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de mesures scientifiquesExploitat

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on

Si, dans une expérience, on mesure une grandeur physique y en fonction d‘uneautre x, on réalise un tableau de valeurs :

x y

2,1 4,2

3,5 8,0

4,2 9,0

5,9 10,1

6,1 14,7

Exemple :

Dans chaque ligne du tableau, on retrouve uncouple de valeurs.

m (kg) V (m3)

2,1 4,2

3,5 8,0

4,2 9,0

5,9 10,1

6,1 14,7

Lorsque les grandeurs du tableau ont des unités, il faut les indiquer dans l‘entête.

Exemple :

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,50 8

4 9,0

5,9 10,11

6,100 14,7

Dans une colonne donnée, chaque valeur doit être indiquée avecun même nombre de chiffres décimaux :

FAUX !

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,500 8,0

4,000 9,0

5,900 10,1

6,100 14,7

CORRECT !

On peut représenter les couples de valeurs sur un graphique.

Si possible, on utilise du papier millimétré et un crayon (bien taillé):

On utilise les bords du papier comme axes :

axe des x

axe des y

On indique les grandeurs représentées avec leurs unités :

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,500 8,0

4,000 9,0

5,900 10,1

6,100 14,7

m (kg) V (m3)

1 2 3 4 5 6 70

Tout graphique doit porter un titre :

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,500 8,0

4,000 9,0

5,900 10,1

6,100 14,7

m (kg)

V (m3)

5

10

15

Ex. : Volume d‘une patate xy en fonction de la masse

1 2 3 4 5 6 70

On choisit des échelles convenables et qui sont telles que le graphique est réparti sur toute la feuille :

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,500 8,0

4,000 9,0

5,900 10,1

6,100 14,7

m (kg)

V (m3)

5

10

15

ATTENTION !

m (kg)

V (m3)

ÉVITER DES ÉCHELLES PEU PRATIQUES !

3 6 9 12 15 18 210

10

15

5

10

1514131211

9876

4321

OU ENCORE DE SURCHARGER LES ECHELLES

1 2 3 4 5 6 70

On marque les couples de valeurs par une croix (+), avec le plusde précision possible

m (kg) V (m3)

2,144 4,2

3,500 8,0

4,000 9,0

5,900 10,1

6,100 14,7

m (kg)

V (m3)

5

10

15

1 2 3 4 5 6 70

On ne relie JAMAIS 2 points successifs par un segment de droite

m (kg)

V (m3)

5

10

15

Par contre, on essaye de trouver la courbe d‘une fonction mathématique qui passe le mieux à travers l‘ensemble des points du graphique.

Une telle fonction mathématique s‘appelle

FONCTION DE RÉGRESSION

Quelques exemples de fonctions de régression:

Une droite (fonction y=ax+b)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12

a : pente b : ordonnée à l‘origine

Une droite passant par l‘origine (fonction y=ax)

a : pente (ordonnée à l‘origine : b=0)

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12

Une exponentielle (fonction y=a*ebx+c)

0,00

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

600,00

700,00

800,00

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12

Pour tracer une droite de régression à la main, on utilise une règle graduée (transparente), et on la déplace jusqu‘à ce qu‘on obtienne la „meilleure droite“, c‘est à dire celle qui passe le plus près possible à côté de la majorité des points.

1 2 3 4 5 6 70

5

10

15

Il existe cependant une méthode mathématique qui permet de calculer exactement les coefficients de régression.

Comme ce calcul est plutôt fastidieux (surtout si le nombre de points de mesure est important), on utilise plutôt les fonctions „Linear Regression“ intégrées dans la plupart des calculatrices ainsi que la fonction „Add trendline“ dans les tableurs comme Microsoft Excel, fonctions qui utilisent cette méthode mathématique en un clin d‘oeil.

Comment déterminer les coefficients (pente et ordonnée à l‘origine)

d‘une droite de régression

1 2 3 4 5 6 70

L‘ordonnée à l‘origine b est la valeur correspondant à l‘abscisse x=0

x

y

5

10

15

Dans cet exemple, b=3

1 2 3 4 5 6 70

La pente s‘obtient comme suit :

x

y

5

10

15

- On détermine les coordonnées de 2 points A et B de la droite

ATTENTION ! Prendre 2 points de la droite, et non des points de mesure !Choisir les 2 points assez éloignés l‘un de l‘autre !Choisir des points dont les coordonnées sont faciles à déterminer !Exemple :

A(xA ; yA)

B(xB ; yB)

1 2 3 4 5 6 70

La pente s‘obtient comme suit :

x

y

5

10

15

x

y

B A

B A

y y

x x

- Pente : a =

y

x

A(xA ; yA)

B(xB ; yB)

1 2 3 4 5 6 70

La pente s‘obtient comme suit :

x

y

5

10

15

x

y

B A

B A

y y

x x

- Pente : a =

y

x

A(1,75 ; 5,5)

B(6,5 ; 12)

Dans l‘exemple :

12 5,51,36

6,5 1,75a

1 2 3 4 5 6 70x

y

5

10

15

x

yA(1,75 ; 5,5)

B(6,5 ; 12)

12 5,51,36

6,5 1,75a

Equation de la droite de régression :

y=1,36·x+33b

ATTENTION !

L‘ordonnée à l‘origine représente,tout comme la pente, une grandeur physique.

Elles possèdent donc aussi des unités qu‘il ne faut pas oublier!

On représente une masse m (kg) en fonction d‘une température (°C)Ici, on a donc : b = 3 m3 et a=1,36 kg/m3

Exemple (arbitraire):

kg kg/°C

1 2 3 4 5 6 70 (°C)

m (kg)

5

10

15

x (°C)

y (kg)

Aux erreurs expérimentales près,on constate que - si x est doublé, y est doublé aussi.

- si x est triplé, y est triplé aussi.- si x est multiplié par n, y est aussi multiplié par n

si on calcule les quotients y/x (ou x/y)...

Supposons avoir p.ex. les couples de valeurs suivants :

x y

1,5 2,0

3,0 4,1

4,5 5,9

6,0 8,0

7,6 10,0

y/x

1,33

1,37

1,31

1,33

1,32

on constate que les quotients y/x sont constants.

On dit que x et y sont des grandeurs proportionelles, et on écrit :y~x

Représentons graphiquement les couples de valeurs...

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

...cherchons la droite de régressionC‘est une droite passant par l‘origine !Équation : y=a·x

La pente a représente le coefficient de proportionalité.

Dans l‘exemple, a=1,32

Le coefficient de proportionalité a est en quelque sorte une moyenne des quotients y/x

Représentons graphiquement les couples de valeurs......cherchons la droite de régressionC‘est une droite passant par l‘origine !Équation : y=a·x

La pente a représente le coefficient de proportionalité.

Dans l‘exemple, a=1,32

x y

1,5 2,0

3,0 4,1

4,5 5,9

6,0 8,0

7,6 10,0 1,32

1,33

1,31

1,37

1,33

y/x

MAIS : ce n‘est pas la moyenne arithmétique (qui serait 1,33 dans l‘exemple)

Résumé :

Deux grandeurs x et y sont proportionelles

les quotients y/x sont constants

la représentation graphique de y en fonction de x admet une droite de régression passant par l‘origine

La pente a de la droite de régression y=a·x est le coefficientde proportionalité entre y et x

Le coefficient de proportionalité est toujours déduit de la pente de la droite de régression mais jamais en calculant la moyenne arithmétique des quotients y/x !

Vous avez tout compris ???

© 2006 by Y. Reiser

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