Modélisation et calcul scientifique

Jocelyne Erhel

Equipe SAGE - INRIA et IRISA - Rennes

Équipe commune avec le CNRS et l’université de Rennes 1

Travail en collaboration avec Géosciences Rennes

(CNRS et université de Rennes 1)

avec le laboratoire PPRIME (CNRS et université de Poitiers)

Avec le laboratoire CDCSP (CNRS et université de Lyon)

Comprendre (ex: astrophysique) Prédire (ex: météo) Gérer (ex: ressources pétrolières) Décider (ex: finances)

Modélisation et simulation

http://www.surfrider.eu/uploads/pics/Cycle-de-l-eau.jpg

©Yves Chaux

L’eau potable en Bretagne:

70% eaux de surface

Quelques captages profonds

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

©http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

Modélisation

Variables physiques Lois de conservation Lois de comportement

Charge hydraulique H

Puits artésien : l'eau jaillit par pression.Cascade: l’eau tombe par gravité

H = P/ρg + zP pression, ρ densité, g constante de gravité, z profondeur

Gradient de charge hydraulique

© http://www.u-picardie.fr/~beaucham/cours.qge/du-7.htm

Gradient de charge hydraulique

• En dimension 1: position x et fonction H(x)

Points x et x+dx

H’(x) est le gradient de H au point x

dx

xHdxxHxH dx

)()(lim)(' 0

Gradient de charge hydraulique

• En dimension 2: position (x,y) et fonction H(x,y)

Points (x,y) et (x+dx,y); points (x,y) et (x,y+dy)

Vecteur gradient Grad(H)

y

Hx

H

HH

dy

yxHdyyxHyx

y

Hdx

yxHydxxHyx

x

H

dy

dx

)Grad(

),(),(lim),(

),(),(lim),(

0

0

Vitesse de l’eau

Loi de la conservation de la masse:

Ce qui sort du tuyau y est entré

En dimension 1: position x; vitesse V(x); source Q(x)

Conservation de la masse: V’(x)=Q(x)

Arrosage : les bons tuyaux ! | © Olivier Desvaux

Vitesse de l’eau

En dimension 2 : vecteur V(x,y) avec deux composantesDivergence de V: flux de vitesse en un point

),(),(.),(div

),(

yxy

Vyx

x

VVyxV

V

VyxV

yx

y

x

Notion de perméabilité

perméabilité

Type de roche

Perméabilité (m/s)

graviers 3 10-1

sables 6 10-4

limons 3 10-8

vase argileuse 5 10-10

1m=3 s

1m=28 mn

1m=386 j

1m=63 ans

Loi de Darcy

V = -K * grad(H)

La vitesse est proportionnelle au gradient de charge

Le coefficient K est la perméabilité de l’aquifère

HISTOIRE DES FONTAINES PUBLIQUES DE DIJON. APPENDICE. - NOTE D.

Détermination des lois d'écoulement de l'eau à travers le sable.

HENRY DARCY

INSPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES.

1856

Modèle de l’écoulement

Flux nul

Flux nul

H=

1

H=

0

Conservation de la masse

div(V) = Q

Loi de Darcy

V = -K * grad(H)

Conditions aux limites

Il existe une solution H

et elle est unique

En général, on ne sait pas calculer la solution H

H = charge Hydraulique ; V = vitesse ; K = perméabilité

On sait calculer une

solution approchée

Discrétisation numérique

Discrétisation du domaine Problème approché Analyse de convergence

Solution approchée :discrétisation spatiale

On superpose une grille de calcul, comme les pixels d’une photo numérique

Plus la grille est fine,

plus la solution approchée

est précise

Et plus le volume de

données et le temps de

calcul augmentent

div(V) = Q

V = -K * grad(H)

Conditions aux limites

Modélisation de l’écoulement :système d’équations approché

On écrit les équations dans chaque petit carré de la grille

On obtient un système d’équations linéaire

H1 H2

H3 H4

Les inconnues sont H1,H2,H3,H4

4

3

2

1

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

Z

Z

Z

Z

H

H

H

H

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

4444343242141

3434333232131

2424323222121

1414313212111

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

ZHaHaHaHa

Simulation numérique

Algorithme de résolution Développement d’un logiciel Validation

système d’équations linéaires

N mailles :

N équations avec N inconnues

Algorithme de résolution

par éliminations successives

des inconnues

Stocker 8N2 octets

Faire N3 opérations (Flops)

N=1000 : 8 Mega-octets et 1 Giga-Flops

N=100000=105 : 80 Giga-octets et 1015 Flops (1 Peta-Flops)

Système d’équations linéaires

0 + a = a et 0 x a = 0

On ne stocke que les éléments non nuls de la matrice

On ne fait les opérations qu’avec ces éléments non nuls

Une matrice creuse Les algorithmes sont plus compliqués

Temps de calcul en fonction de la taille N

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

1,0E+04

1,0E+05

1,0E+06

1,0E+07

1,6E+04 6,5E+04 2,6E+05 1,0E+06 2,1E+06

c N3temps en secondes

Calcul parallèle et distribué

16,8 millions d’inconnues en 76 secondes

avec 32 processeurs

Grappe de PC

Inria

Grid’5000

©INRIA/Photo Jim Wallace

Modèle

numérique

Validation et visualisation

Cas simple homogène Cas compliqué hétérogène

Charge H et vitesse V dans un milieu homogène

Charge H et vitesse V dans un milieu hétérogène

Charge dans un réseau 3D de fractures

http://www.eaubretagne.fr/article/les-eaux-souterraines

http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/doseau/decouv/rubrique.html

http://www.brgm.fr/divers/nappes.htm

http://www.u-picardie.fr/~beaucham/

http://www.ec.gc.ca/water/f_main.html

http://ga.water.usgs.gov/edu/watercyclefrench.html

http://www.irisa.fr/sage

http://www.geosciences.univ-rennes1.fr/

Pour en savoir plus