LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE - ESEN

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Notes de Cours T.Mellah A.U 2019-2020 1 LA LOGIQUE PROPOSITIONNELLE SOMMAIRE OBJET DE LA LOGIQUE 2 I- DEFINITION ET NOTATION 2 II- OPERATIONS LOGIQUES SUR LES PROPOSITIONS 2 II-1 CONNECTEURS TABLE DE VERITE 2 II-2 REGLES DE FORMATION 2 II-3 LOIS LOGIQUES 3 II-3-1 CONSEQUENCES LOGIQUES 3 Définition 3 1. Tautologie et antilogie 3 2. Equivalence et implication logique 3 3. Argument 4 II-3-2 ALGEBRES DES PROPOSITIONS 4 III THEORIE DE DEMONSTRATION 4 III-1 DEFINITION 4 III-2 AXIOMES ET REGLES DINFERENCES 5 III-3 THEOREMES 6

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A.U2019-2020 1

LALOGIQUEPROPOSITIONNELLE

SOMMAIREOBJETDELALOGIQUE 2I-DEFINITIONETNOTATION 2II-OPERATIONSLOGIQUESSURLESPROPOSITIONS 2II-1CONNECTEURSTABLEDEVERITE 2II-2REGLESDEFORMATION 2II-3LOISLOGIQUES 3II-3-1CONSEQUENCESLOGIQUES 3Définition 31.Tautologieetantilogie 32.Equivalenceetimplicationlogique 33.Argument 4II-3-2ALGEBRESDESPROPOSITIONS 4IIITHEORIEDEDEMONSTRATION 4III-1DEFINITION 4III-2AXIOMESETREGLESD’INFERENCES 5III-3THEOREMES 6

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Objetdelalogique

Lalogiqueseproposed’étudierles«énoncés»quisontlediscourshumainexprimantleraisonnement.Parmitouslesénoncéspossiblesquipeuventêtreformulésdansunelangue,ondistingueceuxauxquelsilestpossibled’attribuerune«valeurdevérité»vrai/faux,appelépropositions

I-Définitionetnotation

1-Unepropositiondebase(formuleatomique/atome)estunénoncéquiestsoitvraisoitfauxmaispaslesdeuxàlafois.

ChaquepropositionnotéPaunevaleurdevéritéouvaluationnotéVquiestsoitlevraiV(P)=1soitlefauxV(P)=0

Formellement,lespropositionsqu’étudielalogiquepropositionnelledoiventrépondreauxprincipessuivants:

• Principedenoncontradiction:unepropositionnepeutêtresimultanémentvraieetfausse• Principedutiers-exclu:unepropositionestvraieoufausse(iln’yapasd’autrepossibilité)

II-Opérationslogiquessurlespropositions

II-1ConnecteursTabledeVérité

Symbole Nom Utilisation

¬ Négation ¬P:nonP

∧ Conjonction P∧Q:PetQ

∨ Disjonction P∨Q:PouQ

→ Implication P→Q:siPalorsQ;PimpliqueQ

↔ Equivalence P↔Q:PssiQ

Tabledevéritédesconnecteurs

P Q P∧Q P∨Q P→Q P↔Q

F F F F V V

F V F V V F

V F F V F F

V V V V V V

II-2Règlesdeformation

PropriétéI:Lesformulesouformespropositionnellessontdéfiniesrécursivement:

1. Unepropositiondebaseestuneformule2. SiPestuneformulealors¬Pestuneformule

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3. SiPetQsontdesformulesalorsP∧Q,P∨Q,P→QetP↔Q4. Touteslesformessontgénéréesenappliquantcesrègles

PropriétéII:Règledeprioritédesconnecteurslogiques–convention-

Lesrèglesdeprioritédesconnecteurslogiquessontlessuivants,parordredeprioritédécroissante:lanégation,laconjonctionetladisjonction(aumêmeniveau),l’implicationetm’équivalence(aumêmeniveau)

PropriétéIII:Associativitédesopérateurs∧et∨

𝑃⋀𝑄 ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅

𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅

NB:

• Laparenthésageestobligatoirequand∨et∧setrouventdanslamêmeformule,puisqueiln’yapasdeprioritéentre∧et∨:(P∧Q)∨R≢P∧(Q∨R)

• L’implicationet l’équivalencenesontpasassociatives, lesparenthèsesontobligatoireP→(Q→R) ≢(P→Q)→RetP↔(Q↔R) ≢(P↔Q)↔R

• L’ordred’uneformuleestlenombremaximaldefoisoùlesrèglesdeformationsontappliquées;par

exemple𝑓(𝑃,𝑄,𝑅): ( ¬ 𝑃 → 𝑄 ∨ 𝑅 ↔ 𝑃 ↔ 𝑄 )estuneformuled’ordre4.

II-3Loislogiques

II-3-1Conséquenceslogiques

DéfinitionSoituneformulef,etsoientP1,P2…Pnlesatomesintervenantdansf.UneinterprétationdefestuneaffectationdesvaleursdevéritéàP1,P2…Pn

Parmitouteslesformulesbienforméespossibles,certainesontdespropriétésparticulières:

1.TautologieetantilogieUneformulefestditevalideouappeléeunetautologie,sielleestvraiequelquesoitsoninterprétation.Notation⊨ 𝑓

Uneformuleestinconsistante/contradictionouencoreuneantilogiesielleestfaussequelquesoitsoninterprétation;

Théorème:Principedesubstitution

Si𝑓 𝑃!,𝑃! …𝑃! estunetautologie;supposonsqu’onremplace 𝑃!,𝑃! …𝑃! par 𝑄!,𝑄! …𝑄! ;lanouvelleformule𝑓∗estunetautologiequelquesoitlesatomes𝑄1 ,𝑄2 …𝑄𝑛

Si⊨ 𝑓 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ⊨ 𝑓∗

2.EquivalenceetimplicationlogiqueSoientf1etf2deuxformules:

• f1impliquelogiquementf2(notéf1⇒f2)sif2estvraichaquefoisquef1estvrai

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• f1estéquivalentelogiquementàf2(notéf1⇔f2ouencoref1≡f2)siellesontdestablesdevéritéidentiques.

NB

• 𝑃 → 𝑄 ≡ ¬𝑃 ∨ 𝑄• 𝑃 ↔ 𝑄 ≡ 𝑃 → 𝑄 ∧ 𝑄 → 𝑃 ≡ (𝑃⋁¬𝑄)⋀(¬𝑃 ∨ 𝑄)

3.ArgumentUnargumentestunénoncédanslequelunensembledeproposition-appeléesprémisses-P1,P2…PnconduitparvoiedeconséquenceàunepropositionQ(appeléerésultat),onnote𝑃!,𝑃!,𝑃!,… . ,𝑃! ⊢ 𝑄

Définitiondevaliditéd’unargument:UnargumentestditvalidesiQestvraichaquefoisquelesprémissesP1,P2…Pnsontvraies.

Unargumentquin’estpasvalideestunsophisme.

Théorème:l’argument𝑃!,𝑃!,𝑃!,… . ,𝑃! ⊢ 𝑄 estvalidessilaformule𝑓: (𝑃! ∧ 𝑃! ∧ 𝑃! ∧ … .∧ 𝑃!) → 𝑄 estunetautologie

II-3-2Algèbresdespropositions

Théorème:lespropositionssatisfontauxdifférentesloissuivantesoùvetfsignifievraietfauxrespectivement:

Idempotence 𝑃 ∧ 𝑃 ≡ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑃 ≡ 𝑃

Associativité (𝑃 ∧ 𝑄) ∧ 𝑅 ≡ 𝑃 ∧ (𝑄 ∧ 𝑅) ≡ 𝑃 ∧ 𝑄 ∧ 𝑅 (𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅 ≡ 𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅) ≡ 𝑃 ∨ 𝑄 ∨ 𝑅

Commutativité 𝑃 ∧ 𝑄 ≡ 𝑄 ∧ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑄 ≡ 𝑄 ∨ 𝑃

Distributivité 𝑃 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≡ (𝑃 ∧ 𝑄) ∨ (𝑃 ∧ 𝑅) 𝑃 ∨ (𝑄 ∧ 𝑅) ≡ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅)

Identité 𝑃 ∧ 𝑓 ≡ 𝑓; 𝑃 ∧ 𝑣 ≡ 𝑃 𝑃 ∨ 𝑓 ≡ 𝑃; 𝑃 ∨ 𝑣 ≡ 𝑣

Complémentarité 𝑃 ∧ ¬𝑃 ≡ 𝑓 𝑃 ∨ ¬𝑃 ≡ 𝑣

¬𝑓 ≡ 𝑣; ¬𝑣 ≡ 𝑓

Involution ¬¬𝑃 ≡ 𝑃

LoideMorgan ¬(𝑃 ∧ 𝑄) ≡ ¬𝑃 ∨ ¬𝑄 ¬(𝑃 ∨ 𝑄) ≡ ¬𝑃 ∧ ¬𝑄

IIIThéoriededémonstration

III-1Définition

ThéorèmeLogique:Unrésultatobtenuparunedéductioncorrecteouunesuitededéductionscorrectes,i.e.,quiutilisentexplicitementlesrèglesd’inférenceautorisées,àpartirdesaxiomeslogiqueset,éventuellement,d’autresrésultatsdumêmetypedéjàétablisparailleurs,s’appelleunthéorèmelogique.

Notation:laformule𝑓estunthéorème;onnote:⊢ 𝑓

Démonstration:lachainededéductionquiconduitàunthéorèmelogique

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Axiomelogique:cettechainepeutéventuellementnecomporterqu’unseulélément.Danscecasle«résultat»estunaxiomelogique.Unaxiomelogiqueestdoncunthéorèmelogiquequinenécessitepasdémonstration.

Déductionsoushypothèse:ilestpossibled’utiliserdesformuleslogiquessupplémentaires(autrequedesaxiomesoudesthéorèmes)etdemenerunraisonnementcorrectàpartirdecesformules,desaxiomesetdesthéorèmesdéjàconnu.Onparlealors,nonplusdedémonstration,maisdedéductionsoushypothèses.

Notation:laformulelogiqueRestobtenuepardéductionsousleshypothèsesH1,H2,…..,Hn:

𝐻!,𝐻! ,… . ,𝐻! ⊢ 𝑅

III-2Axiomesetrèglesd’inférences

Axiomes:soitlessystèmed’axiomenoncontradictoiresuivantoùP,QetRdesformules:

Axiomesrelatifsàl’implication

A1:𝑃 → 𝑄 → 𝑃

A2:(P→ 𝑄) → ( 𝑃 → 𝑄 → 𝑅 → 𝑃 → 𝑅 )

Axiomesrelatifsàlaconjonction

A3:𝑃 → 𝑄 → (𝑃 ∧ 𝑄)

A4:(𝑃 ∧ 𝑄)→ 𝑃

A5:(𝑃 ∧ 𝑄)→ 𝑄

Axiomesrelatifsàladisjonction

A6:𝑃 → (𝑃 ∨ 𝑄)

A7:𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄)

A8:(𝑃 → 𝑅) → 𝑄 → 𝑅 → (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑅

Axiomesrelatifsàlanégation

A9:¬¬𝑃 → 𝑃

A10: 𝑃 → 𝑄 → 𝑃 → ¬𝑄 → ¬𝑃

Axiomesrelatifsàl’équivalence

A11: 𝑃 → 𝑄 → 𝑄 → 𝑃 → 𝑃 ↔ 𝑄

A12: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑃 → 𝑄

A13: 𝑃 ↔ 𝑄 → 𝑄 → 𝑃

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Règlesd’inférence:lalogiqueclassiqueutiliselesrèglesd’inférencessuivantes:

1. Le«modusponendoponens»(lemodeenposant,onpose)m.p.p: 𝑃,𝑃 → 𝑄 ⊢ 𝑄

2. Le«modustollendotollens»(lemodeensupprimant,onsupprime)m.t.t: 𝑃 → 𝑄,¬𝑄 ⊢ ¬𝑃

3. Le«modusponendotollens»(lemodeenposant,onsupprime)m.p.t: ¬(𝑃 ∧ 𝑄),𝑃 ⊢ ¬𝑄

4. Le«modustollendoponens»(lemodeensupprimant,onpose)m.t.p: 𝑃 ∨ 𝑄,¬𝑃 ⊢ 𝑄

Remarque:desrèglesd’inférenceannexes

• Règlededisjonctiondescas: 𝑃 → 𝑅,𝑄 → 𝑅 ⊢ 𝑃 ∨ 𝑄 → 𝑅• Règlederéductionàl’absurde 𝑃 → 𝑄,𝑃 → ¬𝑄 ⊢ ¬𝑃

III-3Théorèmes

Théorèmedeladéduction: 𝐺!,𝐺!,… . ,𝐺! ⊢ 𝐻 𝑠𝑠𝑖 𝐺!,𝐺!,… . ,𝐺!!! ⊢ 𝐺! → 𝐻

Théorèmedelacontraposée:⊢ 𝑃 → 𝑄 → (¬𝑄 → ¬𝑃)

Théorèmedetransitivitédel’implication:⊢ 𝑃 → 𝑄 → ((𝑄 → 𝑅) → 𝑃 → 𝑅 )

Théorèmedelacontradiction:⊢ ¬𝑃 → (𝑃 → 𝑄)

Théorèmedecomplétude:⊢ 𝑓 𝑠𝑠𝑖 ⊨ 𝑓