Post on 30-Apr-2020
CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda
SUPERFICIES.
2.2 Plano tangente y recta normal.2.3 Metrica sobre una superficie: Primera forma fundamental
y aplicaciones.
CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda
2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones implıcitas. Curvas parametri-cas.
2.2 Plano tangente y recta normal.
2.3 Metrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicacio-nes.
2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Operador forma. Curvaturas prin-cipales, formula de Euler. Curvatura de Gauss y media.
CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda
Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica
α : D ⊆ R2 −→ R3
α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.
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Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica
α : D ⊆ R2 −→ R3
α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.
2.2.1 Plano tangente y recta normalUna curva parametrizada C esta contenida en S si existe una parametriza-cion γ : I = (a, b)→ S de C, es decir C = Im(γ) ⊂ S.Sea P = α(u0, v0) un punto de S.
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Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica
α : D ⊆ R2 −→ R3
α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.
2.2.1 Plano tangente y recta normalUna curva parametrizada C esta contenida en S si existe una parametriza-cion γ : I = (a, b)→ S de C, es decir C = Im(γ) ⊂ S.Sea P = α(u0, v0) un punto de S.
Definicion Un vector tangente a S en P , es un vector w ∈ R3 para el queexiste una curva γ : (a, b)→ S
γ(t) = α(u(t), v(t)), t ∈ (a, b),
tal que P = γ(0) y w = γ′(0). Denotamos por TPS el conjunto de vectorestangentes a S en P .
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Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.
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Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.
Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por
γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.
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Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.
Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por
γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.
Derivando con la regla de la cadena obtenemos un vector tangenete a lacurva C
γ′(t) = αu(u(t), v(t))u′(t) + αv(u(t), v(t))v
′(t).
Por tanto, los vectores tangentes a C son combinacion lineal de αu(u(t), v(t))y αv(u(t), v(t)).
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Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.
Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por
γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.
Derivando con la regla de la cadena obtenemos un vector tangenete a lacurva C
γ′(t) = αu(u(t), v(t))u′(t) + αv(u(t), v(t))v
′(t).
Por tanto, los vectores tangentes a C son combinacion lineal de αu(u(t), v(t))y αv(u(t), v(t)).
Proposicion Dado un punto P = α(u0, v0) ( regular) de S, los vectoresαu(u0, v0) y αv(u0, v0) forman una base del plano tangente TPS a S en P .
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La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es
P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =
∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = 0,
con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =
(w1, w2, w3).
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La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es
P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =
∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = 0,
con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =
(w1, w2, w3).
Definicion La recta normal a la superficie S en el punto P , es la recta rNortogonal al plano tangente TPS a S en P . El vector αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)es un vector director de la recta normal. Llamamos vector normal a la su-perficie S en el punto P al vector unitario ortogonal a TPS, que podemoscalcular como
N(u0, v0) =αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||
.
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La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es
P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =
∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = 0,
con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =
(w1, w2, w3).
Definicion La recta normal a la superficie S en el punto P , es la recta rNortogonal al plano tangente TPS a S en P . El vector αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)es un vector director de la recta normal. Llamamos vector normal a la su-perficie S en el punto P al vector unitario ortogonal a TPS, que podemoscalcular como
N(u0, v0) =αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||
.
Si N(u0, v0) = (n1, n2, n3), la ecuacion cartesiana de TPS es:
P + TPS ≡ n1(x− p1) + n2(y − p2) + n3(z − p3) = 0.
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Si la superficie S viene dada por una ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0,F ∈ C∞(R3), sabemos que el vector gradiente ∇F (x, y, z) es ortogonal alas superficies de nivel de F . Por tanto,
∇F (p1, p2, p3) = (Fx(p1, p2, p3), Fy(p1, p2, p3), Fz(p1, p2, p3))
es ortogonal al plano tangente TPS a S en P = (p1, p2, p3). Tenemos que
P+TPS ≡ Fx(p1, p2, p3)(x−p1)+Fy(p1, p2, p3)(y−p2)+Fz(p1, p2, p3)(z−p3) = 0.
Ejemplo Sea S el paraboloide hi-perbolico dado por z = x2 − y2. Esdecir, S viene dada por la ecuacionF (x, y, z) = x2 − y2 − z = 0. El planotangente a S en el punto P = (1, 0, 1)
es P + TPS ≡ 2x− z − 1 = 0.
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2.2.2 Primera forma fundamentalSea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : (a, b)→ R3 definida por
γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ (a, b).
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2.2.2 Primera forma fundamentalSea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : (a, b)→ R3 definida por
γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ (a, b).
La longitud de arco de la curva C se obtiene integrando la raiz cuadrada de
||γ′(t)||2 = ∂γ(t)
∂t· ∂γ(t)∂t
=
= (∂u
∂tαu(u, v) +
∂v
∂tαv(u, v)) · (
∂u
∂tαu(u, v) +
∂v
∂tαv(u, v)) =
= (u′αu + v′αv) · (u′αu + v′αv) =
= E(u′)2 + 2Fu′v′ +G(v′)2 =(u′ v′
)( E F
F G
)(u′
v′
).
con E = αu · αu, F = αu · αv y G = αv · αv.
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Definicion Llamamos primera forma fundamental de la superficie S, a laforma bilineal simetrica
I : Tα(u,v)S × Tα(u,v)S → R
I(w1, w2) =(u′1 v′1
)( E F
F G
)(u′2v′2
)siendo (u′i, v
′i) las coordenadas del vector wi en la base de Tα(u,v)S dada por
{αu(u, v), αv(u, v)}.
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Definicion Llamamos primera forma fundamental de la superficie S, a laforma bilineal simetrica
I : Tα(u,v)S × Tα(u,v)S → R
I(w1, w2) =(u′1 v′1
)( E F
F G
)(u′2v′2
)siendo (u′i, v
′i) las coordenadas del vector wi en la base de Tα(u,v)S dada por
{αu(u, v), αv(u, v)}.
Observaciones
1. La forma cuadratica I(w,w) = ||γ′(t)||2 > 0 (si u′(t) 6= 0 y v′(t) 6= 0) esdefinida positiva.
2. E > 0 y EG− F 2 = ||αu ∧ αv||2 > 0, ya que αu ∧ αv 6= 0
EG−F 2 = (αu ·αu)(αv ·αv)− (αu ·αv)2 = (αu∧αv) · (αu∧αv) = ||αu∧αv||2.
(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c).
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Ejemplo Se considera la superficieS formada por las rectas paralelasal plano z = 0, que se apoyan enla helice dada por la parametrizacionγ(u) = (cosu, senu, u), u ≥ 0 y en eleje OZ.
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Ejemplo Se considera la superficieS formada por las rectas paralelasal plano z = 0, que se apoyan enla helice dada por la parametrizacionγ(u) = (cosu, senu, u), u ≥ 0 y en eleje OZ.
Hallamos una parametrizacion de la superficie. Las rectas que buscamospertenecen a planos z = u. El plano z = u interseca al eje OZ en (0, 0, u) ya la helice en el punto (cosu, senu, u), el segmento de la recta que une estosdos puntos tiene ecuaciones parametricas
(0, 0, u) + λ(cosu, senu, 0), λ ∈ [0, 1].
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Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a
α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].
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Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a
α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].
La parametrizacion es regular (no tiene puntos singulares), ya que
||αu(u, λ) ∧ αλ(u, λ)|| = 1 + λ2 6= 0.
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Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a
α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].
La parametrizacion es regular (no tiene puntos singulares), ya que
||αu(u, λ) ∧ αλ(u, λ)|| = 1 + λ2 6= 0.
La primera forma fundamental es
I(w1, w2) =(u′1 λ′1
)( E F
F G
)(u′2λ′2
)=(u′1 λ′1
)( 1 + λ2 0
0 1
)(u′2λ′2
).
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Aplicaciones
1. Calculo de la longitud de una curva contenida en la superficie
Sean P y Q dos puntos sobre la superficie S y C una curva sobre lasuperficie parametrizada por
γ(t) = α(u(t), v(t)),
y tal que los puntos pertenecen a dicha curva
P = γ(t0), Q = γ(t1).
La longitud de la curva C entre los puntos P y Q es igual a∫ t1
t0
||γ′(t)||dt,
siendo ||γ′(t)||2 = I(γ′(t), γ′(t)).
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Ejemplo Se considera la superficie S parametrizada por
α(u, v) = (u, v, u2 + v2), (u, v) ∈ D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}
(una parte del paraboloide elıptico z = x2 + y2).
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Ejemplo Se considera la superficie S parametrizada por
α(u, v) = (u, v, u2 + v2), (u, v) ∈ D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}
(una parte del paraboloide elıptico z = x2 + y2).
Calculemos:
a) Expresion de la primera forma fundamental de S (en un punto arbi-tratio).
αu(u, v) = (1, 0, 2u), αv(u, v) = (0, 1, 2v)
I(w,w) = E(u′)2+2Fu′v′+G(v′)2 = (1+4u2)(u′)2+8uv u′v′+(1+4v2)(v′)2.
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b) La longitud de las curvas dadas por u = k ( constante) sobre lasuperficie.Las curvas u = k estan parametrizadas por γ(v) = α(k, v). Por tantou′ = ∂u
∂v = 0 y v′ = ∂v∂v = 1, es decir, el vector tangente w a la curva
tiene coordenadas (0, 1)
||γ(v)||2 = I(w,w) = 1 + 4v2.
Como D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}, los lımites de integracionseran la interseccion de la frontera de D con las rectas u = k.
L =
∫ √9−k2−√9−k2
(1 + 4v2)dv = 2√9− k2 + 8(9− k2)3/2
3.
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2. Calculo del angulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla superficie
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2. Calculo del angulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla superficie
Sea w1 el vector tangente a C1 en P y w2 el vector tangente a C2 en P .El angulo θ que forman C1 y C2 es el angulo que forman w1 y w2, ası
cos θ =w1 · w2
||w1|| ||w2||=
I(w1, w2)
I(w1, w1)1/2I(w2, w2)1/2.
Las curvas C1 y C2 son ortogonales si θ = π/2, esto es, si I(w1, w2) =
0.
Si C1 y C2 son las curvas coordenadas (es decir v constante y u cons-tante respectivamente), entonces w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1), entoncescos θ = F/
√EG. Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales
si y solo si F = 0.
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Ejemplo Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria conparametrizacion γ(v) = (2 cosh(v), 0, 2v) alrededor del eje OZ. Repre-sentar sus curvas parametricas en un punto regular y hallar el anguloque forman, utilizando la primera forma fundamental.
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Ejemplo Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria conparametrizacion γ(v) = (2 cosh(v), 0, 2v) alrededor del eje OZ. Repre-sentar sus curvas parametricas en un punto regular y hallar el anguloque forman, utilizando la primera forma fundamental.
La parametrizacion de la ca-tenoide obtenida es α(u, v) =
(2cos(u) cosh(v), 2 sen(u) cosh(v), 2v),(u, v) ∈ [0, 2π)× [−2, 2].Como F = αu · αv = 0, las curvasparametricas son ortogonales.
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3. Calculo del area de una superficie acotada S
Area(S) =∫ ∫
D
||αu(u, v) ∧ αv(u, v)||dudv.
Como ||αu(u, v) ∧ αv(u, v)||2 = EG− F 2, se tiene que
Area(S) =∫ ∫
D
√EG− F 2dudv.
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Ejemplo Hallar el area del paraboloide z = x2 + y2, para (x, y) ∈ D
siendoD = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}.
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Ejemplo Hallar el area del paraboloide z = x2 + y2, para (x, y) ∈ D
siendoD = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}.
Utilizamos la parametrizacion α(u, v) = (ucosv, u sen v, u2), (u, v) ∈ [0, 1]×[0, 2π). De donde
αu(u, v) = (cosu, sen v, 2u), αv(u, v) = (−u sen v, ucosv, 0)
yE = αu · αu = 1 + 4u2, F = αu · αv = 0, G = αv · αv = u2.
Caculamos el area con
Area(S) =∫ ∫
D
√EG− F 2dudv =
∫ ∫D
u√1 + 4u2dudv =
=
∫ 2π
0
dv
∫ 1
0
u√1 + 4u2du =
π(√125− 1)
6.