Post on 02-Feb-2016
description
Propriétés de Courbes et Surfaces
Marc Neveu
Vecteur Tangent
• courbe p(u). • pu :dérivée par rapport
à u
• En pi le vecteur tangent est pi
u
• vecteur tangent unitaire
• droite passant par pi // à ti : q = pi + a ti
O
ti
a ti
pi
pi + a ti
tangente
ui
i ui
pt
p
Plan Normal
• Plan normal à p(u) au point pi : plan passant par pi et orthogonal à ti
• équation : (q-pi).ti = 0 q : point qcq du plan normal.
• (q-pi).piu = 0
• avec q = (x,y,z)
q
pi
ti
0
T ui i
ui i
ui
x x x
y y y
z z z
Normale principale
• dans le plan normal• pointe sur le centre de
courbure• Plan osculateur défini par
piu et pi
uu • Module de la projection
de piuu sur pi
u
• on construit le centre de courbure m orthogonal à pi
u
piu pi
u=piuu
piu+pi
u
l
m
piu
(piuu.pi
u)/|piu|
(piuu.pi
u).piu/|pi
u|2
piuu
ki=piuu-(pi
uu.piu).pi
u/|piu|2
O
ti
ni
.u
uu ii u
i
pp
p
Plan osculateur
• equation
ph
pi
pj
ti
ni
u uui i i
u uui i i
u uui i i
x-x x x
( 0 c'est à dire y-y 0
z-z
u uui i iq p p p y y
z z
Vecteur binormal , Plan rectifiant
• bi = ti ni
• Plan normale principale
• (r-pi).ni=0• r = pi + u.ti + v.bi
Plan normal
Plan osculateur
Plan rectifiant
b
tn
i ni
Courbure
i = 1/i 3
1u uui i
ui i
p p
p
i est le rayon de courbure
Points d’inflexion
0u uui ip p
Plan tangent
• Normale
• Plan tangent(q-p).(pu pv) = 0
n
pv
pu
q
u v
u v
p pn
p p
0
u v
u v
u v
X x x x
Y y y y
Z z z z
Courbure Normale• En p, on construit le plan tangent T, et une droite
qcq t passant par p dans ce plan • Tous les plans P coupant T et contenant t
coupent la surface famille de courbes paramétriques.
• Toutes ces courbes passent par p et ont t pour tangente en p .
• De plus le plan osculateur de n’importe laquelle de ces courbes est le plan P qui contient cette courbe.
• une infinité de courbes non planes de S, passant par p, de tangente t en p qui ont P comme plan osculateur.
• Elles ont toutes– le même centre de courbure,– le même rayon de courbure,– le même vecteur de courbure k,– la même normale principale.
• La courbe c dans le plan P est une des ces courbes.
T
P
t
S
dudv
kkn
n
pv
pu
q
Courbure Normale : kn : projection du vecteur de courbure k sur n : vecteur de courbure normale à la courbe de la surface en p kn= (k . n)n. La composante de k dans la direction de n est la courbure normale de c en p notée n ( n = k . n)
Courbure Principale
• Parmi tous les P possibles : ceux contenant n
• Quand on tourne P autour de n, la courbure n varie 2 valeurs minimale et
maximale : courbures normales principales notées 1 et2.
• kn= cte point ombilical. • courbures principales = solutions
de l’équation : • (EG-F2)2 – (EN+GL-2FM) + (LN-
M2) = 0
n
Courbure Principale
• Pour trouver les lignes de courbure principale:– soit h = du/dv.– (EG-F2)h2 – (EN+GL-2FM)h + (LN-M2) = 0 possède 2 racines (une maximum = une direction et une minimum = une direction )
=>directions de courbure principale.
• Formes fondamentales– première forme fondamentale : I = dp.dp= Edu2+Fdudv+Gdv2
– E = pu.pu, F = pu.pv, G = pv.pv (coefficients de la première forme fondamentale).
– seconde forme fondamentale : II = -dp.dn = Ldu2+2Mdudv+Ndv2
– L = -pu.nu, M= -1/2(pu.nv+pv.nu), N= -pv.nv (coefficients de la seconde forme fondamentale).
– L = puu.n, M = puv.n , N = pvv.n
Courbure Gaussienne, moyenne
• On appelle courbure Gaussienne K :
• On appelle courbure moyenne H :
2
2
LN-MK= 1 2 =
EG-F
2
1 21 2
2 2( )
EN GL FMH
EG F
Et les maillages?• Seulement C0 ! => Approximation :
Surface résultante (courbure positive) découpe d'un secteur et recollement
découpe d'un segment et recollement d'un secteur Surface résultante (courbure négative)
Courbure discrète
• D’après le Theorema Egregium de Gauss
• Défaut angulaire : 2π-i