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A 2009 1Design III / GEL-3004
Introduction à la vision artificielle Deuxième partie
Étalonnage géométrique de la caméra et du système
Patrick HébertGénie électrique et génie informatique
Université Laval*collaboration Éric Samson
(Revisitée par A. Bendada en 2011 et 2012 et D. Laurendeau en 2014)
A 2007 2Design III / GEL-21405 H05
• Le cours d'introduction à la vision couvre en particulier 2 étapes du processus de vision qui sont nécessaires à l'atteinte de ces objectifs :
1. Reconnaître les objets dans les imagesTraitement des images (première partie)
2. Calculer la position des objets par rapport au robot et celle du robot dans l’environnementÉtalonnage géométrique de la caméra et du système (deuxième partie)
Structure du cours
3
Calcul de position : un aperçu
L'objectif est de connaître la position d'un objet dans l'espace à partir de sa position dans l'image
Pointsimage
Modèle decaméra
Paramètresdu modèle
Points 3D
ÉtalonnageL'étalonnage sert à déterminer
les paramètres du modèle. Il est réalisé une seule fois.
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Plan de la présentation
Notions de base– Formation des images– Modèle du sténopé (pinhole)– Coordonnées homogènes et transformations– Changements de repère
• Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
• Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Formation des images
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scène film
Placer un film en face d’un objet.
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Formation des images
A 2009 Design III / GEL-3004
scène filmbarrière
Caméra sténopé (“pinhole”)
Ajouter une barrière pour bloquer la plupart des rayons.
Cela réduit le flou L’image est inversée
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Formation des images
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scène filmlentille
Une lentille focalise la lumière sur le film.
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Formation des images
Sténopé
Plan image
Pinhole
Caméra réelle
LentilleAxe optique
Rayon principal
Plan image
Le modèle du sténopé demeure valide pour les calculs.
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Modèle du sténopé
Inverseur
Non-Inverseur
Y
Z
Axe optique
Plan image
Centre deprojection
OC
P = (X,Y,Z)T
F
Y
Z
Axe optique
Plan imageCentre deprojection
OCd
d
F
Pointprincipal
Point objet
P = (X,Y,Z)T
Point objet
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Y
Z
Axe optiquePlan image
Centre deprojection
OC
P = (X,Y,Z)TP' = (X',Y',Z')T
F
FY
ZY '
ZXFX '
FZ '
ZYFY '
De même en X :
On a :
Modèle Sténopé : Projection de perspective
Prévoir lescoordonnées imagesd'un point 3D connudans le repère de lacaméra.
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• Équation du rayon projecteur étant donné un point image
• Il nous faut introduire les notions pour traiter les points qui sont ou seront connus dans un repère autre que celui de la caméra.
Modèle Sténopé : Projection de perspective
ZYX
ZYX
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Plan de la présentation
Notions de base Formation des images Modèle du sténopé (pinhole) Coordonnées homogènes et transformations– Changements de repère
• Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
• Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Coordonnées homogènes
• Représentation mathématique permettant de rendre linéaires (calcul matriciel) certaines opérations courantes en vision, robotique et infographie. Simplifie aussi l’écriture des transformations composées.
Par exemple : Une translation de la forme correspond à la multiplication matricielle :
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)ky,hx()y,x(
1kyhx
1yx
100k10h01
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Coordonnées homogènes : Utilisation
1. On passe des coord. cartésiennes aux coord. homogènes en ajoutant un "1" comme 4e élément au vecteur.
2. On effectue les opérations (définies par une matrice 4x4).
3. On revient aux coordonnées cartésiennes en divisant tous les éléments du vecteur résultant par W.
1'''
44 ZYX
M
WZYX
X
1
'
'
'
1''''''
WZWYWX
ZYX
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ZYX
P
1ZYX
P~
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Coordonnées homogènes : Transformations d’intérêt pour le projet
• Projection• Rotation• Translation• Changement d'échelle
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Coordonnées homogènes : Transformations courantes
• Projection de perspective (selon l'axe Z)
0F/100010000100001
Pr
1ZYX
0F/100010000100001
s'sZ'sY'sX
1FZ
YFZ
XF
1'Z'Y'X
Exemple : Projection d'un point P = (X,Y,Z)T
Retour aux coordonnées cartésiennes
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FZs
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• La troisième ligne est sans intérêt puisque Z’ = F.
• On peut alors représenter la projection dans une image par une matrice 3x4
• On normalise tout comme dans le cas précédent
1ZYX
0F/10000100001
s'sY'sX
1'Y'X
1
ZYF
ZXF
F/ZYX
s'sY'sX
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Coordonnées homogènes : Transformations courantes
• Projection de perspective (selon l'axe Z)
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Coordonnées homogènes : Transformations d’intérêt
• Rotation
10000)cos()sin(00)sin()cos(00001
)(RX
10000)cos(0)sin(00100)sin(0)cos(
)(RY
10000)cos()cos()cos()sin()sin()sin()cos()sin()sin()cos()sin()cos(0)cos()sin()cos()cos()sin()sin()sin()sin()cos()cos()sin()sin(0)sin()sin()cos()cos()cos(
),,(
XYZR
)()()(),,( ZYXXYZ RRRR
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1000010000)cos()sin(00)sin()cos(
)(RZ
19
Coordonnées homogènes : Transformations d’intérêt
• Translation
1000t100t010t001
Tz
y
x
• Changement d'échelle ("scaling")
10000s0000s0000s
Sz
y
x
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Coordonnées homogènes : Combiner les transformations
PEEEP N 12...'
• Soit E1, E2, …, EN, N transformations à appliquer, dans l'ordre, au point P dans le même repère de coordonnées.
• Ceci peut être réécrit :
où
PEP T'
12... EEEE NT
• On procède alors comme suit :
A 2009 Design III / GEL-3004
• On parle ici de pré-multiplication des matrices de rotation
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Plan de la présentation
Notions de base Fonctionnement d'une caméra Formation des images Modèle pinhole Coordonnées homogènes et transformées Changements de repère
• Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
• Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Mise en contexte
RC : repère de la caméraRP : repère du préhenseurRG : repère global
RG
Rc
RP
Robot
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Coordonnées homogènes : Changements de repère
Changements de repère
Transformations rigidesCombinaison d'une
translation et d'une rotationPréservation des
distances et des angles
Que devient un point P, connu dans O2, vu de O1?
O1
X
Y
Z
XY
ZO2
P=(Xi,Yi,Zi)T
E12=T12R12
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Coordonnées homogènes : Changements de repère
1000trrrtrrrtrrr
Ez987
y654
x321
12
Que devient un point P, connu dans O2, vu de O1?
O1
X
Y
Z
XY
ZO2
P=(Xi,Yi,Zi)T
E12=T12R12
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2121 P~EP~
1ZYX
1000trrrtrrrtrrr
1ZYX
2
2
2
z987
y654
x321
1
1
1
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Coordonnées homogènes : Changements de repère
1 - Donne la position du repère 2 par rapport au repère 1
2 - Permet de transformer les coordonnées d'un point exprimées dans le repère 2 en coord. exprimées dans le repère 1
2 définitions pour une même matrice
1000
11221
tRREE
TT
12E
À noter : Transformation inverse
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Plan de la présentation
Notions de base– Fonctionnement d'une caméra– Formation des images– Modèle pinhole– Coordonnées homogènes et transformées– Changements de repère
Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
• Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Étalonnage d'une caméra
• On veut connaître la relation ("Mapping") entre les points de l'espace (3D, en millimètres) et leur position dans l'image (2D, en pixels).
• On utilise un modèle simple (mais efficace) pour décrire le processus d'acquisition d'image :
L'étalonnage consiste à déterminer les paramètres de ce modèle
110000100000
987
654
321
0
0
G
G
G
z
y
x
ZYX
trrrtrrrtrrr
vu
ssvsu
Paramètresintrinsèques
Paramètresextrinsèques
point 3D(en mm)
point image(en pixel)
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PTSPEp CG~~
Étalonnage d'une caméra :Explication du modèle
intrinsèques extrinsèques point 3Dpoint image
Le modèle provient de la formule suivante :(si = 0)
Z
Y
X
u
v
OI
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
p=(u,v)
P=(XG,YG,ZG)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image
Plan image
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K
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Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
1 – Changement de repèreGlobal vers Caméra P
trrrtrrrtrrr
TSPpz
y
x
r~
1000
~987
654
321
Z
Y
X
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
P=(X,Y,Z)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image
ECG
u
v
OI
Plan image
A 2009 Design III / GEL-3004
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PE
F
TSp CG~
0/100010000100001
~
Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
2 – ProjectionPt 3D vers Plan image
Z
Y
X
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
P=(X,Y,Z)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image u
v
OI
Plan image
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p=(X’,Y’,F)
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Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
Z
Y
X
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
P=(X,Y,Z)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image u
v
OI
Plan image
A 2009 Design III / GEL-3004
p=(X’,Y’)
PE
F
TSp CG~
0/100010000100001
~
2 – Projection
Pt 3D vers Plan image
32
Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
3 – Mise à l'échelle du plan image, m vers pixel
PEPs
s
Tp CGry
x
~
10000100000000
~
Z
Y
X
u
v
OI
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
P=(X,Y,Z)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image
Plan image
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p=(sx X’, sy Y’)
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Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
4 – Changement de repère OC vers OI
(on suppose = 0)
PESPvu
p CGr~
10000100
010001
~ 0
0
Z
Y
X
u
v
OI
OcZG
YG
XG
OG
(u0,v0)
P=(X,Y,Z)
Centre deprojection
Axe optique
Centre duplan image
Plan image
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p=(u,v)
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Calibrage d'une caméra :Explication du modèle
On multiplie les matrices T, S et Pr pour obtenir la matrice des paramètres intrinsèques :
010000000vFs00u0Fs
TSPK 0y
0x
r
1ZYX
1000trrrtrrrtrrr
010000000vFs00u0Fs
s0svsu
G
G
G
z987
y654
x321
0y
0x
Le modèle complet est alors :
A 2009 Design III / GEL-3004
La matrice des paramètres intrinsèques possède une ligne et une colonne de "0". Ceci nous permet de réécrire le modèle de façon plus compacte :
1ZYX
trrrtrrrtrrr
100v0u
ssvsu
G
G
G
z987
y654
x321
0
0
avec : 0;; FsFs yx
A 2007 35
PmPmv
PmPmu
ZYX
mmm
ZYX
mmmmmmmmmmmm
ssvsu
ZYX
MZYX
EKssvsu
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
CGx
~~
,~~
11
11
3
2
3
1
3
2
1
34333231
24232221
14131211
33
On connait (u, v) et on connait les paramètres de la caméra ; on veut endéduire l’équation de la droite projectrice.
Équation du rayon projecteur
Design III / GEL-3004
A 2007 36
Problème relié à l'utilisation d'une lentille :
Distorsion en barillet
Distorsion en coussinet
Système sans distorsion
La distorsion n’affecte pas la qualité de l’imagemais modifie la position de chaque point. Les déviations sont plus accentuées pour les rayonslumineux qui passent sur les bords des lentilles.
LA DISTORSION
Design III / GEL-3004
La distorsion radiale…
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La distorsion radialeLe modèle présenté suppose une projection idéale (un sténopé). Or, il y a de la distorsion.Principalement de type radialNulle au centre et maximale en périphérie
2dist
2distdist0distdist0distdist
4dist2
2dist1distideal
4dist2
2dist1distideal
vuretvvv,uuuoù
)rkrk1(vv
)rkrk1(uu
Les paramètres du modèle de distorsion sont classés parmi les paramètres intrinsèques de la caméra.
Modèle de distorsion radiale
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Plan de la présentation
Notions de base– Fonctionnement d'une caméra– Formation des images– Modèle pinhole– Coordonnées homogènes et transformées– Changements de repère
Étalonnage d'une caméra Modèle utilisé Procédure
• Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Étalonnage d'une caméra :Procédure (principe général)
1. Placer une cible d'étalonnage devant la caméra
2. Repérer la position de chaque marqueur de la cible dans l'image
NNNNN ZYX
ZYXZYX
vu
vuvu
..222
111
22
11 On obtient une liste de coordonnées 3D
(Global) accompagnées de leur projection dans l'image
A 2009 Design III / GEL-3004
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Étalonnage d'une caméra :Procédure (idée générale)
1100
0
987
654
321
0
0
G
G
G
z
y
x
ZYX
trrrtrrrtrrr
vu
ssvsu
1. Placer une cible d'étalonnage devant la caméra2. Repérer la position de chaque marqueur de la cible dans l'image
NNNNN ZYX
ZYXZYX
vu
vuvu
..222
111
22
11 On obtient une liste de coordonnées 3D (global)
accompagnées de leur projection dans l'image
3. Chaque pt nous donne 2 équations de plans et on a 11 inconnues (5 intr. + 6 extr. car il y a des contraintes sur R)
4. On construit un système d'équations linéaires qu'on peut résoudre à l'aide des techniques d'algèbre linéaire standards (moindre carrés) mij
5. On extrait, s’il y a lieu, les paramètres explicites , , tx …A 2009 Design III / GEL-3004
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Étalonnage d'une caméra :Notes sur les techniques d'étalonnage (1/2)
• Il existe plusieurs techniques d'étalonnage• Zhang, Tsai, Heikkilä, Faugeras, etc.
• Le type de cible et le modèle de la caméra utilisé changent
• Le système d'équations à résoudre diffère en fonction de ces variantes
• L'idée est toujours la même : trouver les paramètres permettant de faire le "mapping" entre les points de l'espace et leurs positions dans l'image.
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Étalonnage d'une caméra :Notes sur les techniques d'étalonnage (2/2)
Prise en compte de la distorsion des lentilles
• La plupart des techniques incluent des paramètres de distorsion dans leur modèle.
• L'ajout de ces paramètres rend le système à résoudre non-linéaire.
• On procède alors en 2 étapes :
1. En supposant la distorsion nulle, on résout le système linéaire.2. Partant de cette estimation initiale, on détermine les paramètres
de distorsion à l'aide de techniques d'optimisation non-linéaires.
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Méthodes d’étalonnage géométrique avec code disponible sur internet
• Zhengyou Zhang (Microsoft research)http://research.microsoft.com/~zhang/
• Janne Heikkila (Oulu Univ.)http://www.ee.oulu.fi/~jth/calibr/
• R. Tsaihttp://www-cgi.cs.cmu.edu/afs/cs.cmu.edu/user/rgw/www/TsaiCode.html
• Lien potentiellement intéressant (voir premier lien sur OpenCV):http://www.vision.caltech.edu/bouguetj/calib_doc/htmls/links.html
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Étalonnage de votre caméra :
Méthode de Zhang• Simple, robuste et précise• Utilise une cible plane• Nécessite au moins trois prises de vue (non coplanaires)• Prend en compte la distorsion des lentilles
Ou celle disponible dans OpenCV• Voir diapositives sur OpenCV
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Plan de la présentation
Notions de base– Fonctionnement d'une caméra– Formation des images– Modèle pinhole– Coordonnées homogènes et transformées– Changements de repère
Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
Utilisation des paramètres– Calcul de la position des objets– Calcul de la position du robot
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres obtenus
• L'application de la procédure fournit les paramètres intrinsèques et extrinsèques de votre caméra.
• Le référentiel Global (ou World) se trouve sur le coin supérieur gauche de la cible placée sur le sol.
• Les paramètres extrinsèques donnent donc la position de la cible sur le sol par rapport à la caméra.
• Lorsque le robot bouge, c'est comme si la cible se déplaçait avec lui (la position de la cible est donnée p/r à la caméra et non p/r à un référentiel absolu).
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
• On désire calculer la position d'un objet dans l'espace à partir de sa position dans l'image
• Solution : Dans votre cas, la caméra pointe vers le sol et on connaît la position du sol (grâce au repère de la cible placé sur le sol, donc z = 0).
On peut donc déterminer la position de tout objet se trouvant sur le sol en calculant l'intersection d'une droite (projecteur) et d'un plan (sol).
• Problème : L'opération de projection effectuée par la caméra engendre une perte d'information :
1point dans l'image implique 1 droite dans l'espace (projecteur).
P = (X,Y,Z)T
Y
Z
OC
OG
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Étape 1 : Déterminer le projecteur à partir du modèle
Modèle complet
1100
0
987
654
321
0
0
G
G
G
z
y
x
ZYX
trrrtrrrtrrr
vu
ssvsu
P~
mmm
1ZYX
mmmmmmmmmmmm
ssvsu
3
2
1
G
G
G
34333231
24232221
14131211
Modèle simplifié
P = (X,Y,Z)T
Y
Z
OC
OG
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Étape 1 : Déterminer le projecteur à partir du modèle
Pmmm
~
1 3
2
1
34333231
24232221
14131211
W
W
W
ZYX
mmmmmmmmmmmm
ssvsu
PmPm~~
3
1
uPmPm~~
3
2
v;
0~)( 31 Pmm u
0~)( 32 Pmm v
0~1 PA
0~2 PA
avec 1111311 )( dcbau mmA
2222322 )( dcbau mmA
2 Équations de plan !01111 dZcYbXa02222 dZcYbXa
Plan 1:Plan 2:
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Étape 1 : Déterminer le projecteur à partir du modèleLe projecteur correspond à l'intersection des deux plans
Le point 3D se trouve donc à l'intersection de trois plans
Étape 2 : Le point 3D se trouve à l'intersection entre le projecteur et le sol (plan ZG=0)
A 2009 Design III / GEL-3004
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Le point 3D se trouve à l'intersection de trois plans
P = (X,Y,Z)T
Y
Z
OC
OGG
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Le point 3D se trouve à l'intersection de trois plans
Plan "u" Plan "v" Plan Z=0
PA ~1
PA ~2 PA ~
3
T
3414
3313
3212
3111Τ
1
1
1
1
1
ummummummumm
dcba
A
T
3424
3323
3222
3121T
2
2
2
2
2
vmmvmmvmmvmm
dcba
A
TT
3
3
3
3
3
0100
dcba
A
L'intersection est donnée par :
321
213132321
NNNNNNNNNP
ddd
G
i
i
i
i
cba
Navec
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Calcul des points 3D
Le point 3D se trouve à l'intersection de trois plans
L'intersection est donnée par :
321
213132321
NNNNNNNNNP
ddd
W
i
i
i
i
cba
Navec
En développant, on obtient :
0
3121321232223111
3111342431213414
3121321232223111
3212342432223414
vmmummvmmummummvmmvmm+um-m
vmmummvmmummummvmmvmm+um-m
Z
Y
X
W
W
W
WP
A 2009 Design III / GEL-3004
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres obtenus
• Vos points 3D qui seront calculés avec ces paramètres extrinsèques, seront toujours p/r à ce repère "virtuel", placé devant le robot.
OCECG
RobotEPG
OP
OG
• Vous devrez alors déterminer la transformation qui donne la position de la cible p/r à ce nouveau repère.
• Cette transformation pourra être appliquée à tous les points 3D calculés à partir des paramètres déterminés lors de la procédure d'étalonnage.
• Peut-être serait-il préférable de se définir un repère situé à un endroit plus approprié (e.g. sur le préhenseur, au centre du robot, etc.) ?
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Représentation des repères
A 2009 Design III / GEL-3004
XG
YGXP
YP
OG
OP
56
Plan de la présentation
Notions de base– Fonctionnement d'une caméra– Formation des images– Modèle pinhole– Coordonnées homogènes et transformées– Changements de repère
Étalonnage d'une caméra– Modèle utilisé– Procédure
Utilisation des paramètres Calcul de la position des objets Calcul de la position du robot
A 2009 Design III / GEL-3004
Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Positionnement du robot (1/3)
• Trouver la position du robot revient à déterminer le changement de repère EAR. • On a :
10
~ 1
1
1R
R
R
YX
P
10
~ 2
2
2R
R
R
YX
P
10
~ 2
2
2A
A
A
YX
P
10
~ 1
1
1A
A
A
YX
P
RA 1AR1 P~EP~
• Et
OA
P1=(X1,Y1,0)T
P2=(X2,Y2,0)T
X
Y
OREAR
X
Y
RA 2AR2 P~EP~
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Positionnement du robot (2/3)
• Sur le plan du jeu, il n'y a qu'une rotation autour de l'axe Z.
• Ainsi
10
10000100
0)cos()sin(0)sin()cos(
10
R
R
A
A
i
i
Y
X
i
i
YX
tt
YX
• Sous forme d'équations :Yiii
Xiii
tYXY
tYXX
RRA
RRA
)cos()sin(
)sin()cos(
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Étalonnage de votre caméra :Utilisation des paramètres : Positionnement du robot (3/3)
• On a 2 points donc 4 équations et 3 inconnues :
• On élimine tX et tY.• On conserve deux équations avec lesquelles on élimine le membre de
gauche et on peut obtenir l'angle par la tangente inverse.• On calcule ensuite tX et tY (position X et Y du robot).
Y
X
tYXY
tYXX
RRA
RRA
)cos()sin(
)sin()cos(
111
111
Y
X
tYXY
tYXX
RRA
RRA
)cos()sin(
)sin()cos(
222
222
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Références
A 2009 Design III / GEL-3004
Introductory techniques for 3-D computer vision, E. Trucco& A. Verri, Prentice Hall.
Computer vision, a modern approach, Forsyth & Ponce,Prentice Hall.
Multiple view geometry in computer vision, R. Hartley &A. Zisserman, Cambridge.
Algèbre linéaire, David Lay, de Boeck.