Post on 08-Jan-2016
description
Quelques exemples d ’utilisation des coordonnées
au collège
Bruno DELACOTE
Collège de Masevaux
Conseils et méthode de travail
Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices :
A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé.
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Sommaire
Représentant d ’un vecteur
Formules des coordonnées d ’un vecteur
Prouver l ’existence d ’un parallélogramme
Formule du milieu d ’un segment
Formule de la distance entre deux points
o
i
j
Examinons la situation suivante : nous voyons apparaître quatre représentants d ’un même vecteur.
1
2
3
-1
-2
-3
1 2 3 4-1-2-3-4-5
o
i
j
A
B
C
D
E
F
G
H
Relève les coordonnées des points A,B,C,D,E,F et G
Nomme les parallélogrammes de la figure.
Points A B C D E F G H
Abscisse -4,5 -1,5 -5 -2 -1 2 2 5
Ordonnée 3 1 -0,5 -2,5 -1 -3 1 -1
En utilisant la formule
MN ( xN - xM ;; yN - yM )
Calcule les coordonnées des vecteurs
AB; CD; EF; GH
Que constate-t-on ?
o
i
j
Graphiquement on constate que chaque vecteur est égal à 3 i + (-2) j
i i i
- j
- j
AB; CD; EF; GH ont pour coordonnées (3; -2)
Admettons et retenons
DCAB
Si ABCD est un parallélogramme alors
Ainsi que sa réciproque
Si alors ABCD est un parallélogramme.
DCAB
Des vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
Et aussi la caractérisation vectorielle du parallélogramme…
AB
AB
AB
yy
xxLes coordonnées du vecteur AB sont données par les formules
On peut résoudre un premier type de problème
O 1
1
A
D
C
B
Etant donnés trois points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3; 1 ) ,
calculer les coordonnées du point Dtel que ABDC soit un parallélogramme.
Attention à l’ordre des points!
J’appelle (x;y) les coordonnées du point D, ABDC est un parallélogramme si :
CDAB (-1 - (-2) ; -3 - 2 ) = ( x - 3 ; y - 1 )
-1 + 2 = x - 3 et -3 - 2 = y - 1
x = 4 et y = - 4
Ce qui se vérifie sur le croquis….Calcule maintenant les coordonnées de E tel que ABCE soit un parallélogramme. E (2 ; 6)
On peut aussi vérifier par le calcul qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme.
Etant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ), C ( 3 ; 1 )
et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un
parallélogramme.
Il suffit de prouver que AF et CB sont égaux.
On calcule les coordonnées de
AF ( - 4 ; - 4) et CB ( - 4 ; - 4 )O 1
1
A
F B Les vecteurs sont égaux donc AFBC est un parallélogramme.
C
Application au milieu d ’un segment
I est le milieu d ’un segment [AB] si et seulement si AI = IB
En passant au coordonnées
xI - xA = xB- x I
yI - yA = yB- y I
donc...
Les coordonnées du milieu d'un segment [AB] sont données par les
formules
A retenir
2
2
BA
BA
yy
xx
O 1
1
A
F B
C
Etant donnés quatre points A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 ) , C ( 3 ; 1 ) et F ( -6 , -2). Prouver que AFBC est un parallélogramme.
Autre méthode pour prouver qu’un quadrilatère est ou n’est pas un parallélogramme.
Pour que AFBC soit un parallélogramme il suffit de vérifier que ses diagonales
ont même milieu.
Coordonnées du milieu de [ AB ]
5,02
)2(1
5,12
)6(3
5,02
)3(2
5,12
)1(2
Coordonnées du milieu de [ FC ]
Donc AFBC est un parallélogramme
O 1
1
Pour calculer la distance ABon utilise la formule suivante :
Expliquons cette formule dans le cas où les coordonnées de A et B sont des nombres positifs. (On admet qu ’elle se généralise aux autres cas )
xB - xA
xAxB
yA
yB
yB - yA
A
B
C
Les droites (AC) et ( CB) sont parallèles aux axes, donc perpendiculaires entre elles. Le Triangle ABC est rectangle en C et le théorème de Pythagore permet d ’écrire:
AB² = AC² + CB²AB²= ( xB - xA )² + ( yB - yA)²
AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )²
AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )²
D ’où finalement
Si le repère est orthonormé*
Repère orthonormé : c ’est un repère dont les axes sont orthogonaux dont l’unité est la même sur les deux axes
Si le repère est orthonormé,* la distance entre le point A et le point B est
AB = ( xA - x B )² + ( yA - y B )²
O 1
1
A
F B
C
AB = ( -2 - ( -1) )² + ( 2 - ( -3) )²
= (-1)² + 5²
= 26
Appliquons
Calcule maintenant AC, AF et AO
AC =
AO =
26
6,5
AF = 32
A (-2; 2) , B ( -1 ;-3 )et C ( 3 ; 1 ) , F ( -6 , -2).
La distance entre A et B est donnée par la formule
)²()²( BABA yyxx
A retenir
dans un repère orthonormé
AB =
Soient M (2; -1) et N (5 ; 3) On cherche à déterminer l'ensemble des points P d'ordonnée 1
tel que le triangle MNP soit rectangle.
Pour cela placer les points M et N dans un repère orthonormé en prenant 1cm comme unité, et tracer les différents triangles à l'aide des outils de dessin.Retrouver et préciser les résultats par le calcul.
O 1
1
M
N
Il faut envisager plusieurs cas :le triangle est rectangle en M...
Positions possibles du
point P
P
Ici la lecture de l'abscisse du point P n'est pas très
aisée. Utilisons le calcul.
Trace aussi les figures correspondantes aux cas ou le triangle est rectangle en N puis en P.
Soient M (2; -1) et N (5 ; 3)On cherche à déterminer l'ensemble des points P d'ordonnée 1
tel que le triangle MNP soit rectangle.
Calculons les distances entre les points M (2; -1) , N (5 ; 3) et P (x ;1)
5
)²4()²3(
)²31()²52(
)²()²(
MN
MN
MN
yyxxMN NMNM
4)²2(
)²11()²2(
)²()²(
xMP
xMP
yyxxMP PMPM
4)²5(
)²13()²5(
)²()²(
xNP
xNP
yyxxNP PNPN
Pour que le triangle MNP soit rectangle en M il suffit que l'égalité de Pythagore soit vérifiée
NP ² = PM ² + NM ²
(x - 5)² + 4 = 25 + (x -2)²25 - 10 x + x² = 25 + x² - 4x + 4
-6x = 4x = -2/3
D'où P1 (-2/3 ; 1 )
O 1
1
M
N
Positions possibles du
point P
P
O 1
1
M
N
Positions possibles du
point P
P
Pour que le triangle MNP soit rectangle en N il suffit que l'égalité de Pythagore soit vérifiée
MP ² = PN ² + NM ²
(2 -x)² + 4 = 25 + (x - 5)²4 - 4 x + x² = 25 + x² - 10x +25
6x = 46x = 23/3
D'où P2 (23/3 ; 1 )
O 1
1
M
N
P4
Dans ce cas le point P est situé sur le cercle de diamètre [MN]
P3
Pour que le triangle MNP soit rectangle en P il suffit que l'égalité de Pythagore soit
vérifiée, MN ² = PN ² + PM ²
(2 -x)² + 4 + (x - 5)²+ 4 = 254 - 4 x + x² + 4+ 25 + x² - 10x +4
= 252x² - 14 x + 12 =0
Après lecture graphique, on vérifie facilement que
x = 1 et x = 6 sont solutions de cette équation.
D'où P3 ( 1; 1) et P4 ( 1; 6)
Si MN est l'hypoténuse du triangle
Il y a deux solutions P3 et P4