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7/25/2019 Modle Cinmatique Direct
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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MODELE CINEMATIQUE DIRECTMODELE DIFFERENTIEL DIRECT
4.1 Introduction
Les modles gomtriques ne permettent que la commande des configurations gomtriques
telles que les positions et les orientations de llment terminal du robot industriel en
question. Cependant, le contrle ou la commande des vitesses linaires et de rotation de
leffecteur sont gnralement importantes. Considrons lexemple simple du robot plan 2
degrs de libert ),( h (structure de la figure (2.1b)) qui est utilis pratiquement pour raliser
la coupe des tles suivant une ligne spcifie. Par exemple, il est trs bien connu que la
vitesse de coupe joue un rle trs important dans un processus de coupe. Ou encore la
variation de vitesse dune lectrode de soudure larc peut provoquer des inhomognit du
cordon de soudure (surpaisseur ou manque de mtal dapport). Le modle cinmatique
direct est lensemble des quations permettant de prdire les vitesses de leffecteur enfonction des vitesses des variables articulaires. Le modle inverse est lensemble des
quations permettant de calculer ces variables articulaires en fonction du vecteur vitesses
oprationnel spcifi. Comme pour le MGD, pour dterminer les quations du modle
cinmatique direct (MCD) on dispose de mthodes systmatiques permettant de gnrer
automatiquement ce modle. Deux mthodes considres comme principales seront utilises
pour tablir le MCD :
Mthode utilisant la notion de torseur
Mthode utilisant le MGD
Fig 4.1
Le modle diffrentiel direct(MDD), (appel aussi le modle des petits dplacements), estlensemble des quations permettant de relier la diffrentielle de la configuration gomtrique
en fonction de la diffrentielle du vecteur des coordonnes gnralises. Il est obtenu partir
du MCD en considrant un incrment de temps gal lunit. De mme le modle diffrentielinverse est lensemble des quations qui lient la diffrentielle des coordonnes articulaires la
diffrentielle impose de la situation de lorgane terminal du systme mcanique articul. Le
MDD permet aussi de dterminer les quations du MCD.
Prcisons que pour la suite, il sagit de calculer la vitesse linaire du point central C de
llment terminal, note Vr
par rapport au repre de rfrence 0R et le vecteur vitesse de
rotation de leffecteur, not r
, en fonction des vitesses des variables articulaires ),1( niqi =& .
Bien entendu que le robot est suppos sriel et de degr de libert gal au nombre n en
considrant toujours le cas habituel ou les liaisons entre solides sont de type pivot ouprismatique.
Modle cinmatique directVitesses
des axes
articulaires
Vitesses linaireset de rotation de
leffecteur dans
lespace
oprationnel
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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4.2Mthode utilisant la notion des torseur cinmatique
Nous rappelons que les corps solides sont toujours considrs indformables. Soit
),,,( iiiii zyxOR rrr
le repre li au corps solide iS et permettant ainsi de dcrire le
mouvement de ce dernier. Soit iur
le vecteur unitaire de laxe de la liaison entre les solides
1iS et iS .
Fig. 4.2
Avec la convention de Denavit-Hartenberg, ce vecteur est toujours reprsent par laxe izv
et
la variable gnralise temporelle )(tqi de larticulation ni par :
iiiii qqtq +=)( (avec 1=+ ii ) (4.1)
La ime vitesse gnralise )(tqi& est obtenue par simple drivation de la coordonnegnralise correspondante :
iiiii qqtq &&& +=)( (4.2)
Soit 1/ iOiVv
la vitesse de lorigine du repre ),,,( iiiii zyxOR rrr
relativement 1iR et 1/ iir
le
vecteur rotation du corps iS (cest aussi le vecteur rotation du repre iR par rapport 1iR ).
* si la liaison est rotode : 0=i , iiii zq r
&r
=1/ et 01/
rr=
iOiV , (4.3)
* si la liaison prismatique : 0=i , 01/rr
=ii et iiiO zqV
i
r&
r=
1/ . (4.4)
Rappelons la formule de transport des vitesses. Ctant le point central de llment terminal,
on a la relation vectorielle suivante :
COVV iiiiSOiSC iii
rrrr+=
1/1/1/ (4.5)
En utilisant les remarques (4.3) et (4.4), on a :
iiiiiiiiSC zOCqzqV irr
&r
&r
+=
.1/ (4.6)
0R 1iS
iS
Fig. 4.3
izv
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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Le torseur cinmatique du mouvement de 1/ ii SS , exprim en , scrit :
{ }Ciiiii
iiiiiiiiSC
Cii
zq
zOCqzqVv i
=
+==
r&
r
rr&
r&
1/
1/
1/
. (4.7)
Le thorme de composition de mouvement, appliqu au systme mcanique articul,
commenant de leffecteur (de repre nR suppos attach llment terminal) et terminant
par le socle du bras manipulateur (attach au repre 0R ):
{ } { } { } { }
{ }=
=
=
++=
ni
iCii
CCCnnCn
v
vvvv
1
1/
0/11/21/0/ .....
(4.8)
Do, la description du mouvement du corps constituant llment terminal, suppos trerepr par le repre nR , et not par le vecteur [ ]
T
CCV
rr est donn par lexpression
vectorielle suivante :
{ }
C
n
i
iii
n
i
iiiiiii
Cn
C
C
zq
zOCqzq
vV
+
==
=
=
1
1
0/
.
r&
rr&
r&
r
r
(4.9)
Ces galits constituent le modle cinmatique direct (MCD) sous forme vectorielle. En
identifiant terme terme, lgalit prcdente fourni un ensemble dquations linaires (elles
sont au maximum en nombre de 6).
Forme algbrique (ou matricielle)
La relation vectorielle prcdente (4.9) peut tre projete dans nimporte quelle base
orthonorme kb . Naturellement, on choisira la plus simple. Notons parkx)(
rles coordonnes
du vecteur xr
dans la base choisie kb . La relation prcdente prend la forme algbrique
suivante :
+=
+
=
=
=
n
k
ii
k
iiii
C
n
i
iii
n
i
iiiiiii
C
k
k
C
q
q
q
z
zOCz
zq
zOCqzqV
&
&
&
r
rrr
r&
rr&
r&
r
r
...
2
...
...
)(
).(
.....
.....
1
1
1
(4.10)
On pose :
Mouvement de leffecteur parrapport au repre 0R en fonction
des variables oprationnelles.
Fonction des vitesses articulaires etde la configuration du manipulateur
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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+=
...
...
)(
).(
.....
....
k
ii
k
iiiik
z
zOCzI r
rrr
,
(4.11)
appel matrice jacobienne projete dans la base kb .
En rsum, si on note : [ ] TkkCTkkkk
VvvvX ),(,...,, 621 ==& , on peut crire :
qIPX kk && .= (4.12)
Ces relations constituent le modle cinmatique direct sous forme algbrique (ou matricielle).
Exemple simple : Modle cinmatique direct dun porteur cylindrique
En utilisant la convention de D-H, les diffrents repres utiliss sont reprsents sur la figure
4.4. Soit Vr
et r
les vecteur vitesses linaire et de rotation de leffecteur (du TPC, le point
C) par rapport au repre de rfrence 0R . Les grandeurs cinmatiques oprationnelles
concernent le corps n3.
1 2 3
b
r
Le vecteur des vitesses gnralises est Tqqqq ),,( 321 &&&& = . Tandis que les vitesses
oprationnelles sont regroupes dans le vecteur Tzyxk
zyxX ),,,,,( &&&& = . Choisissons 0b
comme base dvaluation de ces composantes. La forme algbrique du MCD scrit :
+++=
3
2
1
332211
0
33333
0
22222
0
11111
0
0).().().(
q
q
q
zzz
zOCzzOCzzOCzVC
&
&
&
rrr
rrrrrrrrr
(4.13)
Daprs larchitecture mcanique du SMA, on peut simplifier cette matrice et elle ne contient
que les termes suivants :
=
3
2
1
000
1
0
3
0
2
0
11
0
0
)0()0()(
)()()(
q
q
q
z
zzzOCVC
&
&
&
rrr
rrrr
(4.14)
Essayons de calculer terme par terme :
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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On a : )1,0,0(1 =zr
dans 1R , )1,0,0(2 =zr
dans 2R et )1,0,0(3 =zr
dans 3R
Dans le cas gnral, il faut valuer les matrices de transformation homognes correspondantes
aux conventions de D-H pour dterminer les composantes des diffrents vecteurs (comme les
izr
) dans la base de projection. Pour ce cas simple, il est ais de calculer les vecteurs 1zr
, 2zr
et
3zr dans la base kb choisie. Ici, on a choisi 0b :
)1,0,0()( 01 =zr
, )1,0,0()( 02 =zr
et Tqqz )0,sin,(cos)( 110
3 =r
.
0
1
1
3133221111
0
cos
sin
.)()(
=+== q
q
qzzqzqzCOzOC rrrrrrr
(relativement la base 0b
du repre 0R )
La matrice jacobienne projete dans la base 0b , 0IP scrit :
=
001
000
000
010
sin0cos
cos0sin
113
113
0
qqq
qqq
IP (4.15)
Le modle cinmatique direct, qIPX kk && .= , scrit :
=
=
=
=
=
=
1
2
13113
13113
0
0
cossin
sincos
q
qz
qqqqqy
qqqqqx
z
y
x
&
&&
&&&
&&&
(4.16)
Dterminer le modle diffrentiel direct du porteur cylindrique ?
4.3Mthode utilisant le modle gomtrique direct
La mthode utilise prcdemment pour dterminer la matrice jacobienne kIP MCD peut tre
qualifie de directe. Une deuxime mthode, qui semble moins difficile, est celle qui permet
de calculer cette matrice jacobienne indirectement en utilisant les quations du MGD. Cette
mthode fera lobjet du prsent paragraphe.
Rappelons que les quations algbriques du MGD sont crites sous la forme gnrale
suivante :
)(qfX = (4.17)
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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o, Tmm xxxxxX ),,...,,,( 1321 = ( m composantes oprationnelles infrieur ou gal 6) etT
nn qqqqqq ),,...,,,( 1321 = (robot ayant n degrs de libert). Nous disposons de m
quations algbriques.
Afin dobtenir le modle cinmatique direct (MCD), on drive par rapport au temps cesquations algbriques, on trouve les relations cinmatiques suivantes :
dt
tqfd
dt
dX ))(((= (4.18)
De manire explicite, si les quations du MGD sont crites comme suit ::
=
=
=
=
),,....,,(
),,....,,(
.............................
.............................
),,....,,(
),,....,,(
121
12111
12122
12111
nnmm
nnmm
nn
nn
qqqqfx
qqqqfx
qqqqfx
qqqqfx
(4.19)
les quations du MCD seront, sous forme algbrique, comme suit :
++
+
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
n
n
nnmnnmnnmm
n
n
nnmnnmnnmm
n
n
nnnnnn
n
n
nnnnnn
qqqqfq
q
qqqqfq
q
qqqqf
dt
dx
qqqqfq
q
qqqqfq
q
qqqqf
dt
dx
qqqqfq
q
qqqqfq
q
qqqqf
dt
dx
qqqqfq
q
qqqqfq
q
qqqqf
dt
dx
&&&
&&&
&&&
&&&
),,....,,(...
),,....,,(),,....,,(
),,....,,(...
),,....,,(),,....,,(
.............................
.............................
),,....,,(...
),,....,,(),,....,,(
),,....,,(...
),,....,,(),,....,,(
121
2
2
121
1
1
121
1211
2
2
1211
1
1
12111
1212
2
2
1212
1
1
12122
1211
2
2
1211
1
1
12111
(4.20)
ou sous forme matricielle :
=
n
n
n
n
m
n
mmm
n
m
n
mmm
nn
nn
m
m
q
q
q
q
q
q
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
dt
dx
dt
dx
dt
dx
dt
dx
&
&
&
&
&
&
1
2
3
2
1
21
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
...
......
........
......................
.......
......
..... (4.21)
Ou encore :
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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct
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qqJX && )(= , (4.22)
avec : Tmm xxxxxX ),,...,,,( 1321 &&&&&&
= ( m composantes oprationnelles infrieur ou gal 6),
T
nn qqqqqq ),,...,,,( 1321 &&&&&& = et la matrice jacobienne de m lignes et n colonnes, )(qJ telle
que :
=
n
m
n
mmm
n
m
n
mmm
nn
nn
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
q
f
qJ
......
........
......................
.......
......
)(
21
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
(4.23)
Robot plan ayant deux axes
Considrons le robot plan dont larchitecture mcanique est reprsente sur la figure (4.6),
similaire au robot de la figure (2.1b) ayant 2 degrs de libert ( et h ) utilis pour la coupe
des tles.
Fig.4.6 Robot plan avec deux degrs de libert
Soit ),,,( 333 zyxCR un repre orthonorm permettant de dcrire gomtriquement la
configuration de leffecteur.
1. Etablir le modle gomtrique direct.
2. Dterminer le MCD.
3. En dduire le MDD.
4. Pour la configuration Tq )4,30( = , quelle est la variation des coordonnes
oprationnelles correspondant une variation lmentaire des variables articulairesTq )1,5( = .
d
h