SUITES GEOMETRIQUES. ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI On peut créer des figures...

SUITESGEOMETRIQUES

ACTIVITE PREPARATOIRE : TAPIS DE SIERPINSKI

On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.

Etape 1 : soit un triangle

Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.


On peut créer des figures géométriques par la répétition de règles simples.

Etape 1 : soit un triangle

Etape 2 : on trace dans celui-ci le triangle construit sur les milieux des côtés.On colorie le triangle central.

Etape 3 : pour chacun des triangles non coloriés repartir à l’étape 1.


Déterminer le nombre de triangles non coloriés pour chaque génération.


U1 = 1

Génération 1 :

Génération 2 :


U1 = 1

U2 = 3

Génération 1 :

Génération 2 :

Génération 3 :


U1 = 1

U2 = 3

U3 = 9

Génération 1 :

Génération 2 :

Génération 3 :

Génération 4 :


U1 = 1

U2 = 3

U3 = 9

U4 = 27

Génération 1 :

Génération 2 :

Génération 3 :

Génération 4 :

Génération 5 :


U1 = 1

U2 = 3

U3 = 9

U4 = 27

U5 = 81

Génération 1 :

Génération 2 :

Génération 3 :

Génération 4 :

Génération 5 :


Quelle est la relation permettant de calculer U2 à partir de U1?U3 à partir de U2? …


U1 = 1

U2 = 3

U3 = 9

U4 = 27

× 3

× 3

× 3

31U2U

32U3U

33U4U

U5 = 81

× 3 34U5U

Génération 1 :

Génération 2 :

Génération 3 :

Génération 4 :

Génération 5 :


Exprimer le nombre de triangles non coloriés Un à la génération n en fonction de Un-1 .

31U2U

31nUnU

32U3U

33U4U 34U5U

32U3U


Exprimer U2 en fonction de U1 ; U3 en fonction de U1 ; Un en fonction de U1 …

31U2U 331U

31nUnU 1n31U

33U4U

34U5U

231U

3231U

3331U

331U 431U

A RETENIR

Une suite géométrique est une suite de nombresdont chaque terme est obtenu à partir du précédent en multipliant par un nombre constant appelé raisonet noté q.

Chacun des termes est désigné par Un ,n indiquant le rang dans la suite.

q1nUnU 1nq1U

EXEMPLELes premiers termes d’une suite de nombres sont :2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ;...

• Montrer que cette suite est géométrique.

• Déterminer U1 et la raison q.

• Calculer U6.

42

8 4

8

32 4

32

128 4

128

512

Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 4donc la suite est géométrique.

U1= 2 et q = 4

U6 = U5 × q = 512 × 4 =2 048

• Calculer U20.

U20 = U1 q19 = 2 419 = 549 755 813 888

APPLICATION

1) Combien avez-vous d’ancêtres à la quatrième génération ?

ARBRE GENEALOGIQUE

moi

GENERATION :

1

père mère

moi

GENERATION :

1

2

père mère

père mère père mère

moi

GENERATION :

1

3

2

père mère père mère père mère père mère

père mère


moi

GENERATION :

1

4

3

2

Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération.

ARBRE GENEALOGIQUE

2) Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération ?

Il n’est pas concevable de compter le nombre d’ancêtres de chaquegénération.

Que proposez-vous comme méthode ?

Le nombre d’ancêtres forme-t-il une suite arithmétique ou géométrique?

père mère père mère père mère père mère

père mère


moi 1

8

4

2

Nombre d’ancêtres :

ARBRE GENEALOGIQUE

2) Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération ?

Le nombre d’ancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U1 = 1 et de raison q = 2.

Le rapport entre les termes consécutifs est constant et égal à 2 donc la suite est géométrique.

21

2

1U2U 2

2

4

2U3U 2

4

8

3U4U

11U 22U 43U 84U

U40 = U1 q39 = 1 239 = 549 755 813 888

Calculons U40 :

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