Post on 30-Jul-2020
Interférences et désordre (suite) * Localisation faible
* Rétrodiffusion cohérente en optique (PC)
* Fluctuations universelles de conductance * Longueur de cohérence de phase
Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 8 PHY 560B Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux 10/03/2017
0 L
Trajectoires opposées
Croisement
Effet d’ordre 1/g
( , ')P r r
conductance ~ transmission conductance moyenne ~ probabilité
probabilité classique + corrections quantiques
Résumé
Drude, Ohm
localisation faible
04i φπ
φ magnétorésistance négative
oscillations Sharvin-Sharvin période φ0 /2=h/2e
04i
eφπφ
0
( )4 tie
φπφ〈 〉
3
Effets cohérents et croisements quantiques
La probabilité de croisement quantique est 1/g
Corrections quantiques
Fluctuations, corrélations Croisements quantiques
Transport classique 22
cleG gh
=
Les effets quantiques sont d’ordre (fluctuations, oscillations, corrections)
Dans un bon métal (g >>1), les effets quantiques sont petits
21cl g
G eh
×
exemple: les oscillations Aharonov-Bohm (ou Sharvin-Sharvin) dans un métal sont d’ordre . 2 /e h
( )/int /0
2 ( ) etD
t dtg P t e eφτ ττ
∞− −∆ −− = ∫
Localisation faible
( )int / /0
( ) 2 ( , ) etD
t dtg B P t B e eφτ ττ
∞− −∆ − = −∫
2
int ( , ', ) (2 ') ( )D i e P r r t r rtA tδ δ
∂ − ∇ + = − ∂
'r r=
0int
0/( , )sinh 4 /
BSP t BBDt
φπ φ
= 0 0 0in( ) ( ) ( )4 4 4
t ( , 0) ( ) 4
t t ti i
l
i
cSP t B e P t e eDt
φ φ φπ π πφ φ φ
π= = = =
int int( , ) ( , , ) P t B P r r t dr= ∫
Sous champ magnétique:
où la probabilité intégrée de retour à l’origine s’obtient à l’aide de
avec
Exemple: champ uniforme dans plan infini
22 /Gg
e h=
5
Correction de localisation faible à la conductance (sans dimension)
( )i0
n/ /
t2 ( ) et tB
D
dtg P t e eφτ ττ
∞− −= − − ∆ ∫
min , , )(
0
/2( )4
D B
d
D
D dtgt
φτ τ τ τπ τ
− ∆ 2 ∫
Contributions des trajectoires de diffusion fermées dont la taille est limitée par la taille du système, la cohérence de phase, le champ magnétique, etc.
, , )min(c D Bφτ τ τ τ
2d =
( )cL TgL
∆ = −
( )1 ln ce
L Tglπ
∆ = −
1 ( 1 )d quasi D= −
c cL Dτ=
6
lne
Lg
lφ∆ −
0
0
/( )sinh 4 /
BSP tBDtφ
π φ=
( )min ,ln
e
BLgl
Lφ∆ − 2 0BBL φ=
( )4
SP tDtπ
=
B non nul :
R
B Bergmann, 84
déf :
expression exacte pour la magnétoconductance :
expression approchée pour B grand :
B=0:
Localisation faible à 2D /( )e
t
D
P t teg dφττ τ
−∞∆ ∝ − ∫
7
lne
Lg
lφ∆ −
0
0
/( )sinh 4 /
BSP tBDtφ
π φ=
( )min ,ln
e
BLgl
Lφ∆ − 2 0BBL φ=
( )4
SP tDtπ
=
B non nul :
R
B Bergmann, 84
déf :
B=0:
La correction disparait quand
20B Lφ φ
BL Lφ
( )L Tφ
Magnétorésistance négative
20B Lφ φ
Localisation faible à 2D /( )e
t
D
P t teg dφττ τ
−∞∆ ∝ − ∫
8
M.E. Gershenson et al.
( )L Tg
Lφ∆ = − e
Lgg M l
φ∆ = −
1 ( 1 )d quasi D= −
elg ML
20el nm10M
Longueur de localisation eM lξ =
Lφ ξ
9
0
cos 4LL
m
mm
Lg e
Lφφ φπ
φ
∞ −
=−∞
∆ = − ∑
2 2 /4
0
( ) cos 44
m L Dt
m
eP t L mDt
φπφπ
−
= ∑
000
ln c 42 osmz e
LL Lg KL l L
m mφφπ
φπφ>
∆ = − +
∑
2 2 /4
0
( ) cos 44
m L Dt
zm
eP t LL mDt
φππ φ
−
= ∑
φ
Ensemble d’anneaux
Oscillations quantiques /( )e
t
D
P teg t dφτ
τ
τ−∞∆ = − 2 ∫
“Sample specific” interference
φ
φ
Oscillations de période
Après moyenne sur le désordre, ne reste que la contribution des trajectoires appariées
0 /h eφ =
Différence de phase entre les trajectoires 0
2 φπφ
0
4 φπφ
Anneau unique (Webb et al., 1985)
Cylindre (Sharvin-Sharvin, 1981) ou moyenne sur différents anneaux
Oscillations « Aharonov-Bohm »
… qui disparaissent en moyenne
Différence de phase
Oscillations de période 0 / 2 / 2h eφ =
Si le nombre N d’anneaux augmente, L’harmonique décroit comme L’harmonique subsiste
Chaîne d’anneaux
C. P. Umbach et al., Phys. Rev. Lett. 56, 386 (1986)
Chaîne de N anneaux d’argent
h/e α N -1/2
a = 940 nm
h/2e
0φ
0 / 2φ
1/ N
h/e
12
Appl. Phys. Lett. 50, 1289 (1987)
Cohérence de phase
Non- localité
13
Fluctuations universelles de conductance
Conductance en fonction d’un paramètre extérieur (champ magnétique)
Au Si numérique
( )G B
Lee,Stone, Fukuyama, Universal conductance fluctuations in metals, Phys. Rev. 35, 1039 (1987)
Fluctuations reproductibles
L’amplitude est universelle 222 2 eG G G G
hδ δ= = −
L Lφ2 25800
he
= Ω
Dans un bon métal, δG
15
clG G G= + ∆Moyenne
2GδVariance
La correction ∆G est supprimée par le champ magnétique
Sous champ, la variance est réduite d’un facteur 2
G
G
2Gδ
B
D. Mailly, M. Sanquer, J. Physique I, 2, 357 (1992)
Magneto-fingerprints = empreintes digitales magnétiques
Chaque trace représente une figure d’interférence
unités e2/h
16
Origine de l’universalité des fluctuations Analogie avec l’optique Formule de Landauer
17
Les fluctuations relatives d’intensité sont grandes, d’ordre 1
b a
22ab abT Tδ =
Comparer avec les fluctuations universelles de conductance ? δG
18
b, a : canaux entrant et sortant
Formule de Landauer multicanal
2
4Fk SMπ
=Nombre de canaux :
b a
Conductance = transmission
ak
bk
,
2 22 2ab
a b
e eh
G Th
T == ∑
19
Optique : mesure de Tab , Ta , ou T
Electronique : mesure de ,
aba b
T T= ∑a ab
bT T= ∑
,ab
a bT T= ∑
,
2 22 2ab
a b
e eh
G Th
T == ∑
b a
Landauer
b, a : canaux entrant et sortant
2abgT
M=
abT
' 'ab a bT T
Conductance = transmission
20
2
,
2ab
a bG Te
h= ∑
'' ' '' 'ab a b ab a ab a bb T TT T T T δ δ= +
2
, ', ,'
''ab a b
a a b bTg Tδδ δ = ∑
Fluctuations de conductance et de speckle
21
a b
a’ b’
' 'ab a bT T
' 'ab a bT Tδ δ
'' ' '' 'ab a b ab a ab a bb T TT T T T δ δ= +
' ' , ' , 'ab a b a a b bT T δ δ=
a
a’
b
b’
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C1
a
a’
b
b’
22
2
ab ab abT T Tδ δ =
' ' , ' , '2
, ', , 'ab a b a a b b
a a b bg T Tδ δ δ= ∑
Loi de Rayleigh
N’explique pas les fluctuations de conductance…
a a’
a’ = a b’=b
a
a’
b
b’
2
, ', ,'
''ab a b
a a b bTg Tδδ δ = ∑
22 22
4 2 1elg gM
M M L = =
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C1
23
' 'ab a bT T
' ' ' 'ab ba b a a bT TT T δ δ+
+ ??? +
' ' , ' , 'ab a b a a b bT T δ δ
24
a
a’ b’ a’
a b’
b
b
1/g
j’*
j’
j*
j
j’*
j’ j*
j
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C2
25
' ' ' , ''2
3 ab a b b bab a bT T
gT Tδ δ δ=
2' ' , ' , '
, ', , '
23 ab a b a a b ba a b b
g T Tg
δ δ δ = + ∑
a
a’ b’ a’
a b’
b
b
1/g
, 'a aδ +
23
4
4 4 13 3
elg gMg M M L
= =
N’explique pas les fluctuations de conductance…
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C2
26
' ' '2'2
15 abab a a bb gTT T Tδ δ =
2'2 '
, ', , '
215 ab a ba a b b
T Tg
gδ = ∑
Fluctuations universelles de conductance !
a
a
a’
b
b
a’ b’
b’
1/g2
24
2 4
2 215 15
g Mg M
= =
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C3
27
' ' , ' , ' ,' 2' ' , '2 2
3 15ab a b a a b b a a b bab a bT T
gT T
gδ δδ δ δ δ
= + + +
Fluctuations universelles de conductance
C1 C2 C3
2
22 4 2
3 15g g g
M Mδ + += 1elg
M L
Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance
28
Fluctuations de conductance = 2 conductances + 2 croisements
2 22 22 2
2
1e eh hg
G gδ
=
× ⇒
Fluctuations universelles de conductance
1/g2
29
22
2GG δδ →
Diffuson « classique »
Cooperon « interference »
* Un champ magnétique supprime la contribution du cooperon ( )intP t
4 combinaisons
Fluctuations universelles et cohérence de phase
30
clG G G= + ∆Moyenne
2GδVariance
La correction ∆G est supprimée par le champ magnétique
Sous champ, la variance est réduite d’un facteur 2
G
G
2Gδ
D. Mailly, M. Sanquer, J. Physique I, 2, 357 (1992)
Magnetofingerprints = empreintes digitales magnétiques
Chaque trace représente une figure d’interférence
unités e2/h
31
22
2GG δδ →
Diffuson « classique »
Cooperon « interference »
* Un champ magnétique supprime la contribution du cooperon ( )intP t
4 combinaisons
( ) ( )int clP t P t et* Les processus de déphasage détruisent
2 0L L Gφ δ ⇒ →
Fluctuations universelles et cohérence de phase
,min2 2
)
2
(
2
,22
( )1
e
D B
D
dtt PG g teh g
φτ τ
τ
τ
τδ
×
× ∫
int( ) ( ) ( )clP t P t P t= +
Distribution de boucles
20
22222 )1 (
D
eh
dtt P tGτ
δ∞
= ∫
Fluctuations universelles de conductance
33
20
22222 )1 (
D
eh
dtt P tGτ
δ∞
= ∫2
( ) tDqP t e−= ∑
1,2,...,nq nLπ
= = ∞
( )
222
4122 1eh L
Gq
δ
= ∑
222 22
15eh
Gδ
=
L Lφ
( )
222
2122 1
n D
eh E
Gδτ
= ∑
Plus généralement
Exemple: le fil quasi-1D limite mésoscopique
34
22
20
/2/ 2
12 24
D t
D
d dttt
eh
G e φττδπ τ
∞−
=
∫/ 2
4( )
dD
tP t τ
π
=
2 22 2
442
2 2 2d d
D
Le eh h L
G φ φττ
δ
−−
=
* c
dLNL
=
addition classique de N éléments incohérents : (4 ) / 2
1dG L
δ −∼
L L φExemple: le fil quasi-1D limite macroscopique
35
Fluctuations gaussiennes ?
3Gδ =
nGδ =
43 11 O
gg
g
×
2Gδ =2
2 11 ( )g Og
×
2 2 2
1 1n
n nng
G Og
gδ −−
×
2 conductances et 2 croisements
3 conductances et 4 croisements
n conductances et (2n- 2) croisements
G = ( )O g (1)O
g → ∞Fluctuations gaussiennes dans la limite
+
36
Cohérence de phase
Temps de cohérence de phase Longueur de cohérence de phase
Les sources de décohérence sont les degrés de liberté dynamiques * Couplage électron-phonon * Interactions électron-électron * Impuretés magnétiques
La cohérence de phase n’est pas détruite par un désordre statique
( )Tφτ
L Dφ φτ=
37
Grenoble, Institut Néel
0.1
1
10
100
0.001 0.01 0.1 1 10 100 T (K)
L φ ( µ
m)
3/ 2L Tφ−∝
e--ph interaction
1/3L Tφ−∝
e--e- interaction (AAK)
3012
3014
3016
3018
3020
3022
3024
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
R +
offs
et (O
hms)
B (G)
30mK
60mK
2000mK
470mK
0
( )BWL
g B f φδφ
=
Mesure de magnétorésistance dans des fils
?
( )L Tφ
Rappel 2D :
38
Ag
Ag
Cu
Au 2/3 31( )
AT B TTφτ
= +
Déphasage dans des fils métalliques
e-phonon e-e
Saturation due aux impuretés magnétiques Saclay
39
Origine de la décohérence de phase (qualitatif)
( )tϕ+
02
( )i
i te eφπφ ϕ
Déphasage aléatoire dépendant de la position des atomes, des autres électrons, des impuretés magnétiques,
0
2 ( )tφπ ϕφ
+
0
2 ( )tφπ ϕφ
− +
0
4 ( ) ( )t tφπ ϕ ϕφ
+ −
04 ( )i i t
eφπ ϕφ
+ ∆
21 ( )( ) 2 /i t tt
e ee φϕϕ τ− ∆ −∆
Déphasage :
Moyenne sur les trajectoires et la dynamique des degrés de liberté extérieurs
Propriétés spectrales de systèmes complexes Théorie des matrices aléatoires
La semaine prochaine …
Le prix nobel de physique 2016 : Topologie et matière condensée
Le matin
L’après-midi
Diapositive numéro 1Diapositive numéro 2Effets cohérents et croisements quantiquesDiapositive numéro 4Diapositive numéro 5Diapositive numéro 6Diapositive numéro 7Diapositive numéro 8Diapositive numéro 9Diapositive numéro 10Diapositive numéro 11Diapositive numéro 12Diapositive numéro 13Diapositive numéro 14Diapositive numéro 15Diapositive numéro 16Diapositive numéro 17Diapositive numéro 18Diapositive numéro 19Diapositive numéro 20Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C1Diapositive numéro 22Diapositive numéro 23Diapositive numéro 24Diapositive numéro 25Diapositive numéro 26Diapositive numéro 27Diapositive numéro 28Diapositive numéro 29Diapositive numéro 30Diapositive numéro 31Diapositive numéro 32Diapositive numéro 33Diapositive numéro 34Fluctuations gaussiennes ?Diapositive numéro 36Diapositive numéro 37Diapositive numéro 38Diapositive numéro 39Diapositive numéro 40
Interférences et désordre (suite)
* Localisation faible
* Rétrodiffusion cohérente en optique (PC)
* Fluctuations universelles de conductance
* Longueur de cohérence de phase
Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 8 PHY 560B
Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux
10/03/2017
0
L
Trajectoires opposées
Croisement
Effet d’ordre 1/g
conductance ~ transmission
conductance moyenne ~ probabilité
probabilité classique + corrections quantiques
Résumé
Drude, Ohm
localisation
faible
magnétorésistance
négative
oscillations
Sharvin-Sharvin
période f0 /2=h/2e
3
Effets cohérents et croisements quantiques
La probabilité de croisement quantique est 1/g
Corrections quantiques
Fluctuations, corrélations
Croisements quantiques
Transport classique
Les effets quantiques sont d’ordre
(fluctuations, oscillations, corrections)
Dans un bon métal (g >>1), les effets quantiques sont petits
exemple: les oscillations Aharonov-Bohm (ou Sharvin-Sharvin) dans un métal
sont d’ordre .
Localisation faible
Sous champ magnétique:
où la probabilité intégrée de retour à l’origine
s’obtient à l’aide de
avec
Exemple: champ uniforme dans plan infini
5
Correction de localisation faible à la conductance (sans dimension)
Contributions des trajectoires de diffusion fermées dont la taille est limitée
par la taille du système, la cohérence de phase, le champ magnétique, etc.
6
B non nul :
R
B
Bergmann, 84
déf :
expression exacte pour la magnétoconductance :
expression approchée pour B grand :
B=0:
Localisation faible à 2D
6
7
B non nul :
R
B
Bergmann, 84
déf :
B=0:
La correction disparait quand
Magnétorésistance négative
Localisation faible à 2D
7
8
M.E. Gershenson et al.
Longueur de localisation
9
f
Ensemble d’anneaux
Oscillations quantiques
“Sample specific” interference
Oscillations de période
Après moyenne sur le désordre, ne reste que
la contribution des trajectoires appariées
Différence de phase entre les trajectoires
Anneau unique (Webb et al., 1985)
Cylindre (Sharvin-Sharvin, 1981)
ou moyenne sur différents anneaux
Oscillations « Aharonov-Bohm »
… qui disparaissent en moyenne
Différence de phase
Oscillations de période
Si le nombre N d’anneaux augmente,
L’harmonique décroit comme
L’harmonique subsiste
Chaîne d’anneaux
C. P. Umbach et al., Phys. Rev. Lett. 56, 386 (1986)
Chaîne de N anneaux d’argent
h/e a N -1/2
a = 940 nm
h/2e
h/e
12
Appl. Phys. Lett. 50, 1289 (1987)
Cohérence de phase
Non- localité
13
Fluctuations universelles de conductance
Conductance en fonction d’un paramètre extérieur (champ magnétique)
Au
Si
numérique
Lee,Stone, Fukuyama, Universal conductance fluctuations in metals, Phys. Rev. 35, 1039 (1987)
Fluctuations reproductibles
13
L’amplitude est universelle
Dans un bon métal, dG
éù
æö
D=-+
êú
ç÷
ç÷
êú
èø
ëû
å
22
/4
0
()cos4
4
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z
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0
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0
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0
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()
GB
2
2
22
e
GGGG
h
dd
==-
:
LL
f
=
2
25800
h
e
= W
cl
GGG
=+D
Moyenne
2
G
d
Variance
G
G
2
G
d
2
2
abab
TT
d
=
ab
T
a
k
r
b
k
r
2
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F
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M
p
=
b
a
,
22
22
ab
ab
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h
GT
h
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=
å
,
ab
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=
å
aab
b
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'
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TT
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315
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1
e
DB
D
dt
tP
Gg
t
e
h
g
f
tt
t
t
t
d
æö
ç÷
è
´
ø
´
ò
:
int
()()()
cl
PtPtPt
=+
2
0
2
2
2
2
2
)
1
(
D
e
h
dt
tPt
G
t
d
¥
æö
ç÷
èø
=
ò
2
0
2
2
2
2
2
)
1
(
D
e
h
dt
tPt
G
t
d
¥
æö
ç÷
èø
=
ò
2
()
t
Dq
Pte
-
=
å
1,2,...,
n
qn
L
p
= =¥
(
)
2
2
2
4
12
2
1
e
h
L
G
q
d
æö
ç÷
èø
=
å
2
2
2
2
2
15
e
h
G
d
æö
ç÷
èø
=
LL
f
=
(
)
2
2
2
2
12
2
1
nD
e
h
E
G
d
t
æö
ç÷
èø
=
å
2
2
2
0
/
2
/2
12
2
4
D
t
D
d
dt
t
t
e
h
G
e
f
t
t
d
pt
¥
-
æö
ç÷
è
æö
ç÷
ø
=
ø
è
ò
/2
4
()
d
D
t
Pt
t
p
æö
ç÷
ø
=
è
22
2
2
4
4
2
2
22
d
d
D
L
ee
hhL
G
ff
t
t
d
-
-
æö
æöæö
æö
=
ç÷
ç÷ç÷
ç÷
èø
èøèø
èø
:
*
c
d
L
N
L
æö
=
ç÷
èø
addition classique de N éléments incohér
ents :
(4)/2
1
d
G
L
d
-
~
LL
?
f
3
G
d
=
g
®¥
Fluctuations gaussiennes dans la limite
n
G
d
=
4
3
1
1
O
g
g
g
æö
ç÷
è
´
ø
:
2
G
d
=
2
2
1
1
()
g
O
g
´
:
22
2
1
1
n
nn
n
g
G
O
g
g
d
-
-
æ
´
ö
ç÷
èø
::
G
=
()
Og
(1)
O
()
T
f
t
LD
ff
t
=
3/2
LT
f
-
µ
1/3
LT
f
-
µ
0
()
BWL
gBf
f
d
f
æö
=
ç÷
ç÷
èø
()
LT
f
3012
3014
3016
3018
3020
3022
3024
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
R +offset (Ohms)
B (G)
30mK
60mK
2000mK
470mK
2/33
1
()
ATBT
T
f
t
= +
()
t
j
+
0
2
()
i
it
ee
f
p
f
j
0
2()
t
f
pj
f
+
0
2()
t
f
pj
f
-+
0
4()()
tt
f
pjj
f
+-
0
4()
iit
e
f
pj
f
+D
2
1
()
()
2
/
it
t
t
e
e
e
f
j
j
t
-D
-
D
::