Numéra'on cycle 2circonscrip(ons de Saint Mar(n de Crau

et de Saint Rémy de Provence

Mercredi 3 février 2021

Cécile Berrouiller – cecile.berrouiller@univ-amu.fr

1

1. Etude des nombresA/ Le nombre objet

=> proposition d’outils

B/ Le nombre outil=> proposition d’un scenario de séquence

2. Analyse des types de tâches et des techniques des élèves

3. Quelques points de vigilance

4. Analyse de rituels de numération

Plan de l’intervention

2

2 aspects :

- L’étude des nombres => le nombre objet

- La résolution de problèmes à l’aide des nombres

=> le nombre outil

Le nombre à l’école

3

Types de tâches :

• dire les nombres• lire / écrire les nombres• Composer/décomposer les nombres• Placer des nombres sur ligne graduée

A/ Le nombre objet

4

Les connaissances sur les nombres sous leur aspect objet sont cons(tuées par :

− Les mots nombres (un, deux, trois exprimés à l'oral).

− L’écriture des nombres (des chiffres pour écrire les nombres 1, 15, 23,...).

− Les constella'ons du dé, les constella'ons des cartes à points ou d’autres représenta'ons analogiques des nombres par des collec'ons organisées.

- Compteurs

Le nombre objet

5

Ces connaissances vont se construire à par(r de supports variésdont principalement :

− La comp'ne numérique (égrenage des mots) qui aide à la mémorisa'on des mots nombres ;

− Les affichages de diverses représenta'ons des nombres afin de développer des procédures de dénombrement sans recours au comptage un à un (reconnaissance directe du nombre d’éléments) ;

− Les é'queVes nombres qui fournissent des représenta'onsécrites de nombres « isolés » ;

− La bande numérique qui permet d’accéder à une présenta'onordonnée des écritures des nombres.

Le nombre objet6

Ces connaissances vont se construire à par(r de supports variés dont principalement :

• Les bandes et tableaux des nombres (suite écrite et régularités).

• La comp'ne numérique (jeux du furet par exemple).

Et par des ac(vités variées :

- liant mots-nombres et écriture en chiffres.

- Les ac'vités de composi'on / décomposi'on

et conversion avec des nombres et des représenta'ons sans contexte

Le nombre objet à l’élémentaire

7

Proposition d’outilspour travailler la nombre objet

8

Algorithme de la suite écrite des nombres

76

77 78

79

81

(Dire) Ecrire les nombres manquants

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 18 19

20 21 22 24 25 26 27 28 29

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

70 72 73 74 75 76 78 79

80 81 82 83 84 85 87 88 89

90 91 92 93 94 95 96 97 98

Après le travail sur le château des nombres de ERMEL

Spirale des nombres

11

Spirale des nombres

0 1 234

5678

9

1011

24

3240

65

71

Les essentielles ERMEL CE1 © Hatier, 2017Photocopie autorisée pour une classe seulement.

Compteurs

12Titre

*ZSdp3ugĶîĶ≈Ã∆‚§ŸLes essentielles E

RM

EL C

E1 ©

Hatier, 2

017

Pho

toco

pie autorisée

pour une classe seulem

ent.

0 9 8 7 6

5 4 3 2 1 0 9 8 7

6

5 4 3 2 1 0 9 8 7

6

5 4 3 2 1

0 9 8 7 6

5 4 3 2 1

La Pascaline

13

http://ife.ens-lyon.fr/sciences21/ressources/sequences-et-outils/pascaline-CP

IREM (2018). Les nombres et le calcul avec la pascaline au cycle 2 et au cycle 3 http://www.irem.univ-bpclermont.fr/IMG/pdf/Brochure-pascaline_MPSA_IREM_2018.pdf

Abaques14

https://www.reseau-canope.fr/BSD/sequence.aspx?bloc=885680

Bouliers15

https://www.reseau-canope.fr/BSD/sequence.aspx?bloc=885662

Planches à clous16

https://www.reseau-canope.fr/BSD/sequence.aspx?bloc=885914

Cartes numérales17

4

3 0 3 0 04 0 4 0 05 0 5 0 0

345

1 0 1 0 012 0 2 0 02

5

8 0 8 0 089 0 9 0 0

0 0 09

6 0 6 0 067 0 7 0 07

Types de tâches :

• Dénombrer/construire des collec(ons « en vrac » / groupées

• Composer / recomposer• Comparer• Déterminer le nombre de…• Conver(r

B/ Le nombre outil

18

Pour carreler une pièce, il faut 8564 carreaux.

Les carreaux sont vendus par paquets de 100.

Combien de paquets faut-il commander ?

Notre système de numération a deux aspects :

- Aspect position de la numération

- Aspect décimal de la numération

Aspect posi'on de la numéra'on

Dans 3264, le 3 représente 3 milliers car il est en 4ème posi(on (en partant de la droite), le 2 représente 2 centaines ..., etc.

Les mots unités, dizaines, centaines, … (que nous appellerons « unités de la numéra(on ») ne sont souvent u(lisés que comme des é(queZes pour dire le nom des rangs dans l’écriture du nombre.

Bien souvent par exemple, le mot « centaine » a perdu sa significa(on de groupement de 100 objets pour ne plus faire référence qu’à une posi(on dans l’écriture du nombre.

Aspect décimal de la numéra'on

Les différentes unités sont liées entre elles par des « rela(ons » décimales : dix unités d’un certain ordre sont égales à une unité de l’ordre immédiatement supérieur :

dix unités c’est une dizaine, dix dizaines c’est une centaine, etc.

Il en découle alors des rela(ons entre les unités des différents ordres (par exemple un millier c’est cent dizaines, etc.).

Mais aussi construire ou renforcer :

- Le principe d’adéqua(on unique : pointer/énoncer

- Le principe de permanence et d’invariance

- Le principe de cardinalité

- Le principe d’abstrac(on

- Le principe d’itéra(on

Difficultés des élèves

Difficultés des élèves

Philosophie du programme 2015§Favoriser d’emblée l’usage de stratégies de décomposition à

l’école, c’est rompre avec l’approche didactique consistant à favoriser initialement la représentation des quantités par des collections de numéros :

Programmes de 1987 à 2015, conception de 8 unités comme la quantité obtenue en numérotant celles-ci «12345678»Programmes 2015 : il est recommandé de viser d’emblée la connaissance du fait que 8 unités s’obtiennent en ajoutant une nouvelle unité à une collection de 7 (cf. la notion d’itération de l’unité), mais aussi en ajoutant 3 unités à une collection de 5, 4 unités à une collection de 4, etc.

Proposition d’une séquence pour travailler la numération décimale

27

Dénombrer une collection• Une collection en « vrac » avec objets matériels

• Une collection totalement groupée

• Une collection partiellement groupéeQuel est le montant en euros d’une somme de 3 milliers d’€, 12 billets de 100 € et 4 billets 10 € ?

• Dénombrements et conversions sans contextes5 centaines + 4 milliers + 7 unités = … ? 4 milliers = …. centaines ?

30Titre

Commander une collection

• Commandes sans contrainte

• Commandes avec contraintes

• Sans contexte

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Combien de dizaines de bûchettes ?

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Activité ritualisée : « la collection du jour »

Mise en garde

Répétition des tâches avec variation de formes et matériel :

Bouchons / bûchettes / craies/ trombones/ timbres /monnaie /fleurs…

Scénarii de classe (CE2) http://numerationdecimale.free.fr

Scénarii de classe (CP-CE1)

RESSOURCES

15 situations essentielles ERMEL

CP : les fourmillions / carreler une pièce / (le banquier) CE1 : les timbres / les mini-tartares (le caissier)CE2 : le café des enseignants / le bowling / les cibles (la rançon de Lucky-Luke)

Analyse des types de tâche au regard des aspects de la numération

mis en jeuet des techniques mises en œuvre par les élèves

40

Techniques mises en œuvre par les élèvesLire / Ecrire

Lire / Ecrireconcerne l’associa(on entre la désigna(on orale et la désigna(on écrite (en chiffres) des nombres.

Techniques qui meZent en jeu :- la posi(on, - l’associa(on entre les milliers et le mot « mille » (avec une

excep(on : un millier se dit « mille » et non « un mille »), - entre les centaines et le mot « cent » (avec une excep(on :

une centaine se dit « cent » et non « un cent »)- entre l’écriture en chiffres des nombres inférieurs à cent et

leur écriture en leZres (ce qui comporte de nombreuses irrégularités ...)

Dénombrer des collec'ons groupées

t1 - comptage oral de mille en mille, cent en cent, dix en dix et un en un : on ob(ent alors « trois mille deux cent quarante-cinq », que l’on écrit ensuite 3 245 t2 - groupement de 10 centaines en 1 millier. On ob(ent 3 milliers, 2 centaines, 4 dizaines et 5 unités. On associe alors directement le nombre d’unités de chaque ordre à sa posi(on dans l’écriture en chiffres, ici 3 245

Dénombrer des collec'ons groupées

Films CP, école Marcel Pagnol, Venelles

Dénombrer des collections groupées

Mise en garde : Bednarz et Janvier (1984) ont mis en évidence que de montrer des représentations des nombres selon un alignement reprenant l’ordre de l’écriture conventionnelle du nombre,

conduit nécessairement l’élève à une interprétation en termes de découpage, d’ordre, de position et écarte toute signification véritable accordée à cette position en termes de groupements.

Dénombrer des collec'ons groupées

Cette fréquentation trop prématurée conduit à ce que l’aspect décimal de la numération soit source de difficulté chez les élèves :- Difficulté à voir les groupements et leur rôle dans

l’écriture conventionnelle- Difficulté à voir la pertinence- Difficulté à opérer avec ces groupements- Difficulté à travailler avec deux groupements différents- Difficulté à interpréter les procédures de calcul relatives

aux opérations

Techniques mises en œuvre par les élèvesComparer

Comparer

concerne l’ordre sur les nombres (comparer, ranger, encadrer, écrire des nombres sur une droite graduée)

t1 : u(liser l’algorithme de la suite écrite des nombres

t2 : u(liser les désigna(ons orales (comp(ne numérique)

Composer / décomposer

Composer / décomposer

t1 : u(liser l’aspect décimal lorsqu’il y a des groupements à effectuer : - cas où il y a plusieurs chiffres devant une unité, comme par exemple

pour 12 × 10 (qu’il faut transformer à 1 × 100 + 2 × 10 pour ajouter ensuite les 3 × 100).

t2 : u(liser la seule posi(on uniquement associé aux écritures avec les puissances de 10 (10, 100, 1000)..

5324 = (5 × 1000) + (3 × 100) + (2 × 10) + 4 5324 = (53 × 100) + 24.

(3 × 100) + (5 × 1 000) + (6 × 10) = 5 360 (3 × 100) + (12 × 10) + 8 + (5 × 1000) = 5 428.

53

Règle du jeu :

Les joueurs lancent des palets numérotés de 1 à 9 (ou des fléchettes) sur une cible comportant des zones de 1 à 1000.

1. Il s’agit de calculer le nombre de points obtenus

2. A partir d’un nombre de points, placer les palets (ou les fléchettes).

Nombre de….

Quelques points de vigilance

55

Conver'r : type de tâche à entraîner

Objec(fs :

• apprendre à se passer du matériel, de la manipula(on• passer de la percep(on (objet) à la compréhension

(concept)

Þ Écrire les unités pour décrire les groupements matérielsExemples : 1 millier 2 centaines = 12 centaines

7C + 4C = 11C = 1M 1C

Numéra'on décimale et conversions

56

Le tableau de numération permet de matérialiser l’association entre les rangs de l’écriture chiffrée et les unités de numération.

Mais ce n’est pas le seul moyen, la mise en mot permet aussi de le faire.

=> utilisation raisonnée du tableau

Numéra'on décimale et tableau de numéra'on

57

Le tableau de numération peut permettre de faciliter la technique de lecture directe des décompositions

5264 = 52 centaines + 64 unités

58

M C D U

5 2 6 4

59

Différentes décomposi(ons du nombre 3148 :

• On peut écrire dans le tableau :

sans forcément faire apparaître le 0 dans les centaines.

• On peut utiliser le tableau dans des situations de dénombrement de collections non totalement groupées

60

M C D U

2 3 5

M C D U

2 38 5

Exemple 1 :

Points de vigilance sur des obstacles créés au cycle 2

Pour comparer deux nombres

s’ils n’ont pas le même nombre de chiffres

Le plus grand est celui qui a le plus de chiffres.

764 < 6 5653 chiffres 4 chiffres

Cette règle appliquée aux nombres décimaux donne :

23,2 < 17,183

ü « 764 < 1 000 et 6 565 > 1 000 donc 764 < 6 565. »

Exemple 2 :

Cette règle appliquée aux nombres décimaux donne :

« Pour additionner deux nombres, il faut les aligner à droite. »

4, 1 2+ 3 2, 6

7 3, 8

4 3+ 1 2

5 4

ü« Pour additionner deux nombres il faut aligner les chiffres des unités. »

Points de vigilance sur des obstacles créés au cycle 2

Une procédure à automa'ser : mul'plier par 10, 100, 1000

Cette règle appliquée aux nombres décimaux donne :17,42 × 10 = 17,420ou 17,42 × 10 = 170,42

« Pour multiplier par 10, il faut ajouter un zéro à droite»

456 × 10 = 4560

ü« Quand on multiplie un nombre par 10, il devient 10 fois plus grand, chacun de ses chiffres prend une valeur 10 fois plus grande, le chiffre des unités devient donc le chiffre des dizaines

456× 10 = 4560. »

Analyse de rituels de numération

64

Chaque jour compte

65

Le « Tout sur… »

66

Ressources pour le maître• Grand N n°59 « Ca fourmillonne » C. Destouesse

• Grand N n°86 « Une étude des programmes et manuels sur la numération décimale au ce2 » F. Tempier

• Grand N n°89 « Consolider la maîtrise de la numération des entiers et des grandeurs. Le système métrique peut-il être utile ? » C. Chambris

• Grand N n°98 « Composer et décomposer : un révélateur de la compréhension de la numération chez les élèves » F. Tempier

• Conférence de consensus sur la numération du CNESCO

• Le nombre au cycle 2, SCEREN (document ressource 2008), notamment article de G. Le Poche p.39

Bibliographie

• Bednarz et Janvier (1984). Grand N, 33.

• Brissiaud, R. (2018). http://www.cafepedagogique.net/lexpresso/Pages/2018/10/27102018Article636762108790059293.aspx

• Tempier, F. (2010). Une étude des programmes et manuels sur la numération décimale au ce2. Grand N, 86, 59-90.

• Tempier, F. (2015). La numération décimale de position à l’école primaire. Une ingénieurie didactique pour le développement d’une ressource. Actes du séminaire national de didactique des mathématiques.

• Tempier, F. (2016). Composer et décomposer : un révélateur de la compréhension de la numération chez les élèves. Grand N, 98, 67-90.

• Tempier, F. (2017). Séminaire National ESEN