Modèle Cinématique Direct

7/25/2019 Modle Cinmatique Direct

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Chapitre 4 : Modle cinmatique direct

1

MODELE CINEMATIQUE DIRECTMODELE DIFFERENTIEL DIRECT

4.1 Introduction

Les modles gomtriques ne permettent que la commande des configurations gomtriques

telles que les positions et les orientations de llment terminal du robot industriel en

question. Cependant, le contrle ou la commande des vitesses linaires et de rotation de

leffecteur sont gnralement importantes. Considrons lexemple simple du robot plan 2

degrs de libert ),( h (structure de la figure (2.1b)) qui est utilis pratiquement pour raliser

la coupe des tles suivant une ligne spcifie. Par exemple, il est trs bien connu que la

vitesse de coupe joue un rle trs important dans un processus de coupe. Ou encore la

variation de vitesse dune lectrode de soudure larc peut provoquer des inhomognit du

cordon de soudure (surpaisseur ou manque de mtal dapport). Le modle cinmatique

direct est lensemble des quations permettant de prdire les vitesses de leffecteur enfonction des vitesses des variables articulaires. Le modle inverse est lensemble des

quations permettant de calculer ces variables articulaires en fonction du vecteur vitesses

oprationnel spcifi. Comme pour le MGD, pour dterminer les quations du modle

cinmatique direct (MCD) on dispose de mthodes systmatiques permettant de gnrer

automatiquement ce modle. Deux mthodes considres comme principales seront utilises

pour tablir le MCD :

Mthode utilisant la notion de torseur

Mthode utilisant le MGD

Fig 4.1

Le modle diffrentiel direct(MDD), (appel aussi le modle des petits dplacements), estlensemble des quations permettant de relier la diffrentielle de la configuration gomtrique

en fonction de la diffrentielle du vecteur des coordonnes gnralises. Il est obtenu partir

du MCD en considrant un incrment de temps gal lunit. De mme le modle diffrentielinverse est lensemble des quations qui lient la diffrentielle des coordonnes articulaires la

diffrentielle impose de la situation de lorgane terminal du systme mcanique articul. Le

MDD permet aussi de dterminer les quations du MCD.

Prcisons que pour la suite, il sagit de calculer la vitesse linaire du point central C de

llment terminal, note Vr

par rapport au repre de rfrence 0R et le vecteur vitesse de

rotation de leffecteur, not r

, en fonction des vitesses des variables articulaires ),1( niqi =& .

Bien entendu que le robot est suppos sriel et de degr de libert gal au nombre n en

considrant toujours le cas habituel ou les liaisons entre solides sont de type pivot ouprismatique.

Modle cinmatique directVitesses

des axes

articulaires

Vitesses linaireset de rotation de

leffecteur dans

lespace

oprationnel


2/7


2

4.2Mthode utilisant la notion des torseur cinmatique

Nous rappelons que les corps solides sont toujours considrs indformables. Soit

),,,( iiiii zyxOR rrr

le repre li au corps solide iS et permettant ainsi de dcrire le

mouvement de ce dernier. Soit iur

le vecteur unitaire de laxe de la liaison entre les solides

1iS et iS .

Fig. 4.2

Avec la convention de Denavit-Hartenberg, ce vecteur est toujours reprsent par laxe izv

et

la variable gnralise temporelle )(tqi de larticulation ni par :

iiiii qqtq +=)( (avec 1=+ ii ) (4.1)

La ime vitesse gnralise )(tqi& est obtenue par simple drivation de la coordonnegnralise correspondante :

iiiii qqtq &&& +=)( (4.2)

Soit 1/ iOiVv

la vitesse de lorigine du repre ),,,( iiiii zyxOR rrr

relativement 1iR et 1/ iir

le

vecteur rotation du corps iS (cest aussi le vecteur rotation du repre iR par rapport 1iR ).

* si la liaison est rotode : 0=i , iiii zq r

&r

=1/ et 01/

rr=

iOiV , (4.3)

* si la liaison prismatique : 0=i , 01/rr

=ii et iiiO zqV

i

r&

r=

1/ . (4.4)

Rappelons la formule de transport des vitesses. Ctant le point central de llment terminal,

on a la relation vectorielle suivante :

COVV iiiiSOiSC iii

rrrr+=

1/1/1/ (4.5)

En utilisant les remarques (4.3) et (4.4), on a :

iiiiiiiiSC zOCqzqV irr

&r

&r

+=

.1/ (4.6)

0R 1iS

iS

Fig. 4.3

izv


3/7


3

Le torseur cinmatique du mouvement de 1/ ii SS , exprim en , scrit :

{ }Ciiiii

iiiiiiiiSC

Cii

zq

zOCqzqVv i

=

+==

r&

r

rr&

r&

1/

1/

1/

. (4.7)

Le thorme de composition de mouvement, appliqu au systme mcanique articul,

commenant de leffecteur (de repre nR suppos attach llment terminal) et terminant

par le socle du bras manipulateur (attach au repre 0R ):

{ } { } { } { }

{ }=

=

=

++=

ni

iCii

CCCnnCn

v

vvvv

1

1/

0/11/21/0/ .....

(4.8)

Do, la description du mouvement du corps constituant llment terminal, suppos trerepr par le repre nR , et not par le vecteur [ ]

T

CCV

rr est donn par lexpression

vectorielle suivante :

{ }

C

n

i

iii

n

i

iiiiiii

Cn

C

C

zq

zOCqzq

vV

+

==

=

=

1

1

0/

.

r&

rr&

r&

r

r

(4.9)

Ces galits constituent le modle cinmatique direct (MCD) sous forme vectorielle. En

identifiant terme terme, lgalit prcdente fourni un ensemble dquations linaires (elles

sont au maximum en nombre de 6).

Forme algbrique (ou matricielle)

La relation vectorielle prcdente (4.9) peut tre projete dans nimporte quelle base

orthonorme kb . Naturellement, on choisira la plus simple. Notons parkx)(

rles coordonnes

du vecteur xr

dans la base choisie kb . La relation prcdente prend la forme algbrique

suivante :

+=

+

=

=

=

n

k

ii

k

iiii

C

n

i

iii

n

i

iiiiiii

C

k

k

C

q

q

q

z

zOCz

zq

zOCqzqV

&

&

&

r

rrr

r&

rr&

r&

r

r

...

2

...

...

)(

).(

.....

.....

1

1

1

(4.10)

On pose :

Mouvement de leffecteur parrapport au repre 0R en fonction

des variables oprationnelles.

Fonction des vitesses articulaires etde la configuration du manipulateur


4/7


4

+=

...

...

)(

).(

.....

....

k

ii

k

iiiik

z

zOCzI r

rrr

,

(4.11)

appel matrice jacobienne projete dans la base kb .

En rsum, si on note : [ ] TkkCTkkkk

VvvvX ),(,...,, 621 ==& , on peut crire :

qIPX kk && .= (4.12)

Ces relations constituent le modle cinmatique direct sous forme algbrique (ou matricielle).

Exemple simple : Modle cinmatique direct dun porteur cylindrique

En utilisant la convention de D-H, les diffrents repres utiliss sont reprsents sur la figure

4.4. Soit Vr

et r

les vecteur vitesses linaire et de rotation de leffecteur (du TPC, le point

C) par rapport au repre de rfrence 0R . Les grandeurs cinmatiques oprationnelles

concernent le corps n3.

1 2 3

b

r

Le vecteur des vitesses gnralises est Tqqqq ),,( 321 &&&& = . Tandis que les vitesses

oprationnelles sont regroupes dans le vecteur Tzyxk

zyxX ),,,,,( &&&& = . Choisissons 0b

comme base dvaluation de ces composantes. La forme algbrique du MCD scrit :

+++=

3

2

1

332211

0

33333

0

22222

0

11111

0

0).().().(

q

q

q

zzz

zOCzzOCzzOCzVC

&

&

&

rrr

rrrrrrrrr

(4.13)

Daprs larchitecture mcanique du SMA, on peut simplifier cette matrice et elle ne contient

que les termes suivants :

=

3

2

1

000

1

0

3

0

2

0

11

0

0

)0()0()(

)()()(

q

q

q

z

zzzOCVC

&

&

&

rrr

rrrr

(4.14)

Essayons de calculer terme par terme :


5/7


5

On a : )1,0,0(1 =zr

dans 1R , )1,0,0(2 =zr

dans 2R et )1,0,0(3 =zr

dans 3R

Dans le cas gnral, il faut valuer les matrices de transformation homognes correspondantes

aux conventions de D-H pour dterminer les composantes des diffrents vecteurs (comme les

izr

) dans la base de projection. Pour ce cas simple, il est ais de calculer les vecteurs 1zr

, 2zr

et

3zr dans la base kb choisie. Ici, on a choisi 0b :

)1,0,0()( 01 =zr

, )1,0,0()( 02 =zr

et Tqqz )0,sin,(cos)( 110

3 =r

.

0

1

1

3133221111

0

cos

sin

.)()(

=+== q

q

qzzqzqzCOzOC rrrrrrr

(relativement la base 0b

du repre 0R )

La matrice jacobienne projete dans la base 0b , 0IP scrit :

=

001

000

000

010

sin0cos

cos0sin

113

113

0

qqq

qqq

IP (4.15)

Le modle cinmatique direct, qIPX kk && .= , scrit :

=

=

=

=

=

=

1

2

13113

13113

0

0

cossin

sincos

q

qz

qqqqqy

qqqqqx

z

y

x

&

&&

&&&

&&&

(4.16)

Dterminer le modle diffrentiel direct du porteur cylindrique ?

4.3Mthode utilisant le modle gomtrique direct

La mthode utilise prcdemment pour dterminer la matrice jacobienne kIP MCD peut tre

qualifie de directe. Une deuxime mthode, qui semble moins difficile, est celle qui permet

de calculer cette matrice jacobienne indirectement en utilisant les quations du MGD. Cette

mthode fera lobjet du prsent paragraphe.

Rappelons que les quations algbriques du MGD sont crites sous la forme gnrale

suivante :

)(qfX = (4.17)


6/7


6

o, Tmm xxxxxX ),,...,,,( 1321 = ( m composantes oprationnelles infrieur ou gal 6) etT

nn qqqqqq ),,...,,,( 1321 = (robot ayant n degrs de libert). Nous disposons de m

quations algbriques.

Afin dobtenir le modle cinmatique direct (MCD), on drive par rapport au temps cesquations algbriques, on trouve les relations cinmatiques suivantes :

dt

tqfd

dt

dX ))(((= (4.18)

De manire explicite, si les quations du MGD sont crites comme suit ::

=

=

=

=

),,....,,(

),,....,,(

.............................

.............................

),,....,,(

),,....,,(

121

12111

12122

12111

nnmm

nnmm

nn

nn

qqqqfx

qqqqfx

qqqqfx

qqqqfx

(4.19)

les quations du MCD seront, sous forme algbrique, comme suit :

++

+

=

++

+

=

++

+

=

++

+

=

n

n

nnmnnmnnmm

n

n

nnmnnmnnmm

n

n

nnnnnn

n

n

nnnnnn

qq

qqqqfq

q

qqqqfq

q

qqqqf

dt

dx

qq

qqqqfq

q

qqqqfq

q

qqqqf

dt

dx

qq

qqqqfq

q

qqqqfq

q

qqqqf

dt

dx

qq

qqqqfq

q

qqqqfq

q

qqqqf

dt

dx

&&&

&&&

&&&

&&&

),,....,,(...

),,....,,(),,....,,(

),,....,,(...

),,....,,(),,....,,(

.............................

.............................

),,....,,(...

),,....,,(),,....,,(

),,....,,(...

),,....,,(),,....,,(

121

2

2

121

1

1

121

1211

2

2

1211

1

1

12111

1212

2

2

1212

1

1

12122

1211

2

2

1211

1

1

12111

(4.20)

ou sous forme matricielle :

=

n

n

n

n

m

n

mmm

n

m

n

mmm

nn

nn

m

m

q

q

q

q

q

q

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dx

&

&

&

&

&

&

1

2

3

2

1

21

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

1

2

1

...

......

........

......................

.......

......

..... (4.21)

Ou encore :


7/7


7

qqJX && )(= , (4.22)

avec : Tmm xxxxxX ),,...,,,( 1321 &&&&&&

= ( m composantes oprationnelles infrieur ou gal 6),

T

nn qqqqqq ),,...,,,( 1321 &&&&&& = et la matrice jacobienne de m lignes et n colonnes, )(qJ telle

que :

=

n

m

n

mmm

n

m

n

mmm

nn

nn

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

q

f

qJ

......

........

......................

.......

......

)(

21

1

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

1

(4.23)

Robot plan ayant deux axes

Considrons le robot plan dont larchitecture mcanique est reprsente sur la figure (4.6),

similaire au robot de la figure (2.1b) ayant 2 degrs de libert ( et h ) utilis pour la coupe

des tles.

Fig.4.6 Robot plan avec deux degrs de libert

Soit ),,,( 333 zyxCR un repre orthonorm permettant de dcrire gomtriquement la

configuration de leffecteur.

1. Etablir le modle gomtrique direct.

2. Dterminer le MCD.

3. En dduire le MDD.

4. Pour la configuration Tq )4,30( = , quelle est la variation des coordonnes

oprationnelles correspondant une variation lmentaire des variables articulairesTq )1,5( = .

d

h

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