Math: matrices (French)

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DéfinitionsDéfinitions

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

SystèmelinéaireRésoudre

Contrôle

Déterminantset systèmeslinéairesDéterminant

Inverse

Cramer

Synthèse

CHAPITRE 2: MATRICES ET DÉTERMINANTS

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

APERÇU

DÉFINITIONS:

definitionterminologie

OPÉRATIONS:sommemultiplicationmatrice inverse

SYSTÈME LINÉAIRE:

DÉTERMINANTS ET SYSTÈMES LINÉAIRES:

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

APERÇU

DÉFINITIONS:

SYSTÈME LINÉAIRE:

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

APERÇU

DÉFINITIONS:

SYSTÈME LINÉAIRE:

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

APERÇU

DÉFINITIONS:

OPÉRATIONS:

SYSTÈME LINÉAIRE:

résolution au moyen des matricescontrôle de la validité

calcul du déterminantcalcul de l’inverse au moyen d’un déterminantsystème de Cramer

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

APERÇU

DÉFINITIONS:

OPÉRATIONS:

SYSTÈME LINÉAIRE:

résolution au moyen des matricescontrôle de la validité

calcul du déterminantcalcul de l’inverse au moyen d’un déterminantsystème de Cramer

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITIONS ET TERMINOLOGIE

DÉFINITION

A est une matrice ⇐⇒ A=

a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l

...... . . .

... . . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . ail...

... . . .... . . .

...ak1 ak2 . . . akj . . . akl

DÉFINITION

k lignes et l colonnes → (k × l) matrixélément aij ou ai ,j

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

A est une matrice ⇐⇒ A=

a11 a12 . . . a1j . . . a1la21 a22 . . . a2j . . . a2l

...... . . .

... . . ....

ai1 ai2 . . . aij . . . ail...

... . . .... . . .

...ak1 ak2 . . . akj . . . akl

DÉFINITION

k lignes et l colonnes → (k × l) matrixélément aij ou ai ,j

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

EXEMPLE

EXEMPLE:

40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21

5 lignes et 4 colonnes → (5×4) matrixélément a21 = 31

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

EXEMPLE

EXEMPLE:

40 40 20 3031 27 16 2526 34 12 2521 27 9 2829 30 13 21

5 lignes et 4 colonnes → (5×4) matrixélément a21 = 31

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0

EXEMPLE:

0=(0 0 00 0 0

DÉFINITION

A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l

EXEMPLE:

A=−2 0 3

1 0 20 −4 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

A est une matrice nulle ⇐⇒ ∀i , j : aij = 0

EXEMPLE:

0=(0 0 00 0 0

DÉFINITION

A est une matrice carrée ⇐⇒ k = l

EXEMPLE:

A=−2 0 3

1 0 20 −4 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji

EXEMPLE:

A=−2 0 3

0 5 −43 −4 1

DÉFINITION

A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0

EXEMPLE:

I2 =(1 00 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

A est une matrice symétrique ⇐⇒ ∀i , j : aij = aji

EXEMPLE:

A=−2 0 3

0 5 −43 −4 1

DÉFINITION

A est une matrice unité ⇐⇒ k = l et∀i = j : aij = 1,∀i 6= j : aij = 0

EXEMPLE:

I2 =(1 00 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

SOMME DE DEUX MATRICES

DÉFINITIONa11 . . . a1l...

. . ....

ak1 . . . akl

+b11 . . . b1l

.... . .

...bk1 . . . bkl

c11 . . . c1l...

. . ....

ck1 . . . ckl

avec cij = aij +bij

DÉFINITION

1 opération interne: A+B est une matrice2 associativité: A+ (B+C)= (A+B)+C3 élément neutre: A+0=A4 élément symétrique: A+ (−A)= 05 commutativité: A+B =B+A

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MULTIPLICATION PAR UN NOMBRE RÉEL

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ak1 . . . akl

c11 . . . c1l...

. . ....

ck1 . . . ckl

avec cij = k .aij

DÉFINITION

∀r ,s ∈R1 première distributivité: r(A+B)= rA+ rB2 deuxième distributivité: (r +s)A= rA+sA3 associativité mixte: rs(A)= r(sA)

4 élément neutre: 1.A=A5 élément absorbant: 0.A= 0

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MULTIPLICATION DE DEUX MATRICES

DÉFINITION

(a1 a2 . . . ai . . . am

b1b2...

avec c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm

DÉFINITION

A.B =C avec A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

(a1 a2 . . . ai . . . am

b1b2...

avec c = a1b1 +a2b2 + . . .+aibi . . .ambm

DÉFINITION

A.B =C avec A= (1×m),B = (m×1),C = (1×1)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

avec cij =Ai .Bj = ai1b1j +ai2b2j + . . .+ailblj

DÉFINITION

Ai =(ai1 ai2 . . . ail

b1jb2j...

DÉFINITION

A.B =C avec A= (m× l),B = (l ×n),C = (m×n)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

DÉFINITION

b1jb2j...

DÉFINITION

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

b11 . . . b1j . . . b1n

... . . .... . . .

...bl1 . . . blj . . . bln

c11 . . . c1j . . . c1n... . . .

... . . ....

ci1 . . . cij . . . cin... . . .

... . . ....

cm1 . . . cmj . . . cmn

DÉFINITION

b1jb2j...

DÉFINITION

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

1 pas de commutativité: A.B 6=B.A2 associativité: A.(B.C)= (A.B).C3 distributivité: A.(B+C)= (A.B)+ (A.C)

4 élément neutre: A.In = In.A=A (avec A= (n×n))

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MATRICE TRANSPOSÉE

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

⇒AT =

a11 . . . ai1 . . . am1...

. . ....

a1l . . . ail . . . aml

DÉFINITION

∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT

2 (A.B)T =BT .AT

3 (kA)T = k(AT )

4 (AT )T =A

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MATRICE TRANSPOSÉE

DÉFINITION

a11 . . . a1l...

. . ....

ai1 . . . ail...

. . ....

am1 . . . aml

⇒AT =

a11 . . . ai1 . . . am1...

. . ....

a1l . . . ail . . . aml

DÉFINITION

∀k ∈R1 (A+B)T =AT +BT

2 (A.B)T =BT .AT

3 (kA)T = k(AT )

4 (AT )T =A

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MATRICE INVERSE

DÉFINITION

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DÉFINITION

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Le reste suit plus tard!

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MATRICE INVERSE

DÉFINITION

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DÉFINITION

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

MATRICE INVERSE

DÉFINITION

A︸︷︷︸(n×n)

. A−1︸︷︷︸(n×n)

= A−1︸︷︷︸(n×n)

. A︸︷︷︸(n×n)

= In︸︷︷︸(n×n)

DÉFINITION

1 (A.B)−1 =B−1.A−1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

TOUT LE MONDE: DEBOUT!

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION D’UN SYSTÈME LINÉAIRE (CFR CH.1)

DÉFINITION

Un système (ensemble) d’équations linéaires:a11x1 +a12x2 + . . .+a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + . . .+a2nxn = b2...am1x1 +am2x2 + . . .+amnxn = bm

1 m équations et n inconnues2 aij ,bi ∈R

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

1 m équations et n inconnues2 aij ,bi ∈R

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

SOUS FORME MATRICIELLE:a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

x1x2...

b1b2...

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

RÉSOLUTION AU MOYEN DES MATRICES

DÉFINITION

Si A−1 existe, on a:A.X =B

⇐⇒ A−1.A.X =A−1.B

⇐⇒ I.X =A−1.B

⇐⇒ X =A−1.B

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

EXEMPLE:{3x +2y = 71x −1y = 4 et

{x = 3y =−1

CONTRÔLE:(3 21 −1

(3−1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

EXEMPLE:{3x +2y = 71x −1y = 4 et

{x = 3y =−1

CONTRÔLE:(3 21 −1

(3−1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION D’UN DÉTERMINANT

DÉFINITION

La matrice A= (n×n) a un déterminant det(A) ou |A|

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)

2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)

3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)

4 det(In)= 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

La matrice A= (n×n) a un déterminant det(A) ou |A|

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Aj . . .An)=−det(A1A2 . . .Aj . . .Ai . . .An)

2 det(A1A2 . . .λAi . . .An)= λdet(A1A2 . . .Ai . . .An)

3 det(A1A2 . . .Ai +Aj . . .An)=det(A1A2 . . .Ai . . .An)+det(A1A2 . . .Aj . . .An)

4 det(In)= 1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

1 det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)=−det(A1A2 . . .Ai . . .Ai . . .An)⇒ detA= 0

2 det(λA)= det(λA1λA2 . . .λAi . . .λAn)= λn detA3 det(A1A2 . . .0 . . .An)= det(A1A2 . . .Ai −Ai . . .An)=

det(A1A2 . . .Ai . . .An)−det(A1A2 . . .Ai . . .An)= 0

4 det(A1A2 . . .Ai . . .An)= det(A1A2 . . .Ai +n∑

j=1, 6=iλjAj . . .An)

a 0 . . . 00 b . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a 0 . . . 00 b . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a.b. . . . .z

6 Ceci est aussi valable pour les lignes! (cfr plus loin)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

CALCUL D’UN DÉTERMINANT

n = 2∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a+0 0+b0+c d +0

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a 0+b0 d +0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0+bc d +0

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a 00 d

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣a b0 0

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 0c d

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣0 bc 0

∣∣∣∣= ad +0+0−bc= ad −bc

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

CALCUL D’UN DÉTERMINANT

n = 3(Sarrus)∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

= aei +bfg+cdh−ceg−bdi −afh

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

CALCUL D’UN DÉTERMINANT: ABAISSEMENT DE

L’ORDRE

DÉFINITION

Mineur de aij = |∆ij |: barrer dans la matrice A la ligne i et lacolonne j et calculer det

DÉFINITION

Cofacteur de aij =Aij = (−1)i+j |∆ij |

DÉFINITION

Déterminant:

det(A)=n∑

i=1aijAij ou det(A)=

n∑j=1

aijAij

Choix de la ligne ou colonne est arbitraire (mais peutnéanmoins simplifier les calculs, cfr une colonne avecbeaucoup de 0)!

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

L’ORDRE

DÉFINITION

Déterminant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

L’ORDRE

DÉFINITION

Déterminant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

L’ORDRE

DÉFINITION

Déterminant:

det(A)=n∑

n∑j=1

aijAij

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

CALCUL DE L’INVERSE

DÉFINITION

Matrice adjointe adj (A):1 Etablir AT

2 Remplacer chaque aij par Aij = (−1)i+j |∆ij |

DÉFINITION

Matrice inverse A−1 = adj (A)

det(A)

PROPRIÉTÉS:

1 det(A)= det(AT )

2 A est invertible ⇐⇒ det(A) 6= 03 det(AB)= det(A)det(B)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

det(A)

PROPRIÉTÉS:

1 det(A)= det(AT )

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

DÉFINITION

det(A)

PROPRIÉTÉS:

1 det(A)= det(AT )

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

LA MÉTHODE DE CRAMER

ON DONNE:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

et det(A) 6= 0

ON NOTE:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DÉFINITION

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)= det(Ai)

det(A)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

ON DONNE:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

et det(A) 6= 0

ON NOTE:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DÉFINITION

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

ON DONNE:

A︸︷︷︸(n×n)

. X︸︷︷︸(n×1)

= B︸︷︷︸(n×1)

et det(A) 6= 0

ON NOTE:

A= (A1A2 . . .Ai−1AiAi+1 . . .An)

X = (X1)

B = (B1)

DÉFINITION

xi =det(A1A2 . . .Ai−1B1Ai+1 . . .An)

det(A)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

LA MÉTHODE DE CRAMER: EXEMPLE

ON DONNE: (k 2k −11 −3k

k −6

ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 1: det(A) ∣∣∣∣k 2k −11 −3k

∣∣∣∣=−3k2 −2k +1

Condition: |A| 6= 0 ⇐⇒ −3k2 −2k +1 6= 0 ⇐⇒ k 6∈ {−1, 13 }

ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣ 7 2k −1k −6 −3k

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= −2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣k 71 k −6

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= k2 −6k −7−3k2 −2k +1

⇒ 1 solutions: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

,k2 −6k −7

−3k2 −2k +1)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 2A: k 6∈ {−1, 13 }

∣∣∣∣k 71 k −6

∣∣∣∣−3k2 −2k +1

= k2 −6k −7−3k2 −2k +1

⇒ 1 solutions: (x ,y)= (−2k2 −21k −6−3k2 −2k +1

,k2 −6k −7

−3k2 −2k +1)

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)

ETAPPE 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø solution

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)

ETAPPE 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø solution

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

k −6

ETAPPE 2B: k =−1 { −x −3y = 7+x +3y =−7

⇒∞ solutions: (x ,y)= (−7−3t , t)

ETAPPE 2C: k = 13 {

x −y = 2x −y =−17

⇒Ø solution

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME

CFR CH1. (SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES):

1 par substitution2 avec la méthode de Gauss3 avec la méthode de Gauss-Jordan

CFR CH2. (MATRICES):

1 par A−1

2 avec la méthode de Cramer

Aperçu

Terminologie

Opérationssomme

multiplication

Inverse

Contrôle

Inverse

Cramer

Synthèse

RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME

CFR CH1. (SYSTÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES):

1 par substitution2 avec la méthode de Gauss3 avec la méthode de Gauss-Jordan

CFR CH2. (MATRICES):

1 par A−1

2 avec la méthode de Cramer

Math: matrices (French)

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