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description
STT-3220Méthodes de prévision
Section 5
Estimation de la fonction d’autocovariance (k) et de la fonction d’autocorrélation (k)
Version: 11 décembre 2008
STT-3220; Méthodes de prévision2
Cas où la moyenne est connue
On veut estimer , où
Un estimateur naturel de repose sur
0, kk
.,,cov
ktt
ktt
ZZE
ZZk
0, kk
kn
ttkt ZZ
1
STT-3220; Méthodes de prévision3
Étude des c’(k)
On note:
Ceci nous amène à poser:
kknk
ZZEZZE
kn
t
kn
ttkt
kn
ttkt
1
11
.0,'
,,0
,10,1
'1
kkc
nk
nkZZkn
kc
kn
ttkt
STT-3220; Méthodes de prévision4
Fonction d’autocovariance échantillonnale ( connu)
On dit que est la fonction d’autocovariance échantillonnale.
C’est une première définition. On se rappelle que est définie non-
négative. Ce n’est pas le cas pour . Pour retrouver cette propriété, on doit
considérer de diviser par n et non pas n-k.
Zkkc ,'
Zkk , Zkkc ,'
STT-3220; Méthodes de prévision5
Étude des c’’(k)
On pose alors:
On perd l’absence de biais, mais pour k fixé:
.0,''
,,0
,10,1
''1
kkc
nk
nkZZn
kc
kn
ttkt
kkn
kkc
n
knEkcE
n
1'''
STT-3220; Méthodes de prévision6
Étude des c’’(k) (suite)
On obtient donc que les c’’(k) sont asymptotiquement sans biais (ASB).
Pour estimer:
Estimateur:
1
1
11 n
nk
kn
k
nZV
1
1
''11ˆ
n
nk
kcn
k
nZV
STT-3220; Méthodes de prévision7
Fonction d’autocovariance échantillonnale ( inconnu)
On considère:
C’est la fonction d’autocovariance échantillonnale de délai k. On remarque que la variance échantillonnale est:
.0,
,,0
,10,1
1
kkc
nk
nkZZZZn
kc
kn
ttkt
n
kt ZZ
nc
1
210
STT-3220; Méthodes de prévision8
Propriétés des c(k) (i) , où , où
K est fixé par rapport à n.
(ii) Si n est fixé, le biais est de l’ordre de 1/n, et le biais croît en général avec k.
(iii) L’autocorrélation échantillonnale c(k) est convergente en moyenne quadratique pour (k).
(iv) Si alors on a que:
kkcEn
lim 10 nKk
TT kkcc ,,0,,,0 γc
cΣ0γc ,21 NnL
STT-3220; Méthodes de prévision9
Fonction d’autocorrélation échantillonnale ( inconnu)
On rappelle que l’autocorrélation de délai k est donnée par:
Afin d’estimer (k), on introduit les r(k):
0 kk
11,
0
1
2
1
nkZZ
ZZZZ
c
kckr n
tt
kn
ttkt
STT-3220; Méthodes de prévision10
Propriétés des r(k) Sous des hypothèses générales sur le processus
, en particulier sur les hypothèses de moments
(i) , où , où K est fixé par rapport à n.
(ii), Pour n fixé, le biais de r(k) est de l’ordre de 1/n, et il croît en général avec k.
(iii) L’autocorrélation r(k) est un estimateur convergent en moyenne quadratique de r(k), pour
.
ZtZ t ,
kkkkk 2,
kkcEn
lim 10 nKk
Kk 1
STT-3220; Méthodes de prévision11
Propriétés des r(k), (suite)
(iv) La structure de covariance entre r(h) et r(k) est donnée par:
(v) Si , alors on a que
2222
,covlim
khhkkh
khkhkrhrnn
TT kkrr ,,1,,,1 ρr
rL
Nn Σ0ρr ,21