Post on 03-Apr-2015
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
I) Mises en évidence expérimentales
1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable
VA – VB 0
pôle sud pôle nord
A B
Aimant mobile devant une spire fixe
mouvement de va et vient
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
I) Mises en évidence expérimentales
1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable
2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent
VA – VB 0
pôle sud pôle nord
A B
Aimant fixe devant une spire mobile
mouvement de va et vient
Rail de Faraday
B
A
C
R
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
I) Mises en évidence expérimentales
1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable
2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent
3) Récapitulatif
Récapitulatif
Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen :
• Dans un circuit ou un conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable ;
Récapitulatif
Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen :
• Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ magnétique permanent ;
Récapitulatif
Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen :
• Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ variable.
Récapitulatif
Ce phénomène se traduit :
• Si le circuit est ouvert par l’apparition d’une différence de potentiel induite à ses bornes ;
• Si le circuit est fermé par l’apparition d’une force électromotrice induite dans le circuit et des courants induits qui traversent le circuit.
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
II) Les lois de l’induction
1) Loi de Faraday
Em(P,t)
d
+
P
dS
M
B(M,t)
q
B n2
+
()
dl
B n1
+
()
dl
f.e.m. induite e1
e1 = – e2
f.e.m. induite e2
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
II) Les lois de l’induction
1) Loi de Faraday
2) Loi de Lenz
Loi de Lenz
Énoncé :
La f.e.m. e induite tend par ses conséquences à s’opposer à la cause qui lui a donné naissance. Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l’induction sont orientés de façon à s’opposer à leurs causes.
Rail de Faraday
B
A
C
Fop
Fop : Force exercée par l’opérateur
: Variation de la surface S
: Variation de flux magnétique
: Phénomène d’induction. Loi de Faraday
e : f.e.m. induite
: Circuit fermé
i : courant induit
: Présence d’un champ magnétiqueFL : Force de Laplace qui agit suivant la loi de Lenz
Rail de Faraday
B A
C
FopFL
i
y
x
z
S
+
Schéma mécanique
Rail de Faraday
B A
C
i
y
x
z
S
+
Schéma électrique
eAC
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
III) Circuits fixes dans un champ variable :Cas de Neumann
1) Le champ de Neumann
a) Le circuit filiforme
Em(P,t)
d
+
P
dS
M
B(M,t)
q
IACj
+
A C
VA – VC
Schéma mécanique :A C
Schéma électriquesans induction :
A CR
Schéma électriqueavec induction :
A CR
eAC
Schéma mécanique :
Schéma électriquesans induction :
Schéma électriqueavec induction :
d
d
R
e
d
R
i
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
III) Circuits fixes dans un champ variable :Cas de Neumann
1) Le champ de Neumann
a) Le circuit filiforme
b) Généralisation
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
III) Circuits fixes dans un champ variable :Cas de Neumann
1) Le champ de Neumann
a) L’alternateur
2) Applications
spire
L’alternateur
S
0+
ux
uy
ux
B
t
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
III) Circuits fixes dans un champ variable :Cas de Neumann
1) Le champ de Neumann
a) L’alternateur
2) Applications
b) Le transformateur
Le transformateur
Circuit primaire
Circuit secondaire
+ +
N1
r1
N2
r2e1 e2u1
i1
u2
i2
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorentz
1) Le champ électromoteur
a) Le circuit filiforme
O
x
y
z(R)
O’x’
y’
z’
(R’)
Charge ponctuelle
Mq
En tout point M de l’espace, à tout instant t :
E’ = E + ve x B
B’ = B
O
x
y
z(R)
O’x’
y’
z’
(R’)
Circuit filiforme
dq
Schéma mécanique :A C
Schéma électriquesans induction :
A CR
Schéma électriqueavec induction :
A CR
eAC
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorenz
1) Le champ électromoteur
a) Le circuit filiforme
b) Généralisation
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorentz
1) Le champ électromoteur
a) Le rail de Faraday
2) Exemples
Rail de Faraday
B C
A
FopFL
i
y
x
z
S
+
Schéma mécanique
Rail de Faraday
Schéma électrique
B
i
y
x
z
S
+
C
A
eAC
R
Rappel sur les conventions des puissances mécaniques
Puissance reçue par XForce subie par X
Puissance fournie par YForce exercée par Y
Bilan de puissance mécanique
dm
dt L opv
F F R P
dm
dt L opv
F F R P v d
m . .dt L opv
Fv v v F
2 cop Laplace
dEd 1m.v P P
dt 2 dt
2 cop Laplace
dEd 1m.v P P
dt 2 dt
Pop = Fop.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part de l’opérateur.
PLaplace = FL.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace.
PLaplace = Pind/méca
Rappel sur les conventions des puissances électriques
A C
e
i
P = e.i est la puissance instantanée algébriquement fournie par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit.
Convention générateur
Rappel sur les conventions des puissances électriques
P’ = u.i est la puissance instantanée algébriquement reçue par le dipôle de la part du reste du circuit.
Convention récepteur
A C
u
i
Pélec = r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part du reste du circuit.
Pind/élec = eL.i : La puissance électrique instantanée algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL, i.e. la puissance algébrique électrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction.
[eL = r.i]i eL.i = r.i2
PJ = – r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part de l’effet Joule.Elle est négative.
[eL = r.i]i eL.i = r.i2
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorentz
1) Le champ électromoteur
a) Le rail de Faraday
2) Exemples
b) Le ralentisseur
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes
1) Les coefficients d’induction
Les coefficients d’induction
1
d1
i1+
2
d2
i2+
Les coefficients d’induction
1 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (1).
2 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (2).
Les coefficients d’induction
1 = 11 + 21
11 = L1.i1 représente le flux propre de B1 à travers (1).
21 = M21.i2 représente le flux de B2 à travers (1),le flux magnétique envoyé par le circuit (2) à travers le circuit (1).
Les coefficients d’induction
2 = 22 + 12
22 = L2.i2 représente le flux propre de B2 à travers (2).
12 = M12.i1 représente le flux de B1 à travers (2),le flux magnétique envoyé par le circuit (1) à travers le circuit (2).
Les coefficients d’induction
L1 est l’inductance propre du circuit (1) oule coefficient d’auto-induction du circuit (1).
M12 = M21 = M est le coefficient d’inductance mutuelle du système .
L2 est l’inductance propre du circuit (2) oule coefficient d’auto-induction du circuit (2).
L’inductance propre
L est toujours positif
i positifi négatif
Le coefficient d’induction mutuelle
M est positif
M est négatif
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes
1) Les coefficients d’induction2) Application aux circuits
électriques
Application aux circuits électriques
R1
L1
E1
i1
+
e1
R2
L2
E2
i2
+
e2M
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes
3) Aspect énergétique
a) Bilan énergétique
Rappel sur les conventions des travaux électriques
A C
e
i
W = e.i.dt est le travail instantané algébriquement fourni par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit pendant dt.
Convention générateur
Rappel sur les conventions des travaux électriques
W’ = u.i.dt est le travail instantané algébriquement reçu par le dipôle de la part du reste du circuit pendant dt.
Convention récepteur
A C
u
i
Bilan d’énergie
1 21 1 1 1
di diE R .i L M
dt dt
2 12 2 2 2
di diE R .i L M
dt dt
11 1 1
21 1
di diE R .i L i .M
dtt
dtd
22 2 2
12 2
di diE R .i L i .M
dtt
dtd
Bilan d’énergie
1 1 2 2
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2
E .i .dt E .i .dt
1 1R .i .dt R .i .dt d L .i L .i M.i .i
2 2
WG = E1.i1.dt + E2.i2.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par les générateurs au reste du circuit pendant dt.
δ δ 2 2R J 1 1 2 2W W R .i .dt R .i .dt
représente l’énergie électrique élémentaire reçue par les résistances de la part du reste du circuit pendant dt qui sera ultérieurement dissipée par effet Joule.
WG = WR + dEmag
2 2mag 1 1 2 2 1 2
1 1E L .i L .i M.i .i
2 2
représente l’énergie magnétique emmagasinée dans les deux bobines
2 2mag 1 1 2 2 1 2
1 1E L .i L .i M.i .i
2 2
représente l’énergie magnétique propre du circuit (1) parcouru par l’intensité i1.
21 1
1L .i
2
représente l’énergie magnétique propre du circuit (2) parcouru par l’intensité i2.
22 2
1L .i
2
M.i1.i2 représente l’énergie magnétique mutuelle des deux circuits.
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes
3) Aspect énergétique
a) Bilan énergétiqueb) Vérification de la localisation de l’énergie
uz ia
h
B
S
i
uz
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
a) Position du problème
0div
EL’équation locale de Maxwell – Gauss :
L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB
rotE
L’équation locale de Maxwell – Ampère :
μ μ ε0 0 0. . .tE
rotB j
L’équation locale du flux magnétique : divB = 0
Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t :
||jD|| << ||j|| et = 0.
Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
a) Position du problème
b) Équation de propagation
Équation de propagation
rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E
μ γ0( ) ( ) ( ) t t tB E
rot rotE rot rotB
Δ μ γ0 tE
E
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
a) Position du problème
b) Équation de propagation
c) Solution
Effet de peau
z
vide
conducteur
E(0-,t) = E0.cost.ux
x =δz
pour t =0
E(z,t)E 3
T
5T
, et T
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
a) Position du problème
b) Équation de propagation
c) Solution
d) Interprétation
Tableau récapitulatif
Fréquences (Hz) 50 104 106 108 1010
(m)104
=1 cm
650=
0,65 mm65 6,5 0,65
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
1) L’effet de peau
e) Modèle du conducteur parfait
Modèle du conducteur parfait
Conducteur parfait : << distances caractéristiques du matériau
On appelle modèle du conducteur parfait la limite obtenue lorsque l’épaisseur de peau est négligeable devant toutes les grandeurs macroscopiques caractéristiques du problème :
Définition physique :
Modèle du conducteur parfait
Un conducteur parfait est un conducteur idéal de conductivité électrique infinie.L’épaisseur de peau est donc nulle.C’est un modèle limite.
Définition mathématique :
Modèle du conducteur parfait
Dans un conducteur parfait :
E = 0, j = 0 et B est stationnaire.
A la surface d’un conducteur parfait :
js 0.
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
2) Le haut – parleur électrodynamique
a) Principe de fonctionnement
Le haut – parleur électrodynamique
Un haut – parleur est un transducteur qui produit un signal sonore image d’un signal électrique.
BB
B
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
2) Le haut-parleur électrodynamique
a) Principe de fonctionnement
b) Mise en équation
Système : l’équipage mobile en A.R.Q.S.
Référentiel : Terrestre supposé galiléen
Forces : le poids P, la réaction R,la force de Laplace FL,la force de rappel Fr = – k(OM – O0M0),la force de frottement fluide f = – .v, > 0.
MO
M0O0
ressort à vide
k, 0
ressort à un instant quelconque
k,
Equation mécanique
RFD : m.a = P + R + FL + Fr + f
αdv
m .v k.z i. .Bdt
Schéma électrique équivalent
L
ReL
e'E(t)
iL
RE(t)
Équipagemobile
i
Equation électrique
E(t) + e’ + eL – R.i = 0
Φd die L
dt dt'
Ldi
E(t) R.i L edt
Equation électromécanique
Lbobine
e (M) x .dv B l
Lbobine
e v.B.dl v.B.
Equations couplées
diE(t) R.i L .B.v
dt
αdv
m .v k.z i. .Bdt
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
2) Le haut-parleur électrodynamique
a) Principe de fonctionnement
b) Mise en équation
c) Bilan énergétique
Bilan d’énergie électrique
Ldi
E(t) R.i L ed
it
.dt
Ldi
E(t) R.i L edt
2 2L
1E(t).i.dt R.i .dt d L.i e .i.dt
2
WG = WR + dEmag – Wind/élec
WG = E.i.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par le générateur au reste du circuit pendant dt.
δ 2RW R.i .dt
représente l’énergie électrique élémentaire reçue par la résistance de la part du reste du circuit pendant dt.
WG = WR + dEmag – Wind/élec
WG = – WJ + dEmag – Wind/élec
δ 2JW R.i .dt
représente l’énergie « thermo – électrique » élémentaire reçue par la résistance de la part de l’effet Joule pendant dt.
2mag
1dE d L.i
2
représente la variation élémentaire d’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine pendant dt.
Wind/élec = eL.i.dtreprésente l’énergie électrique élémentaire algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL au reste du circuit pendant dt ;représente l’énergie électrique élémentaire algébrique reçue par le reste du circuit de la part du phénomène d’induction pendant dt.
WG = – WJ + dEmag – Wind/élec
Bilan d’énergie mécanique
WLaplace = Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique
α Ldv
m .v k.z Fdt
α Ldv
m .v k.z F v.d d
t dz t
α2 2 21 1. .dt d m.v k.z .v .dt
2 2LF v
Wind/méca = FL.v.dtreprésente l’énergie mécanique élémentaire algébrique reçue par l’équipage mobile de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace pendant dt.
Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique
Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique
représente la variation élémentaire d’énergie mécanique de l’équipage mobile pendant dt.
2 2m c p
1 1dE d E E d m.v k.z
2 2
Wacoustique = .v2.dt = – f.v.dtreprésente l’énergie élémentaire fournie par la membrane à l’air ambiant pendant dt.
Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique
Wind/élec = eL.i.dt = v.B..i.dt = – FL.v.dt = – Wind/méca
Wind/élec + Wind/méca = 0
WG = – WJ + d(Emag + Ec + Ep) + Wacoustique
Entre les dates t et t + dt, l’énergie fournie par le générateur est intégralement convertie en énergie thermique par l’intermédiaire de la résistance, en énergie magnétique propre, en énergie mécanique de l’équipage mobile et en énergie acoustique par l’intermédiaire du phénomène d’induction.
Les phénomènes d’induction électromagnétiques
VI) Exemples
2) Le haut-parleur électrodynamique
a) Principe de fonctionnement
b) Mise en équation
c) Bilan énergétique
d) Cas particulier du régime sinusoïdal
Notation complexe
E(t) = Re(E) avec E = E0.expjt
z(t) = Re(Z) avec V = j.Z
i(t) = Re(I) avecI = I0.expj(t – ) = I0.expjt et I0 = I0.exp(– j)
v(t) = Re(V) avecV = V0.expj(t – ) = V0.expjt et V0 = V0.exp(– j)
Equations couplées
diE(t) R.i L .B.v
dt
αdv
m .v k.z i. .Bdt
Equations couplées
α ωω
0 0k
j m V B. .I
E0 = (R + jL)I0 – B..V0
ωα ω
ω
2 2
00B .
E R jL Ik j m
α ωω
0 0B.
V Ik j m
Impédance électrique
ωα ω
ω
2 2B .Z R jL
k j m
α ωω
2 2
mB .
Z k j m
Admittance motionnelle électrique
α ω
ωm 2 2 2 2 2 2
jm kY
B . B . jB . .
α
2 2
mB .
R m 2 2
mC
B .
2 2
mB .
L k