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École Centrale de Nantes, Institut de recherche en Génie Civil et Mécanique – GeMUMR CNRS 6183
Théorie et programmation UMAT
Laurent GORNETMaître de Conférences HDR
ModModèèles les hyperhyperéélastiqueslastiques dans dans Cast3MCast3M
Application au CaoutchoucApplication au Caoutchouc
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PlanPlan
• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation – 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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DurabilitDurabilitéé des structuresdes structuresInteraction modInteraction modèèlele--expexpéérience rience
Caoutchouc : Caoutchouc : éétudes multitudes multi--ééchelleschelles
Rupture
Structures
Fatigue
Thermique
( )tTCpqdivr∂∂
=− ..ρ
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PlanPlan
• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation – 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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Essais cyclés de traction et de glissement pur
Essais sur caoutchoucsEssais sur caoutchoucs
Phénomènes :
Hystérésis Effet MullinsEffet Payne
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•Décrire les courbes expérimentales
• Mooney-Rivlin (1940,48)
• Hart-Smith (1967)
• Ogden (1972)
2 constantes
3 constantes
6 constantes
( ) ( )33 2211 −+−= ICICW
W = C1 exp(C3 I1
'2 )dI1 +0
I1− 3
∫ C2 lnI2
3
3321
3
1−++=∑
=
iii
i i
iW ααα λλλαµ
ModModéélisations des caoutchoucslisations des caoutchoucsApproche phénoménologique : 1940 - 1975
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• Treloar (1943) , James et Guth (1947)• Arruda et Boyce (1993)• modèle tube (1997)•Marckmann et al. (2002)
échec dans les années 40, retour aujourd’hui
ModModéélisations des caoutchoucslisations des caoutchoucsApproche statistique : 1940, 1990 - ?
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NNééohookienohookienApproche statistique (1940)
( ) NkTCICW 5.03 10110 =−=
• Energie de déformation• Statistique Gaussienne
• N: nombre de chaine moléculaire par unité de volume
• K: constante de Botzmann• T: température absolue
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MooneyMooney RivlinRivlinApproche phénoménologique (1948)
( ) ( )33 220110 −+−= ICICW
• Matériau incompressible• Isotrope dans l’état non déformé• Comportement linéaire :
– cisaillement simple• Energie de déformation :
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L.R.G. TRELOAR L.R.G. TRELOAR ExpExpéériences 1944riences 1944
• Caoutchouc naturel vulcanisé– Traction simple– Traction Equi-Biaxiale– Glissement pur
• Modèle Néo-hookien• Paramètres Mooney-Rivlin
– C1 = 0.183 MPa– C2 = 0.0034 MPa Ogden (1972)
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PlanPlan
• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation – 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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Code E.F. CAST3MCode E.F. CAST3MAtelier logiciel Atelier logiciel CastemCastem
• Langages développeur : GIBI + ESOPE – Opérateurs développés en ESOPE
• fortran + Gestion dynamique de la mémoire
• Langage utilisateur : GIBIANE– Maillages, calculs E.F. , procédures– Procédures développées en GIBIANE
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Atelier logiciel Cast3M Atelier logiciel Cast3M calculs sous calculs sous GIBIGIBI
• Procédure GIBIANE!– Créations de nouveaux développements– Personnaliser son code E.F.
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ABAQUSABAQUS--UMATUMATFortran 77Fortran 77
• SUBROUTINE MOONEY ( STRESS, STATEV, DDSDDE, SSE, SPD, SCD,RPL, DDSDDT, DRPLDE, DRPLDT, STRAN, DSTRAN, TIME, DTIME,TEMP, DTEMP, PREDEF, DPRED,CMNAME, NDI, NSHR,
NTENS, NSTATV, PROPS, NPROPS, COORDS,DROT, PNEWDT, CELENT, DFGRD0, DFGRD1,NOEL, NPT, LAYER, KSPT, KSTEP, KINC )
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UMATUMATimplimpléémentation dmentation d’’un modun modèèlele
• Loi de comportement (toto.eso)– Eso2For : toto.f, toto.o
• Modification de la UMAT (umat.eso)– Eso2For : umat.f, umat.o
• Fabrication de l’exécutable Cast3M• L’exemple : test-toto.dgibi
– Solutions analytiques ! ?
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MODEMODE
LCMAT = MOTS 'YOUN' 'NU ' 'C10' 'C20' 'DINF' 'ETHA';
LCVAR = MOTS 'D ' ;MO = MODE SU 'MECANIQUE' 'ELASTIQUE'
'ISOTROPE' 'NON_LINEAIRE' 'UTILISATEUR‘ 'NUME_LOI‘ 9'C_MATERIAU' LCMAT 'C_VARINTER' LCVAR ;
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MATEMATE
MA = MATE MO 'YOUN' YU 'NU ' XNU'C10' C1 'C20' C2 'DINF' DD 'ETHA' ETH;
*Initialisation des variables interneschpD0i = MANU CHML MO 'D ' 0.0
'STRESSES' 'TYPE' 'VARINTER' ;
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PASAPASPASAPASTAB1 = TABLE;TAB1.'VARIABLES_INTERNES' = TABLE ;TAB1.'VARIABLES_INTERNES'. 0 = chpD0i ;TAB1 . GRANDES_DEFORMATIONS = VRAI ;TAB1 . MODELE = MO;TAB1 . CARACTERISTIQUES = MA ;TAB1 . CHARGEMENT = CH1 ;TAB1 . TEMPS_CALCULES = PR1;TAB1 . 'TEMPS_SAUVES‘ = PR2;PASAPAS TAB1 ;
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• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation– 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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Traction Traction Solution analytique Solution analytique MooneyMooney--RivlinRivlin
1
23
F
F
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
λλ
λ
/1000/1000
][F [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=λ
λλ
/1000/10002
TFFB
( ){ }⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
⋅+=−⋅=
+==
1]det[
21][][21
/2][
3
222
2
21
BI
BtrBtrI
BtrI
λλ
λλ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 221
2 112 CCλ
λλ
λσ
[ ] [ ] [ ] [ ]IpBIWB
IWI
IW
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= 2
221
1
2σ
σ11 = σ22= 0
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TractionTractionContrainte planeContrainte plane
Cauchy
PK2
PK1
UY
Contraintes
UYMooney-Rivlin
Qua4
Qua8Analytique = EF
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TractionTractionContrainte planeContrainte plane
Cauchy
PK2
PK1
UY
Contraintes
UY
Qua4
Qua8
Analytique = EF
Mooney-Rivlin
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Tri3
Sans problème !
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Tri3Eléments :30 * 30
Tri6Eléments : 10 * 10
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Tri6Eléments :30 * 30
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Traction Traction biaxialebiaxiale
Cauchy
Analytique = EF
Mooney-RivlinUY
UX
Qua4 Qua8
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Traction Traction biaxialebiaxiale
UY
UX
Mooney-Rivlin
Cauchy
Analytique = EF
Qua4 Qua8
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Glissement simple Glissement simple Solution analytique 1/2Solution analytique 1/2
1
2
3
F
F
u
lo
1
2
3
γ = u / lo
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10001001
][γ
F
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ +==
100010²1
γγγ
FFB T
( ){ }⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
+=−⋅=
+==
1]det[
²3][][21
²3][
3
222
1
BI
BtrBtrI
BtrI
γ
γ
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[ ] [ ] [ ] [ ]IpBIWB
IWI
IW
−∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
= 2
221
1
2σ
σ11 = 2 C1 γ² σ12 = 2.(C1 + C2 ).γσ22 = -2 C1 γ²
σ33 = 0 p = 2.[C1 + (2+ γ²).C2]
Glissement simple Glissement simple Solution analytique Solution analytique MooneyMooney--RivlinRivlin 2/22/2
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Un Un éélléément linment linééaireaireSolution analytique EFSolution analytique EF
Traction
Compression
4²)(²)( 2121 +++−= γγγσ CCCC
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=σ
σσ ][
Qua4
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Cisaillement simpleCisaillement simple
Qua4 Qua8
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Cauchy PrincipaleCauchy Principale
Traction
Compression
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Von MisesVon Mises
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ÉÉprouvetteprouvetteContrainte planeContrainte plane
Analytiquesans gradient
EF
MooneyMooney--RivlinRivlinTri6
σy
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PlanPlan
• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
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• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation– 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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NNééoHookienoHookienQuasi incompressible 3DQuasi incompressible 3D
• Densité d’énergie
• Fonction de pénalisation (Simo 1988)
• Cas général
( ) ( )2110 113 −+−= JD
ICW
( ) ( )JUIIWW += 21,
C1 = 1 MPa, D=10-4
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Fonctions de pFonctions de péénalisationnalisationLa bibliographieLa bibliographie
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( ) ( )2110 113 −+−= JD
ICW
Essai de Traction Essai de Traction Quasi incompressible 3DQuasi incompressible 3D
CUB8
Cauchy
PK2
PK1
UY
Analytique = EF
C1 = 1 MPa, D=10-4
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CUB8
NNééohookienohookienQuasi incompressibleQuasi incompressible
( ) ( )2110 113 −+−= JD
ICW
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CU20
NNééohookienohookienQuasi incompressibleQuasi incompressible
EF # Analytique
C1 = 1 MPa, D=10-2
Essai de Traction Essai de Traction
( ) ( )2110 113 −+−= JD
ICW
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CUB8
Essai de TractionEssai de Traction
NNééohookienohookienQuasi incompressibleQuasi incompressible
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Cauchy
Analytique = EF
PK2
PK1
CUB8
NNééohookienohookienQuasi incompressibleQuasi incompressible
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CU20
Convergence des simulationsConvergence des simulations
Analytique = EF
Analytique
D=10-4
NNééohookienohookienQuasi incompressibleQuasi incompressible
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PlanPlan
• Contexte• Généralités sur les hyperélastiques
– Néo-hookien, Mooney-Rivlin…
• Développement UMAT– De la théorie à la programmation
• Exemples de validation– 2D, 3D, Effet Mullins
• Conclusion
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Critère prenant en compte toutes les directions de l’espace
( )BtrI =1
Forme de l'endommagement ( ) ( )max1IDDD == α
23
22
211 λλλ ++=I 131 −= IαMesures
ModModèèle avec effet Mullinsle avec effet MullinsMécanique de l’endommagement
ThThèèse G. se G. ChagnonChagnon 2003, JMPS 20042003, JMPS 2004
BBIσ
∂∂
−+−= 02)1( WDp
Densité d’énergie hyperélastique : W0
avec accommodation : (1-D)W0
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( ) ( ) ( )31302
1201100 333 −+−+−= ICICICW
Modèle hyperélastique - Yeoh
Choix d’une forme
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= ∞ ηαexp1DDForme de la loi choisie
Simulation avec effet MullinsSimulation avec effet MullinsMécanique de l’endommagement
CisaillementTraction
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MooneyMooney RivlinRivlin et Mullinset Mullins
( ) ( )33 220110 −+−= ICICW
BBIσ
∂∂
−+−= 02)1( WDp
Analytique sans Mullins
Avec effet Mullins
Cauchy
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= ∞ ηαexp1DD
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Effet MullinsEffet Mullins
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Traction Compression
Mullins
ComparaisonsComparaisons
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ConclusionConclusion
• Simulations des essais– Traction, Cisaillement, Biaxiale…
• Tridimensionnel, Quasi incompressible• Convergence c’est pas simple !• Quand :
– Opérateur tangent dans UMAT– Les USER ELEMENTS
• Merci : Olivier Fandeur (CEA)