelle deZ et b la partie imaginaire

On représente le lieu de Z sur un plan complexe(figure 1)

ℜℜℜℜ

ℑℑℑℑ

0

ϕϕϕϕa

bZ

1−−−−figure

43

Nombres complexes

Le module de Z s’écrit 22 baZ +=

Il représente la distance du centre 0 du plan complexe au lieu deZ

.

L’argument ϕ de Z se calcule simplement d’après la figure 1 : a

btg =ϕ

donc )(a

barctag=ϕ

44

Nombres complexes

1.2. Nombre conjugué

On appelle *Z nombre complexe conjugué de Z le complexe défini par :

)()(* ZjZeZ ℑ−ℜ=

Par exemple :.Si 43 jZ += alors 43* jZ −=

45

Nombres complexes

1.3. Forme trigonométrique

)sin(cos ϕϕ jZZ +×=

aZZe =×=ℜ ϕcos)(

bZZm =×=ℑ ϕsin)(

Z

a=ϕcos

Z

b=ϕsin

46

Nombres complexes

1.4. Forme exponentielle d’un complexe

Soit ∈Z ¢, ℜ∈ρ tels que ρ=Z et argument de ϕ=Z

Par convention, la forme exponentielle est ϕjeZZ =Attention !

Soit ϕjeZ 3−= , cette écriture est correcte mais il ne faut pas en déduire que 3−=Z

Mais 3=Z et argument πϕ +=Z

47

Nombres complexes

Exemple1. Addition ou soustraction

ℜℜℜℜ

ℑℑℑℑ

0

ϕϕϕϕ

2Z

2−−−−figure

1Z

Z

1ϕϕϕϕ 2

ϕϕϕϕ

48

Nombres complexes

Considérons la somme ou la différence de deux nombres complexes :

)()()()(21

dbjcajdcjbaZZZ +++=+++=+=

Le module de Z s’écrit alors : 22 )()( dbcaZ +++=

L’argument ϕ de Z se calcule simplement d’après la figure 2: ca

dbtg

++=ϕ

donc )(ca

dbarctag

++=ϕ

On additionne ou on soustrait deux nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.

49

Nombres complexes

Exemple2. Multiplication

Considérons le produit de deux nombres complexes21

* ZZZ =On obtient :

))sin()(cos(*)(*)(2121

2222 ϕϕϕϕ +++++=++= jdcbajdcjbaZ

Cela revient à dire que pour multiplier deux nombres complexesl’un par l’autre, on fait le produit de leurs modules et la somme de leurs arguments

50

Nombres complexes

Exemple3. Division

Considérons le rapport de deux nombres complexes :jdc

jba

Z

ZZ

++==

2

1

Le module de Z s’écrit alors :22

22

22

dc

baBAZ

++=+=

Le module du rapport de deux nombres complexes est égal au rapport des modules.

L’argument de Z s’écrit : )()(c

darctg

a

barctg −=ϕ

L’argument du rapport de deux nombres complexes est égal à la différence des arguments.

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