Post on 13-Aug-2015
Cours de Statistique Inférentielle Prof : A.koukous
par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR
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Séance 1 : le 19/03/2013 de 16h à 18h
Variable aléatoire continue :
Une variable aléatoire est dite continue si l’ensemble de ses valeurs possibles est un intervalle dans .
I. Fonction densité de probabilité f( )
Si vérifie 3 propriétés :
1- ( )
2- ( ) est un intégral sur tout intervalle de
3- ∫ ( ) ( )
Exemple :
( ) {
1- ( )
2 ( )
3-
∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )
N’est pas dans l’intervalle = 0
∫
[
]
Donc ( ) Est une fonction de densité de probabilité
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par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR
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II. Variable Aléatoire Associé à une fonction :
On dit que X et V.A.A à la fonction densité ( )
Si seulement si pour tout ⌈ ⌉
* + ∫ ( )
Et on note : soit ( ) ( ) ( )
Propriétés :
1- * + en effet
* + * + ∫ ( )
2- Conséquence
* + * + * + * +
III. Espérance, Variance et Ecart type :
Soit X Variable aléatoire ( ) ( )
Espérance de X noté ( ) :
( ) ∫ ( ) ∫ ( )
Variance (X), Var(X) :
Si ( )
( ) ∫ ( )
( ) ∫ ( )
∫ ( )
( )
Ecart-type ( ):
( ) √ ( )
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par : Fatih Ibrahim Şırkuh FSJES-AGADIR
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IV. Fonction de répartition de Variable aléatoire associé :
( ) ( ) Noté F ( ) est défini par
( ) * + ∫ ( )
Propriétés :
Soit ( ) ( ) et ( ) fonction de répartition
1- ( ) existe sur 2- li ( ) li ( )
3- ( ) est une fonction continue et croissante sur
4- Si ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )
Proposition :
Soit la fonction de ( ) ( ) et ( ) fonction de répartition et ( )
* + ( ) ( )
C'est-à-dire la variable aléatoire continue X est complétement déterminée par sa fonction de répartition
associée
Remarque :
( ) ( ) Et ( ) fonction de répartition associée
Alors ( ) ( )
Proposition : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Soit X une variable aléatoire continue tel que ( ) ( )
*| | +
*| | +