SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3...

33
CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 M ´ etrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicaciones.

Transcript of SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3...

Page 1: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

SUPERFICIES.

2.2 Plano tangente y recta normal.2.3 Metrica sobre una superficie: Primera forma fundamental

y aplicaciones.

Page 2: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

2.1 Superficie parametrizacida. Ecuaciones implıcitas. Curvas parametri-cas.

2.2 Plano tangente y recta normal.

2.3 Metrica sobre una superficie: Primera forma fundamental y aplicacio-nes.

2.4 Forma y curvatura: Curvatura normal. Operador forma. Curvaturas prin-cipales, formula de Euler. Curvatura de Gauss y media.

Page 3: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica

α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.

Page 4: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica

α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.

2.2.1 Plano tangente y recta normalUna curva parametrizada C esta contenida en S si existe una parametriza-cion γ : I = (a, b)→ S de C, es decir C = Im(γ) ⊂ S.Sea P = α(u0, v0) un punto de S.

Page 5: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Sea S una superficie parametrizada, con representacion parametrica

α : D ⊆ R2 −→ R3

α(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

de clase al menos 3 en el conjunto abierto D y regular en todos sus puntos.

2.2.1 Plano tangente y recta normalUna curva parametrizada C esta contenida en S si existe una parametriza-cion γ : I = (a, b)→ S de C, es decir C = Im(γ) ⊂ S.Sea P = α(u0, v0) un punto de S.

Definicion Un vector tangente a S en P , es un vector w ∈ R3 para el queexiste una curva γ : (a, b)→ S

γ(t) = α(u(t), v(t)), t ∈ (a, b),

tal que P = γ(0) y w = γ′(0). Denotamos por TPS el conjunto de vectorestangentes a S en P .

Page 6: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.

Page 7: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.

Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por

γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.

Page 8: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.

Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por

γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.

Derivando con la regla de la cadena obtenemos un vector tangenete a lacurva C

γ′(t) = αu(u(t), v(t))u′(t) + αv(u(t), v(t))v

′(t).

Por tanto, los vectores tangentes a C son combinacion lineal de αu(u(t), v(t))y αv(u(t), v(t)).

Page 9: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Dado un intervalo I = (a, b) ⊆ R, consideremos la curva plana dada port 7→ (u(t), v(t)) ∈ R2, t ∈ I, siendo u y v funciones reales diferenciables.

Sea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : I → R3 definida por

γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ I.

Derivando con la regla de la cadena obtenemos un vector tangenete a lacurva C

γ′(t) = αu(u(t), v(t))u′(t) + αv(u(t), v(t))v

′(t).

Por tanto, los vectores tangentes a C son combinacion lineal de αu(u(t), v(t))y αv(u(t), v(t)).

Proposicion Dado un punto P = α(u0, v0) ( regular) de S, los vectoresαu(u0, v0) y αv(u0, v0) forman una base del plano tangente TPS a S en P .

Page 10: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es

P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =

∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = 0,

con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =

(w1, w2, w3).

Page 11: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es

P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =

∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = 0,

con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =

(w1, w2, w3).

Definicion La recta normal a la superficie S en el punto P , es la recta rNortogonal al plano tangente TPS a S en P . El vector αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)es un vector director de la recta normal. Llamamos vector normal a la su-perficie S en el punto P al vector unitario ortogonal a TPS, que podemoscalcular como

N(u0, v0) =αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||

.

Page 12: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

La ecuacion cartesiana del plano P +TPS tangente a S en P = α(u0, v0) es

P + TPS ≡ det(PX,αu(u0, v0), αv(u0, v0)) =

∣∣∣∣∣∣x− p1 y − p2 z − p3t1 t2 t3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ = 0,

con X = (x, y, z), P = (p1, p2, p3), αu(u0, v0) = (t1, t2, t3) y αv(u0, v0) =

(w1, w2, w3).

Definicion La recta normal a la superficie S en el punto P , es la recta rNortogonal al plano tangente TPS a S en P . El vector αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)es un vector director de la recta normal. Llamamos vector normal a la su-perficie S en el punto P al vector unitario ortogonal a TPS, que podemoscalcular como

N(u0, v0) =αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||αu(u0, v0) ∧ αv(u0, v0)||

.

Si N(u0, v0) = (n1, n2, n3), la ecuacion cartesiana de TPS es:

P + TPS ≡ n1(x− p1) + n2(y − p2) + n3(z − p3) = 0.

Page 13: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Si la superficie S viene dada por una ecuacion implıcita F (x, y, z) = 0,F ∈ C∞(R3), sabemos que el vector gradiente ∇F (x, y, z) es ortogonal alas superficies de nivel de F . Por tanto,

∇F (p1, p2, p3) = (Fx(p1, p2, p3), Fy(p1, p2, p3), Fz(p1, p2, p3))

es ortogonal al plano tangente TPS a S en P = (p1, p2, p3). Tenemos que

P+TPS ≡ Fx(p1, p2, p3)(x−p1)+Fy(p1, p2, p3)(y−p2)+Fz(p1, p2, p3)(z−p3) = 0.

Ejemplo Sea S el paraboloide hi-perbolico dado por z = x2 − y2. Esdecir, S viene dada por la ecuacionF (x, y, z) = x2 − y2 − z = 0. El planotangente a S en el punto P = (1, 0, 1)

es P + TPS ≡ 2x− z − 1 = 0.

Page 14: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

2.2.2 Primera forma fundamentalSea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : (a, b)→ R3 definida por

γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ (a, b).

Page 15: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

2.2.2 Primera forma fundamentalSea C una curva contenida en la superficie S y dada por una parametriza-cion γ : (a, b)→ R3 definida por

γ(t) = α(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))), t ∈ (a, b).

La longitud de arco de la curva C se obtiene integrando la raiz cuadrada de

||γ′(t)||2 = ∂γ(t)

∂t· ∂γ(t)∂t

=

= (∂u

∂tαu(u, v) +

∂v

∂tαv(u, v)) · (

∂u

∂tαu(u, v) +

∂v

∂tαv(u, v)) =

= (u′αu + v′αv) · (u′αu + v′αv) =

= E(u′)2 + 2Fu′v′ +G(v′)2 =(u′ v′

)( E F

F G

)(u′

v′

).

con E = αu · αu, F = αu · αv y G = αv · αv.

Page 16: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Definicion Llamamos primera forma fundamental de la superficie S, a laforma bilineal simetrica

I : Tα(u,v)S × Tα(u,v)S → R

I(w1, w2) =(u′1 v′1

)( E F

F G

)(u′2v′2

)siendo (u′i, v

′i) las coordenadas del vector wi en la base de Tα(u,v)S dada por

{αu(u, v), αv(u, v)}.

Page 17: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Definicion Llamamos primera forma fundamental de la superficie S, a laforma bilineal simetrica

I : Tα(u,v)S × Tα(u,v)S → R

I(w1, w2) =(u′1 v′1

)( E F

F G

)(u′2v′2

)siendo (u′i, v

′i) las coordenadas del vector wi en la base de Tα(u,v)S dada por

{αu(u, v), αv(u, v)}.

Observaciones

1. La forma cuadratica I(w,w) = ||γ′(t)||2 > 0 (si u′(t) 6= 0 y v′(t) 6= 0) esdefinida positiva.

2. E > 0 y EG− F 2 = ||αu ∧ αv||2 > 0, ya que αu ∧ αv 6= 0

EG−F 2 = (αu ·αu)(αv ·αv)− (αu ·αv)2 = (αu∧αv) · (αu∧αv) = ||αu∧αv||2.

(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)(b · d)− (a · d)(b · c).

Page 18: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Se considera la superficieS formada por las rectas paralelasal plano z = 0, que se apoyan enla helice dada por la parametrizacionγ(u) = (cosu, senu, u), u ≥ 0 y en eleje OZ.

Page 19: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Se considera la superficieS formada por las rectas paralelasal plano z = 0, que se apoyan enla helice dada por la parametrizacionγ(u) = (cosu, senu, u), u ≥ 0 y en eleje OZ.

Hallamos una parametrizacion de la superficie. Las rectas que buscamospertenecen a planos z = u. El plano z = u interseca al eje OZ en (0, 0, u) ya la helice en el punto (cosu, senu, u), el segmento de la recta que une estosdos puntos tiene ecuaciones parametricas

(0, 0, u) + λ(cosu, senu, 0), λ ∈ [0, 1].

Page 20: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a

α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].

Page 21: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a

α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].

La parametrizacion es regular (no tiene puntos singulares), ya que

||αu(u, λ) ∧ αλ(u, λ)|| = 1 + λ2 6= 0.

Page 22: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Una parametrizacion de la superficie que buscamos es igual a

α(u, λ) = (λcosu, λ senu, u) (u, λ) ∈ [0,+∞)× [0, 1].

La parametrizacion es regular (no tiene puntos singulares), ya que

||αu(u, λ) ∧ αλ(u, λ)|| = 1 + λ2 6= 0.

La primera forma fundamental es

I(w1, w2) =(u′1 λ′1

)( E F

F G

)(u′2λ′2

)=(u′1 λ′1

)( 1 + λ2 0

0 1

)(u′2λ′2

).

Page 23: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Aplicaciones

1. Calculo de la longitud de una curva contenida en la superficie

Sean P y Q dos puntos sobre la superficie S y C una curva sobre lasuperficie parametrizada por

γ(t) = α(u(t), v(t)),

y tal que los puntos pertenecen a dicha curva

P = γ(t0), Q = γ(t1).

La longitud de la curva C entre los puntos P y Q es igual a∫ t1

t0

||γ′(t)||dt,

siendo ||γ′(t)||2 = I(γ′(t), γ′(t)).

Page 24: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Se considera la superficie S parametrizada por

α(u, v) = (u, v, u2 + v2), (u, v) ∈ D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}

(una parte del paraboloide elıptico z = x2 + y2).

Page 25: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Se considera la superficie S parametrizada por

α(u, v) = (u, v, u2 + v2), (u, v) ∈ D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}

(una parte del paraboloide elıptico z = x2 + y2).

Calculemos:

a) Expresion de la primera forma fundamental de S (en un punto arbi-tratio).

αu(u, v) = (1, 0, 2u), αv(u, v) = (0, 1, 2v)

I(w,w) = E(u′)2+2Fu′v′+G(v′)2 = (1+4u2)(u′)2+8uv u′v′+(1+4v2)(v′)2.

Page 26: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

b) La longitud de las curvas dadas por u = k ( constante) sobre lasuperficie.Las curvas u = k estan parametrizadas por γ(v) = α(k, v). Por tantou′ = ∂u

∂v = 0 y v′ = ∂v∂v = 1, es decir, el vector tangente w a la curva

tiene coordenadas (0, 1)

||γ(v)||2 = I(w,w) = 1 + 4v2.

Como D = {(u, v) ∈ R2 | u2 + v2 ≤ 9}, los lımites de integracionseran la interseccion de la frontera de D con las rectas u = k.

L =

∫ √9−k2−√9−k2

(1 + 4v2)dv = 2√9− k2 + 8(9− k2)3/2

3.

Page 27: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

2. Calculo del angulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla superficie

Page 28: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

2. Calculo del angulo que forman en P dos curvas C1 y C2 contenidas enla superficie

Sea w1 el vector tangente a C1 en P y w2 el vector tangente a C2 en P .El angulo θ que forman C1 y C2 es el angulo que forman w1 y w2, ası

cos θ =w1 · w2

||w1|| ||w2||=

I(w1, w2)

I(w1, w1)1/2I(w2, w2)1/2.

Las curvas C1 y C2 son ortogonales si θ = π/2, esto es, si I(w1, w2) =

0.

Si C1 y C2 son las curvas coordenadas (es decir v constante y u cons-tante respectivamente), entonces w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1), entoncescos θ = F/

√EG. Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales

si y solo si F = 0.

Page 29: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria conparametrizacion γ(v) = (2 cosh(v), 0, 2v) alrededor del eje OZ. Repre-sentar sus curvas parametricas en un punto regular y hallar el anguloque forman, utilizando la primera forma fundamental.

Page 30: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria conparametrizacion γ(v) = (2 cosh(v), 0, 2v) alrededor del eje OZ. Repre-sentar sus curvas parametricas en un punto regular y hallar el anguloque forman, utilizando la primera forma fundamental.

La parametrizacion de la ca-tenoide obtenida es α(u, v) =

(2cos(u) cosh(v), 2 sen(u) cosh(v), 2v),(u, v) ∈ [0, 2π)× [−2, 2].Como F = αu · αv = 0, las curvasparametricas son ortogonales.

Page 31: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

3. Calculo del area de una superficie acotada S

Area(S) =∫ ∫

D

||αu(u, v) ∧ αv(u, v)||dudv.

Como ||αu(u, v) ∧ αv(u, v)||2 = EG− F 2, se tiene que

Area(S) =∫ ∫

D

√EG− F 2dudv.

Page 32: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Hallar el area del paraboloide z = x2 + y2, para (x, y) ∈ D

siendoD = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}.

Page 33: SUPERFICIES. 2.2 Plano tangente y recta normal. 2.3 ...dma.aq.upm.es/profesor/rueda_s/srueda_archivos/CurvSup/Apuntes/... · CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda SUPERFICIES. 2.2 Plano

CURVAS Y SUPERFICIES, S.L. Rueda

Ejemplo Hallar el area del paraboloide z = x2 + y2, para (x, y) ∈ D

siendoD = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}.

Utilizamos la parametrizacion α(u, v) = (ucosv, u sen v, u2), (u, v) ∈ [0, 1]×[0, 2π). De donde

αu(u, v) = (cosu, sen v, 2u), αv(u, v) = (−u sen v, ucosv, 0)

yE = αu · αu = 1 + 4u2, F = αu · αv = 0, G = αv · αv = u2.

Caculamos el area con

Area(S) =∫ ∫

D

√EG− F 2dudv =

∫ ∫D

u√1 + 4u2dudv =

=

∫ 2π

0

dv

∫ 1

0

u√1 + 4u2du =

π(√125− 1)

6.