PARTIE 1 : Mécanique des structures

1

Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures

Mécanique des structures Pierre Latteur

2014-2015 Partie 1

Version 2014-2015, Pierre Latteur Mécanique des structures

Chap. 1 : les lois de la MDS confirmées par les structures naturelles

3


Les tissus osseux se répartissent selon des lignes de contraintes principales

Lignes de contraintes principales telles que calculées par un modèle EF

L’os est creux : il résiste mieux à la flexion et au flambement

4


Le bambou : une section creuse pour une inertie maximale

Section creuse : meilleure inertie donc meilleure résistance à la

flexion et au flambement

5


L’inertie variable de la feuille à l’arbre, jusqu’aux racines…

6


Constructions humaines avec inertie variable

7


D’autres exemples d’inertie variable : les ailes des insectes

Syrphe

Abeille

8


La structure alvéolée des nids d’abeilles : une structure efficace

9


Les oiseaux … inventeurs du béton armé ?

Stade de Pékin appellé “Le nid

d’oiseau” (2008)

10


Pourquoi les fruits tombent-ils ?

La résistance de la tige croît comme le carré de son diamètre, alors que le poids du fuit croît comme le cube du diamètre…le fruit est condamné à tomber…

10

t

s

2t

2s

Poids P0

Poids 8.P0

Section S0 Section 4.S0

11

Pierre Latteur – UCL – Belgique – Mécanique des structures 11 11

F1

F1

Poids P1 Poids P2

d2

d1

P1 x d1 = P2 x d2

Le cygne au décollage : un

exemple parfait d’équilibre des

forces et des moments…

12


L’araignée, inventeur des structures tendues…

Stade olympique de Munich (1972)

13


L’effet de voûte confirmé par la nature

Arcs naturels (Utah, USA)

14


L’effet d’échelle : quand la nature valide les lois de la résistance des matériaux…

2

242

384

5

8 f

critL

EIP

EI

pLpLM

Une structure est d’autant plus massive et lourde qu’elle est grande.

Une structure est d’autant plus élancée et légère qu’elle est petite.

Les efforts internes, la sensibilité au flambement et les déformations grandissent plus que proportionnellement à la taille. Cet accroissement de taille ne peut pas être infini, sous peine de dépasser les contraintes limites de la matière : à ce moment, la structure ne peut plus supporter que son poids propre.


Chap. 2 : la construction par empirisme pendant des millénaires

16


Les pyramides égyptiennes (25 siècles Av J-C.)

La pyramide de Khéops : 137 m de hauteur, la construction humaine de tous les records pendant plusieurs millénaires.

17


Les aqueducs romain, Ier siècle

Le Pont du Gard, aqueduc Romain du 1er Siècle (360 m de portée, 48 m de haut)

Aqueduc de Segovie, aqueduc Romain du 1er Siècle (1200 m de portée, 35 m de haut)

18


Temples Maya (VIIIe siècle)

Temple Maya de Tikal, 42 mètres de haut,

Guatemala.

19


Tour de Pise (XIIe siècle)

L’inclinaison, aujourd’hui de 4°, est apparue rapidement après la

construction : à l’époque les essais de sols avant construction n’existaient

pas, et encore moins la théorie de la mécanique des sols

20


Les cathédrales gothiques (XII-XIIIe siècle)

Poids pinacle Poussée

arc-boutant

Cathédrale Saint Etienne de Bourges (France)

21


Les bories, cabanes en pierre sèche (France)

Les bories encore observables aujourd’hui datent d’après 1750

22


Ligne du temps

1 cm = 20 millénaires

400 millénaires

- 400 M

Invention de la roue (-6.500)

Exploitation du feu (-400.000 ans)

Homo Sapiens (-150.000 ans)

5.000 ans

5 millénaires

Jésus-Christ 1 cm = 250 ans

250 500 750 1000 1250 1500 1750 -2000 -1750 -1500 -1250 -1000 -750 -500 -250 -3000 -2750 -2500 -2250 2000 0

Galilée 16e S, Précurseur de la Résistance

des matériaux


Chap. 3 : bref historique de la résistance des matériaux


Galilée 1564-1642 (Italie)

24

Tribunal de l’inquisition, 1633

• Mathématicien, physicien, astronome, géomètre,…


Hooke 1635-1703 (Grande Bretagne)

25

Le « De potentia Restitutiva», 1678 :

• Physicien, biologiste, naturaliste, astronome, horloger,…

• 1678 : loi de Hooke qui jette les bases de l’élasticité linéaire :« le déplacement est proportionnel à l’effort exercé : F=k*u»

• Il dessine pour la

1ère fois la

déformée d’une

poutre


Bernoulli (Jacques) 1654-1705 (Suisse)

26

• Mathématicien et physicien, ami de Hooke

• 1694 : « Loi de conservation des sections planes ou Loi de Bernoulli » : les sections droites des poutres initialement planes et perpendiculaires à l’axe le restent dans la configuration déformée


Euler 1707-1783 (Suisse)

27

• Mathématicien, physicien, astronome, … « l’un des plus éminents mathématiciens de tous les temps »

• 1727 : améliore la loi de Hooke en définissant le module d’élasticité E (attribué à Young en 1807 – module de Young)

• 1744 : met en équation le phénomène du flambement


Navier (Henri) 1785-1836 (France)

28

I

My

EI

M

dx

vd

2

2

• Ingénieur et physicien, hydraulicien, bâtisseur de ponts, économiste

• 1821 : développe les équations de Navier-Stokes (fluides)

• 1825 : développe et met en équations la théorie des poutres droites, 2 siècles après Galilée :

(auparavant par Coulomb (1736-1806) pour le cas

particulier de la section rectangulaire)


Young 1773-1829 (Grande Bretagne)

29

• Physicien, médecin, astronome

• 1807 : a perfectionné et généralisé la loi de Hooke : =E (E : module de Young)


Chap. 4 : construire en maîtrisant les lois de la nature

31


Centre Pompidou à Paris : une structure optimisée

Architecte : Renzo Piano, Bureau d’études : Arup (1971)

32


Centre Pompidou à Paris : une structure optimisée

33


Concevoir les assemblages pour maîtriser les efforts…

La rotule parfaite

34


Concevoir les assemblages pour maîtriser les efforts…

35


Connaître les matériaux et rénover en conséquence…

Une vieille grange rénovée en tenant

compte du comportement particulier des

maçonneries et des vieilles charpentes

en bois. (Ulg/Agro-Bio Tech Gembloux, espace

Senghor)

36


Les poutres alvéolées : une conséquence de la théorie de répartition des contraintes dans les poutres

Au centre des sections d’une poutre fléchie, la matière est inutile

37


Connaître les théories évoluées de résistance des matériaux : microfissuration et fatigue…

38


La parfaite maîtrise des lois de l’équilibre pour construire des engins fiables

39


La parfaite maîtrise des lois de l’équilibre pour construire des engins fiables

40


Les barres de flèche ou comment réduire la sensibilité d’un mât au flambement et à la flexion

La canne de charlot flambe sous son poids

propre


Chap. 5 : concevoir les structures

42


43


44


45


46


47


48


49


50



Chap. 6 : quelques catégories de structures

52


Bâtiments de bureaux ou résidentiels

Au dessus : immeubles à Melbourne. En dessous : Dexia Tower Bruxelles

53


Bâtiments de bureaux ou résidentiels

Wind

Deep foundations

Diaphragm walls

Central core

54


Ponts et passerelles

Passerelle à Spy (Belgique)

Passerelle à Melbourne (Australie)

Viaduc de Milau (France)

Pont en arc en béton, en Afrique du sud

55


Ouvrages enterrés

Tunnels en Autriche

Murs de soutènement

Tunnels

56


Et beaucoup d’autres …

57


Ouvrage de base conseillé dans le cadre de ce cours

De nombreuses figures présentes dans les transparents de ce cours proviennent de cet excellent ouvrage particulièrement pédagogique. Introduction à l’analyse des structures, M-A. Studer et François Frey, Presses polytechniques et universitaires romandes

58


Autre ouvrage conseillé dans le cadre de ce cours

Autre ouvrage particulièrement pédagogique qui reprend un grand nombre d’exercices résolus dans les détails. Analyse et calcul des structures, Aram Samikian, Gaëtan Morin éditeur

59


Autres ouvrages conseillés dans le cadre de ce cours

Analyse des structures et milieux continus, Mécanique des structures,

François Frey, Presses polytechniques et universitaires romandes

Calculer une structure, De la théorie à l’exemple,

Pierre Latteur, Editions L’Harmattan-Academia

(librairie à Louvain-la-Neuve sur la Grand-Place)


Chap. 7 : la démarche générale du calcul d’une structure

61


Démarche n°1 : choisir le MATERIAU et connaître ses CARACTERISTIQUES MECANIQUES

Le béton …fissure, flue, ne résiste pas à la traction, se rétracte…

L’acier…flambe, est sensible au feu, relaxe,…

Le bois…est fibreux, a des défauts, est sensible à

l’humidité, est non isotrope,…

Film bois

Film_bois.avi

62


Démarche n°2 : la détermination des ACTIONS

Avec une QUESTION N°1 : la structure est-elle GLOBALEMENT STABLE ? (notion de RÉACTION et donc de fondation).

Poids du luminaire (1 kN)

Action du vent (0,2 kN/m)

63


2009, Shangai : instabilité globale d’un bâtiment

64


Démarche n°3 : le calcul des EFFORTS INTERNES

Poids du luminaire (P=1 kN)

Action du vent (q=0,2 kN/m) h

L

N = P

V = q*h

M = P*L+qh2/2

G

N = P

V = q*h

M = P*L+qh2/2

65


Démarche n°4 : déduire les CONTRAINTES à partir des efforts

Avec une QUESTION N°2 : les contraintes sont-elles SUPPORTABLES PAR LE MATÉRIAU ? Contraintes normales : [N/mm2]

Contraintes tangentielles : [N/mm2]

66


Démarche n°5 : le calcul des DEFORMATIONS

Rotation

Translation

Avec une QUESTION N°3 : la structure ne se déforme-t-elle pas trop ?... :

- Sentiment d’insécurité des usagers - Dégats sur les façades et couvertures - Fissuration - Fatigue des matériaux - Mauvais comportement dynamique - Respecter l’hypothèse de petits déplacements


Chap. 8 : propriétés mécaniques des matériaux de construction

68


Essai de traction sur une éprouvette d’acier usuel de longueur L : allongement u [mm] sous effort F [N] :

69


Essai de traction sur une éprouvette d’acier usuel de longueur L : allongement u [mm] sous effort F [N] :

adimL

u

2N/mmA

F

ef

kf

Domaine plastique non réversible (Ce domaine est pris en compte dans les méthodes E.L.U)

A

B

D E

C

A-B : domaine élastique linéaire réversible fe : limite d’élasticité

B-C : palier plastique C-D : domaine d’écrouissage D: résistance à la traction fk

E.L.U : méthode aux états limites ultimes (pas vu dans ce cours)

Rupture

Domaine élastique linéaire réversible : grande contrainte fe ET très petits déplacements. La pente de la droite est le module de Young E (ou module d’élasticité), en N/mm2.

ELoi de Hooke :

C’

70


D’autres types d’acier

S235

S355

BE500 (béton armé)

Acier de précontrainte

Essai de traction à l’échelle pour un acier de charpente usuel de type S235 (matériau ductile)

2N/mmA

F

235ef

360kf

0.001

0.01 0.15 0.25

Loi de Hooke valable dans la zone élastique linéaire avec E=210.000 N/mm2:

σ=Eε

L

u

Un domaine plastique important est synonyme de ductilité (la plupart des métaux)

Remarque : le diagramme est identique en compression pour ce type de matériau

71


Matériaux raides/fragiles (pierre, brique, béton, verre, bois)

Essai de COMPRESSION sur un échantillon de béton

Synonyme : cassant

72


Matériaux raides/fragiles (pierre, brique, béton, verre, bois)

- Ces matériaux présentent résistances en général bien inférieures à celles des matériaux ductiles (béton 25 MPa)

- Selon les matériaux, la 1ère partie de la courbe peut être plus ou moins linéaire - Le comportement en traction peut être très différent du comportement en compression

- Le béton est raide en traction et légèrement ductile en compression

2N/mmA

F

Traction

Compression

L

u

ckf ,

tkf ,

- Ces matériaux ne présentent pas de zone plastique importante

- Le béton armé a un comportement d’ensemble plus ductile

73


Conséquences visibles dans la vie de tous les jours…

La casserole se bosse, le vélo se déforme…et le verre casse !

74


Diagramme comparé, à l’échelle, d’un acier et d’un béton classiques (S235 et C30/37)

2N/mm

235ef

360kf

0.15 0.25

Béton C30/37 usuel : fk=37 Mpa et =0,004

Traction

Compression

37kf

= DL/L

= F/A

E

fe

Zone de

proportionnalité : loi de Hooke valable ( = E.)

Le matériau élastique linéaire isotrope idéalisé

IMPORTANT : dans le cadre de ce cours, on considère que tous les matériaux ont un comportement élastique linéaire isotrope, identique en traction et en

compression, jusqu’à une valeur notée fe, qui représente la ruine du matériau.

On ne fera donc pas la distinction entre matériau ductile et matériau raide pour établir les critères de dimensionnement.

MPa...3...2...f:Maçonnerie

MPa...40...25...15...f:Béton

MPa...25...15...f:Bois

MPa...460...355...235...f:Acier

e

e

e

e

76


L’hypothèse fondamentale : les petits déplacements

L’hypothèse qui consiste à considérer un matériau idéal répondant à la loi de Hooke en négligeant toute la zone plastique (matériaux ductiles) et la zone de comportement non linéaire (matériaux raides) est appelée « HYPOTHÈSE DE LINÉARISATION MATÉRIELLE ». Elle permet de supposer un comportement élastique linéaire réversible des matériaux considérés. Elle n’est valable QUE pour des petits déplacements

77


Une autre caractéristique mécanique des matériaux : le coefficient de poisson

Allongement longitudinal contraction latérale

Rétrécissement longitudinal gonflement latéral

Métaux : = 0,3 Béton : = 0,15 Pierre : = 0,2

b

bbDéf

lat

'.

.Déf

lat


Marathon sur le pont sur le Bosphore à Istanbul

Chap. 9 : actions sur les structures

79


Les types d’actions :

Le poids propre (de la structure portante) :

Pont du Gard : poids propre important

Toiture tendue : poids propre faible

Les actions permanentes (supportées par la structure

portante) :

Couvertures, bardages, façades,

châssis, faux-plafonds,…

Les actions variables :

Le vent La neige :

Les piétons, voitures, etc

(=charges d’exploitation) :

Autres : actions thermiques, charges

dynamiques, séismes, …

80


Cas 1 : le poids propre

Cas 2 : les charges permanentes

Cas 3 : les voitures

Cas 4 : les piétons

Cas 5 : la neige sur la partie droite du pont

Cas 6 : la neige sur la partie gauche du pont

Cas 7 : un vent qui soulève le pont

Etc...

Comb. 1 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 3 + Cas 7

Comb. 2 : Cas 1 + Cas 2 + Cas 4 + Cas 6 + Cas7

Etc...

Cas de charge et combinaisons (de cas) de charges

Un CAS DE CHARGE est une action indépendante des autres :

Une COMBINAISON DE CHARGES est un ensemble de cas de charges pouvant agir en même temps :

Une même structure doit donc être calculée pour chaque cas de charge ! Le principe de superposition permet par contre de ne plus devoir recalculer la

structure pour les combinaisons de charges (en calcul linéaire)

81


Résister aux actions du vent = « contreventer »

Exemple de contreventement d’un hangar métallique à l’aide de « croix de contreventement »

82


Un exemple d’une structure soumise aux efforts de vent

Déformée d’une structure métallique sous vent latéral (sculpture sur le rond-point des trois clés sur la N4 à Gembloux)

83


VENT latéral

Surpression intérieure

Dépression intérieure

Toiture métallique de la gare de Leuven : plus de 500 combinaisons de charges

considérées

Autre exemple d’une structure soumise aux efforts de vent

84


Tilleul tricentenaire classé de Doyon : soutenu par une structure métallique haubanée

Autre exemple d’une structure soumise aux efforts de vent

85


Les charges de neige sont parfois délicates à évaluer

Ordre de grandeur d’une charge de neige à Bruxelles : 0,5 kN/m2. Elle peut représenter des charges énormes dans certaines régions. La neige peut-être soufflée par le vent et s’accumuler à certains endroits…

1 cm de poudreuse 1 kg/m2 ( 0.01 kN/m2).

86


Max. 40 m

> 40 m

Dilatations empêchées : efforts parasites

40 m à 60 m

Autres types d’actions

Actions thermiques :

Tassements d’appuis :

Structure hyperstatique : le tassement d’appui

génère des efforts internes

87


Autres types d’actions : actions dynamiques

Rafales de vent : Tourbillons de Von Karman:

Action de la foule (salles de concert, passerelles, gradins, …) :

Actions sismiques (tremblements de terre) :

Millenium Bridge, Londres (1999) : la passerelle a dû être fermée peu après son inauguration à cause de ses

déformations trop importantes sous les charges de foule.

88


Pont de Tacoma, USA, 1940 : effondrement « aéroélastique » (amortissement négatif)

PARTIE 1 : Mécanique des structures

Documents

Transcript of PARTIE 1 : Mécanique des structures