Optimisation des carènes pour la résistance de vagues

J. Dambrine1, M. Pierre1, G. Rousseaux2

1 - Laboratoire de Mathématiques & Applications,

2 - Institut Pprime,

4 octobre 2015

GT Mathocéan, Bordeaux.

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Résistance à l’avancement des navires

On considère un navire avançant dans un milieu infini :

Lx

z

y

ULa résistance à l’avancement possède plusieurs composantes :

Résistance d’origine visqueuse, d’abord linéaire, puis quadratique par rapport àU, et proportionnelle à la surface mouillée.

Résistance liée à la production de vagues, prépondérante dans le régimeU ∼

√gL.

Elle dépend de :

La vitesse d’avancement U

La forme de la carène

Il s’agit d’un phénomène de fluide parfait, consé-quence de l’existence d’un sillage.

On cherche à minimiser cette résistance en

jouant sur la forme de la carène

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Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φe

e

e x

z

y

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Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φ

∇Φ.n = Un

e

Ue

e

e x

x

z

y

x

3/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φ

Φ = gh

h = Φ

∂∂ ∂

∇Φ.n = Un

e

Ue

e

e x

x

z

y

x

t

t z

3/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φ

Φ gh

= Φ

Φ

U

U∂∂ ∂

∂∂

∇Φ.n = Un

e

e

e x

z

y

x

t

x

x

z

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Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φ

Φ gh

= Φ

Φ

U

U∂∂ ∂

∂∂

∇Φ.n = Un

e

e

e x

z

y

x

x

x

z

3/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (1)

Hypothèses sur le fluide :

Fluide incompressible, parfait, irrotationnel

Carène en mouvement à la vitesse U dans la direction x

Ondes de faible amplitude → condition de Bernoulli linéarisée à la surface

On se place dans le référentiel de l’objet (changement de variables x ← x − Ut)

On examine le régime stationnaire → condition de Neumann-Kelvin

ΔΦ = 0

V = ∇Φ

ΦΦ - (g/U²) = 0∂∂

∇Φ.n = Un

e

e

e x

z

y

x

zxx

2

3/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (2)

Equations du problème de Neumann-Kelvin :

∆Φ = 0 dans le fluide Ω,

∂xxΦ + (g/U2)∂zΦ = 0 en : z = 0,

∂~nΦ = Unx à la surface de l’objet S,Φ→ 0 pour : z →∞ , |x | → ∞ ,

(1)

Remarquons que si Φ(x , y , z) est une solution du problème, alors −Φ(−x , y , z) l’estaussi !

Lorsque l’objet est totalement immergé, la solution peut être représentée à l’aided’une fonction de Green GX ′ satisfaisant la condition de surface libre :

Si : X ′ ∈ Ω , Φ(X ′)

Si : X ′ ∈ S , 1

2Φ(X ′)

=

∫

SUnx GX ′ −Φ∂~n GX ′

Lorsque l’objet perce la surface libre (comme c’est le cas ici), de nouvelles difficultésapparaissent comme l’apparition d’une intégrale suivant la ligne d’eau S ∩ z = 0.

N. Kuznetsov, V. Maz’ya, B. Vainberg, "Linear water-waves : a mathematical

approach", Cambridge University press (2004).

G. Delhommeau, "Les problèmes de diffraction-radiation et de résistance de

vagues : étude théorique et résolution numérique par la méthode des singulari-

tés", École nationale supérieure de mécanique de Nantes (1987).

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Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (2)

Equations du problème de Neumann-Kelvin :

∆Φ = 0 dans le fluide Ω,

∂xxΦ + ε∂xΦ+ (g/U2)∂zΦ = 0 en : z = 0,

∂~nΦ = Unx à la surface de l’objet S,Φ→ 0 pour : z →∞ , |x | → ∞ ,

(1)

Remarquons que si Φ(x , y , z) est une solution du problème, alors −Φ(−x , y , z) l’estaussi ! → terme de dissipation evanescente

Lorsque l’objet est totalement immergé, la solution peut être représentée à l’aided’une fonction de Green GX ′ satisfaisant la condition de surface libre :

Si : X ′ ∈ Ω , Φ(X ′)

Si : X ′ ∈ S , 1

2Φ(X ′)

=

∫

SUnx GX ′ −Φ∂~n GX ′

Lorsque l’objet perce la surface libre (comme c’est le cas ici), de nouvelles difficultésapparaissent comme l’apparition d’une intégrale suivant la ligne d’eau S ∩ z = 0.

N. Kuznetsov, V. Maz’ya, B. Vainberg, "Linear water-waves : a mathematical

approach", Cambridge University press (2004).

G. Delhommeau, "Les problèmes de diffraction-radiation et de résistance de

vagues : étude théorique et résolution numérique par la méthode des singulari-

tés", École nationale supérieure de mécanique de Nantes (1987).

4/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (2)

Equations du problème de Neumann-Kelvin :

∆Φ = 0 dans le fluide Ω,

∂xxΦ + ε∂xΦ+ (g/U2)∂zΦ = 0 en : z = 0,

∂~nΦ = Unx à la surface de l’objet S,Φ→ 0 pour : z →∞ , |x | → ∞ ,

(1)

Remarquons que si Φ(x , y , z) est une solution du problème, alors −Φ(−x , y , z) l’estaussi ! → terme de dissipation evanescente

Lorsque l’objet est totalement immergé, la solution peut être représentée à l’aided’une fonction de Green GX ′ satisfaisant la condition de surface libre :

Si : X ′ ∈ Ω , Φ(X ′)

Si : X ′ ∈ S , 1

2Φ(X ′)

=

∫

SUnx GX ′ −Φ∂~n GX ′

Lorsque l’objet perce la surface libre (comme c’est le cas ici), de nouvelles difficultésapparaissent comme l’apparition d’une intégrale suivant la ligne d’eau S ∩ z = 0.

N. Kuznetsov, V. Maz’ya, B. Vainberg, "Linear water-waves : a mathematical

approach", Cambridge University press (2004).

G. Delhommeau, "Les problèmes de diffraction-radiation et de résistance de

vagues : étude théorique et résolution numérique par la méthode des singulari-

tés", École nationale supérieure de mécanique de Nantes (1987).

4/18

Modèle fluide : le problème de Neumann-Kelvin (2)

Equations du problème de Neumann-Kelvin :

∆Φ = 0 dans le fluide Ω,

∂xxΦ + (g/U2)∂zΦ = 0 en : z = 0,

∂~nΦ = Unx à la surface de l’objet S,Φ→ 0 pour : z →∞ , |x | → ∞ ,

(1)

Remarquons que si Φ(x , y , z) est une solution du problème, alors −Φ(−x , y , z) l’estaussi !

Lorsque l’objet est totalement immergé, la solution peut être représentée à l’aided’une fonction de Green GX ′ satisfaisant la condition de surface libre :

Si : X ′ ∈ Ω , Φ(X ′)

Si : X ′ ∈ S , 1

2Φ(X ′)

=

∫

SUnx GX ′ −Φ∂~n GX ′

Lorsque l’objet perce la surface libre (comme c’est le cas ici), de nouvelles difficultésapparaissent comme l’apparition d’une intégrale suivant la ligne d’eau S ∩ z = 0.

N. Kuznetsov, V. Maz’ya, B. Vainberg, "Linear water-waves : a mathematical

approach", Cambridge University press (2004).

G. Delhommeau, "Les problèmes de diffraction-radiation et de résistance de

vagues : étude théorique et résolution numérique par la méthode des singulari-

tés", École nationale supérieure de mécanique de Nantes (1987).

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Théorie des corps élancés (1)

Hypothèses sur la carène :

Symétrie par rapport au plan y = 0

Représentation par une fonction "offset" :

(x , z) 7→ f (x , z)

avec f positive, et à support compact ω (fixé).

Carène élancée : |∇f | << 1,

xy

z

L’effet de la carène sur le fluide est alors celui d’une distribution de simple couchelocalisée sur le plan y = 0 :

∆Φ = (U∂x f ) δy=0

Il s’agit en fait d’une linéarisation du problème par rapport à f la forme de la carèneautour de 0.

Le potentiel des vitesses en tout point du domaine est alors donné par :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz

W. Rankine, "On plane water-lines in two dimensions", Phil. Trans. Roy., 154,369-39 1 (1864).

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Théorie des corps élancés (1)

Hypothèses sur la carène :

Symétrie par rapport au plan y = 0

Représentation par une fonction "offset" :

(x , z) 7→ f (x , z)

avec f positive, et à support compact ω (fixé).

Carène élancée : |∇f | << 1,

xy

z

L’effet de la carène sur le fluide est alors celui d’une distribution de simple couchelocalisée sur le plan y = 0 :

∆Φ = (U∂x f ) δy=0

Il s’agit en fait d’une linéarisation du problème par rapport à f la forme de la carèneautour de 0.

Le potentiel des vitesses en tout point du domaine est alors donné par :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz

W. Rankine, "On plane water-lines in two dimensions", Phil. Trans. Roy., 154,369-39 1 (1864).

5/18

Théorie des corps élancés (1)

Hypothèses sur la carène :

Symétrie par rapport au plan y = 0

Représentation par une fonction "offset" :

(x , z) 7→ f (x , z)

avec f positive, et à support compact ω (fixé).

Carène élancée : |∇f | << 1,

xy

z

L’effet de la carène sur le fluide est alors celui d’une distribution de simple couchelocalisée sur le plan y = 0 :

∆Φ = (U∂x f ) δy=0

Il s’agit en fait d’une linéarisation du problème par rapport à f la forme de la carèneautour de 0.

Le potentiel des vitesses en tout point du domaine est alors donné par :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz

W. Rankine, "On plane water-lines in two dimensions", Phil. Trans. Roy., 154,369-39 1 (1864).

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Théorie des corps élancés (2)

Comparaison entre l’expérience (en bas) et les résultats donnés par la théorie des corpsélancés (en haut) sur une carène standard de forme parabolique (carène de Wigley).

U = 0.8m/s, H = 0.483m

C. Caplier, G. Rousseaux, D. Calluaud, L. David, J. Dambrine, "Energy distri-

bution in ship wakes from a spectral analysis of the wave field : the deep and

shallow water cases", soumis à Physics of Fluids.

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Théorie des corps élancés (2)

Comparaison entre l’expérience (en bas) et les résultats donnés par la théorie des corpsélancés (en haut) sur une carène standard de forme parabolique (carène de Wigley).

U = 0.8m/s, H = 0.103m

C. Caplier, G. Rousseaux, D. Calluaud, L. David, J. Dambrine, "Energy distri-

bution in ship wakes from a spectral analysis of the wave field : the deep and

shallow water cases", soumis à Physics of Fluids.

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La formule de Michell (1)

La résistance à l’avancement d’un corps dans un fluide parfait est définie par :

Rw =

∫

SPnx =

∫

S

(

cst + ρ g z − ρ|∇Φ− Uex |2

2

)

nx = −ρ

2

∫

S|∇Φ− Uex |2 nx

On obtient, pour une carène élancée :

Rw = 4ρU

∫

ω

∂x′Φ(x ′, 0, z ′) ∂x′ f (x ′, z ′) dx ′dz ′

Le potentiel des vitesses calculé à l’aide de la fonction de Green :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz ,

fournit (après de longs calculs) la formule de Mitchell :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

avec ν = g

U2 , et :

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z e iνλx dxdz ,

J. H. Michell, "The wave resistance of a ship", Phil. Mag., (5) 45, 106-123(1898).

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La formule de Michell (1)

La résistance à l’avancement d’un corps dans un fluide parfait est définie par :

Rw =

∫

SPnx =

∫

S

(

cst + ρ g z − ρ|∇Φ− Uex |2

2

)

nx = −ρ

2

∫

S|∇Φ− Uex |2 nx

On obtient, pour une carène élancée :

Rw = 4ρU

∫

ω

∂x′Φ(x ′, 0, z ′) ∂x′ f (x ′, z ′) dx ′dz ′

Le potentiel des vitesses calculé à l’aide de la fonction de Green :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz ,

fournit (après de longs calculs) la formule de Mitchell :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

avec ν = g

U2 , et :

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z e iνλx dxdz ,

J. H. Michell, "The wave resistance of a ship", Phil. Mag., (5) 45, 106-123(1898).

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La formule de Michell (1)

La résistance à l’avancement d’un corps dans un fluide parfait est définie par :

Rw =

∫

SPnx =

∫

S

(

cst + ρ g z − ρ|∇Φ− Uex |2

2

)

nx = −ρ

2

∫

S|∇Φ− Uex |2 nx

On obtient, pour une carène élancée :

Rw = 4ρU

∫

ω

∂x′Φ(x ′, 0, z ′) ∂x′ f (x ′, z ′) dx ′dz ′

Le potentiel des vitesses calculé à l’aide de la fonction de Green :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz ,

fournit (après de longs calculs) la formule de Mitchell :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

avec ν = g

U2 , et :

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z e iνλx dxdz ,

J. H. Michell, "The wave resistance of a ship", Phil. Mag., (5) 45, 106-123(1898).

7/18

La formule de Michell (1)

La résistance à l’avancement d’un corps dans un fluide parfait est définie par :

Rw =

∫

SPnx =

∫

S

(

cst + ρ g z − ρ|∇Φ− Uex |2

2

)

nx = −ρ

2

∫

S|∇Φ− Uex |2 nx

On obtient, pour une carène élancée :

Rw = 4ρU

∫

ω

∂x′Φ(x ′, 0, z ′) ∂x′ f (x ′, z ′) dx ′dz ′

Le potentiel des vitesses calculé à l’aide de la fonction de Green :

Φ(x ′, y ′, z ′) = U

∫

ω

∂x f (x , z)G(x′,y ′,z′)(x , 0, z) dxdz ,

fournit (après de longs calculs) la formule de Mitchell :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

avec ν = g

U2 , et :

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z e iνλx dxdz ,

J. H. Michell, "The wave resistance of a ship", Phil. Mag., (5) 45, 106-123(1898).

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La formule de Michell (2)

En profondeur finie et/ou en largeur finie

T. H. Havelock, "The theory of wave resistance", Proc. R. Soc. Lond. (1932).

L. N. Sretensky, "Theory of wave resistance", Tr. TsAGI, No. 458 (1937).

Dans un fluide stratifié en densité (travail avec M. Petcu)

A. A. Hudimac, "Ship waves in a stratified ocean", Journal of Fluid Mechanics,(1961).

W.J. Berry, "The influence of mathematics on the development of naval archi-

tecture", ICM (1924).

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Le problème d’optimisation (1)

On considère le problème de minimisation à volume fixé suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ).

Où l’ensemble des contraintes K s’écrit :

K =

f ∈ H(ω) : f ≥ 0 p.p. , et

∫

ω

f = v0

.

où H =

f ∈ H1(ω) : f |∂ω\z=0 = 0 , au sens des traces

.

Plusieurs indices laissent supposer que le problème pourrait être dégénéré :

Si on relaxe la condition de support compact, il existe des carènes à résistance nulle.Soit f (x , z) = g(x)h(z), avec :

g(x) =2

π

sin2(ax/2)

ax2, avec : a > 0 ,

et h quelconque, alors Rw (f ) est nul, pour toutes les vitesses d’avancées.

Si on relaxe la condition de positivité, alors il existe des carènes C∞0 (ω) à résistance

nulle.

A. A. Kostyukov, "Theory of ship waves and wave resistance", Effective Com-munications Inc., Iowa City, Iowa chap. 6 (1968).

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Le problème d’optimisation (1)

On considère le problème de minimisation à volume fixé suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ).

Où l’ensemble des contraintes K s’écrit :

K =

f ∈ H(ω) : f ≥ 0 p.p. , et

∫

ω

f = v0

.

où H =

f ∈ H1(ω) : f |∂ω\z=0 = 0 , au sens des traces

.

Plusieurs indices laissent supposer que le problème pourrait être dégénéré :

Si on relaxe la condition de support compact, il existe des carènes à résistance nulle.Soit f (x , z) = g(x)h(z), avec :

g(x) =2

π

sin2(ax/2)

ax2, avec : a > 0 ,

et h quelconque, alors Rw (f ) est nul, pour toutes les vitesses d’avancées.

Si on relaxe la condition de positivité, alors il existe des carènes C∞0 (ω) à résistance

nulle.

A. A. Kostyukov, "Theory of ship waves and wave resistance", Effective Com-munications Inc., Iowa City, Iowa chap. 6 (1968).

9/18

Le problème d’optimisation (1)

On considère le problème de minimisation à volume fixé suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ).

Où l’ensemble des contraintes K s’écrit :

K =

f ∈ H(ω) : f ≥ 0 p.p. , et

∫

ω

f = v0

.

où H =

f ∈ H1(ω) : f |∂ω\z=0 = 0 , au sens des traces

.

Plusieurs indices laissent supposer que le problème pourrait être dégénéré :

Si on relaxe la condition de support compact, il existe des carènes à résistance nulle.Soit f (x , z) = g(x)h(z), avec :

g(x) =2

π

sin2(ax/2)

ax2, avec : a > 0 ,

et h quelconque, alors Rw (f ) est nul, pour toutes les vitesses d’avancées.

Si on relaxe la condition de positivité, alors il existe des carènes C∞0 (ω) à résistance

nulle.

A. A. Kostyukov, "Theory of ship waves and wave resistance", Effective Com-munications Inc., Iowa City, Iowa chap. 6 (1968).

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Le problème d’optimisation (2)

On corrige le problème en rajoutant un terme pénalisant la surface de la coque :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + εS(f ) ,

Où ε est un paramètre strictement positif.

La surface S s’écrit :

S(f ) = 2

∫

ω

√

1 + |∇f |2 .

Pour une carène élancée, on a l’approximation suivante :

S(f ) = 2µ(ω) +

∫

ω

|∇f |2 + o(||∇f ||2∞) .

Le premier terme est constant vis à vis de f , on ne gardera donc dans le problèmed’optimisation que le deuxième terme.

Remarque : en choisissant ε proportionnel à U2, le terme additionnel εS(f ) modéliseune résistance visqueuse.

Finalement, on est amenés à résoudre le problème de minimisation suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + ε||∇f ||2L2 .

10/18

Le problème d’optimisation (2)

On corrige le problème en rajoutant un terme pénalisant la surface de la coque :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + εS(f ) ,

Où ε est un paramètre strictement positif.

La surface S s’écrit :

S(f ) = 2

∫

ω

√

1 + |∇f |2 .

Pour une carène élancée, on a l’approximation suivante :

S(f ) = 2µ(ω) +

∫

ω

|∇f |2 + o(||∇f ||2∞) .

Le premier terme est constant vis à vis de f , on ne gardera donc dans le problèmed’optimisation que le deuxième terme.

Remarque : en choisissant ε proportionnel à U2, le terme additionnel εS(f ) modéliseune résistance visqueuse.

Finalement, on est amenés à résoudre le problème de minimisation suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + ε||∇f ||2L2 .

10/18

Le problème d’optimisation (2)

On corrige le problème en rajoutant un terme pénalisant la surface de la coque :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + εS(f ) ,

Où ε est un paramètre strictement positif.

La surface S s’écrit :

S(f ) = 2

∫

ω

√

1 + |∇f |2 .

Pour une carène élancée, on a l’approximation suivante :

S(f ) = 2µ(ω) +

∫

ω

|∇f |2 + o(||∇f ||2∞) .

Le premier terme est constant vis à vis de f , on ne gardera donc dans le problèmed’optimisation que le deuxième terme.

Remarque : en choisissant ε proportionnel à U2, le terme additionnel εS(f ) modéliseune résistance visqueuse.

Finalement, on est amenés à résoudre le problème de minimisation suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + ε||∇f ||2L2 .

10/18

Le problème d’optimisation (2)

On corrige le problème en rajoutant un terme pénalisant la surface de la coque :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + εS(f ) ,

Où ε est un paramètre strictement positif.

La surface S s’écrit :

S(f ) = 2

∫

ω

√

1 + |∇f |2 .

Pour une carène élancée, on a l’approximation suivante :

S(f ) = 2µ(ω) +

∫

ω

|∇f |2 + o(||∇f ||2∞) .

Le premier terme est constant vis à vis de f , on ne gardera donc dans le problèmed’optimisation que le deuxième terme.

Remarque : en choisissant ε proportionnel à U2, le terme additionnel εS(f ) modéliseune résistance visqueuse.

Finalement, on est amenés à résoudre le problème de minimisation suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + ε||∇f ||2L2 .

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Le problème d’optimisation (2)

On corrige le problème en rajoutant un terme pénalisant la surface de la coque :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + εS(f ) ,

Où ε est un paramètre strictement positif.

La surface S s’écrit :

S(f ) = 2

∫

ω

√

1 + |∇f |2 .

Pour une carène élancée, on a l’approximation suivante :

S(f ) = 2µ(ω) +

∫

ω

|∇f |2 + o(||∇f ||2∞) .

Le premier terme est constant vis à vis de f , on ne gardera donc dans le problèmed’optimisation que le deuxième terme.

Remarque : en choisissant ε proportionnel à U2, le terme additionnel εS(f ) modéliseune résistance visqueuse.

Finalement, on est amenés à résoudre le problème de minimisation suivant :

f ⋆ = arg minf ∈K

Rw (f ) + ε||∇f ||2L2 .

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Résultats théoriques (résumé)

Sur le problème régularisé, il est possible d’établir les résultats suivants :

Theorem 1

Le problème de minimisation de la résistance à l’avancement modifié (ε > 0) admetune unique solution, qui est, par ailleurs paire par rapport à f .

Ce résultat nous permettra de réduire la résistance de vague à la contribution "paire" :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z cos(νλx) dxdz .

Nous avons également le résultat de continuité de la carène optimale par rapport à lavitesse :

Theorem 2

On note f U la carène optimale au sens du problème ci-dessus, pour une vitesse U.

Soit U > 0. Alors, f U converge vers f U fortement dans H lorsque U → U

On a de plus le résultat de régularité suivant :

Theorem 3

La solution du problème de minimisation appartient à W 2,p pour 1 ≤ p <∞, enparticulier, elle est C1(ω).

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Méthodes numériques (1)

Pour la représentation de la fonction carène, on utilise une approche par éléments finis :

On fixe un domaine rectangulaire ω =]− L2, L

2[×]0,D[

Soit une grille régulière (xi , zi )i=1...N

On définit les fonctions de base Q1 sur ce maillage

X

z

z

x

e

i

i

i

On restreint l’espace des formes H à l’espace V N = Vect(e1, ..., eN ), c’est à dire :

f (x , z) =N∑

i=1

fi ei (x , z).

Notons que les contraintes de positivité et de volumes constant s’écrivent trèssimplement grâce à ce type de représentation :

Positivité : fi ≥ 0

Volume :N∑

i=1

fi

∫

ω

ei = v0

L’ensemble des contraintes sur f est alors un simplexe en dimension N-1.

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Méthodes numériques (2)

On rappelle la formule de Mitchell pour les carènes paires :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z cos(νλx) dxdz .

Lorsque f ∈ V N , on a :

I (λ, f ) = It(λ)F , où : I(λ) = (I (λ, ei ))i=1..N , et F = (fi )i=1..N

On obtient alors l’expression quadratique suivante pour la résistance de vagues :

Rw = F tMwF ,

où :

Mw =4ρgν3

π

∫ ∞

1

I(λ)It(λ)λ4

√λ2 − 1

dλ .

L’intégrale en λ est calculée numériquement via une méthode de quadrature quiconserve la positivité de la matrice Mw .

Enfin, lorsque f ∈ V N , le terme de régularisation s’obtient classiquement par :||∇f ||2

L2 = F tMvF , où Mv = (< ∇ei ,∇ej >)i,j=1..N est une matrice par bandes.

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Méthodes numériques (2)

On rappelle la formule de Mitchell pour les carènes paires :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z cos(νλx) dxdz .

Lorsque f ∈ V N , on a :

I (λ, f ) = It(λ)F , où : I(λ) = (I (λ, ei ))i=1..N , et F = (fi )i=1..N

On obtient alors l’expression quadratique suivante pour la résistance de vagues :

Rw = F tMwF ,

où :

Mw =4ρgν3

π

∫ ∞

1

I(λ)It(λ)λ4

√λ2 − 1

dλ .

L’intégrale en λ est calculée numériquement via une méthode de quadrature quiconserve la positivité de la matrice Mw .

Enfin, lorsque f ∈ V N , le terme de régularisation s’obtient classiquement par :||∇f ||2

L2 = F tMvF , où Mv = (< ∇ei ,∇ej >)i,j=1..N est une matrice par bandes.

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Méthodes numériques (2)

On rappelle la formule de Mitchell pour les carènes paires :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z cos(νλx) dxdz .

Lorsque f ∈ V N , on a :

I (λ, f ) = It(λ)F , où : I(λ) = (I (λ, ei ))i=1..N , et F = (fi )i=1..N

On obtient alors l’expression quadratique suivante pour la résistance de vagues :

Rw = F tMwF ,

où :

Mw =4ρgν3

π

∫ ∞

1

I(λ)It(λ)λ4

√λ2 − 1

dλ .

L’intégrale en λ est calculée numériquement via une méthode de quadrature quiconserve la positivité de la matrice Mw .

Enfin, lorsque f ∈ V N , le terme de régularisation s’obtient classiquement par :||∇f ||2

L2 = F tMvF , où Mv = (< ∇ei ,∇ej >)i,j=1..N est une matrice par bandes.

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Méthodes numériques (2)

On rappelle la formule de Mitchell pour les carènes paires :

Rw (f ) =4ρgν3

π

∫ ∞

1

|I (λ, f )|2 λ4

√λ2 − 1

dλ ,

I (λ, f ) =

∫

ω

f (x , z) e−νλ2z cos(νλx) dxdz .

Lorsque f ∈ V N , on a :

I (λ, f ) = It(λ)F , où : I(λ) = (I (λ, ei ))i=1..N , et F = (fi )i=1..N

On obtient alors l’expression quadratique suivante pour la résistance de vagues :

Rw = F tMwF ,

où :

Mw =4ρgν3

π

∫ ∞

1

I(λ)It(λ)λ4

√λ2 − 1

dλ .

L’intégrale en λ est calculée numériquement via une méthode de quadrature quiconserve la positivité de la matrice Mw .

Enfin, lorsque f ∈ V N , le terme de régularisation s’obtient classiquement par :||∇f ||2

L2 = F tMvF , où Mv = (< ∇ei ,∇ej >)i,j=1..N est une matrice par bandes.

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Méthodes numériques (3)

Le problème d’optimisation devient :

F∗ = argminF∈SN

F t ·M F , (2)

où la matrice M vaut Mw + εMv .

Pour résoudre ce problème d’optimisation sous contraintes, on introduit leLagrangien :

L(F , µ, τ) = F t ·M F + µ0

(

N∑

i=1

fi − V

)

+ τ · F .

Ce lagrangien est défini pour F ∈ RN , µ ∈ R et τ ∈ (R+)N .

La solution du problème (2) est alors donnée par le point-selle du lagrangien :

F∗ = infF∈RN

supτ∈(R+)N

µ∈R

L(F , µ, τ) .

L’algorithme d’Uzawa permet de calculer ce point selle :

• F k = infF∈RN

L(F , µk , τk ) = M−1(τk + µk )

• µk+1 = µk + δr1

(

N∑

i=1

fk

i − V

)

• µk+1 = µk + δr2 min(F k , 0)

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Méthodes numériques (3)

Le problème d’optimisation devient :

F∗ = argminF∈SN

F t ·M F , (2)

où la matrice M vaut Mw + εMv .

Pour résoudre ce problème d’optimisation sous contraintes, on introduit leLagrangien :

L(F , µ, τ) = F t ·M F + µ0

(

N∑

i=1

fi − V

)

+ τ · F .

Ce lagrangien est défini pour F ∈ RN , µ ∈ R et τ ∈ (R+)N .

La solution du problème (2) est alors donnée par le point-selle du lagrangien :

F∗ = infF∈RN

supτ∈(R+)N

µ∈R

L(F , µ, τ) .

L’algorithme d’Uzawa permet de calculer ce point selle :

• F k = infF∈RN

L(F , µk , τk ) = M−1(τk + µk )

• µk+1 = µk + δr1

(

N∑

i=1

fk

i − V

)

• µk+1 = µk + δr2 min(F k , 0)

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Méthodes numériques (3)

Le problème d’optimisation devient :

F∗ = argminF∈SN

F t ·M F , (2)

où la matrice M vaut Mw + εMv .

Pour résoudre ce problème d’optimisation sous contraintes, on introduit leLagrangien :

L(F , µ, τ) = F t ·M F + µ0

(

N∑

i=1

fi − V

)

+ τ · F .

Ce lagrangien est défini pour F ∈ RN , µ ∈ R et τ ∈ (R+)N .

La solution du problème (2) est alors donnée par le point-selle du lagrangien :

F∗ = infF∈RN

supτ∈(R+)N

µ∈R

L(F , µ, τ) .

L’algorithme d’Uzawa permet de calculer ce point selle :

• F k = infF∈RN

L(F , µk , τk ) = M−1(τk + µk )

• µk+1 = µk + δr1

(

N∑

i=1

fk

i − V

)

• µk+1 = µk + δr2 min(F k , 0)

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Méthodes numériques (3)

Le problème d’optimisation devient :

F∗ = argminF∈SN

F t ·M F , (2)

où la matrice M vaut Mw + εMv .

Pour résoudre ce problème d’optimisation sous contraintes, on introduit leLagrangien :

L(F , µ, τ) = F t ·M F + µ0

(

N∑

i=1

fi − V

)

+ τ · F .

Ce lagrangien est défini pour F ∈ RN , µ ∈ R et τ ∈ (R+)N .

La solution du problème (2) est alors donnée par le point-selle du lagrangien :

F∗ = infF∈RN

supτ∈(R+)N

µ∈R

L(F , µ, τ) .

L’algorithme d’Uzawa permet de calculer ce point selle :

• F k = infF∈RN

L(F , µk , τk ) = M−1(τk + µk )

• µk+1 = µk + δr1

(

N∑

i=1

fk

i − V

)

• µk+1 = µk + δr2 min(F k , 0)

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Résultats (1)Caractère dégénéré du problème

A vitesse d’avancement fixée, on commence par étudier le cas où ε→ 0 :

ε=0.01

−1 −0.5 0 0.5 1

00.10.2 0

5

10x 10

−3

ε=0.0025

−1 −0.5 0 0.5 1

00.10.2 0

0.01

ε=0.000625

−1 −0.5 0 0.5 1

00.10.2 0

0.01

0.02

ε=0.00015625

−1 −0.5 0 0.5 1

00.10.2 0

0.02

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Résultats (2)Carènes optimales

On fixe L = 2m, T = 30cm, ε =1

2ρCwU2 avec Cw = 10−2. On examine les résultats

d’optimisation pour plusieurs valeurs du nombre de Froude :

Fr =U√gL

.

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.60.8

1

−0.10

0.1

−0.2

−0.1

0

Fr =0.2−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.40.6

0.81

−0.10

0.1

−0.2

−0.1

0

Fr =0.3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.60.8

1

−0.10

0.1

−0.2

−0.1

0

Fr =0.4−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.60.8

1

−0.10

0.1

−0.2

−0.1

0

Fr =0.5

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Résultats (2)Profils de résistance

On examine les profils de résistance de vagues pour deux carènes optimisées sur desrégimes de vitesse différents :

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

10

20

30

40

50

60

70

Froude number

Wav

e re

sist

ance

Wigley Hull

Optimized for Fr = 0.3

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

10

20

30

40

50

60

Froude numberW

ave

resi

stan

ce

Wigley Hull

Optimized for Fr = 0.5

Carène "canoë" Carène "bulbe"

J. Dambrine, M. Pierre, G. Rousseaux, "A theoretical and numerical determina-

tion of optimal ship forms based on Michell’s wave resistance", COCV (2015).

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Conclusion et perspectives

Nous avons bien avancé sur la question...

Nous avons développé a une méthode rapide de calcul de carènes optimales pour larésistance de vagues

Nous avons une bonne idée du caractère dégénéré du problème initial

On retrouve des formes classiques en architecture navale (bulbes)

Takao Inui, "Investigation of Bulbous Design for "Mariner" Cargo Ship", (1964).

...Mais, il reste du travail !

Effet du support de la carène (optimisation du support ?)

Calculs avec confinement latéral et profondeur finie

Que peut-on faire sans l’hypothèse de corps élancé ?Méthodes BEM (Noblesse et. al.) → thèse d’Evi Noviani.

Optimisation du sillage, problèmes de batillage.

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