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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Mécanique des structures Pierre Latteur
2014-2015 Partie 1
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 1 : les lois de la MDS confirmées par les structures naturelles
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Les tissus osseux se répartissent selon des lignes de contraintes principales
Lignes de contraintes principales telles que calculées par un modèle EF
L’os est creux : il résiste mieux à la flexion et au flambement
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Le bambou : une section creuse pour une inertie maximale
Section creuse : meilleure inertie donc meilleure résistance à la
flexion et au flambement
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
L’inertie variable de la feuille à l’arbre, jusqu’aux racines…
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Constructions humaines avec inertie variable
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D’autres exemples d’inertie variable : les ailes des insectes
Syrphe
Abeille
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
La structure alvéolée des nids d’abeilles : une structure efficace
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Les oiseaux … inventeurs du béton armé ?
Stade de Pékin appellé “Le nid
d’oiseau” (2008)
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Pourquoi les fruits tombent-ils ?
La résistance de la tige croît comme le carré de son diamètre, alors que le poids du fuit croît comme le cube du diamètre…le fruit est condamné à tomber…
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t
s
2t
2s
Poids P0
Poids 8.P0
Section S0 Section 4.S0
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures 11 11
F1
F1
Poids P1 Poids P2
d2
d1
P1 x d1 = P2 x d2
Le cygne au décollage : un
exemple parfait d’équilibre des
forces et des moments…
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L’araignée, inventeur des structures tendues…
Stade olympique de Munich (1972)
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L’effet de voûte confirmé par la nature
Arcs naturels (Utah, USA)
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L’effet d’échelle : quand la nature valide les lois de la résistance des matériaux…
2
242
384
5
8 f
critL
EIP
EI
pLpLM
Une structure est d’autant plus massive et lourde qu’elle est grande.
Une structure est d’autant plus élancée et légère qu’elle est petite.
Les efforts internes, la sensibilité au flambement et les déformations grandissent plus que proportionnellement à la taille. Cet accroissement de taille ne peut pas être infini, sous peine de dépasser les contraintes limites de la matière : à ce moment, la structure ne peut plus supporter que son poids propre.
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 2 : la construction par empirisme pendant des millénaires
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Les pyramides égyptiennes (25 siècles Av J-C.)
La pyramide de Khéops : 137 m de hauteur, la construction humaine de tous les records pendant plusieurs millénaires.
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Les aqueducs romain, Ier siècle
Le Pont du Gard, aqueduc Romain du 1er Siècle (360 m de portée, 48 m de haut)
Aqueduc de Segovie, aqueduc Romain du 1er Siècle (1200 m de portée, 35 m de haut)
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Temples Maya (VIIIe siècle)
Temple Maya de Tikal, 42 mètres de haut,
Guatemala.
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Tour de Pise (XIIe siècle)
L’inclinaison, aujourd’hui de 4°, est apparue rapidement après la
construction : à l’époque les essais de sols avant construction n’existaient
pas, et encore moins la théorie de la mécanique des sols
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Les cathédrales gothiques (XII-XIIIe siècle)
Poids pinacle Poussée
arc-boutant
Cathédrale Saint Etienne de Bourges (France)
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Les bories, cabanes en pierre sèche (France)
Les bories encore observables aujourd’hui datent d’après 1750
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Ligne du temps
1 cm = 20 millénaires
400 millénaires
- 400 M
Invention de la roue (-6.500)
Exploitation du feu (-400.000 ans)
Homo Sapiens (-150.000 ans)
5.000 ans
5 millénaires
Jésus-Christ 1 cm = 250 ans
250 500 750 1000 1250 1500 1750 -2000 -1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 -3000 -2750 -2500 -2250 2000 0
Galilée 16e S, Précurseur de la Résistance
des matériaux
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 3 : bref historique de la résistance des matériaux
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Galilée 1564-1642 (Italie)
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Tribunal de l’inquisition, 1633
• Mathématicien, physicien, astronome, géomètre,…
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Hooke 1635-1703 (Grande Bretagne)
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Le « De potentia Restitutiva», 1678 :
• Physicien, biologiste, naturaliste, astronome, horloger,…
• 1678 : loi de Hooke qui jette les bases de l’élasticité linéaire :« le déplacement est proportionnel à l’effort exercé : F=k*u»
• Il dessine pour la
1ère fois la
déformée d’une
poutre
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Bernoulli (Jacques) 1654-1705 (Suisse)
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• Mathématicien et physicien, ami de Hooke
• 1694 : « Loi de conservation des sections planes ou Loi de Bernoulli » : les sections droites des poutres initialement planes et perpendiculaires à l’axe le restent dans la configuration déformée
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Euler 1707-1783 (Suisse)
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• Mathématicien, physicien, astronome, … « l’un des plus éminents mathématiciens de tous les temps »
• 1727 : améliore la loi de Hooke en définissant le module d’élasticité E (attribué à Young en 1807 – module de Young)
• 1744 : met en équation le phénomène du flambement
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Navier (Henri) 1785-1836 (France)
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I
My
EI
M
dx
vd
2
2
• Ingénieur et physicien, hydraulicien, bâtisseur de ponts, économiste
• 1821 : développe les équations de Navier-Stokes (fluides)
• 1825 : développe et met en équations la théorie des poutres droites, 2 siècles après Galilée :
(auparavant par Coulomb (1736-1806) pour le cas
particulier de la section rectangulaire)
Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Young 1773-1829 (Grande Bretagne)
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• Physicien, médecin, astronome
• 1807 : a perfectionné et généralisé la loi de Hooke : =E (E : module de Young)
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 4 : construire en maîtrisant les lois de la nature
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Centre Pompidou à Paris : une structure optimisée
Architecte : Renzo Piano, Bureau d’études : Arup (1971)
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Centre Pompidou à Paris : une structure optimisée
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Concevoir les assemblages pour maîtriser les efforts…
La rotule parfaite
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Concevoir les assemblages pour maîtriser les efforts…
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Connaître les matériaux et rénover en conséquence…
Une vieille grange rénovée en tenant
compte du comportement particulier des
maçonneries et des vieilles charpentes
en bois. (Ulg/Agro-Bio Tech Gembloux, espace
Senghor)
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Les poutres alvéolées : une conséquence de la théorie de répartition des contraintes dans les poutres
Au centre des sections d’une poutre fléchie, la matière est inutile
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Connaître les théories évoluées de résistance des matériaux : microfissuration et fatigue…
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
La parfaite maîtrise des lois de l’équilibre pour construire des engins fiables
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
La parfaite maîtrise des lois de l’équilibre pour construire des engins fiables
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Les barres de flèche ou comment réduire la sensibilité d’un mât au flambement et à la flexion
La canne de charlot flambe sous son poids
propre
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 5 : concevoir les structures
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
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Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 6 : quelques catégories de structures
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Bâtiments de bureaux ou résidentiels
Au dessus : immeubles à Melbourne. En dessous : Dexia Tower Bruxelles
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Bâtiments de bureaux ou résidentiels
Wind
Deep foundations
Diaphragm walls
Central core
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Ponts et passerelles
Passerelle à Spy (Belgique)
Passerelle à Melbourne (Australie)
Viaduc de Milau (France)
Pont en arc en béton, en Afrique du sud
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Ouvrages enterrés
Tunnels en Autriche
Murs de soutènement
Tunnels
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Et beaucoup d’autres …
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Ouvrage de base conseillé dans le cadre de ce cours
De nombreuses figures présentes dans les transparents de ce cours proviennent de cet excellent ouvrage particulièrement pédagogique. Introduction à l’analyse des structures, M-A. Studer et François Frey, Presses polytechniques et universitaires romandes
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Autre ouvrage conseillé dans le cadre de ce cours
Autre ouvrage particulièrement pédagogique qui reprend un grand nombre d’exercices résolus dans les détails. Analyse et calcul des structures, Aram Samikian, Gaëtan Morin éditeur
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Autres ouvrages conseillés dans le cadre de ce cours
Analyse des structures et milieux continus, Mécanique des structures,
François Frey, Presses polytechniques et universitaires romandes
Calculer une structure, De la théorie à l’exemple,
Pierre Latteur, Editions L’Harmattan-Academia
(librairie à Louvain-la-Neuve sur la Grand-Place)
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 7 : la démarche générale du calcul d’une structure
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Démarche n°1 : choisir le MATERIAU et connaître ses CARACTERISTIQUES MECANIQUES
Le béton …fissure, flue, ne résiste pas à la traction, se rétracte…
L’acier…flambe, est sensible au feu, relaxe,…
Le bois…est fibreux, a des défauts, est sensible à
l’humidité, est non isotrope,…
Film bois
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Démarche n°2 : la détermination des ACTIONS
Avec une QUESTION N°1 : la structure est-elle GLOBALEMENT STABLE ? (notion de RÉACTION et donc de fondation).
Poids du luminaire (1 kN)
Action du vent (0,2 kN/m)
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2009, Shangai : instabilité globale d’un bâtiment
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Démarche n°3 : le calcul des EFFORTS INTERNES
Poids du luminaire (P=1 kN)
Action du vent (q=0,2 kN/m) h
L
N = P
V = q*h
M = P*L+qh2/2
G
N = P
V = q*h
M = P*L+qh2/2
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Démarche n°4 : déduire les CONTRAINTES à partir des efforts
Avec une QUESTION N°2 : les contraintes sont-elles SUPPORTABLES PAR LE MATÉRIAU ? Contraintes normales : [N/mm2]
Contraintes tangentielles : [N/mm2]
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Démarche n°5 : le calcul des DEFORMATIONS
Rotation
Translation
Avec une QUESTION N°3 : la structure ne se déforme-t-elle pas trop ?... :
- Sentiment d’insécurité des usagers - Dégats sur les façades et couvertures - Fissuration - Fatigue des matériaux - Mauvais comportement dynamique - Respecter l’hypothèse de petits déplacements
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Chap. 8 : propriétés mécaniques des matériaux de construction
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Essai de traction sur une éprouvette d’acier usuel de longueur L : allongement u [mm] sous effort F [N] :
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Essai de traction sur une éprouvette d’acier usuel de longueur L : allongement u [mm] sous effort F [N] :
adimL
u
2N/mmA
F
ef
kf
Domaine plastique non réversible (Ce domaine est pris en compte dans les méthodes E.L.U)
A
B
D E
C
A-B : domaine élastique linéaire réversible fe : limite d’élasticité
B-C : palier plastique C-D : domaine d’écrouissage D: résistance à la traction fk
E.L.U : méthode aux états limites ultimes (pas vu dans ce cours)
Rupture
Domaine élastique linéaire réversible : grande contrainte fe ET très petits déplacements. La pente de la droite est le module de Young E (ou module d’élasticité), en N/mm2.
ELoi de Hooke :
C’
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D’autres types d’acier
S235
S355
BE500 (béton armé)
Acier de précontrainte
Essai de traction à l’échelle pour un acier de charpente usuel de type S235 (matériau ductile)
2N/mmA
F
235ef
360kf
0.001
0.01 0.15 0.25
Loi de Hooke valable dans la zone élastique linéaire avec E=210.000 N/mm2:
σ=Eε
L
u
Un domaine plastique important est synonyme de ductilité (la plupart des métaux)
Remarque : le diagramme est identique en compression pour ce type de matériau
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Matériaux raides/fragiles (pierre, brique, béton, verre, bois)
Essai de COMPRESSION sur un échantillon de béton
Synonyme : cassant
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Matériaux raides/fragiles (pierre, brique, béton, verre, bois)
- Ces matériaux présentent résistances en général bien inférieures à celles des matériaux ductiles (béton 25 MPa)
- Selon les matériaux, la 1ère partie de la courbe peut être plus ou moins linéaire - Le comportement en traction peut être très différent du comportement en compression
- Le béton est raide en traction et légèrement ductile en compression
2N/mmA
F
Traction
Compression
L
u
ckf ,
tkf ,
- Ces matériaux ne présentent pas de zone plastique importante
- Le béton armé a un comportement d’ensemble plus ductile
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Conséquences visibles dans la vie de tous les jours…
La casserole se bosse, le vélo se déforme…et le verre casse !
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Diagramme comparé, à l’échelle, d’un acier et d’un béton classiques (S235 et C30/37)
2N/mm
235ef
360kf
0.15 0.25
Béton C30/37 usuel : fk=37 Mpa et =0,004
Traction
Compression
37kf
= DL/L
= F/A
E
fe
Zone de
proportionnalité : loi de Hooke valable ( = E.)
Le matériau élastique linéaire isotrope idéalisé
IMPORTANT : dans le cadre de ce cours, on considère que tous les matériaux ont un comportement élastique linéaire isotrope, identique en traction et en
compression, jusqu’à une valeur notée fe, qui représente la ruine du matériau.
On ne fera donc pas la distinction entre matériau ductile et matériau raide pour établir les critères de dimensionnement.
MPa...3...2...f:Maçonnerie
MPa...40...25...15...f:Béton
MPa...25...15...f:Bois
MPa...460...355...235...f:Acier
e
e
e
e
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L’hypothèse fondamentale : les petits déplacements
L’hypothèse qui consiste à considérer un matériau idéal répondant à la loi de Hooke en négligeant toute la zone plastique (matériaux ductiles) et la zone de comportement non linéaire (matériaux raides) est appelée « HYPOTHÈSE DE LINÉARISATION MATÉRIELLE ». Elle permet de supposer un comportement élastique linéaire réversible des matériaux considérés. Elle n’est valable QUE pour des petits déplacements
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Une autre caractéristique mécanique des matériaux : le coefficient de poisson
Allongement longitudinal contraction latérale
Rétrécissement longitudinal gonflement latéral
Métaux : = 0,3 Béton : = 0,15 Pierre : = 0,2
b
bbDéf
lat
'.
.Déf
lat
Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures
Marathon sur le pont sur le Bosphore à Istanbul
Chap. 9 : actions sur les structures
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Les types d’actions :
Le poids propre (de la structure portante) :
Pont du Gard : poids propre important
Toiture tendue : poids propre faible
Les actions permanentes (supportées par la structure
portante) :
Couvertures, bardages, façades,
châssis, faux-plafonds,…
Les actions variables :
Le vent La neige :
Les piétons, voitures, etc
(=charges d’exploitation) :
Autres : actions thermiques, charges
dynamiques, séismes, …
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Cas 1 : le poids propre
Cas 2 : les charges permanentes
Cas 3 : les voitures
Cas 4 : les piétons
Cas 5 : la neige sur la partie droite du pont
Cas 6 : la neige sur la partie gauche du pont
Cas 7 : un vent qui soulève le pont
Etc...
Comb. 1 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 3 + Cas 7
Comb. 2 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 4 + Cas 6 + Cas7
Etc...
Cas de charge et combinaisons (de cas) de charges
Un CAS DE CHARGE est une action indépendante des autres :
Une COMBINAISON DE CHARGES est un ensemble de cas de charges pouvant agir en même temps :
Une même structure doit donc être calculée pour chaque cas de charge ! Le principe de superposition permet par contre de ne plus devoir recalculer la
structure pour les combinaisons de charges (en calcul linéaire)
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Résister aux actions du vent = « contreventer »
Exemple de contreventement d’un hangar métallique à l’aide de « croix de contreventement »
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Un exemple d’une structure soumise aux efforts de vent
Déformée d’une structure métallique sous vent latéral (sculpture sur le rond-point des trois clés sur la N4 à Gembloux)
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
VENT latéral
Surpression intérieure
Dépression intérieure
Toiture métallique de la gare de Leuven : plus de 500 combinaisons de charges
considérées
Autre exemple d’une structure soumise aux efforts de vent
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Tilleul tricentenaire classé de Doyon : soutenu par une structure métallique haubanée
Autre exemple d’une structure soumise aux efforts de vent
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Les charges de neige sont parfois délicates à évaluer
Ordre de grandeur d’une charge de neige à Bruxelles : 0,5 kN/m2. Elle peut représenter des charges énormes dans certaines régions. La neige peut-être soufflée par le vent et s’accumuler à certains endroits…
1 cm de poudreuse 1 kg/m2 ( 0.01 kN/m2).
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Max. 40 m
> 40 m
Dilatations empêchées : efforts parasites
40 m à 60 m
Autres types d’actions
Actions thermiques :
Tassements d’appuis :
Structure hyperstatique : le tassement d’appui
génère des efforts internes
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Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures
Autres types d’actions : actions dynamiques
Rafales de vent : Tourbillons de Von Karman:
Action de la foule (salles de concert, passerelles, gradins, …) :
Actions sismiques (tremblements de terre) :
Millenium Bridge, Londres (1999) : la passerelle a dû être fermée peu après son inauguration à cause de ses
déformations trop importantes sous les charges de foule.
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Pont de Tacoma, USA, 1940 : effondrement « aéroélastique » (amortissement négatif)