Post on 27-Feb-2018
7/25/2019 Revision Simplexe
1/75
Rvisionde
lalgorithme du simplexe
7/25/2019 Revision Simplexe
2/75
Forme standard
Aprs avoir transform les contraintes dingalit en galits, nous
retrouvons le problme sous sa forme standard o certaines variablespeuvent tre des variables dcart:
min
Sujet
1 1 2 2 ... n nz cx c x c x= + + +
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++
=+++
.......
....
......
2211
22222121
11212111
0...,,, 21 nxxx
7/25/2019 Revision Simplexe
3/75
min z
Sujet
0...,,, 21 nxxx
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++
=+++
... ....
....
......
2211
22222121
11212111
0...2211 =+++ zxcxcxc nn
7/25/2019 Revision Simplexe
4/75
Simplexe forme avec tableauxItration typique
Dcrivons une itration typique pour rsoudre le problme gnral avec lesimplexe forme avec tableaux
Le systme
zzxcxcxc
bxaxaxax
bxaxaxax
bxaxaxax
bxaxaxax
nnssmm
mnmnsmsmmmm
rnrnsrsmrmr
nnssmm
nnssmm
=++++
=+++++
=++++++
=++++++
=++++++
++
++
++
++
++
......
..........
......
....
......
......
11
11
11
2221122
1111111
7/25/2019 Revision Simplexe
5/75
Itration typique
peut tre reprsenter dans le tableau suivant
7/25/2019 Revision Simplexe
6/75
tape 1: Choix de la variable dentre
En se rfrant la dernire ligne du tableau, soit jj
s cc01
min
=
Si 0, alors la solutioncourante est optimale etlalgorithme sarrte
sc
Si < 0, alorsxs est lavariable dentre
sc
Variable dentre
7/25/2019 Revision Simplexe
7/75
tape 2: Choix de la variable de sortie
Variable dentre
Si
le problme nest pasborn et lalgo. sarrte
mia is 10
Sialors la sol. demeure ralisable
La variable dentrexs prend la valeur
0isi tel que a >
0> isaqueteli
is
issisiiabxxabx = 0
>==
0:min1
is
is
i
mirs
r
s aa
b
a
bx
0i isi sx b a x=
7/25/2019 Revision Simplexe
8/75
tape 2: Choix de la variable de sortie
Variable dentre
Variable de sortie
7/25/2019 Revision Simplexe
9/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Llment de pivot est lintersection de laligne de la variable dentrexs et de la colonnede la variable de sortiex
r
rsa
rsa
7/25/2019 Revision Simplexe
10/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Divisons la ligne r par llmentde pivot afin dobtenir laligne rrsultante
rsa
rsa
1
7/25/2019 Revision Simplexe
11/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Divisons la ligne r par llmentde pivot afin dobtenir laligne rrsultante
rsa
11 1r m rn r
rs rs rs rs
a a b
a a a a
+
7/25/2019 Revision Simplexe
12/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Multiplions la ligne rrsultantepar pour la soustraire de laligne i du tableau. Ceci ramne le
coefficient de la variable dentrexs 0.
isa
11 1r m rn r
rs rs rs rs
a a b
a a a a
+
7/25/2019 Revision Simplexe
13/75
tape 3: Pivot
rsa
11 1r m rn r
rs rs rs rs
a a b
a a a a
+
Variable dentre
Variable de sortie
Multiplions la ligne rrsultantepar pour la soustraire de laligne i du tableau. Ceci ramne le
coefficient de la variable dentrexs 0.
isa
7/25/2019 Revision Simplexe
14/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Multiplions la ligne rrsultantepar pour la soustraire de laligne i du tableau. Ceci ramne le
coefficient de la variable dentrexs 0.
isa
11 1r m rn r
rs rs rs rs
a a b
a a a a
+
7/25/2019 Revision Simplexe
15/75
tape 3: Pivot
rsa
Variable dentre
Variable de sortie
Multiplions la ligne rrsultantepar pour la soustraire de laligne i du tableau. Ceci ramne le
coefficient de la variable dentrexs 0.
isa
11 1r m rn r
rs rs rs rs
a a b
a a a a
+
7/25/2019 Revision Simplexe
16/75
Tableau rsultant
pouramorcer la prochaine itration
7/25/2019 Revision Simplexe
17/75
Problmes quivalents
min z = 8x 6y minz
Sujet Sujet
5x + 3y + u =30 5x + 3y + u =30
2x + 3y + p =24 2x + 3y + p =24
1x + 3y + h = 18 1x + 3y + h = 18
x,y, u,p, h 0 8x 6y z = 0x,y, u,p, h 0
7/25/2019 Revision Simplexe
18/75
Tableau quivalent au systme
min z = 8x 6y minz
Sujet Sujet
5x + 3y + u =30 5x + 3y + u =30
2x + 3y + p =24 2x + 3y + p =24
1x + 3y + h = 18 1x + 3y + h = 18
x,y, u,p, h 0 8x 6y z = 0x,y, u,p, h 0
u = 30 5x 3y
p = 24 2x 3yh = 18 1x 3y
z = 0 8x 6y
7/25/2019 Revision Simplexe
19/75
u = 30 5x 3yp = 24 2x 3y
h = 18 1x 3y
z = 0 8x 6y
tale 1: Critre dentre
Pour dterminer la variable dentre,
nous choisissons llment le plus
petit de la dernire ligne du tableaumin {8, 6, 0, 0, 0} = 8.
x est donc la variable dentre
{ }1mins jj nc c =
7/25/2019 Revision Simplexe
20/75
u = 30 5x 3y
p = 24 2x 3y
h = 18 1x 3y
z = 0 8x 6y
tape 2: critre de sortie variable dentre
Pour identifier la variable de sortie
dterminons le min des quotients des
termes de droite diviss par leslments correspondants dans la
colonne de la variable dentre
qui sont positifs:
>== 0:min1 isis
i
mirs
r
s aa
b
a
b
x
7/25/2019 Revision Simplexe
21/75
u = 30 5x 3y
p = 24 2x 3y
h = 18 1x 3y
z = 0 8x 6y
tape 2: critre de sortie variable dentre
min {30/5, 24/2, 18} = 30/5 = 6
La variable correspondante u
devient la variable de sortie
>==
0:min1 isis
i
mirs
r
s aa
b
a
b
x
7/25/2019 Revision Simplexe
22/75
u = 30 5x 3y
p = 24 2x 3y
h = 18 1x 3y
z = 0 8x 6y
Variable de sortie variable dentre
tape 3 : Pivot
Transformation du systme ou
du tableau
7/25/2019 Revision Simplexe
23/75
variable de sortie
variable dentre
Ceci est quivalent (5x + 3y + u =30) / 5 =>x + 3/5y + 1/5u = 6
En terme du tableau, ceci est quivalent diviser la ligne de la variable de
sortie par le coefficient de la variable dentre dans cette ligne
7/25/2019 Revision Simplexe
24/75
Divisons cette ligne par 5
variable de sortie
variable dentre
Ceci est quivalent (5x + 3y + u =30) / 5 =>x + 3/5y + 1/5u = 6
En terme du tableau, ceci est quivalent diviser la ligne de la variable de
sortie par le coefficient de la variable dentre dans cette ligne
7/25/2019 Revision Simplexe
25/75
Divisons cette ligne par 5
variable de sortie
variable dentre
Le tableau qui en rsulte est le suivant
3/ 5 1/ 5 6x y u+ + =
7/25/2019 Revision Simplexe
26/75
Divisons cette ligne par 5
variable de sortie
variable dentre
Le tableau qui en rsulte est le suivant
3/ 5 1/ 5 6x y u+ + =
7/25/2019 Revision Simplexe
27/75
Ceci est quivalent : p = 24 2(6 1/5u 3/5y) +2x 2x 3y 2x + 3y +p 2 (x +3/5y + 1/5u) = 24 2(6) 2x + 3y +p = 24
2 (x +3/5y + 1/5u = 6)0x + 9/5y 2/5u + p = 12
deuxime lignemoins2(la premire ligne)
7/25/2019 Revision Simplexe
28/75
Le tableau devient
deuxime lignemoins2(la premire ligne)
0 9 / 5 2 / 5 12x y u p+ + =
7/25/2019 Revision Simplexe
29/75
Le tableau devient
deuxime lignemoins2(la premire ligne)
0 9 / 5 2 / 5 12x y u p+ + =
7/25/2019 Revision Simplexe
30/75
En rptant le processus pour les autres lignes du tableau
7/25/2019 Revision Simplexe
31/75
Mthode du simplexe notation matricielle
7/25/2019 Revision Simplexe
32/75
Mthode du simplexe notation matricielle
Le problme de programmation linaire sous la forme standard
min
Sujet
peut aussi scrire
1 1 2 2 ... n nz c x c x c x= + + +
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
....
....
...
...
2211
22222121
11212111
0...,,, 21 nxxx
Tmin
Sujet
0
, ,
matrice
n m
z c x
Ax b
x
c x R b R
A m n
=
=
7/25/2019 Revision Simplexe
33/75
[ ]T
5 3 1 0 0
2 3 0 1 0
1 3 0
Problme du restaurat
0 1
8, 6,0,0,0
30
24
1
eur
8
:
x y u p h
A
c
b
=
=
=
min 8 6
Sujaet 5 3 30
2 3 24
1 3 18
, , , , 0
z x y
x y u
x y p
x y h
x y u p h
=
+ + =
+ + =
+ + =
T
5 3
min
Sujet
0
, ,
matrice 3 5
z c x
x b
x
c x R b R
A
=
=
7/25/2019 Revision Simplexe
34/75
Mthode du simplexe notation matricielle
min z
Sujet
0...,,, 21
nxxx
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++
=+++
...
....
....
......
2211
2222212111212111
0...2211 =+++ zxcxcxc nn
T
min
Sujet
00
, ,
matrice
n m
z
x b
c x zx
c x R b R
A m n
=
=
7/25/2019 Revision Simplexe
35/75
Mthode du simplexe notation matricielle
Considrons le problme de programmation linaire sous sa formematricielle
Supposons que m n et que la matriceA est de plein rang (i.e., rang(A) =
m, ou que les lignes deA sont linairement indpendantes ) Une sous matriceB deA est une base deA si elle est mxm et non singulire(i.e,B-1 existe)
T
minSujet
0
0
z
Ax b
c x z
x
=
=
7/25/2019 Revision Simplexe
36/75
Mthode du simplexe notation matricielle
Une sous matriceB deA est une base deA si elle est mxm et non singulire(i.e,B-1 existe)
Pour faciliter la prsentation, supposons que la baseB que nousconsidrons est compose des m premires colonnes deA, et ainsi
Dnotons galement
Le problme original peut scrire
[ ]RBA =
=
R
B
x
xx
=
R
B
c
cc
7/25/2019 Revision Simplexe
37/75
T
minSujet
0
0
zAx b
c x z
x
=
=
[ ]
T T
min
Sujet
00
B
R
B
B RR
z
xB R bx
x
c c zx
x
=
=
7/25/2019 Revision Simplexe
38/75
[ ]
T T
min
Sujet
0
0
B
R
B
B R R
z
xB R bx
xc c z
x
x
=
=
T T
minSujet
0
, 0
B R
B B R R
B R
zBx Rx b
c x c x z
x x
+ =
+ =
7/25/2019 Revision Simplexe
39/75
ExprimonsxB en fonction dexR en utilisant les contraintes du problme
Ainsi
bRxBx RB =+
bBRxBxB RB11 )( =+
bBRxBBxB RB111
=+
bBRxBIx RB11
=+
bBRxBIx RB11
+=
7/25/2019 Revision Simplexe
40/75
En remplaantxB par sa valeur
en fonction dexR dans lquation
de la fonction conomique
T T
minSujet
0
, 0
B R
B B R R
B R
zBx Rx b
c x c x z
x x
+ =
+ =
1 1
T 1 1 T
min
Sujet
( ) 0
, 0
B R
B R R R
B R
z
Ix B Rx B b
c B Rx B b c x z
x x
+ =
+ + =
Notons que ces deux problmes sontquivalents car le deuxime est obtenudu premier laide doprations
lmentaires utilisant une matricenon singulireB-1
7/25/2019 Revision Simplexe
41/75
En regroupant les coefficients dexR
1 1
T 1 1 T
min
Sujet
( ) 0
, 0
B R
B R R R
B R
z
Ix B Rx B b
c B Rx B b c x z
x x
+ =
+ + =
1 1
T T 1 T 1
min
Sujet
0 ( )
, 0
B R
B R B R B
B R
z
Ix B Rx B b
x c c B R x z c B b
x x
+ =
+ =
7/25/2019 Revision Simplexe
42/75
Le problme se traduit dans le tableau suivant
0,
)(0
min
11
11
=+
=+
RB
TBR
TB
TRB
RB
xx
bBczxRBccx
bBRxBIxSujet
z
7/25/2019 Revision Simplexe
43/75
7/25/2019 Revision Simplexe
44/75
Les variables dexB (dnotesjusquici variables dpendantes)
qui sont associes aux colonnesde la baseB, sont dnotesvariables de base
Les variables dexR (dnotesjusquici variables
indpendantes) sont dnotesvariables hors base
7/25/2019 Revision Simplexe
45/75
Pour obtenir la solution de base associe la baseB,
posons xR = 0et alors xB =B-1b.
La solution de base est ralisable sixB 0
7/25/2019 Revision Simplexe
46/75
Puisque tout tableau du simplexe est associ une base deA constituedes colonnes associes aux variables de base (variables dpendantes),il sensuit que dans lalgorithme du simplexe, nous passons dunesolution de base ralisable une nouvelle solution de base ralisableayant une valeur plus petite ou gale.
7/25/2019 Revision Simplexe
47/75
Notion de multiplicateurs du simplexe
Considrons la dernire ligne du tableau du simplexe associ la baseBqui correspond aux vecteurs des cots relatifs des variables:
TBc
TRc
T T T T T 10B B B B Bc c c c c B B
= = =
T T T 1R R Bc c c B R
=
[ ]T T T T T 1 T 1, , T TB R B R B B
c c c c c c B B R c c B A
= = =
7/25/2019 Revision Simplexe
48/75
Notion de multiplicateurs du simplexe
Dnotons le vecteur dfini par
Alors
Ou
o dnote lajime colonne de lamatrice de contrainteA
mR
T T 1Bc B
=
T T Tc c A=
Tj j jc c a =
ja
est le vecteur des multiplicateursdu simplexe associ la baseB.
T T T 1Bc c c B A
=
[ ] [ ] [ ]T1 1 1, , , , , ,n n nc c c c a a= i i
7/25/2019 Revision Simplexe
49/75
Notion de multiplicateurs du simplexe
Le vecteur des multiplicateurs du simplexe permet de calculer
les cots relatifs directement partir des donnes originales duproblme.
Les composantes i (i=1,2,,m) du vecteur des multiplicateurs peuvent treconsidrs comme des poids associs aux lignes i du tableau (ou auxcontraintes i du problme) tel que la soustraction dune combinaison
linaire des lignes avec ces poids de la dernire ligne du tableau permetdannuler les cots relatifs des variables de base.
Tj j jc c a =
jc
7/25/2019 Revision Simplexe
50/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite Les multiplicateurs du simplexe associs une base optimale permettent de
mesurer leffet de modifier les termes de droite sur la valeur optimale dun
problme. Considrons le problme original et un autre o les termes de droite sont
modifis
T
minSujet
00
z
Ax b
c x z
x
=
=
T
minSujet
00
z
Ax b b
c x z
x
= +
=
7/25/2019 Revision Simplexe
51/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite
Dnotons parB* une base optimale du problme original, et la solution debase optimale correspondante
dont la valeur (optimale pour le problme) est donne par
T
minSujet
00
z
x b
c x z
x
=
=
T
minSujet
00
z
Ax b b
c x z
x
= +
=
*
* * 1*
0
0R
B
x
x B b b=
= =
* T * T * T * 1 T* * * *R R
B B B Bz c x c x c B b c b
= + = =
7/25/2019 Revision Simplexe
52/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite
Choisissons la valeur de de telle sorte que
DoncB* demeure une base ralisable pour le nouveau problme modifi
puisque la solution de base associe est
T
minSujet
00
z
Ax b
c x zx
=
=
T
minSujet
00
z
Ax b b
c x z
x
= +
=
b
0)( 1*1*1* +=+ bBbBbbB
0)(~0~
1**
*
* +=
=
bbBx
x
B
R
7/25/2019 Revision Simplexe
53/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite
DoncB* demeure une base ralisable pour le nouveau problme modifipuisque la solution de base associe est
De plus, puisque ni les cots cj ni la matriceA nont t modifis, alors levecteur des multiplicateur * reste inchang. Par consquent les cotsrelatifs demeurent inchangs et donc non ngatifs pour le nouveauproblme.
DoncB* demeure donc une base optimale pour le nouveau problme.
0)(~0~
1**
*
* +=
=
bbBx
x
B
R
jc
*T T * 1*
Bc B
=
*T T *Tc c A=
S i i i i
jc
7/25/2019 Revision Simplexe
54/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite
Une solution optimale pour le nouveau problme est donc:
valuons la valeur optimale du nouveau problme:
0)(~0
~
1**
*
* +=
=
bbBx
x
B
R
* T * T ** *
T * 1*
T * 1 T * 1* *
* *T
* *
1
( )R R
B B
B
B B
m
i i
i
z c x c x
c B b b
c B b c B b
z b
z b
=
= +
= +
= +
= +
= +
*T T * 1*
Bc B
=
* T * 1*
Bz c B b
=
S iti it d l l ti l
7/25/2019 Revision Simplexe
55/75
Sensitivit de la valeur optimale aux
modifications des termes de droite
valuons la valeur optimale du nouveau problme:.
Ainsi, indique la taux de variationunitaire de la valeur optimale de lafonction conomique lorsque le termede droite bi de la contrainte i est modifidune quantit choisie de tellesorte que la base demeure ralisablepour le nouveau problme.
*i
ib
* T * T ** *
T * 1*
T * 1 T * 1* *
* *T
* *
1
( )R R
B B
B
B B
m
i i
i
z c x c x
c B b b
c B b c B b
z b
z b
=
= +
= +
= +
= +
= +
7/25/2019 Revision Simplexe
56/75
Problme du restaurateur transform en min
Transformons les contraintes dingalit du problme du restaurateur engalit avec les variables dcart u, p et h:
min z = 8x 6y min z = 8x 6y
Sujet Sujet
5x + 3y 30 5x + 3y + u =30
2x + 3y 24 2x + 3y + p =24
1x + 3y 18 1x + 3y + h = 18
x,y 0 x,y, u,p, h 0
*T T * 1*
Bc B
=
1 1
x y u p h z
7/25/2019 Revision Simplexe
57/75
B1 11 0 0 0 3
4 41 3
0 0 1 0 34 41 5
0 1 0 0 312 123 1
0 0 0 1 542 2
x
p
y
z
[ ]*T
1 104 41 3 3 1
8 0 6 1 04 4 2 21 5
012 12
= =
* * *
1
2 1 2 3
3
3 1 3 154 0 54 0
2 2 2 2
Tz z b
b
b b b b
b
= +
= + = +
* *1 1
30 0
2b b z z < > >
7/25/2019 Revision Simplexe
58/75
Mthode de rsolution graphique
Mthodes pour problme ne comportant que deux variables
Revenons au problme du restaurateur aprs lavoirtransformer en un problme de min:
min z = 8x 6y
Sujet 5x + 3y 30
2x + 3y 24
1x + 3y 18x,y0
7/25/2019 Revision Simplexe
59/75
Domaine ralisable
Traons la droite
5x + 3y = 30
Lensemble des points quisatisfont la contrainte
5x + 3y 30
sont sous cette droite car lorigine
satisfait cette relation
7/25/2019 Revision Simplexe
60/75
Domaine ralisable
Traons la droite
2x + 3y = 24
Lensemble des points quisatisfont la contrainte
2x + 3y 24
sont sous cette droite car loriginesatisfait cette relation
7/25/2019 Revision Simplexe
61/75
Domaine ralisable
Traons la droite
1x + 3y = 18
Lensemble des points quisatisfont la contrainte
1x + 3y 18
sont sous cette droite car loriginesatisfait cette relation
7/25/2019 Revision Simplexe
62/75
Domaine ralisable
Lensemble des points ralisablespour le systme
5x + 3y 302x + 3y 24
1x + 3y 18
x,y0
R l i
7/25/2019 Revision Simplexe
63/75
Rsolution
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. Plus on sloigne de lorigine,
plus la valeur diminue:
x = 0 ety = 0 =>z = 0
8
6 68
droites de pente
6
zy x=
R l ti
7/25/2019 Revision Simplexe
64/75
Rsolution
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. Plus on sloigne de lorigine,
plus la valeur diminue:
x = 0 ety = 0 =>z = 0
x = 0 ety = 6 =>z = 36
8 030 61
x
x
y
y x =
= =+ =
3 18x y+ =
R l ti
7/25/2019 Revision Simplexe
65/75
Rsolution
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. Plus on sloigne de lorigine,
plus la valeur diminue:
x = 0 ety = 0 =>z = 0
x = 0 ety = 6 =>z = 36x = 6 ety = 0 =>z = 48
0 65 30 03
y
x
y
x y =
= =+ =
5 3 30x y+ =
R l ti
7/25/2019 Revision Simplexe
66/75
Rsolution
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. Plus on sloigne de lorigine,
plus la valeur diminue:
x = 0 ety = 0 =>z = 0
x = 0 ety = 6 =>z = 36x = 6 ety = 0 =>z = 48
x = 3 ety = 5 =>z = 54.
Impossible daller plus loin sans
sortir du domaine ralisable.
Solution optimale:
x = 3 ety = 5Valeur optimale:z = 54
3 3
3 3
3
18 5
5 3 30
1
18
4 2
xx y
xy
y yx
x
= =
+ =
+ = =
+
=
=
5 3 30x y+ =
3 18x y+ =
*T T * 1*
Bc B
=
1 11 0 0 0 3
x y u p h z
7/25/2019 Revision Simplexe
67/75
1 0 0 0 3
4 41 30 0 1 0 3
4 41 5
0 1 0 0 312 123 1
0 0 0 1 542 2
x
p
y
z
[ ]*T
1 104 41 3 3 1
8 0 6 1 04 4 2 21 5
012 12
= =
* * *
1
2 1 2 3
3
3 1 3 154 0 54 0
2 2 2 2
Tz z b
b
b b b b
b
= +
= + = +
* *1 1
30 0
2b b z z < > >
Domaine ralisable
7/25/2019 Revision Simplexe
68/75
Domaine ralisable
Lensemble des points ralisablespour le systme
5x + 3y 302x + 3y 24
1x + 3y 18
x,y0
Rsolution graphique
7/25/2019 Revision Simplexe
69/75
Rsolution graphique
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. La solution optimale:
x = 3 ety = 5 =>z = 54.
Vecteur des multiplicateurs
optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]
Si b1 = 30 devient b1+b1 avec
b1
7/25/2019 Revision Simplexe
70/75
4 41 3
0 0 1 0 34 41 5
0 1 0 0 3
12 123 10 0 0 1 54
2 2
p
y
z
[ ]*T
1 104 41 3 3 1
8 0 6 1 04 4 2 21 5
012 12
= =
* * *
1
2 1 2 3
3
3 1 3 154 0 54 0
2 2 2 2
Tz z b
b
b b b b
b
= +
= + = +
* *1 1
30 0
2b b z z > <
7/25/2019 Revision Simplexe
71/75
Rsolution graphique
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. La solution optimale:
x = 3 ety = 5 =>z = 54.
Vecteur des multiplicateurs
optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]
Si b1 = 30 devient b1+b1 avec
b1>0domaine ralisable augmente
5x + 3y 30
2x + 3y 24
1x + 3y
18
*T T * 1*
Bc B
=
1 11 0 0 0 3
x y u p h z
x
7/25/2019 Revision Simplexe
72/75
1 0 0 0 3
4 41 30 0 1 0 3
4 41 5
0 1 0 0 312 123 1
0 0 0 1 542 2
x
p
y
z
[ ]*T
1 104 41 3 3 1
8 0 6 1 04 4 2 21 5
012 12
= =
* * *
1
2 1 2 3
3
3 1 3 154 0 54 0
2 2 2 2
Tz z b
b
b b b b
b
= +
= + = +
* *3 3
10 0
2b b z z < > >
Rsolution graphique
7/25/2019 Revision Simplexe
73/75
Rsolution graphique
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. La solution optimale:
x = 3 ety = 5 =>z = 54.
Vecteur des multiplicateurs
optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]
Si b3 = 18 devient b3+b3 avec
b3
7/25/2019 Revision Simplexe
74/75
4 41 30 0 1 0 3
4 41 5
0 1 0 0 312 123 1
0 0 0 1 542 2
x
p
y
z
[ ]*T
1 104 41 3 3 1
8 0 6 1 04 4 2 21 5
012 12
= =
* * *
1
2 1 2 3
3
3 1 3 154 0 54 0
2 2 2 2
Tz z b
b
b b b b
b
= +
= + = +
* *2 20 0 0b b z z < = =
Rsolution graphique
7/25/2019 Revision Simplexe
75/75
so u o g ap que
Considrons la fonctionconomique :
z = 8x 6y. La solution optimale:
x = 3 ety = 5 =>z = 54.
Vecteur des multiplicateurs
optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]
Si b2 = 24 devient b2+b2 avec
b2