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1) INTRODUCTION L’invention du jeu d’échecs est le cadre d’une célèbre légende.�
Environ 3000 ans avant Jésus Christ, en Inde, le Roi BELKIB, morose, offrit une forte récompense à
quiconque lui offrirait une distraction exceptionnelle.
Un certain SISSA lui�proposa un nouveau jeu : les Echecs.
BELKIB, enthousiaste, demanda alors à SISSA�ce qu’il souhaitait en tant que prix de sa trouvaille.
SISSA lui proposa de disposer un�grain de riz sur la première case de l’échiquier, puis dix millions de plus
sur la deuxième case, et ainsi de suite en augmentant de dix millions à chaque fois le nombre de grains. Sa
récompense serait le total des grains de riz ainsi répartis.�
Un peu plus tard, SISSA réfléchit à sa récompense : " Quel idiot ! J’aurais du lui demander de
déposer 1 grain de riz sur la première case, puis le double sur la deuxième case et ainsi de suite en
doublant chaque fois le nombre de grains."
QU’EN PENSEZ- VOUS ?
Quelques informations utiles ou inutiles :
§ Le jeu d’échecs se joue sur un échiquier de 64 cases.�
§ Un grain de riz pèse environ 0,06 g.�
§ En 2017, la production mondiale de riz est estimée à 466 millions de tonnes.
SUITES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES
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2) SUITES ARITHMETIQUES
A. DEFINITION
Déf ini t ion : Une suite 𝑢! est dite arithmétique si chaque terme est obtenu à partir du précédent
par addit ion d’une constante.
Autrement dit, dire qu’une suite 𝑢! est arithmétique signifie qu’il existe un réel 𝑟 tel que, pour tout entier
naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢! + 𝑟.
La constante 𝑟 est appelée la raison de la suite 𝑢! .
Exemple 1 :
§ La suite (𝑢!) des nombres pairs définie par 𝑢! = 0 𝑢!!! = 𝑢! + 2
est une suite arithmétique de terme
initial 0 et de raison 2.
§ La suite (𝑢!) définie sur ℕ par 𝑢! = 1 𝑢!!! = 𝑢! + 𝑛
n’est pas une suite arithmétique.
En effet, 𝑢! = 1,𝑢! = 𝑢! + 0 = 1,𝑢! = 𝑢! + 2 = 2… Donc pour passer d’un terme au suivant on
n’ajoute pas toujours le même nombre.
Remarque : Une suite arithmétique est parfaitement définie par la donnée de son premier terme et
de sa raison.
Exemple 2 :
(𝑢!) est une suite arithmétique de raison −2 et de terme initial 𝑢! = 4.
Déterminer 𝑢!.
Remarque : Pour démontrer qu’une suite 𝑢! est arithmétique, on peut montrer que, pour tout
entier naturel 𝑛, 𝑢!!! − 𝑢! est constante. Cette constante est alors la raison de la suite.
Exemple 3 :
Démontrer que la suite (𝑢!) suivante est une suite arithmétique : 𝑢! = 3𝑛 − 4
Faire maintenant les exercices 1, 2 f iche de T.D.1
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B. FORMULE EXPLICITE
Théorème : Terme général d’une suite ar i thmétique
La suite 𝑢! est arithmétique de raison 𝑟 si et seulement si, pour tout entier naturel 𝑝, et pour tout entier
naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 𝑝 𝑟.
En part icul ier :
§ Si 𝑝 = 0, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛𝑟.
§ Si 𝑝 = 1, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 1 𝑟.
§ Si 𝑝 = 2, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢! + 𝑛 − 2 𝑟.
§ ...
Exemple 4 :
Dans chacun des cas suivants, (𝑢!) est une suite arithmétique.
Exprimer 𝑢! en fonction de 𝑛 et calculer 𝑢!""
§ Le premier terme est 𝑢! = −4 et la raison est !!.
§ Le premier terme est 𝑢! = 1 et la raison est −0,25 .
§ La suite (𝑢!) est définie sur ℕ telle que 𝑢! = 18 et 𝑢!" = 13.
Faire maintenant les exercices 3, 4, 5 f iche de T.D.1
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C. REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE SUITE ARITHMETIQUE
Propriété : Les points représentant d’une suite arithmétique sont alignés.
Exemple 5 : Représenter graphiquement les six premiers termes de la suite arithmétique de premier
terme −3 et de raison 1,5.
Faire maintenant l ’exercice 6 f iche de T.D.1
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D. SENS DE VARIATION Théorème : Soit 𝑢! une suite arithmétique de raison 𝑟.
§ Si 𝑟 > 0, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.
§ Si 𝑟 < 0, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.
§ Si 𝑟 = 0, alors la suite 𝑢! est constante.
Exemple 6 :
Soit (𝑢!) la suite définie par : ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑢! = 2𝑛 − 3.
1) Quelle est la nature de cette suite ?
2) Déterminer son sens de variation.
3) Déterminer la valeur 𝑛 à partir de laquelle 𝑢! > 100.
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4) Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il permette de retrouver ce
résultat.
5) Modifier cet algorithme pour que 𝐴 étant donné, il permette de déterminer la plus petite valeur 𝑛 pour
laquelle 𝑢! > 𝐴.
6) Programmer cet algorithme sur la calculatrice.
Exemple 7 : Uti l isat ion du mode suite de la calculatr ice
Utiliser la calculatrice pour afficher un tableau avec les termes de la suite arithmétique de premier
terme 𝑢! = −4 et de raison 𝑞 = 2,2 ∶
En utilisant l’expression du terme général 𝑢! en fonction de 𝑛.
Faire maintenant l ’exercice 7 f iche de T.D.1
InitialisationUprendlavaleur….Nprendlavaleur…..TraitementTantque…….Nprendlavaleur……Uprendlavaleur…..FinduTantqueSortieAfficher…..
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3) SUITES GEOMETRIQUES
A. DEFINITION
Déf ini t ion : Une suite 𝑢! est dite géométrique si chaque terme est obtenu à partir du précédent
par mult ipl icat ion par une constante.
Autrement dit, dire qu’une suite 𝑢! est géométrique signifie qu’il existe un réel 𝑞 tel que, pour tout entier
naturel 𝑛, 𝑢!!! = 𝑢!×𝑞.
La constante 𝑞 est appelée la raison de la suite 𝑢! .
Exemple 10 :
§ La suite (𝑢!) des puissances de 3 définie par 𝑢! = 1 𝑢!!! = 3𝑢! est une suite géométrique de terme
initial 1 et de raison 3.
§ La suite (𝑢!) définie sur ℕ∗ par 𝑢! = 2 𝑢! = 𝑛 − 1 ×𝑢!
n’est pas une suite géométrique.
En effet, 𝑢! = 2,𝑢! = 𝑢!×1 = 2,𝑢! = 𝑢!×2 = 4… Donc pour passer d’un terme au suivant on ne
multiplie pas toujours par le même nombre.
Remarque : Une suite géométrique est parfaitement définie par la donnée de son premier terme et
de sa raison.
Exemple 11 :
(𝑢!) est une suite géométrique de raison −2 et de terme initial 𝑢! = 4.
Calculer les quatre premiers termes de la suite.
Remarque : Pour démontrer qu’une suite 𝑢! est géométrique, on cherche à exprimer 𝑢!!! sous
la forme 𝑞×𝑢! ou, si tous les termes sont non nuls, on peut montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, !!!!!!
est
constant. Cette constante est alors la raison de la suite.
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Exemple 12 :
Démontrer que la suite (𝑢!) définie sur ℕ suivante est une suite géométrique : 𝑢! = 2×3!!!!
Exemple 13 : Répondre aux questions suivantes pour chacun des trois algorithmes ci-dessous :
Algorithme1 Algorithme2 Algorithme3Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1Traitement:Pouriallantde1ànUprendlavaleur2 × 𝑈FinPourSortie:AfficherU
Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1Traitement:Pouriallantde1ànUprendlavaleur2 × 𝑈AfficherUFinPour
Variables:n,ientiersnaturelsUréelInitialisation:SaisirnUprendlavaleur–1iprendlavaleur0Traitement:Tantquei<nUprendlavaleur2 × 𝑈iprendlavaleuri+1FinTantqueAfficherU
1) Si on entre 3, qu’affiche l’algorithme ?
2) Que fait cet algorithme ?
3) (𝑢!) est-elle géométrique ?
Faire maintenant les exercices 1,2 f iche de T.D.2
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B. FORMULE EXPLICITE Théorème : Terme général d’une suite géométr ique
La suite 𝑢! est géométrique de raison 𝑞 ≠ 0 si et seulement si, pour tout entier naturel 𝑝, et pour tout
entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!
En part icul ier :
§ Si 𝑝 = 0, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!
§ Si 𝑝 = 1, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!
§ Si 𝑝 = 2, alors pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢! = 𝑢!×𝑞!!!.
§ ...
Exemple 14 :
Dans chacun des cas suivants, (𝑢!) est une suite géométrique.
Exprimer 𝑢! en fonction de 𝑛 et calculer 𝑢!".
§ Le premier terme est 𝑢! = −1 et la raison est !!.
§ Le premier terme est 𝑢! = −1 et la raison est −2 .
§ La suite (𝑢!) est définie sur ℕ telle que 𝑢! = 1 et 𝑢! = 4.
Faire maintenant les exercices 3, 4, 5, 6 f iche de T.D.2
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C. SENS DE VARIATION Théorème : Soit 𝑢! une suite géométrique de raison 𝑞 positive et différente de 1.
1er cas : Si 𝒖𝟎 est posit i f
§ Si 𝑞 > 1, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.
§ Si 0 < 𝑞 < 1, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.
2ème cas : Si 𝒖𝟎 est négat i f
§ Si 𝑞 > 1, alors la suite 𝑢! est strictement décroissante.
§ Si 0 < 𝑞 < 1, alors la suite 𝑢! est strictement croissante.
Remarque :
§ Une suite géométrique de raison 1 est constante.
§ Une suite géométrique de raison strictement négative n’est pas monotone.