Les phénomènes dinduction électromagnétiques I) Mises en évidence expérimentales 1) Circuit...

Les phénomènes d’induction électromagnétiques

I) Mises en évidence expérimentales

1) Circuit fixe dans un champ magnétique variable

VA – VB 0

pôle sud pôle nord

A B

Aimant mobile devant une spire fixe

mouvement de va et vient




2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent

VA – VB 0

pôle sud pôle nord

A B

Aimant fixe devant une spire mobile

mouvement de va et vient

Rail de Faraday

B

A

C

R




2) Circuit mobile dans un champ magnétique permanent

3) Récapitulatif

Récapitulatif

Le phénomène d’induction électromagnétique se manifeste dans R galiléen :

• Dans un circuit ou un conducteur fixe placé dans un champ magnétique variable ;

Récapitulatif


• Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ magnétique permanent ;

Récapitulatif


• Dans un circuit ou un conducteur mobile ou déformable placé dans un champ variable.

Récapitulatif

Ce phénomène se traduit :

• Si le circuit est ouvert par l’apparition d’une différence de potentiel induite à ses bornes ;

• Si le circuit est fermé par l’apparition d’une force électromotrice induite dans le circuit et des courants induits qui traversent le circuit.


II) Les lois de l’induction

1) Loi de Faraday

Em(P,t)

d

+

P

dS

M

B(M,t)

q

B n2

+

()

dl

B n1

+

()

dl

f.e.m. induite e1

e1 = – e2

f.e.m. induite e2


II) Les lois de l’induction

1) Loi de Faraday

2) Loi de Lenz

Loi de Lenz

Énoncé :

La f.e.m. e induite tend par ses conséquences à s’opposer à la cause qui lui a donné naissance. Les effets magnétiques, électrocinétiques et mécaniques de l’induction sont orientés de façon à s’opposer à leurs causes.

Rail de Faraday

B

A

C

Fop

Fop : Force exercée par l’opérateur

: Variation de la surface S

: Variation de flux magnétique

: Phénomène d’induction. Loi de Faraday

e : f.e.m. induite

: Circuit fermé

i : courant induit

: Présence d’un champ magnétiqueFL : Force de Laplace qui agit suivant la loi de Lenz

Rail de Faraday

B A

C

FopFL

i

y

x

z

S

+

Schéma mécanique

Rail de Faraday

B A

C

i

y

x

z

S

+

Schéma électrique

eAC


III) Circuits fixes dans un champ variable :Cas de Neumann

1) Le champ de Neumann

a) Le circuit filiforme

Em(P,t)

d

+

P

dS

M

B(M,t)

q

IACj

+

A C

VA – VC

Schéma mécanique :A C

Schéma électriquesans induction :

A CR

Schéma électriqueavec induction :

A CR

eAC

Schéma mécanique :



d

d

R

e

d

R

i





b) Généralisation




a) L’alternateur

2) Applications

spire

L’alternateur

S

0+

ux

uy

ux

B

t




a) L’alternateur

2) Applications

b) Le transformateur

Le transformateur

Circuit primaire

Circuit secondaire

+ +

N1

r1

N2

r2e1 e2u1

i1

u2

i2


IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorentz

1) Le champ électromoteur


O

x

y

z(R)

O’x’

y’

z’

(R’)

Charge ponctuelle

Mq

En tout point M de l’espace, à tout instant t :

E’ = E + ve x B

B’ = B

O

x

y

z(R)

O’x’

y’

z’

(R’)

Circuit filiforme

dq

Schéma mécanique :A C


A CR


A CR

eAC


IV) Circuit mobile dans un champ permanent :Cas de Lorenz



b) Généralisation




a) Le rail de Faraday

2) Exemples

Rail de Faraday

B C

A

FopFL

i

y

x

z

S

+

Schéma mécanique

Rail de Faraday

Schéma électrique

B

i

y

x

z

S

+

C

A

eAC

R

Rappel sur les conventions des puissances mécaniques

Puissance reçue par XForce subie par X

Puissance fournie par YForce exercée par Y

Bilan de puissance mécanique

dm

dt L opv

F F R P

dm

dt L opv

F F R P v d

m . .dt L opv

Fv v v F

2 cop Laplace

dEd 1m.v P P

dt 2 dt

2 cop Laplace

dEd 1m.v P P

dt 2 dt

Pop = Fop.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part de l’opérateur.

PLaplace = FL.v : La puissance mécanique instantanée algébrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace.

PLaplace = Pind/méca

Rappel sur les conventions des puissances électriques

A C

e

i

P = e.i est la puissance instantanée algébriquement fournie par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit.

Convention générateur

Rappel sur les conventions des puissances électriques

P’ = u.i est la puissance instantanée algébriquement reçue par le dipôle de la part du reste du circuit.

Convention récepteur

A C

u

i

Pélec = r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part du reste du circuit.

Pind/élec = eL.i : La puissance électrique instantanée algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL, i.e. la puissance algébrique électrique reçue par le rail de la part du phénomène d’induction.

[eL = r.i]i eL.i = r.i2

PJ = – r.i2 : La puissance électrique instantanée reçue par le rail de la part de l’effet Joule.Elle est négative.

[eL = r.i]i eL.i = r.i2




a) Le rail de Faraday

2) Exemples

b) Le ralentisseur


V) Induction dans un ensemble de deux circuits filiformes

1) Les coefficients d’induction

Les coefficients d’induction

1

d1

i1+

2

d2

i2+


1 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (1).

2 : le flux de l’ensemble des deux champs magnétiques B1 et B2 à travers le circuit (2).


1 = 11 + 21

11 = L1.i1 représente le flux propre de B1 à travers (1).

21 = M21.i2 représente le flux de B2 à travers (1),le flux magnétique envoyé par le circuit (2) à travers le circuit (1).


2 = 22 + 12

22 = L2.i2 représente le flux propre de B2 à travers (2).

12 = M12.i1 représente le flux de B1 à travers (2),le flux magnétique envoyé par le circuit (1) à travers le circuit (2).


L1 est l’inductance propre du circuit (1) oule coefficient d’auto-induction du circuit (1).

M12 = M21 = M est le coefficient d’inductance mutuelle du système .

L2 est l’inductance propre du circuit (2) oule coefficient d’auto-induction du circuit (2).

L’inductance propre

L est toujours positif

i positifi négatif

Le coefficient d’induction mutuelle

M est positif

M est négatif



1) Les coefficients d’induction2) Application aux circuits

électriques

Application aux circuits électriques

R1

L1

E1

i1

+

e1

R2

L2

E2

i2

+

e2M



3) Aspect énergétique

a) Bilan énergétique

Rappel sur les conventions des travaux électriques

A C

e

i

W = e.i.dt est le travail instantané algébriquement fourni par le générateur de f.e.m. e au reste du circuit pendant dt.

Convention générateur

Rappel sur les conventions des travaux électriques

W’ = u.i.dt est le travail instantané algébriquement reçu par le dipôle de la part du reste du circuit pendant dt.

Convention récepteur

A C

u

i

Bilan d’énergie

1 21 1 1 1

di diE R .i L M

dt dt

2 12 2 2 2

di diE R .i L M

dt dt

11 1 1

21 1

di diE R .i L i .M

dtt

dtd

22 2 2

12 2

di diE R .i L i .M

dtt

dtd

Bilan d’énergie

1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2

E .i .dt E .i .dt

1 1R .i .dt R .i .dt d L .i L .i M.i .i

2 2

WG = E1.i1.dt + E2.i2.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par les générateurs au reste du circuit pendant dt.

δ δ 2 2R J 1 1 2 2W W R .i .dt R .i .dt

représente l’énergie électrique élémentaire reçue par les résistances de la part du reste du circuit pendant dt qui sera ultérieurement dissipée par effet Joule.

WG = WR + dEmag

2 2mag 1 1 2 2 1 2

1 1E L .i L .i M.i .i

2 2

représente l’énergie magnétique emmagasinée dans les deux bobines

2 2mag 1 1 2 2 1 2

1 1E L .i L .i M.i .i

2 2

représente l’énergie magnétique propre du circuit (1) parcouru par l’intensité i1.

21 1

1L .i

2

représente l’énergie magnétique propre du circuit (2) parcouru par l’intensité i2.

22 2

1L .i

2

M.i1.i2 représente l’énergie magnétique mutuelle des deux circuits.



3) Aspect énergétique

a) Bilan énergétiqueb) Vérification de la localisation de l’énergie

uz ia

h

B

S

i

uz


VI) Exemples

1) L’effet de peau


VI) Exemples


a) Position du problème

0div

EL’équation locale de Maxwell – Gauss :

L’équation locale de Maxwell – Faraday :tB

rotE

L’équation locale de Maxwell – Ampère :

μ μ ε0 0 0. . .tE

rotB j

L’équation locale du flux magnétique : divB = 0

Dans un conducteur ohmique fixe en équilibre dans un référentiel galiléen, en M à la date t :

||jD|| << ||j|| et = 0.

Un conducteur ohmique est localement neutre à tout instant.


VI) Exemples



b) Équation de propagation

Équation de propagation

rot(rotE) = – E + grad(divE) = – E

μ γ0( ) ( ) ( ) t t tB E

rot rotE rot rotB

Δ μ γ0 tE

E


VI) Exemples




c) Solution

Effet de peau

z

vide

conducteur

E(0-,t) = E0.cost.ux

x =δz

pour t =0

E(z,t)E 3

T

5T

, et T


VI) Exemples




c) Solution

d) Interprétation

Tableau récapitulatif

Fréquences (Hz) 50 104 106 108 1010

(m)104

=1 cm

650=

0,65 mm65 6,5 0,65


VI) Exemples


e) Modèle du conducteur parfait

Modèle du conducteur parfait

Conducteur parfait : << distances caractéristiques du matériau

On appelle modèle du conducteur parfait la limite obtenue lorsque l’épaisseur de peau est négligeable devant toutes les grandeurs macroscopiques caractéristiques du problème :

Définition physique :


Un conducteur parfait est un conducteur idéal de conductivité électrique infinie.L’épaisseur de peau est donc nulle.C’est un modèle limite.

Définition mathématique :


Dans un conducteur parfait :

E = 0, j = 0 et B est stationnaire.

A la surface d’un conducteur parfait :

js 0.


VI) Exemples

2) Le haut – parleur électrodynamique

a) Principe de fonctionnement

Le haut – parleur électrodynamique

Un haut – parleur est un transducteur qui produit un signal sonore image d’un signal électrique.


VI) Exemples

2) Le haut-parleur électrodynamique


b) Mise en équation

Système : l’équipage mobile en A.R.Q.S.

Référentiel : Terrestre supposé galiléen

Forces : le poids P, la réaction R,la force de Laplace FL,la force de rappel Fr = – k(OM – O0M0),la force de frottement fluide f = – .v, > 0.

MO

M0O0

ressort à vide

k, 0

ressort à un instant quelconque

k,

Equation mécanique

RFD : m.a = P + R + FL + Fr + f

αdv

m .v k.z i. .Bdt

Schéma électrique équivalent

L

ReL

e'E(t)

iL

RE(t)

Équipagemobile

i

Equation électrique

E(t) + e’ + eL – R.i = 0

Φd die L

dt dt'

Ldi

E(t) R.i L edt

Equation électromécanique

Lbobine

e (M) x .dv B l

Lbobine

e v.B.dl v.B.

Equations couplées

diE(t) R.i L .B.v

dt

αdv

m .v k.z i. .Bdt


VI) Exemples




c) Bilan énergétique

Bilan d’énergie électrique

Ldi

E(t) R.i L ed

it

.dt

Ldi

E(t) R.i L edt

2 2L

1E(t).i.dt R.i .dt d L.i e .i.dt

2

WG = WR + dEmag – Wind/élec

WG = E.i.dt représente l’énergie élémentaire algébriquement fournie par le générateur au reste du circuit pendant dt.

δ 2RW R.i .dt

représente l’énergie électrique élémentaire reçue par la résistance de la part du reste du circuit pendant dt.

WG = WR + dEmag – Wind/élec

WG = – WJ + dEmag – Wind/élec

δ 2JW R.i .dt

représente l’énergie « thermo – électrique » élémentaire reçue par la résistance de la part de l’effet Joule pendant dt.

2mag

1dE d L.i

2

représente la variation élémentaire d’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine pendant dt.

Wind/élec = eL.i.dtreprésente l’énergie électrique élémentaire algébrique fournie par le générateur de f.e.m. eL au reste du circuit pendant dt ;représente l’énergie électrique élémentaire algébrique reçue par le reste du circuit de la part du phénomène d’induction pendant dt.

WG = – WJ + dEmag – Wind/élec

Bilan d’énergie mécanique

WLaplace = Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique

α Ldv

m .v k.z Fdt

α Ldv

m .v k.z F v.d d

t dz t

α2 2 21 1. .dt d m.v k.z .v .dt

2 2LF v

Wind/méca = FL.v.dtreprésente l’énergie mécanique élémentaire algébrique reçue par l’équipage mobile de la part du phénomène d’induction par l’intermédiaire de la force de Laplace pendant dt.

Wind/méca = d(Ec + Ep) + Wacoustique


représente la variation élémentaire d’énergie mécanique de l’équipage mobile pendant dt.

2 2m c p

1 1dE d E E d m.v k.z

2 2

Wacoustique = .v2.dt = – f.v.dtreprésente l’énergie élémentaire fournie par la membrane à l’air ambiant pendant dt.


Wind/élec = eL.i.dt = v.B..i.dt = – FL.v.dt = – Wind/méca

Wind/élec + Wind/méca = 0

WG = – WJ + d(Emag + Ec + Ep) + Wacoustique

Entre les dates t et t + dt, l’énergie fournie par le générateur est intégralement convertie en énergie thermique par l’intermédiaire de la résistance, en énergie magnétique propre, en énergie mécanique de l’équipage mobile et en énergie acoustique par l’intermédiaire du phénomène d’induction.


VI) Exemples




c) Bilan énergétique

d) Cas particulier du régime sinusoïdal

Notation complexe

E(t) = Re(E) avec E = E0.expjt

z(t) = Re(Z) avec V = j.Z

i(t) = Re(I) avecI = I0.expj(t – ) = I0.expjt et I0 = I0.exp(– j)

v(t) = Re(V) avecV = V0.expj(t – ) = V0.expjt et V0 = V0.exp(– j)

Equations couplées

diE(t) R.i L .B.v

dt

αdv

m .v k.z i. .Bdt

Equations couplées

α ωω

0 0k

j m V B. .I

E0 = (R + jL)I0 – B..V0

ωα ω

ω

2 2

00B .

E R jL Ik j m

α ωω

0 0B.

V Ik j m

Impédance électrique

ωα ω

ω

2 2B .Z R jL

k j m

α ωω

2 2

mB .

Z k j m

Admittance motionnelle électrique

α ω

ωm 2 2 2 2 2 2

jm kY

B . B . jB . .

α

2 2

mB .

R m 2 2

mC

B .

2 2

mB .

L k

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