logique propositionnelle, 1 1cm Logique séance...

logique propositionnelle, 1

Logiqueséance 2

M. Cozic

M. Cozic logique propositionnelle, 1 Logique séance 2

remerciements à ...

I ...D. Bonnay

0. introduction

I la logique propositionnelle (LP) traite exclusivement desconnecteurs propositionnels, c’est la partie la plus simplede la logique

I pour étudier rigoureusement la notion de validité, elleconstruit un langage artificiel

I la LP repose sur deux principes fondamentaux:(P1) principe de bivalence: tout énoncé a une et une seule

valeur de vérité, il est ou bien vrai (noté V ou 1) ou bienfaux (noté F ou 0)

le principe de bivalence

(P1) principe de bivalence: tout énoncé a une et une seulevaleur de vérité, il est ou bien vrai (noté V ou 1) ou bienfaux (noté F ou 0)

I la LP est construite de telle sorte que le principe debivalence soit satisfait; le principe fait néanmoins l’objet denombreuses discussions en philosophie de la logique et dulangage:

(i) il n’est pas certain que le principe de bivalence soitsatisfait dans les langues naturelles

I exemple: les prédicats vagues. Il y a des personnes tellesqu’il ne semble ni vrai, ni faux de dire qu’ils sont chauves(ou grandes, ou corpulentes, etc). On parle alors decas-limites, et on dit qu’il y a un vide de valeur de vérité

le principe de bivalence

I attention ! il y a évidemment un multitude d’énoncés de lalangue naturelle telle que l’on ne sait ni s’ils sont vrais, nis’ils sont faux. Mais ce n’est pas une violation du principede bivalence.

(ii) il n’est pas certain qu’il faille que le principe de bivalencesoit toujours satisfait

I exemple: les futurs contingents = des énoncés portant surdes événements futurs qui peuvent, ou pas, advenir

• N. Sarkozy se représentera en 2012

Certains soutiennent que la valeur de vérité de telsénoncés n’est pas “objectivement” déterminée.

énoncés atomiques vs. complexesI on a vu quel rôle jouaient les connecteurs propositionnels

dans la validité de certains argumentsI les connecteurs propositionnels forment un nouvel énoncé

à partir d’un ou plusieurs énoncésI exemple:• Si Marie est venue, Pierre est content

I il y a donc des énoncés qui sont plus complexes qued’autres: “Si Marie est venue, Pierre est content” est pluscomplexe que “Marie est venue”

I on appelle les énoncés comme “Marie est venue”, qui necontiennent aucun énoncé comme partie, un énoncéatomique tandis que “Si Marie est venue, Pierre estcontent” est un énoncé complexe

le principe de vérifonctionnalité(P2) principe de vérifonctionnalité: la valeur de vérité d’un

énoncé complexe dépend exclusivement de la valeur devérité des énoncés qui le composent et de la façon dontses énoncés sont composés

I conséquence: si, dans un énoncé complexe donné, jeremplace un des énoncés constituants par un énoncé demême valeur de vérité, alors le nouvel énoncé complexe ala même valeur de vérité que l’énoncé complexe initial

I exemple:

Proust était écrivain et S. Royal a gagné la présidentiellede 2007 FAUX

Proust était écrivain et F. Bayrou a gagné la présidentiellede 2007 FAUX

le principe de vérifonctionnalité

I il n’est pas certain que le principe de vérifonctionnalité soittoujours satisfait dans la langue naturelle

I exemple: les énoncés de croyance

• Pierre croit que S.Royal a gagné la présidentielle de 2007(supposons que c’est FAUX)• Pierre croit que le chômage a diminué en 2011 (cela peut

être VRAI - d’accord, Pierre est vraiment très mal informé)

le principe de vérifonctionnalité

I attention: le principe dit aussi que la valeur de vérité d’unénoncé complexe dépend de la façon dont les énoncésconstituants sont composés

I exemple:

• Proust était écrivain et S. Royal a gagné la présidentiellede 2007 FAUX• Proust était écrivain ou S. Royal a gagné la présidentielle

de 2007 VRAI

1. les connecteurs propositionnels

I en LP, on compose des énoncés à l’aide des connecteurspropositionnels

I la liste canonique des connecteurs est la suivante:∧: la conjonction∨: la disjonction¬: la négation→: le conditionnel↔: le bi-conditionnel

I l’inteprétation des connecteurs propositionnels sera faiteen sorte que le principe de vérifonctionnalité soit respecté

La conjonction, ∧

Exemple: ‘Pierre est content et Marie est triste.’

p : Pierre est contentq : Marie est triste

p q p ∧ q1 1

La conjonction est un connecteur binaire

La conjonction, ∧

p q p ∧ q1 1 11 0

La conjonction, ∧

p q p ∧ q1 1 11 0 00 1

La conjonction, ∧

p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0

La conjonction, ∧

p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0

La négation, ¬

Exemple: ‘Pierre n’est pas content.’

p : Pierre est content

p ¬p1

La négation, ¬

p ¬p1 00

La négation, ¬

p ¬p1 00 1

La disjonction, ∨

Exemple: ‘il va pleuvoir ou il va neiger’

p : il va pleuvoirq : il va neiger

p q p ∨ q1 1

La disjonction, ∨

p q p ∨ q1 1

La disjonction, ∨

p q p ∨ q1 1

1 0 10 1

La disjonction, ∨

p q p ∨ q1 1

1 0 10 1 10 0 0

La disjonction, ∨

p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0

disjonction inclusive ou exclusive

I l’interprétation de ∨ en fait une disjonction inclusive

I “ou bien..., ou bien...” correspond à une disjonctionexclusive: “ou bien S, ou bien S′” est vrai ssi exactementl’un des deux énoncés S, S′ est vrai

I la grande question: le “ou” de la langue naturellecorrespond-il à la disjonction inclusive, à la disjonctionexclusive ou tantôt à l’une et tantôt à l’autre ?

I des énoncés comme

• Jean est arrivé en France mardi ou mercredi• Pierre est né à Valenton ou à Limeil-Brévanne

semblent recevoir une interprétation exclusiveI mauvais argument; pourquoi ? parce que pour discriminer

entre la disj. inclusive et la disj. exclusive, il faut regarderce qui se passe quand les deux énoncés constituants sontvrais. Dans les autres cas de figure, les deux disjonctionsont le même comportement !

• Marie a rencontré Jean ou Paul à la soiréeI il semble que si quelqu’un affirme cela, on a envie d’en

inférer que Marie n’a pas rencontré Jean et Paul à lasoirée, donc que la disjonction est exclusive

I mais des philosophes du langage-linguistes soutiennentque non: pour expliquer l’inférence, on a besoin que de ladisjonction inclusive et de principes généraux gouvernantla conversation

I idée: si le locuteur savait que Marie a rencontré Jean etPaul à la soirée, et s’il voulait être le plus informatifpossible, alors il dirait directement• Marie a rencontré Jean ou Paul à la soirée

Le conditionnel,→

Exemple: ‘Si Pierre est content alors Marie est triste.’

p q p → q1 1

Le conditionnel,→

p q p → q1 1

1 0 00 1

Le conditionnel,→

p q p → q1 1 11 0 00 1

Le conditionnel,→

p q p → q1 1 11 0 00 1 10 0 1

I du point de vue du conditionnel matériel,• Si Pierre est content, Marie est triste (p → q)

a les conditions de vérité de• Pierre n’est pas content ou Marie est triste (¬p ∨ q)I le conditionnel est le connecteur dont l’interprétation est la

plus problématique; ces difficultés sont connues depuisl’Antiquité• Si Nicolas Sarkozy n’avait pas été élu président, Zinédine

Zidane l’aurait été• Si Pierre ajoute du sucre dans son café, il le trouvera

meilleur∴ Si Pierre ajoute du sucre et de l’essence dans son café,il le trouvera meilleur

I 222connecteurs binaires possibles:

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f161 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 10 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1p q ⊥ - 6← 9 ∧ ¬p ¬q ↔ = q p | → ← ∨ >

2. le langage de la LP

Définition L’alphabet A d’un langage propositionnel est la donnée

1. d’un ensemble de formules atomiques At = {p,q, r , ...}2. d’un ensemble de connecteurs : {∨,∧,¬,→,↔}3. d’une parenthèse ouvrante et d’une parenthèse fermante{), (}

Définition Une expression formée à partir d’un alphabet A est unesuite finie d’éléments de l’alphabet.

I Le langage propositionnel L(A) fondé sur l’alphabet A estl’ensemble des expressions formées à partir de A.

I exemple:"))))¬ ∨ p → q", "(p ∧ r)", "q" sont des expressions dulangage propositionnel.

I rem1: les guillemets marquent le fait qu’on fait mention etnon usage d’une expression

I rem2: on simplifie et s’en dispense par la suite quand onfait mention d’expressions du langage formel

Notation 1. φ, ψ, χ pour désigner des expressions quelconques dulangage propositionnel

2. ◦ pour désigner un connecteur binaire quelconqueI φ, ψ, χ,..., et ◦ appartiennent au méta-langage, pas au

langage objet.

Définition L’ensemble Form des formules du langage propositionnelL(A) est l’ensemble des expressions tel que

(i) toute formule atomique p ∈ At est une formule(ii) si φ est une formule, alors ¬φ est une formule(iii) si φ et ψ sont des formules et ◦ un connecteur

propositionnel, alors (φ ◦ ψ) est une formule(iv) seules les expressions engendrées par un nombre fini

d’applications des règles précédentes sont des formules

Les expressions suivantes sont-elles des formules ?

(p ∨ q)

(p ∨ q

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

(p ∨ q)

(p ∨ q

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q ×¬p

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q ×¬p

¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q ×¬p

(¬p) ×¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q ×¬p

(¬p) ×¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q)

pq ×(p ∨ q)

(p ∨ q ×¬p

(¬p) ×¬((p → q) ∨ (p ∧ r))

¬(p¬q) ×

I On peut représenter la manière dont une formule a étéconstruite en appliquant les règles de formation à l’aided’un arbre de formation :

(p ∨ (¬p → q))

p (¬p → q)

Théorème (Théorème de lecture unique)A chaque formule est associée un unique arbre deformation.

I différence importante d’avec la langue naturelle, quiprésente des ambiguités syntaxiques.Il arrive qu’une même phrase puisse être ‘engendrée’ deplusieurs manières différentes, et ‘lue’ de plusieursmanières différentes.

(1) Jean est venu et Pierre est parti ou Marie était mal.

A l’oral, l’intonation permet parfois de lever les ambiguités :‘(1a)’ Jean est venu et Pierre est parti ... ou Marie était mal.‘(1b)’ Jean est venu et ... Pierre est parti ou Marie était mal.

Dans notre langage formel, il n’y a pas d’ambiguité car il y ades parenthèses :((p ∧ q) ∨ r)(p ∧ (q ∨ r))

A chacune des deux formules ((p ∧ q) ∨ r) et (p ∧ (q ∨ r))correspond bien un arbre de formation différent :

(p ∧ (q ∨ r))

p (q ∨ r)

((p ∧ q) ∨ r)

(p ∧ q)

On s’autorisera quelques libertés (de plus en plus)

I suppression des parenthèses extérieures((p ∧ q) ∨ r) (p ∧ q) ∨ r

I regroupement des conjonctions et disjonctions((p ∧ q) ∧ r) p ∧ q ∧ r

Combien de parenthèses ?

Combien de parenthèses dans une formule ?

p, (p ∧ q), ¬(p ∧ q), ((p ∧ q) ∨ r) ...

Toutes les formules ont un nombre paire de parenthèses.

C’est à peu près évident, “on le voit bien”Mais ... comment est-ce qu’on le montre ?

Analogie

Comment est-ce qu’on construit l’ensemble des entiers ?

I On prend 0I et on clôt par successeur

Comment est-ce qu’on construit l’ensemble des formules ?

I On prend les atomesI et on clôt par les opérations logiques

Induction sur les entiers

Comment est-ce qu’on démontre que tous les entiers ont unecertaine propriété P ?

I Soit on montre, pour un entier quelconque n, que n a bienla propriété P

I Soit on fait une démonstration par induction :I On montre que 0 a PI On montre que si n a P, alors n + 1 a P

(“P passe au successeur”)

Exemple

Prenons comme propriété P la propriété suivante :

pour tout entier n, on a 0 + ...+ n = n(n+1)2

I 0 a bien PI P passe au successeur

Supposons que 0 + ...+ n = n(n+1)2 (H.I.)

0 + ...+ n + n + 1= n(n+1)

2 + n + 1 par H.I.= n(n+1)+2(n+1)

= n+1(n+2)2 X

Induction sur les formules

Pour montrer que toutes les formules ont une certaine propriétéP, il suffit de montrer que :

I Si p ∈ At , alors p a la propriété PI Si φ a P, alors ¬φ a PI Si φ, ψ ont P, alors (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ→ ψ) et (φ↔ ψ)

ont P.

Prenons comme propriété P la propriété suivante :

pour toute formule φ, φ a un nombre pair de parenthèses

I Les formules atomiques ont 0 parenthèse.I Supposons que φ a 2n parenthèses, alors ¬φ a 2n

parenthèses.I Supposons que φ a 2m et ψ 2n parenthèses,

alors (φ ∧ ψ) a 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1) parenthèseset même chose pour (φ ∨ ψ), (φ→ ψ) et (φ↔ ψ). X

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