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Systemes MIMO et codage SpatioTemporelDidier Le Ruyet
Conservatoire National des Arts et Metiers
Email leruyet@cnam.fr
Cours ELE 203
v2.0
CNAM Cours ELE 203. – p.1/77
Plan
Canal radiomobile et diversité
Système MIMO
Capacité et modèles de canaux
Probabilité d’erreurs et critères de construction
Codes spatio-temporels en bloc
Codes en treillis spatio-temporel
CNAM Cours ELE 203. – p.2/77
Canal radiomobile
atténuation proportionnelle à1/dα avecα compris entre 2.5 et 5
bruit thermique
phénomène de masquage ( variation suffisamment lente pour pouvoir
être corrigée par un contrôle de puissance)
multi-trajets engendrant des évanouissements (variationrapide)
interférence entre utilisateurs, cellules, ...
CNAM Cours ELE 203. – p.3/77
Modèle Bande étroiteRéponse équivalente en bande de base :
rb(t) = hb(τ, t) ∗ xb(t)
=
N∑
n=0
αn(t)e−jφn(t)xb(t− τn(t))
avecφn(t) = 2πf0τn(t) − φDn
lorsque l’étalement temporel est trés inférieur au temps symbole, on a :
rb(t) =
N∑
n=0
αn(t)e−jφn(t)xb(t)
CNAM Cours ELE 203. – p.4/77
Modèle Bande étroiteUne petite variation du retard entraîne une grande variation de la phase
du trajet associée
On peut aussi considérer que les retards comme les phases associés aux
N + 1 trajets varient indépendamment et de façon imprévisible. Le
signal reçu est donc un processus aléatoire.
Théorème limite centrale : lorsque le nombre de trajets est grand, la
réponse rb(t) peut être modélisée par un processus complexegaussien.
La distribution du module derb(t) est une distribution de Rayleigh
la phase est distribuée uniformément sur l’intervalle[0, 2π]
CNAM Cours ELE 203. – p.5/77
Distribution de RayleighSoit la variable aléatoireR obtenue comme suit:
R =√
X2
1+ X2
2(1)
Si X1 etX2 sont deux v. a. indépendantes centrées gaussiennes et de varianceσ2, alors
R est une v. a. dont la distribution est de Rayleigh.
pR(r) =r
σ2exp
(
−r2
2σ2
)
(2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
r
p R(r
)
CNAM Cours ELE 203. – p.6/77
Correlation temporelle• Lorsque la somme résultante est nulle ou proche de zéro, on dit qu’il se
produit un évanouissement Les évanouissements sont principalement liés aux
variations des phases
CNAM Cours ELE 203. – p.7/77
Canal de Rayleigh
x i
h i b
i
y i
Si le canal est non sélectif en fréquence :yi = hixi + bi
• ||hi|| = r suit une loi de Rayleigh en absence de trajet direct.
• La phase dehi est distribuée uniformément entre[0; 2π].
CNAM Cours ELE 203. – p.8/77
Performance sur canal gaussien
ni
xi yi
bE±
00,2
NN
� �
� �
� �
TEB =1
2erfc
(
deucl
2√N0
)
avec erfc(a) =2√π
∫ +∞
a
exp(−x2)dx
=1
2erfc
(
√
Eb
N0
)
CNAM Cours ELE 203. – p.9/77
Performance sur canal de Rayleigh
x i
h i b
i
y i
E′b = ||hi||2Eb = r2Eb (3)
• Le taux d’erreurs bit s’obtient en intégrant surr :
TEB =
∫ +∞
0
1
2erfc
(
√
r2Eb
N0
)
p(r)dr
CNAM Cours ELE 203. – p.10/77
Performance sur canal de Rayleigh• Après calcul, on obtient :
TEB =1
2
(
1 −√
γ
1 + γ
)
avecγ le rapport signal à bruit moyen :
γ = E
(
E′b
N0
)
= E
(
r2Eb
N0
)
• Lorsqueγ est grand en utilisant la relation de Taylor
√
γ
1 + γ= 1 − 1
2γ+O
(
1
γ2
)
• Nous obtenons l’approximation suivante :
TEB ≈ 1
4γ CNAM Cours ELE 203. – p.11/77
Diversité• Plus il y a de branches indépendantes, plus la probabilité d’être
simultanément dans un évanouissement diminue :
Pour 2 branches :
Pe ≈ 31
(4γ)2
PourL branches :
Pe ≈ CL2L−1
1
(4γ)L
CNAM Cours ELE 203. – p.12/77
Diversité temporelle, fréquentielle etspatiale
Il est possible d’améliorer les performances d’un système en exploitant
ses différentes diversités
temporelle : le signal est transmis sur plusieurs trames (temps de
cohérence). L’entrelacement est généralement utilisé à cet effet.
Possible uniquement sur des canaux variant dans le temps
fréquentielle : le signal est transmis sur plusieurs bandesde fréquence
(bande de cohérence). Possible uniquement sur les canaux sélectifs en
fréquence. Exemple de technique utilisant cette diversité:
RAKE,OFDM.
spatiale : en utilisant plusieurs antennes à l’émission et àla réception.
Ces antennes doivent être espacées suffisamment pour que
l’évanouissement sur chaque antenne soit indépendant (distance de
cohérence)
CNAM Cours ELE 203. – p.13/77
Système SISO
TX RX
h
h
x
n
y
S E
C = log2(1 + ||h||2ρ) en Sh/2D
avecρ = Es
N0
.
Pour le canal de Rayleigh, la capacité est une variable aléatoireCNAM Cours ELE 203. – p.14/77
Système MISO
TX RX
TX 1
TX N t
TX 2
RX 1
CNAM Cours ELE 203. – p.15/77
Système MISO
1 h
1 x
n
y S
t
E
N
2 h
2 x
Nt h
Nt x
S
t
E
N
S
t
E
N
C = log2(1 +ρ
Nt
Nt∑
i=1
||hi||2)
CNAM Cours ELE 203. – p.16/77
Système SIMO
TX RX
TX 1
RX 1
RX N r
RX 2
CNAM Cours ELE 203. – p.17/77
Système SIMO
1h
x
1n
1y( )SE
2h
Nrh
2y
Nry
2n
Nrn
• la capacité est atteinte par combinaison linéaire optimale(MRC) : on
multiplie chaqueyi parh∗i
ρinstant =Es(∑Nr
i=1 ||hi||2)2N0(
∑Nr
i=1 ||hi||2)=Es(∑Nr
i=1 ||hi||2)N0
=
Nr∑
i=1
||hi||2ρ
C = log2(1 +
Nr∑
i=1
||hi||2ρ) CNAM Cours ELE 203. – p.18/77
Système MIMO
codage etmodulation
c1
décodage etdémodulation
c2
cNt
y1
y2
yNr
h11
hNrNt
entrée binaire sortie binaire
y = Hc + n avec H =
h11 ... h1Nt
......
...
hNr1 ... hNrNt
CNAM Cours ELE 203. – p.19/77
Capacité des systèmes MIMO• hypothèse : canal connu parfaitement à la réception
• r ≤ min(Nt, Nr) est le rang de la matrice de canalH
• Nt ≤ Nr
• Décomposition SVD de la matriceH (dimensionNr ×Nt):
H = UΣVH
Nr × Nt Nt × Nt Nt × Nt
oùU etV sont des matrices unitaires etΣ est la matrice diagonale :
Σ =
√λ1
√λ2
. . .√
λr
0
(4)
oùλi (i = 1, ..., r) sont les valeurs propres non nulles deHHH (Nt ×Nt)CNAM Cours ELE 203. – p.20/77
Capacité des systèmes MIMO
c y
n
H= ΣH U V
y = UΣVHc + n
CNAM Cours ELE 203. – p.21/77
Capacité des systèmes MIMO
c UHVy
n
y~c~
précodage postcodage
HVΣUH=
UHy = UH(UΣVH)Vc + UHn
y = Σc + n
où n est encore gaussien avec la même variance quen.
Système équivalent àr canaux SISO en parallèle dont les puissances
sont données par les valeurs propres.
CNAM Cours ELE 203. – p.22/77
Water filling (cas général)hypothèse :N canaux gaussiens parallèles indépendants
Es =∑N
i=1Esi
bi : C(0, N0i)
x N
b N
y N
b 1
x 1
y 1
1No2No
3No4No
1Es
2Es
3Es
4Es
channel
energy
µ
C =
N∑
i=1
log2
(
1 +Esi
N0i
)
Esi = µ−N0i si N0i ≤ µ
Esi = 0 sinonCNAM Cours ELE 203. – p.23/77
Capacité des systèmes MIMO
1λ
1~c 1
~y
1~n
rλ
rc~
ry~
rn~N0i = N0
λi
C =
Nt∑
i=1
log2
(
1 +Esi
N0λi
)
CNAM Cours ELE 203. – p.24/77
Capacité (suite)Foschini98 Telatar95
hypothèse : canal inconnu à l’émission
la même énergieEsi = Es
Ntest appliquée sur chacune desNt antennes
d’émission
soitρ = Es
Nole rapport signal à bruit à la réception
C(ρ,Nt, Nr) =r∑
i=1
Ci
=
r∑
i=1
log2
(
1 +ρ
Ntλi
)
= log2 det
(
INr+
ρ
NtHHH
)
(5)
CNAM Cours ELE 203. – p.25/77
Capacité ergodique et de coupureLa capacité ergodique s’obtient en calculant l’espérance sur toutes les
réalisations possibles du canal MIMO.
C(ρ,Nt, Nr) = E
{
log2 det
(
INr+
ρ
NtHHH
)
}
(Sh/2D) (6)
Si la durée du bloc d’information est limitée devant le tempsde cohérence du
canal, on utilise la capacité de coupureq% Cout,q. Elle est définie comme le
débit d’information garanti pour(100 − q)% des réalisations du canal, i.e,
P (C ≤ Cout,q) = q%.
CNAM Cours ELE 203. – p.26/77
Capacité ergodique C=f(RSB)
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
35
RSB (dB)
C (
bit/s
/Hz)
Capacité ergodique en fonction du RSB
(1,1) iid(2,2) iid(3,3) iid(4,4) iid(2,2) corr.(3,3) corr.(4,4) corr.
Les capacités ergodiques pour canaux i.i.d gaussiens et pour canaux de transmission corrélés (lien
montant, à l’émission : distance entre antenne =0.5λ, angle de départ= 20 ˚, à la réception
distance entre antenne =4.0λ, angle d’arrivée= 50 ˚, angle de dispersion azimutal= 5 ˚).
La capacité croît en fonction demin(Nt, Nr) log(SNR)CNAM Cours ELE 203. – p.27/77
Modèle de canaux de transmission
• Modèle i.i. d. gaussien
• Modèle de Kronecker :
H = R1/2recΘR
1/2tx
Rtx etRrec sont respectivement les matrices de corrélation à l’émission et à
la réception
Θ est une matriceNr ×Nt i.i.d. gaussienne
• Modèle "trou de serrure"
CNAM Cours ELE 203. – p.28/77
Codes spatio temporel en blocOn considère des canaux à évanouissement par bloc ( constantpendantT
intervalles de temps élémentaires)
Q symbole d’informationS = [s1, s2, ..., sQ]T de dimensionQ× 1 sont
encodés par la matrice codeC de dimensionNt × T :
C =
c11 · · · c1T
......
...
cNt1 · · · cNtT
(7)
Le rendement du code MIMO code est égal àRMIMO = Q/T .
On a alors la relation suivante :
Y = HC + N (8)
oùY etN sont respectivement les matrices de réception et de bruit de
dimensionNr × T .
CNAM Cours ELE 203. – p.29/77
Compromis diversité - rendement Lu03
• Si T ≥ Nt alors
R ≤ Nt − dt + 1
dt diversité à l’émission
Démonstration : borne de Singleton
•Si T < Nt alors
R ≤ Nt −Nt(dt+ 1)
T
CNAM Cours ELE 203. – p.30/77
Compromis facteur de diversité -facteur de multiplexage Zheng03
facteur de diversité d = dtNr = − limSNR→∞
logPe(SNR)
logSNR
facteur de multiplexage r = limSNR→∞
R(SNR)
logSNR
Si T ≥ Nt +Nr − 1, on a la relation limite : d = (Nt − r)(Nr − r)
Multiplexing gain, r
Div
ersi
ty g
ain,
d(r
)Diversity−multiplexing tradeoff
(0,NtN
r)
(1,(Nt−1)(N
r−1))
(r,(Nt−r)(N
r−r))
(min(Nt,N
r),0)
Multiple antenna channel
Single antenna channel
(2,(Nt−2)(N
r−2))
(0,1)
(1,0) CNAM Cours ELE 203. – p.31/77
Probabilité d’erreurs par paire Tarokh98
• Probabilité d’erreurs par paireP {C → C′|H} : probabilité que le
récepteur décode le blocC′ alors que le blocC a été transmis.
Soit la matrice de différence
D =
c11 − c′11 ... c1T − c′1T
c21 − c′21 ... c2T − c′2T
. . .
cNt1 − c′Nt2... cNt2 − c′Nt2
(9)
Soit la matrice hermitiqueE = DDH . Il existe une matrice unitaireT et une
matrice réelle diagonaleU tel queTETH = U. Les éléments de la diagonale
deU sont les valeurs propres deE, i.e.λi; i = 1, 2, .., Nt.
CNAM Cours ELE 203. – p.32/77
Probabilité d’erreurs par paire
P (C → C′|H) =1
2erfc
(
√
Es
4NtN0d2(C,C′)
)
≤ exp
(
− Es
4NtN0d2(C,C′)
)
avec d2(C,C′) =
Nr∑
j=1
hjDDHhHj =
Nr∑
j=1
hjTHUThH
j
=
Nr∑
j=1
Nt∑
i=1
λi||βij ||2
oùhj = [ hj1 hj2 ... hjNt] est la j-ième ligne deH. βij est le ième
élément du vecteurβj = hjTH .
CNAM Cours ELE 203. – p.33/77
Probabilité d’erreurs par pairePour calculerP (C → C′), il faut moyenner sur l’ensemble des||βij ||,
P (C → C′) ≤ E|βij |
Nr∏
j=1
Nt∏
i=1
exp
(
− Es
4N0
1
Ntλi||βij ||2
)
βij sont des variables aléatoires complexes gaussiennes centrées de variance
1/2 par dimension (canal de Rayleigh) :
P (C → C′) ≤Nt∏
i=1
(
1 +Es
4N0
1
Ntλi
)−Nr
Pour les rapports SNR suffisamment élevés on obtient
P (C → C′) ≤(
Es
4N0
1
Nt
)−rdNr
(
rd∏
k=1
λk
)−Nr
(10)
où rd est le rang de la matriceE etλk correspond aux valeurs propres non
nulles de la matrice de différenceD. CNAM Cours ELE 203. – p.34/77
Critères de construction• Objectif : minimiserP {C → C′} pour toutes les paires possibles.
• On dérive deux critères : le critère de rang et le critère de déterminant
• Critère du rang:Afin d’obtenir le degré maximum de diversitéNtNr, la
matrice de différenceD doit avoir un rang plein pour toutes les paires
distinctes de mot de code. Si le rang minimum est égal àrd, le gain de
diversité sera égal àrdNr.
rd = minC 6=C′
rank(C − C′) (11)
• Critère du déterminant:le termerd∏
k=1
λk représente le gain de codage.
Celui-ci doit être maximisé pour l’ensemble de toutes les paires de matrices
codesC.
cg = minC 6=C′
(
rd∏
k=1
λk
)
CNAM Cours ELE 203. – p.35/77
Critères de construction
SNR
TEB
Gain de diversité Gain de codage
Soit la pseudo distancedg = minC 6=C′
(
Nt∏
k=1
λk
)
Si dg 6= 0, alors le code est à diversité maximale etdg est égal au gain de
codageCNAM Cours ELE 203. – p.36/77
Code d’Alamouti Alamouti98
• Pour le casNt = 2 etNr = 1, Alamouti a proposé un code spatio-temporel
avecQ = T = 2 et doncRMIMO = 1.
A l’instant 1, les symboless1 ets2 sont transmis respectivement sur les
antennes1 et2 puis à l’instant 2, les symboles−s∗2 ets∗1 sont transmis sur les
antennes1 et2. Ainsi sous forme matricielle, on a :
CSTBC,2 =
s1 −s∗2s2 s∗1
(12)
[y11 y12] = [h11 h12]
s1 −s∗2s2 s∗1
+ [n11 n12]
Le code présente la propriété d’être orthogonal car nous avons
CSTBC,2CHSTBC,2 =
(
||s1||2 + ||s2||2)
I2
CNAM Cours ELE 203. – p.37/77
Code d’AlamoutiCe système peut se mettre sous la forme équivalente
Y =
y11
y∗12
=
h11 h12
h∗12 −h∗11
s1
s2
+
n11
n∗12
= Hs + N
Pour ce code, le gain de diversité est égal à||h11||2 + ||h21||2.
CommeH est une matrice orthogonale, le décodage au sens du maximum de
vraisemblance (MV) s’obtient simplement en multipliant le vecteur reçu par
HH ,
s = HHY = (||h11||2 + ||h12||2)s + n
CNAM Cours ELE 203. – p.38/77
Code d’Alamouti• 3 dB de moins que la diversité MRC à l’émission
SNR =Es(||h11||2 + ||h12||2)22N0(||h11||2 + ||h12||2)
=Es(||h11||2 + ||h12||2)
2N0
0 5 10 15 20 25 3010
−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Unc
oded
BE
RAlamouti (M=2,N=1)Alamouti (M=2,N=2)MRC (M=2, N=1) MRC (M=2, N=2)canal de Rayleigh
CNAM Cours ELE 203. – p.39/77
Autres codes ST en bloc orthogonaux• Le code d’Alamouti est le seul code orthogonal complexe permettant
d’atteindre la diversité maximale avec un rendement égal àRMIMO = 1
Tarokh99.
• Il existe seulement quelques autres codes orthogonaux complexes ayant un
rendement inférieur à 1. Par exemple pourNt = 3,Nr = 1,Q = 3 etT = 4 et
doncRMIMO = 3/4 on a le matrice code suivante:
CSTBC,3 =
s1 s2 s3 0
−s∗2 s1∗ 0 −s3
−s∗3 0 s1∗ s2
(13)
• Comme précédemment, la structure orthogonale permet de décoder
simplement ce code.
CNAM Cours ELE 203. – p.40/77
Codes ST en bloc presque orthogonaux• Sous réserve de sacrifier la propriété d’orthogonalité, il est possible de
construire des codes de rendement supérieur ou égal à 1.
Exemple :Nt = 4 etRMIMO = 1.
CSTBC,4 =
s1 −s∗2 −s∗3 s4
s2 s1∗ −s∗4 −s3
s3 −s∗4 s1∗ −s2
s4 s∗3 s2∗ s1
(14)
Cette matrice est obtenue à partir de deux matrices d’Alamouti et d’une
transformée de Hadamard.
• Contrairement aux codes STBC orthogonaux on a :
HHH =
4∑
i=1
(||h1i||2)I4 + J (15)
où la matriceJ est la matrice d’interférenceCNAM Cours ELE 203. – p.41/77
Codes ST en bloc presque orthogonaux• la matrice de différenceB n’est pas de rang plein pour toutes les paires de
mot de code.
• Pour obtenir un rang plein, on applique une rotation sur les symboless3 et
s4 :
CSTBC,4 =
s1 −s∗2 −s∗3e−jφrt s4ejφrt
s2 s1∗ −s∗4e−jφrt −s3ejφrt
s3ejφrt −s∗4e−jφrt s1∗ −s2
s4ejφrt s∗3e−jφrt s2∗ s1
(16)
CNAM Cours ELE 203. – p.42/77
Code DAST Damen02
• les codes spatio-temporels DAST (Diagonal Algebraic SpaceTime Block)
sont une généralisation des modulations tournées introduites pour le canal de
Rayleigh par Boullé et Belfiore.
• Le codage spatio-temporel DAST est un code de rendementRMIMO = 1
avecQ = T = Nt construit à partir d’une matrice de rotationM . La matrice
code est de la forme
C = diag(t1, t2, . . . , tNt) (17)
avect = [t1 t2 . . . tNt]T = Ms
• La matrice de rotationM est le produit de la matrice de FourierFNtde
dimensionNt ×Nt et de la matrice diagonale composée des puissances
successives du paramètre de rotationα :
M = FNtdiag
[
1, α, α2, . . . , αNt−1]
(18)
CNAM Cours ELE 203. – p.43/77
Code DAST• Les codes DAST atteignent la diversité maximale deNtNr grâce à
l’extension de constellation.
α est choisi afin de maximiser le gain de codage.
• α est déterminé soit par recherche exhaustive ou en utilisantles propriétés
de la théorie des nombres. Par exemple, pourNt = T = 2 et une modulation
MDP4 des symbolessi, on obtientα = exp( jπ4 )
C =
s1 + s2 exp j π4 0
0 s1 − s2 exp j π4
CNAM Cours ELE 203. – p.44/77
Codes TAST Damen02 El Gamal 03
• Les codes TAST (threaded algebraic space time) sont une généralisation des
codes DAST . Ces codes permettent d’atteindre le compromis optimal entre
gain de diversité et de multiplexage. PourNt = 2,Nr ≥ 2 et un rendement
RMIMO = 2, on a la matrice de code suivante :
C =
s1 − ψtts2 ψ1/2tt (s3 + ψtts4)
ψ1/2tt (s3 − ψtts4) s1 + ψtts2
(19)
oùψtt = ejζtt et ζtt est un paramètre réel à optimiser pour obtenir le meilleur
gain de codage. On aζtt = 0.5 pour une modulation MDP4 etζtt = 0.448
pour une modulation MAQ16.
• Comme pour les codes non orthogonaux, on peut utiliser un décodage
linéaire (ZF ou MMSE), non linéaire (SIC) ou par sphère.
CNAM Cours ELE 203. – p.45/77
Performances des codes TAST• Comparaison des performancesTEM = f(EB/N0) du code d’Alamouti
(2, 2) avec le code TAST(2, 2) pour un débit binaire de 4 bits par intervalle
de temps élémentaire ( MAQ 16 pour le code d’Alamouti et MAQ 4 pour le
code TAST).
5 10 15 20 25
10−4
10−3
10−2
10−1
100
Alamouti codeTAST code
Tau
x d’
erre
urs
bloc
CNAM Cours ELE 203. – p.46/77
Multiplexage spatial V-BLAST Foschini99
mod
ulat
ion
et c
odag
e
dém
odul
atio
n et
déc
odag
e
Exemple :Nt = Nr = N = 2,Q = 2, T = 1 soitRMIMO = 2 :
CV BLAST,2 =
s1
s2
Le signal reçu s’écrit alors :
y11
y21
= H
s1
s2
+
n11
n21
CNAM Cours ELE 203. – p.47/77
Décodage linéaire• Décodeur par forçage à zéro
y = H−1y
s = décision(y)
• Décodeur MMSE
y = (HHH + σ2I)−1HHy
s = décision(y)
CNAM Cours ELE 203. – p.48/77
Décodage par soustraction successived’interférence
1) Décomposition QR deH = QR oùQ est une matrice unitaire etR est une
matrice triangulaire supérieure. On calcule ensuite les deux matricesG etL :
G = diag−1(R)QH
L = diag−1(R)R − IN
2) Multiplication du vecteur reçu parG :
y = Gy = diag−1(R)Rs + Gn
3) Estimation successive des symbolessN , sN−1, . . . , s1
CNAM Cours ELE 203. – p.49/77
Décodage par soustraction successived’interférence
G +
L
+ –
Réduction de l’interférence spatiale
décodeur
sN = décision((y)N)
sN−1 = décision((y)N−1 − sNLN−1,N)...s1 = décision((y)1 − sNL1,N − . . . − s2L1,2)
CNAM Cours ELE 203. – p.50/77
Décodage par sphère• On utilise la relation réelle entrex ety (dimension2N × 1)
x = arg minx
||y − Bx||2
• avecbij =
<(hij) −=(hij)
=(hij) <(hij)
• Equivalent à la recherche du point le plus proche dans un réseau de point
• Au lieu de rechercher les22N points (modulation QPSK), on limite cette
recherche aux points situés dans l’hypersphère de rayon√C1 autour du point
reçuy
CNAM Cours ELE 203. – p.51/77
Décodage par sphère
M(x(c)) = ‖y − Bx(c)‖2
= (x − x)T BT B(x − x) + yT (I − B(BT B)−1BT )y
= (x − x)T RT R(x − x) + yT (I − B(BT B)−1BT )y
où x = (BT B)−1BT y est la solution ZF
R = {rij}2N×2N est une matrice triangulaire avecBT B = RT R obtenue par
factorisation de Cholesky.
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Calcul de métrique
M(x(c)) =
2N∑
i=1
w(x2Ni ) + M′
où w(x2Ni ) =
(
qii
(
zi +
2N∑
j=i+1
qijzj
)2
zi = xi − xi, qii = r2ii, qij =rijrii
pour j > i
• La métrique peut être calculée séquentiellement sur un arbre en partant de
i = 2N (racine de l’arbre) jusqu’ài = 1 comme suit :
M(x2Ni ) =
2N∑
j=i
w(x2Nj ) + M(x2N
2N+1)
= M(x2Ni+1) + w(x2N
i )
avecM(x2N2N+1) = M′.
CNAM Cours ELE 203. – p.53/77
Arbre de décision
Depth 2N
Depth 2N-1
Depth 2N-2
Initial value
Partial metric
Branch metric
)(' 212
NNMM += x
)( 22
NNM x
)( 212
NNM −x
)( 212
NNw −x
)( 22
NNw x
CNAM Cours ELE 203. – p.54/77
Exemple de décodage par sphère• système SISO :N = 1 => réseau de point à 2 dimensions
• Constellation :64-QAMxi ∈ {−7,−5,−3,−1,+1,+3,+5,+7}
x = [1,−3]T
B =
0.5 −1
1 0.5
v = [0.58,−0.31]T
y = [4.08,−0.81]T
x = [0.984,−3.588]T
• Le carré du rayon de la sphèreC1 est fixé à49 (choisi en fonction de la
variance du bruit)CNAM Cours ELE 203. – p.55/77
Exemple
x 1
x 2
x 1
x 2
CNAM Cours ELE 203. – p.56/77
Exemple
x 1
x 2
CNAM Cours ELE 203. – p.57/77
Exemple
14.5
14.5
x 1
x 2
CNAM Cours ELE 203. – p.58/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
CNAM Cours ELE 203. – p.59/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
CNAM Cours ELE 203. – p.60/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
CNAM Cours ELE 203. – p.61/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
CNAM Cours ELE 203. – p.62/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
CNAM Cours ELE 203. – p.63/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
CNAM Cours ELE 203. – p.64/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
CNAM Cours ELE 203. – p.65/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
CNAM Cours ELE 203. – p.66/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
CNAM Cours ELE 203. – p.67/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
CNAM Cours ELE 203. – p.68/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
0
2.5
CNAM Cours ELE 203. – p.69/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
0
2.5
CNAM Cours ELE 203. – p.70/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
0
2.5
CNAM Cours ELE 203. – p.71/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
0
2.5
0.4
CNAM Cours ELE 203. – p.72/77
Exemple
14.5
14.5
19.8
34.3
4.9
19.4
0
14.5
2.5
2.5
x 1
x 2
x 2
x 1
4.9
7.4
0
2.5
0.4
0
0.4
x = [1,−3]T
CNAM Cours ELE 203. – p.73/77
Codage en treillis spatio temporel• Même critères de construction que les codes spatio temporel en bloc
exemple simple :
état 0
état 1
état 2
état 3
00
01
0203
00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
D
antenne 2
antenne 1
01
2 3
modulation MDP4
antenne 1 antenne 2
• Ces codes atteignent le compromis diversité - rendement mais avec une
complexité exponentielle
CNAM Cours ELE 203. – p.74/77
Cod
age
ST
BC
-OF
DM
•Dan
sle
cas
d’un
cana
lsél
ectif
enfr
éque
nce
do
nn
ée
s
d(n
)
. . . . . . . .
Démultiplexeur
TF
DI
TF
DI
. . . . . . . .
Multiplexeur
TF
D
TF
D
Ajout du
préfixe cyclique
Suppression
du préfixe cyclique
Ca
na
l
Ajout du
préfixe cyclique
Suppression
du préfixe cyclique
Conversion
série parallèle
Conversion
série parallèle
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Conversion
parallèle série
Conversion
parallèle série
espac
e tem
ps
freq
uen
ce
freq
uen
ce
espac
e tem
ps
ST
BC
-OF
DM
S
FB
C-O
FD
M
CN
AM
Cou
rsE
LE20
3.–
p.75
/77
References[1] Alamouti, S. M. "A simple transmit diversity technique for wireless communications",
IEEE Journal on Selected Areas on Communication, 16, 1451–1458, 1998.
[2] M. O. Damen, K. Abed-Meraim, J. C. Belfiore, “Diagonal Algebraic Space Time Block
Codes",IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-48,nr3, pp. 628-636, March 2002.
[3] M. O. Damen, A. Tewfik, J. C. Belfiore, “A construction of a space time code based on the
theory of numbers",IEEE Trans. on Information Theory, vol. IT-48,nr3, pp. 753-760,
March 2002.
[4] H. El Gamal, M. O. Damen, “Universal Space Time Coding",IEEE Trans. on Information
Theory, vol. IT-49, pp. 1097-1119, May. 2003.
[5] Foschini, G. J., & Gans, M. J, "On the limits of wireless communications in fading
environment when using multiple antennas",Wireless Personal Communications, 6,
311–335, 1998.
[6] Foschini, G. J., Golden, G. D., Valenzuela, R. A., & Wolniansky, "Simplified processing for
high spectral efficiency wireless communication employingmulti-element arrays",IEEE
Journal on Selected Areas on Communications, 17, 1841–1852, 1999.
[7] Jafarkhani, H, "A quasi-orthogonal space-time block code", IEEE Transaction on
Communication, 49, 1–4, 2000. CNAM Cours ELE 203. – p.76/77
References[1] H. F. Lu,P. V. Kumar, "Rate-diversity tradeoff of space time codes with fixed alphabet and
optimal constructions for PSK modulation",IEEE Transaction on Information Theory, 49,
2747–2751, oct 2003.
[2] Tarokh, V., Jafarkhani, H., & Calderbank, A, "Space-time block codes from orthogonal
designs",IEEE Transaction on Information Theory, 45, 1456–1467, 1999.
[3] Tarokh, V., Seshadri, N., & Calderbank, A. R, "Space-time codes for high data rate wireless
communication: Performance criterion and code construction", IEEE Transaction on
Information Theory, 44, 744–765, 1998.
[4] Telatar, E, "Capacity of multiple antenna Gaussian channels", AT&T Bell Laboratories,
Technical Report1995.
[5] L Zheng and D. N. C. Tse, "Diversity and multiplexing: a fondamental tradeoff in multiple
antenna channels",IEEE Transaction on Information Theory, 49, 1073–1096, may 2003.
CNAM Cours ELE 203. – p.77/77